Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 12 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 02
21 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên khoảng \(K\) nếu
\(F'\left( x \right) = f\left( x \right),\forall x \in K\).
\(f'\left( x \right) = - F\left( x \right),\forall x \in K\).
\(F'\left( x \right) = - f\left( x \right),\forall x \in K\).
\(f'\left( x \right) = F\left( x \right),\forall x \in K\).
Đáp án đúng là: A
\(F'\left( x \right) = f\left( x \right),\forall x \in K\).
\(5\).
\(\frac{3}{2}\).
\(9\).
\(6\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\int\limits_1^3 {2f\left( x \right)dx} = 2\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = 2.3 = 6\).
\(\pi \int\limits_0^1 {{e^{6x}}dx} \).
\(\int\limits_0^1 {{e^{3x}}dx} \).
\(\pi \int\limits_0^1 {{e^{3x}}dx} \).
\(\int\limits_0^1 {{e^{6x}}dx} \).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{e^{3x}}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^1 {{e^{6x}}dx} \).
\(\left( {1; - 2;3} \right)\).
\(\left( { - 2;3; - 4} \right)\).
\(\left( { - 5;3;1} \right)\).
\(\left( {1;3; - 4} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 3z - 4 = 0\) nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
\(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {2;6; - 4} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_4}} = \left( { - 2; - 4;6} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3; - 1;5} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 2;3} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng \(d\) nhận \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 2;3} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.
\(\sqrt 3 \).
\(3\).
\(3\sqrt 3 \).
\(9\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\).
Suy ra bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(\sqrt 9 = 3\).
\(P\left( A \right) = P\left( {\overline B |A} \right)\).
\(P\left( A \right) = P\left( {B|A} \right).P\left( {A \cap B} \right)\).
\(P\left( A \right) = P\left( {A|\overline B } \right)\).
\(P\left( A \right) = P\left( {A|B} \right).P\left( B \right)\).
Đáp án đúng là: C
Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập nên \(A\) và \(\overline B \) cũng là hai biến cố độc lập.
Do đó \(P\left( {A\overline B } \right) = P\left( A \right).P\left( {\overline B } \right)\).
Suy ra \(P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{P\left( {A\overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{P\left( A \right).P\left( {\overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = P\left( A \right)\).
\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right)}}\).
\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\).
Đáp án đúng là: C
\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
\(\int {\cos 3xdx} = \sin 3x + C\).
\(\int {\cos 3xdx} = 3\sin 3x + C\).
\(\int {\cos 3xdx} = - \frac{{\sin 3x}}{3} + C\).
\(\int {\cos 3xdx} = \frac{{\sin 3x}}{3} + C\).
Đáp án đúng là: D
\(\int {\cos 3xdx} = \frac{1}{3}\int {\cos 3xd\left( {3x} \right)} = \frac{{\sin 3x}}{3} + C\).
\(S = 1\).
\(S = - 1\).
\(S = - 5\).
\(S = 4\).
Đáp án đúng là: A
\(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} - 2}}{{x + 1}}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} - 1 - 1}}{{x + 1}}dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left( {x - 1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \)\( = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x - \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1 = - \frac{1}{2} - \ln 2\).
Suy ra \(m = 2;n = - 1\). Do đó \(S = 1\).
\(m \in \left( {1;3} \right)\).
\(m \in \left( {\frac{5}{2};4} \right)\).
\(m \in \left( {4;6} \right)\).
\(m \in \left( {0;3} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(S = \int\limits_0^m {\left| {2x + 4} \right|dx} = 21\)\( \Leftrightarrow \int\limits_0^m {\left( {2x + 4} \right)dx} = 21\)\( \Leftrightarrow \left. {\left( {{x^2} + 4x} \right)} \right|_0^m = 21\)\( \Leftrightarrow {m^2} + 4m - 21 = 0\)
\( \Leftrightarrow m = 3\) (do \(m > 0\)). Suy ra \(m \in \left( {\frac{5}{2};4} \right)\).
\(45^\circ \).
\(30^\circ \).
\(120^\circ \).
\(60^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - 1;2;1} \right),\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;0} \right)\).
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1.1 + 2.\left( { - 1} \right) + 1.0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{3}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow \left( {d,\left( P \right)} \right) = 60^\circ \).
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\) đi qua gốc tọa độ \(O\) có \(\overrightarrow v = \left( {1;2;3} \right)\) là vectơ chỉ phương và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\).
Đường thẳng \(d\) có phương trình chính tắc là \(\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}\).
Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( { - 1;2;3} \right)\).
Đường thẳng \(d\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) có một điểm chung duy nhất là \(B\left( {1;2;3} \right)\).
Khi mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song \(d\) và trục \(Ox\) thì \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow a = \left( {0; - 3;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
a) Đ, b) S, c) S, d) Đ
a) Đường thẳng \(d\) đi qua \(O\left( {0;0;0} \right)\) và có \(\overrightarrow v = \left( {1;2;3} \right)\) là vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là \(\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}\).
b) Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được \(\frac{{ - 1}}{1} \ne \frac{2}{2} = \frac{3}{3} \Rightarrow A\left( { - 1;2;3} \right) \notin d\).
c) Đường thẳng \(d\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2t\\z = 3t\end{array} \right.\).
Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2t\\z = 3t\\{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2t\\z = 3t\\{t^2} + 4{t^2} + {\left( {3t - 1} \right)^2} = 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\x = 1\\y = 2\\z = 3\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}t = - \frac{4}{7}\\x = - \frac{4}{7}\\y = - \frac{8}{7}\\z = - \frac{{12}}{7}\end{array} \right.\).
Vậy \(d\) và \(\left( S \right)\) có 2 điểm chung.
d) Vì trục \(Ox\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) nên để mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song \(d\) và trục \(Ox\) thì \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow i } \right] = \left( {0;3; - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Mà \(\overrightarrow a = - \overrightarrow n \) nên \(\left( P \right)\) cũng nhận \(\overrightarrow a = \left( {0; - 3;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Khi kiểm tra sức khỏe tổng quát của bệnh nhân ở một bệnh viện, người ta được kết quả như sau:
+) Có 40% bệnh nhân bị đau dạ dày.
+) Có 30% bệnh nhân thường xuyên bị stress.
+) Trong số các bệnh nhân bị stress có 80% bệnh nhân bị đau dạ dày.
Chọn ngẫu nhiên 1 bệnh nhân
Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress là 0,3.
Xác suất chọn được bệnh nhân bị đau dạ dày, biết bệnh nhân đó thường xuyên bị stress là 0,8.
Xác suất chọn được bệnh nhân vừa thường xuyên bị stress vừa bị đau dạ dày là 0,66.
Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress, biết bệnh nhân đó bị đau dạ dày là 0,4.
a) Đ, b) Đ, c) S, d) S
Xét các biến cố A: “Chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress”;
Biến cố B: “Chọn được bệnh nhân bị đau dạ dày”.
Theo đề ta có \(P\left( A \right) = 0,3;P\left( B \right) = 0,4;P\left( {B|A} \right) = 0,8\).
Suy ra xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress vừa bị đau dạ dày là
\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = 0,3.0,8 = 0,24\).
Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress, biết bệnh nhân đó bị đau dạ dày là
\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,24}}{{0,4}} = 0,6\).
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 4.
Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x\sin 2x}}{{1 + \sin x}}} dx = a + \frac{\pi }{b}\), với \(a,b\) là các số hữu tỉ. Tính \(a + b\).
__
Trả lời: 0
Ta có \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x\sin 2x}}{{1 + \sin x}}} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{2\sin x{{\cos }^2}x}}{{1 + \sin x}}} dx\)\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{2\sin x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)}}{{1 + \sin x}}} dx\)\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2\sin x\left( {1 - \sin x} \right)} dx\)
\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2\sin x} dx - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2{{\sin }^2}x} dx\)\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2\sin x} dx - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - \cos 2x} \right)} dx\)\( = \left. { - 2\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \left. {\left( {x - \frac{{\sin 2x}}{2}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\)
\( = 2 - \frac{\pi }{2}\).
Suy ra \(a = 2;b = - 2\). Do đó \(a + b = 0\).
Trả lời: 4
Vì \(M\left( { - 1;a;b} \right) \in d\) nên \(d:\frac{{ - 1 - 1}}{2} = \frac{{a - 2}}{1} = \frac{b}{{ - 2}}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 2 = - 1\\\frac{b}{{ - 2}} = - 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.\).
Suy ra \({2^{ab}} = {2^2} = 4\).
Trả lời: 2
Ta có \(I\left( {0;0;2} \right)\). Do đó \(\left| {\overrightarrow {OI} } \right| = 2\).
Trả lời: 0,8
Vì \(A,B\) là hai biến cố độc lập nên \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,8.0,25 = 0,2\).
Có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,2}}{{0,25}} = 0,8\).
PHẦN II. TỰ LUẬN
Ông Bình muốn làm một cổng sắt có hình dạng và kích thước giống như hình vẽ sau, biết đường cong phía trên là một parabol. Nếu giá một mét vuông cổng sắt là 1 200 000 đồng thì ông Bình phải trả bao nhiêu tiền để làm cổng sắt như vậy?
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ
Ta có \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) đi qua \(\left( {0;2} \right);\left( {2,5;1,5} \right);\left( { - 2,5;1,5} \right)\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}c = 2\\{2,5^2}a + 2,5b + c = 1,5\\{\left( { - 2,5} \right)^2}a - 2,5b + c = 1,5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{2}{{25}}\\b = 0\\c = 2\end{array} \right.\). Suy ra \(\left( P \right):y = - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2\).
Suy ra diện tích cổng sắt là
\(S = 2\int\limits_0^{2,5} {\left| { - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2} \right|dx} = 2\int\limits_0^{2,5} {\left( { - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2} \right)dx} = \left. {2\left( { - \frac{2}{{75}}{x^3} + 2x} \right)} \right|_0^{2,5} = \frac{{55}}{6}\) (m2).
Ông Bình cần phải trả số tiền là \(\frac{{55}}{6}.1200000 = 11000000\) (đồng).
Giả sử quán cafe X lắp wifi được gắn vào hệ trục tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), để sử dụng kết nối mạng Modem wifi đó được đặt ở vị trí điểm \(C\left( {1; - 1;1} \right)\) và bộ phát wifi được thiết kế bắt sóng được ở khoảng cách tối đa 1,5 km. Hai bạn A và B đang ở vị trí gần quán cafe có vị trí tọa độ lần lượt là \(A\left( {2; - 1; - 2} \right)\) và \(B\left( {3;1;2} \right)\) sử dụng điện thoại muốn bắt sóng wifi của quán cafe X. Hỏi bạn nào bắt được tín hiệu tín hiệu phát sóng từ Modem wifi quán cafe X đó.
Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của Modem wifi quán cafe X trong không gian là mặt cầu tâm \(C\left( {1; - 1;1} \right)\), bán kính \(R = 1,5\).
Ta có \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2,25\).
Ta có khoảng cách \(CA = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {10} \approx 3,16 > 1,5\).
Vì \(CA > R\) nên điểm A nằm ngoài mặt cầu.
Vậy bạn A đã không bắt được tín hiệu phát sóng từ Modem wifi quán cafe X.
Ta có khoảng cách \(CB = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2}} = 3 > 1,5\).
Vì \(CB > R\) nên điểm B nằm ngoài mặt cầu.
Vậy bạn B đã không bắt được tín hiệu phát sóng từ Modem wifi quán cafe X.
Gọi biến cố A: “Lấy được 1 viên bi màu trắng từ hộp thứ II”;
Biến cố \({A_1}\): “Lấy được 2 viên bi màu trắng ở hộp I”;
Biến cố \({A_2}\): “Lấy được 1 viên bi màu trắng và 1 viên bi màu đen ở hộp I”;
Biến cố \({A_3}\): “Lấy được 2 viên bi màu đen ở hộp I”.
Biến cố B: “Viên bi màu trắng đó thuộc hộp I”.
Cần tính \(P\left( {B|A} \right)\).
Theo đề ta có \(P\left( {{A_1}} \right) = \frac{{C_5^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{2}{9}\); \(P\left( {{A_2}} \right) = \frac{{C_5^1.C_5^1}}{{C_{10}^2}} = \frac{5}{9}\); \(P\left( {{A_3}} \right) = \frac{{C_5^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{2}{9}\).
Ta có \(P\left( {A|{A_1}} \right) = \frac{8}{{12}} = \frac{2}{3};P\left( {A|{A_2}} \right) = \frac{7}{{12}};P\left( {A|{A_3}} \right) = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}\).
Ta có \(P\left( A \right) = P\left( {{A_1}} \right).P\left( {A|{A_1}} \right) + P\left( {{A_2}} \right).P\left( {A|{A_2}} \right) + P\left( {{A_3}} \right).P\left( {A|{A_3}} \right)\)
\( = \frac{2}{9}.\frac{2}{3} + \frac{5}{9}.\frac{7}{{12}} + \frac{2}{9}.\frac{1}{2} = \frac{7}{{12}}\).
Suy ra \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {{A_2}} \right).P\left( {A|{A_2}} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{5}{9}.\frac{7}{{12}}}}{{\frac{7}{{12}}}} = \frac{5}{9}\).
