Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 12 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 03
21 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho \(\int {\ln xdx} = F\left( x \right) + C\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(F'\left( x \right) = \ln x\).
\(F'\left( x \right) = \frac{1}{x}\).
\(F'\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2}}}\).
\(F'\left( x \right) = \frac{2}{{{x^2}}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\int {\ln xdx} = F\left( x \right) + C\)\( \Rightarrow F'\left( x \right) = \ln x\).
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right) + C\).
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( a \right) - F\left( b \right)\).
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( a \right) - F\left( b \right) + C\).
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).
Đáp án đúng là: D
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).
\(3\).
\(7\).
\(6\).
\(14\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_3^4 {f\left( x \right)dx} \)\( \Rightarrow \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx - \int\limits_3^4 {f\left( x \right)dx} } = 10 - 4 = 6\).
\(V = \int\limits_0^2 {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2}dx} \).
\(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2}dx} \).
\(V = \int\limits_0^2 {\left| {2x - {x^2}} \right|dx} \).
\(V = \int\limits_{ - 2}^0 {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2}dx} \).
Đáp án đúng là: B
Phương trình hoành độ giao điểm: \(2x - {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).
Suy ra \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2}dx} \).
\(2x + {y^2} + z + 1 = 0\).
\({x^2} + y + z + 2 = 0\).
\(2x + y + z + 3 = 0\).
\(2x + y + {z^2} + 4 = 0\).
Đáp án đúng là: C
Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng \(Ax + By + Cz + D = 0\) với \({A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\).
Do đó phương trình ở đáp án C là phương trình mặt phẳng.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - t\\y = - 1 - 2t\\z = 5t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 4t\\z = - 5 + 6t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 2t\\z = 3 - 5t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = - 1 + 2t\\z = 5t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng ở câu A có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1; - 2;5} \right) = - \left( {1;2; - 5} \right) = - \overrightarrow u \).
Do đó vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;2; - 5} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - t\\y = - 1 - 2t\\z = 5t\end{array} \right.\).
\(M\left( { - 1; - 2;0} \right)\).
\(M\left( {1;2;0} \right)\).
\(M\left( {2;1; - 2} \right)\).
\(M\left( { - 2; - 1;2} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Thay tọa độ điểm \(M\left( {1;2;0} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{{ - 2}}\) ta được
\(\frac{{1 - 1}}{2} = \frac{{2 - 2}}{1} = \frac{0}{{ - 2}} = 0\). Do đó điểm \(M\left( {1;2;0} \right) \in d\).
\(I\left( { - 4;1;0} \right),R = 2\).
\(I\left( { - 4;1;0} \right),R = 4\).
\(I\left( {4; - 1;0} \right),R = 2\).
\(I\left( {4; - 1;0} \right),R = 4\).
Đáp án đúng là: D
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {4; - 1;0} \right)\), bán kính R = 4.
\({e^x} - 2{e^{ - 2x}} + C\).
\({e^x} + {e^{ - 2x}} + C\).
\({e^x} - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}} + C\).
\(\frac{{{e^{x + 1}}}}{{x + 1}} + \frac{{{e^{ - 2x + 1}}}}{{ - 2x + 1}} + C\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\int {\left( {{e^x} + {e^{ - 2x}}} \right)dx} = {e^x} - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}} + C\).
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{3}{2}\).
\(\frac{2}{3}\).
\(\frac{7}{3}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(S = \int\limits_1^2 {\left| {{{\left( {x - 2} \right)}^2} - 1} \right|dx} \)\( = \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - 4x + 3} \right|dx} \)\( = \int\limits_1^2 {\left( { - {x^2} + 4x - 3} \right)dx} \)\( = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} - 3x} \right)} \right|_1^2\)
\( = - \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{2}{3}\).
\(0,7\).
\(0,4\).
\(0,58\).
\(0,52\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0,6.0,7 + 0,4.0,4 = 0,58\).
\(0,1875\).
\(0,48\).
\(0,333\).
\(0,95\).
Đáp án đúng là: A
Có \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,3.0,25}}{{0,4}} = 0,1875\).
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):3x - y + 2z - 1 = 0\).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\overrightarrow n = \left( {3; - 1;2} \right)\).
Điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Khoảng cách từ điểm \(B\left( {1;1;2} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng \(\frac{{5\sqrt {14} }}{{14}}\).
Mặt phẳng đi qua \(H\left( {0; - 3;2} \right)\) và song song với \(\left( P \right)\) có phương trình là \(3x - y + 2z - 7 = 0\).
a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ
a) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n = \left( {3; - 1;2} \right)\).
b) Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta được \(3.1 - 0 + 2.0 - 1 = 2 \ne 0\).
Suy ra \(A \notin \left( P \right)\).
c) Ta có \(d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.1 - 1.1 + 2.2 - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{{5\sqrt {14} }}{{14}}\).
d) Vì mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên mặt phẳng cần tìm có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3; - 1;2} \right)\) và đi qua \(H\left( {0; - 3;2} \right)\).
Suy ra \(3\left( {x - 0} \right) - \left( {y + 3} \right) + 2\left( {z - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x - y + 2z - 7 = 0\).
Cho hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gieo lần lượt từng xúc xắc trong hai xúc xắc đó. Xét các biến cố:
A: “Tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 5”.
B: “Xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt hai chấm”.
Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 5, biết rằng xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 2 chấm, là xác suất có điều kiện \(P\left( {A|B} \right)\).
\(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{6}\).
\(P\left( B \right) = \frac{1}{6}\).
Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 5, biết rằng xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 2 chấm là \(\frac{1}{6}\).
a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ
a) Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 5, biết rằng xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 2 chấm, là xác suất có điều kiện \(P\left( {A|B} \right)\).
b) Không gian mẫu có số phần từ là 36.
Biến cố \(A \cap B\) chỉ có kết quả thuận lợi là xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 2 chấm và xúc xắc thứ hai xuất hiện mặt 3 chấm nên \(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{{36}}\).
c) Có 6 khả năng xảy ra khi xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 2 chấm là \(P\left( B \right) = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\).
d) Ta có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{1}{{36}}:\frac{1}{6} = \frac{1}{6}\).
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 4.
Cho hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 1\) và \(F\left( 2 \right) = 2\). Tính \(F\left( 3 \right)\)
___
Trả lời: 12
Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{x^2} - 4x + 1} \right)dx} = {x^3} - 2{x^2} + x + C\).
Mà \(F\left( 2 \right) = 2\) nên suy ra \(C = 0\).
Vậy \(F\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + x\). Suy ra \(F\left( 3 \right) = 12\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x - y - 2z + 1 = 0\) và \(\left( Q \right):mx + \left( {3 - 2m} \right)y + nz + 2 = 0\). Khi hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) song song với nhau thì giá trị của biểu thức \(T = m + n\) bằng bao nhiêu?
___
Trả lời: −3
Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1; - 2} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {m;3 - 2m;n} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).
Để \(\left( P \right)//\left( Q \right)\) thì \(\frac{m}{1} = \frac{{3 - m}}{{ - 1}} = \frac{n}{{ - 2}}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2m - 3\\n = - 2m\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 3\\n = - 6\end{array} \right.\).
Suy ra \(T = m + n = - 3\).
Trả lời: −6
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z + 5 = 0\).
Suy ra \(a = - 1;b = - 2;c = - 3\). Do đó \(a + b + c = - 6\).
Trả lời: 0,5
Ta có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,2}}{{0,4}} = 0,5\).
PHẦN II. TỰ LUẬN
Giả sử trong 5 phút đầu vận tốc của ô tô được biểu diễn bởi phương trình \(v\left( t \right) = a{t^2} + bt + c\).
Theo giả thiết ta có \(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\\frac{{ - b}}{{2a}} = 5\\25a + 5b + c = 1000\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\10a + b = 0\\25a + 5b + c = 1000\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 40\\b = 400\\c = 0\end{array} \right.\).
Suy ra \(v\left( t \right) = - 40{t^2} + 400t\), khi \(t = 6\) thì \(v\left( 6 \right) = 960\) (m/phút).
Suy ra trong 10 phút đầu xe ô tô chuyển động được quãng đường là:
\(S = \int\limits_0^6 {\left( { - 40{t^2} + 400t} \right)dt} + 960.4 = 8160\) (m).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {3;3;1} \right),B\left( {0;2;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 7 = 0\). Đường thẳng \(d\) nằm trong \(\left( P \right)\) sao cho mọi điểm thuộc \(d\) cách đều hai điểm \(A,B\). Tính khoảng cách từ điểm \(O\) đến đường thẳng \(d\).
Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\), khi đó \(\left( Q \right)\) nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 1;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2};1} \right)\) là trung đểm của \(AB\).
Ta có phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right): - 3\left( {x - \frac{3}{2}} \right) - \left( {y - \frac{5}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 7 = 0\).
Theo giả thiết với mọi \(M \in d\) thì \(AM = BM\), do đó \(M \in \left( Q \right)\), từ đó \(d \subset \left( Q \right)\).
Mà \(d \subset \left( P \right)\) nên đường thẳng \(d\) là giao tuyến chung của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1;1} \right);\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3;1;0} \right)\)lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).
Vì \(d\) là giao tuyến chung của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) nên một vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( { - 1;3; - 2} \right)\).
Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z - 7 = 0\\3x + y - 7 = 0\end{array} \right.\). Ta thấy \(E\left( {0;7;0} \right) \in \left( P \right) \cap \left( Q \right)\) hay đường thẳng \(d\) đi qua \(E\).
Vậy phương trình đường thẳng \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = 7 + 3t\\z = - 2t\end{array} \right.\).
Gọi \(\left( R \right)\) là mặt phẳng đi qua \(O\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) nên \(\left( R \right)\) nhận \(\overrightarrow u = \left( { - 1;3; - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Suy ra mặt phẳng \(\left( R \right)\) có phương trình là \( - x + 3y - 2z = 0\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên đường thẳng \(d\).
Khi đó tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = 7 + 3t\\z = - 2t\\ - x + 3y - 2z = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = 7 + 3t\\z = - 2t\\t + 21 + 9t + 4t = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\y = \frac{5}{2}\\z = 3\\t = - \frac{3}{2}\end{array} \right.\).
Suy ra \(H\left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2};3} \right)\). Khi đó \(d\left( {O,d} \right) = OH = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + {3^2}} = \frac{{\sqrt {70} }}{2}\).
Gọi biến cố A: “Học sinh đó là nữ”;
B là biến cố: “Học sinh đó tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh”.
Theo đề ta có \(P\left( A \right) = 0,55 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 0,45\); \(P\left( {B|A} \right) = 0,2;P\left( {B|\overline A } \right) = 0,15\).
Xác suất để học sinh đó tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh là:
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\)\( = 0,55.0,2 + 0,45.0,15\)\( = 0,1775\).
Xác suất để học sinh đó là nam biết rằng học sinh đó có tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh là:
\(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,45.0,15}}{{0,1775}} = \frac{{27}}{{71}}\).
