Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 12 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 5
21 câu hỏi
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là
\(x = 2\).
\(\left( { - 2;1} \right)\).
\(\left( {2; - 3} \right)\).
\(\left( { - 3;2} \right)\).
Dựa vào bảng biến thiên ta có \(\left( {2; - 3} \right)\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Chọn C.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ dưới đây
![Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ − 2 ; 4 ] và có đồ thị như hình vẽ dưới đây Hình ảnh 1 Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ − 2 ; 4 ] là: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/blobid3-1761054351.png)
Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\) là:
\( - 4\).
\(0\).
\(7\).
\(5\).
Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = 7\). Chọn C.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ sau
Tìm số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).
\(1\).
\(0\).
\(2\).
\(3\).
Dựa vào bảng biến thiên ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 8;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 2\).
Do đó \(y = 2;y = 8\) là các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chọn C.
Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng đường cong như hình vẽ?
\(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\).
\(y = {x^3} - 3x + 1\).
\(y = - {x^3} + 3x + 1\).
\(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x + 2}}\).
Dựa vào dạng đồ thị ta có đây là dạng đồ thị của hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\).
Lại có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty \). C họn B.
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\), tổng \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DD'} \) là vectơ nào dưới đây?
\(\overrightarrow {BD} \).
\(\overrightarrow {DB'} \).
\(\overrightarrow {BD'} \).
\(\overrightarrow {DB} \).
\(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {DB'} \) (quy tắc hình hộp). C họn B.
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho \(\overrightarrow a = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là
\(\left( {3; - 2;1} \right)\).
\(\left( { - 1;2; - 3} \right)\).
\(\left( {2; - 3; - 1} \right)\).
\(\left( {1; - 2;3} \right)\).
\(\overrightarrow a = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \) \( \Rightarrow \overrightarrow a = \left( { - 1;2; - 3} \right)\). C họn B.
Thời gian chạy bộ mỗi ngày trong thời gian gần đây của bạn Thuận được thống kê ở bảng sau:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là
\(20\).
\(30\).
\(15\).
\(25\).
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là \(R = 45 - 20 = 25\). Chọn D.
Biết rằng phương sai của một mẫu số liệu ghép nhóm là \({s^2} = 36,36\). Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm này là
\(6,19\).
\(6,03\).
\(2,08\).
\(6,01\).
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là \(s = \sqrt {36,36} \approx 6,03\). Chọn B.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = x\left( {x - 4} \right),\forall x \in \mathbb{R}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(f\left( 0 \right) = f\left( 4 \right)\).
\(f\left( 0 \right) > f\left( 2 \right)\).
\(f\left( 4 \right) > f\left( 0 \right)\).
\(f\left( 4 \right) > f\left( 2 \right)\).
Ta có \(f'\left( x \right) = x\left( {x - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có \(f\left( 0 \right) > f\left( 2 \right)\). C họn B.
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có đồ thị như hình vẽ. Chọn mệnh đề đúng
\(ac > 0\).
\(cd > 0\).
\(ab > 0\).
\(ad > bc\).
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = \frac{{ - d}}{c} > 0\) và tiệm cận ngang \(y = \frac{a}{c} > 0\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}ac > 0\\dc < 0\end{array} \right.\).
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;\frac{b}{d}} \right)\) có tung độ dương. Suy ra \(\frac{b}{d} > 0 \Leftrightarrow bd > 0\).
Đồ thị cắt trục hoành tại điểm \(\left( { - \frac{b}{a};0} \right)\) có hoành độ dương. Suy ra \( - \frac{b}{a} > 0 \Leftrightarrow ab < 0\). Chọn A.
Trong không gian \(Oxyz\) cho ba điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {2; - 1;3} \right),C\left( { - 3;5;1} \right)\). Tọa độ điểm \(D\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành là
\(\left( { - 2;8; - 3} \right)\).
\(\left( { - 2;2;5} \right)\).
\(\left( { - 4;8; - 5} \right)\).
\(\left( { - 4;8; - 3} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3;4} \right)\).
Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {DC} = \left( { - 3 - x;5 - y;1 - z} \right)\).
Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 - x = 1\\5 - y = - 3\\1 - z = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = 8\\z = - 3\end{array} \right.\). Suy ra \(D\left( { - 4;8; - 3} \right)\). Chọn D.
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho \(\overrightarrow a = \left( {2; - 3; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( { - 2;0;4} \right)\). Vectơ \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b \) có tọa độ là
\(\overrightarrow u = \left( { - 2; - 6;10} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( {10; - 6; - 14} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( {4; - 6; - 6} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( { - 2; - 6;6} \right)\).
Ta có \(2\overrightarrow a = \left( {4; - 6; - 2} \right);3\overrightarrow b = \left( { - 6;0;12} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow u = \left( {10; - 6; - 14} \right)\). Chọn B.
Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây
(a) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\).
(b) Có 3 giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \(f\left( x \right) = m\) có 3 nghiệm phân biệt.
(c) Đường cong trên là đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2\).
(d) Gọi \(M\)và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \([0;2]\) thì \(M + m = 0\)
a) Dựa vào đồ thị ta có hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\).
b) Để phương trình \(f\left( x \right) = m\) có 3 nghiệm phân biệt thì \( - 2 < m < 2\) mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\).
Vậy có 3 giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \(f\left( x \right) = m\) có 3 nghiệm phân biệt.
c) Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 2\\f\left( 2 \right) = - 2\\f'\left( 0 \right) = 0\\f'\left( 2 \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 2\\8a + 4b + 2c + d = - 2\\c = 0\\12a + 4b + c = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 3\\c = 0\\d = 2\end{array} \right.\).
Suy ra \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2\).
d) Ta có \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 2;m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = - 2\).
Suy ra \(M + m = 0\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( { - 5;0;7} \right),B\left( {1;2;1} \right),C\left( {16;5; - 2} \right)\). Khi đó:
(a) \(\overrightarrow {AB} = \left( {6;2; - 6} \right)\).
(b) Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) bằng \(158,7^\circ \).
(c) \(\left| {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} } \right| = 5\sqrt {22} \).
(d) Điểm \(N\left( {a;b;c} \right)\) thuộc đoạn \(AB\) thỏa mãn \(NA = 3NB\). Khi đó \(a + b + c = 4,5\).
a) \(\overrightarrow {AB} = \left( {6;2; - 6} \right)\).
b) Có \(\overrightarrow {AC} = \left( {21;5; - 9} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}\)\( = \frac{{6.21 + 2.5 + \left( { - 6} \right).\left( { - 9} \right)}}{{\sqrt {36 + 4 + 36} .\sqrt {{{21}^2} + 25 + {{\left( { - 9} \right)}^2}} }} = \frac{{190}}{{2\sqrt {19} .\sqrt {547} }} \approx 0,93\).
Suy ra \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) \approx 21,3^\circ \).
c) Có \(\overrightarrow {BC} = \left( {15;3; - 3} \right)\).
Có \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} = \left( {21;5; - 9} \right)\)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{21}^2} + {5^2} + {{\left( { - 9} \right)}^2}} = \sqrt {547} \).
d) Có \(\left\{ \begin{array}{l}N \in AB\\NA = 3NB\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow {NA} = - 3\overrightarrow {NB} \)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5 - a = - 3\left( {1 - a} \right)\\ - b = - 3\left( {2 - b} \right)\\7 - c = - 3\left( {1 - c} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2}\\b = \frac{3}{2}\\c = \frac{5}{2}\end{array} \right.\).
Suy ra \(a + b + c = 3,5\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {7^ - }} f\left( x \right) = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - 3\). Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {7^ - }} f\left( x \right) = - \infty \) \( \Rightarrow x = - 7\)là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - 3\)\( \Rightarrow y = - 3\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có tất cả 2 đường tiệm cận.
Trả lời: 2.
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {2;5;4} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(M'\left( {a;b;c} \right)\) đối xứng với \(M\) qua mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\). Tính \(a + b + c\).
Vì \(M'\) đối xứng với \(M\) qua mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) nên \(M\left( { - 2;5;4} \right)\).
Suy ra \(a = - 2;b = 5;c = 4\). Do đó \(a + b + c = 7\).
Trả lời: 7.
Một siêu thị thống kê số tiền (đơn vị: chục nghìn đồng) mà 44 khách hàng mua hàng ở siêu thị đó trong một ngày. Số liệu được ghi lại trong bảng sau:
Tổng của khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của bảng số liệu trên bằng bao nhiêu?
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là \(R = 70 - 40 = 30\).
Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{44}}\) là số tiền mà 44 khách hàng mua hàng ở siêu thị được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có \({Q_1} = \frac{{{x_{11}} + {x_{12}}}}{2}\) mà \({x_{11}};{x_{12}} \in \left[ {45;50} \right)\) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.
Ta có \({Q_1} = 45 + \frac{{\frac{{44}}{4} - 4}}{{14}}.5 = 47,5\).
Ta có \({Q_3} = \frac{{{x_{33}} + {x_{34}}}}{2}\) mà \({x_{33}};{x_{34}} \in \left[ {55;60} \right)\) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba.
Ta có \({Q_3} = 55 + \frac{{\frac{{3.44}}{4} - 26}}{{10}}.5 = 58,5\).
Suy ra \({\Delta _Q} = 58,5 - 47,5 = 11\).
Do đó \(R + {\Delta _Q} = 30 + 11 = 41\).
Trả lời: 41.
Một nhóm vận động viên chạy marathon đã ghi lại thời gian hoàn thành cự li 42 km như sau:
Tìm phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm này (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Ta có \(\overline x = \frac{{2.3,25 + 6.3,75 + 8.4,25 + 4.4,75}}{{2 + 6 + 8 + 4}} = 4,1\).
Phương sai của mẫu số liệu: \({s^2} = \frac{{2.{{\left( {3,25 - 4,1} \right)}^2} + 6.{{\left( {3,75 - 4,1} \right)}^2} + 8.{{\left( {4,25 - 4,1} \right)}^2} + 4.{{\left( {4,75 - 4,1} \right)}^2}}}{{2 + 6 + 8 + 4}} \approx 0,2\).
Trả lời: 0,2.
Cho một tấm nhôm hình vuông có cạnh là 30 cm. Người ta cắt bỏ ở bốn góc của tấm nhôm đó các hình vuông bằng nhau có cạnh là \(x\) cm, sau đó gập tấm nhôm lại để tạo thành một chiếc hộp không nắp. Tìm \(x\) để thể tích chiếc hộp là lớn nhất.
Chiều cao của chiếc hộp khi gập tấm nhôm là \(x\) cm.
Kích thước hai đáy của chiếc hộp là \(30 - 2x\) cm.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\30 - 2x > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x < 15\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x < 15\).
Thể tích chiếc hộp \(V\left( x \right) = x{\left( {30 - 2x} \right)^2} = 4{x^3} - 120{x^2} + 900x\).
Có \(V'\left( x \right) = 12{x^2} - 240x + 900\); \(V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 15\end{array} \right.\).
Bài toán trở thành tìm \(x\left( {0 < x < 15} \right)\) sao cho \(V\left( x \right)\) là lớn nhất.
Vậy cần cắt bỏ ở bốn góc của tấm nhôm đó các hình vuông bằng nhau có cạnh là 5 cm để chiếc hộp tạo thành có thể tích lớn nhất.
Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không giãn xuất phát từ điểm O trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm A, B, C trên đèn tròn sao cho OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Biết khối lượng các sợi dây không đáng kể, các lực căng của sợi dây đặt tại điểm O là \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) có độ lớn bằng nhau và bằng 20 N. Trọng lượng của chiếc đèn đó bằng bao nhiêu newton?
Giả sử \(\overrightarrow P \) là trọng lượng của chiếc đèn.
Do chiếc đèn ở vị trí cân bằng nên \(\overrightarrow P = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} \).
Ta có \({\left( {\overrightarrow P } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {{F_1}} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {{F_2}} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {{F_3}} } \right)^2} + 2\overrightarrow {{F_1}} \overrightarrow {{F_2}} + 2\overrightarrow {{F_2}} \overrightarrow {{F_3}} + 2\overrightarrow {{F_1}} \overrightarrow {{F_3}} \).
Mà \(\overrightarrow {{F_1}} \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {{F_2}} \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {{F_1}} \overrightarrow {{F_3}} = 0\) nên \(\left| {\overrightarrow P } \right| = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|}^2}} = 20\sqrt 3 \) N.
Mà \(\overrightarrow {{F_1}} \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {{F_2}} \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {{F_1}} \overrightarrow {{F_3}} = 0\) nên \(\left| {\overrightarrow P } \right| = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}^2} + {{\trái| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|}^2}} = 20\sqrt 3 \) N.
Hai chiếc flycam được điều khiển cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc flycam thứ nhất nằm cách điểm xuất phát 3 m về phía nam và 2 m về phía đông, đồng thời cách mặt đất 5 m. Chiếc flycam thứ hai nằm cách điểm xuất phát 6 m về phía bắc và 6 m về phía tây, đồng thời cách mặt đất 5 m. Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc flycam, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất (coi như phẳng) có trục \(Ox\) hướng về phía nam, trục \(Oy\) hướng về phía đông và trục \(Oz\) hướng thẳng lên trời (đơn vị đo mỗi trục là mét). Trên mặt đất, người ta xác định được một vị trí sao cho tổng khoảng cách từ vị trí đó tới hai chiếc flycam ngắn nhất. Hỏi khoảng cách từ vị trí đó đến điểm xuất phát là bao nhiêu mét?
N
Chiếc flycam thứ nhất và thứ hai ở vị trí A, B.
Ta có \(A\left( {3;2;5} \right),B\left( { - 6; - 6;5} \right)\).
Gọi \(C\)là điểm đối xứng của \(A\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Khi đó \(C\left( {3;2; - 5} \right)\).
Gọi \(I = BC \cap \left( {Oxy} \right)\) là vị trí trên mặt đất sao cho tổng khoảng cách từ vị trí đó tới hai chiếc flycam ngắn nhất.
Ta có \(IA + IB = IC + IB \ge BC\) nên \(IA + IB\) ngắn nhất khi ba điểm \(B,C,I\) thẳng hàng.
Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( {9;8; - 10} \right)\).
Vì \(I \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow I\left( {x;y;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BI} = \left( {x + 6;y + 6; - 5} \right)\).
Ba điểm \(B,C,I\) thẳng hàng nên \(\frac{{x + 6}}{9} = \frac{{y + 6}}{8} = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{2}\\y = - 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I\left( { - \frac{3}{2}; - 2;0} \right)\).
Suy ra \(IO = 2,5\) m.
