Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 12 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề 8)
22 câu hỏi
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có điểm cực tiểu là
\[\left( {0\,;\,2} \right)\].
\(\left( {3\,;\, - 4} \right)\).
\({x_{CT}} = 3\).
\({y_{CT}} = - 4\).
Đáp án đúng là: B
Dựa vào bảng biến thiên, ta có đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có điểm cực tiểu là \(\left( {3\,;\, - 4} \right)\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ sau
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \[\left[ { - 1;2} \right]\] là
\[3\].
\[ - 1\].
\[1\].
\[2\]
Đáp án đúng là: A
Từ đồ thị hàm số ta có giá trị lớn nhất của hàm số \[f\left( x \right)\] trên đoạn \[\left[ { - 1;2} \right]\] là \[3\].
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\) là
\(y = - 2\)
\(x = - 1\)
\(x = 2\)
\(y = 1\)
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = 1\).
Suy ra \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Đường cong ở hình bên dưới là đồ thị của hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\)với \[a\],\[b\],\[c\],\[d\] là các số thực.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(y' > 0\),\(\forall x \ne 2\).
\(y' > 0\),\(\forall x \ne 3\).
\(y' < 0\),\(\forall x \ne 2\).
\(y' < 0\),\(\forall x \ne 3\).
Đáp án đúng là: C
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị là đường đi xuống từ trái qua phải trên các khoảng \(\left( { - \infty \,;\,2} \right)\) và \(\left( {2\,;\, + \infty } \right)\) nên \(y' < 0\,,\,\,\forall x \ne 2\).
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 5}}{{x - 1}}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;\,1} \right) \cup \left( {1\,;\,3} \right)\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;\,3} \right){\rm{\backslash }}\left\{ 1 \right\}\).
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - 1;\,1} \right)\)và \(\left( {1\,;\,3} \right)\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ 1 \right\}\).
Ta có \(y' = \frac{{\left( {2x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - 1;\,1} \right)\)và \(\left( {1\,;\,3} \right)\).
Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
\(y = \frac{{x - 1}}{x}\).
\(y = {x^3} + 3{x^2} - 4\).
\(y = - {x^3} + 3x - 4\).
\(y = - {x^3} + 3{x^2} - 4\).
Đáp án đúng là: D
+) Hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{x}\) không xác định tại \(x = 0\). Loại A
+) Hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 4\) có hệ số \[a = 1 > 0\]. Loại B
+) Ta có \(y = - {x^3} + 3x - 4 \Rightarrow y' = - 3{x^2} + 3\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\). Hàm số có hai điểm cực trị \(x = \pm 1\). Loại C
+) Ta có \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 4 \Rightarrow y' = - 3{x^2} + 6x\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\). Hàm số có hai điểm cực trị \(x = 0,\,x = 2\). Chọn D.
Trong không gian, cho hình hộp \(ABCD\,A'B'C'D'\). Vectơ đối của vectơ \[\overrightarrow {AA'} \]là
\[\overrightarrow {A'C'} \].
\[\overrightarrow {BA'} \].
\[\overrightarrow {BB'} \].
\[\overrightarrow {C'C} \].
Đáp án đúng là: D
Vectơ đối của vectơ \[\overrightarrow {AA'} \]là \[\overrightarrow {C'C} \].
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Biết \(A\left( {1;0;1} \right)\), \(C'\left( {4;5; - 5} \right)\). Tìm tọa độ tâm \(I\) của hình hộp.
\(I\left( {5;5; - 2} \right)\).
\(I\left( { - \frac{5}{2};\frac{5}{2}; - 2} \right)\).
\(I\left( {\frac{5}{2};\frac{5}{2};2} \right)\).
\(I\left( {\frac{5}{2};\frac{5}{2}; - 2} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có : \(I\) là trung điểm của \(AC'\)suy ra tọa độ điểm \(I\left( {\frac{5}{2};\frac{5}{2}; - 2} \right)\).
Cho tứ diện \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), \(SB\) vuông góc với đáy và \(SB = \sqrt 3 a\). Góc giữa hai vectơ \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right)\) là
\[60^\circ \].
\[30^\circ \].
\[45^\circ \].
\[90^\circ \].
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right) = \widehat {SAB}\).
Xét \(\Delta SBA\) vuông tại \(B\) ta có: \[\tan \left( {\widehat {SAB}} \right) = \frac{{SB}}{{AB}}\]\[ = \sqrt 3 \] . Suy ra: \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right) = 60^\circ \).
Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1;0; - 2} \right)\), \(B\left( {1; - 1;0} \right)\). Tìm toạ độ điểm \(C\)nằm trên trục \(Oz\) sao cho \(AB \bot BC\)?
\(\left( {0;0;1} \right)\).
\(\left( {0;0; - 1} \right)\).
\(\left( {0;0;\frac{1}{2}} \right)\).
\(\left( {0;0; - \frac{1}{2}} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Gọi \(C\left( {0;0;c} \right) \in Oz\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 1;2} \right)\), \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 1;1;c} \right)\).
Để \(AB \bot BC\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow - 1 + 2c = 0 \Rightarrow c = \frac{1}{2}\).
Thống kê chỉ số chất lượng không khí (AQI) tại một địa điểm vào các ngày trong tháng 6/2022 được cho trong bảng sau
Chỉ số AQI | \(\left[ {0;50} \right)\) | \(\left[ {50;100} \right)\) | \(\left[ {100;150} \right)\) | \(\left[ {150;200} \right)\) | \(\left[ {200;250} \right)\) |
Số ngày | 5 | 11 | 7 | 4 | 3 |
Khoảng biến thiên \(R\) của mẫu số liệu ghép nhóm trên là.
\(R = 50\).
\(R = 250\).
\(R = 150\).
\(R = 8\).
Đáp án đúng là: B
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:\(R = 250 - 0 = 250\) ( ngày).
Khẳng định nào sau đây sai?
Độ lệch chuẩn càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là căn bậc hai số học của phương sai.
Phương sai càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là căn bậc hai số học của độ lệch chuẩn.
Đáp án đúng là: D
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là căn bậc hai số học của phương sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
b) Hàm số \(g\left( x \right) = 2x - 3f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
c) \(f\left( {{{\sin }^2}x} \right) < f\left( {\frac{3}{2}} \right)\).
d) Hàm số \(y = f\left( {2 - 3x} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
a) Đ, b) S, c) S, d) S
a) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
b) Ta có \(g'\left( x \right) = 2 - 3f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0;2} \right)\), suy ra hàm số \(g\left( x \right) = 2x - 3f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
c) Ta có hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
Mà \(0 \le {\sin ^2}x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Rightarrow 0 \le {\sin ^2}x < \frac{3}{2},\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Rightarrow f\left( {{{\sin }^2}x} \right) > f\left( {\frac{3}{2}} \right)\).
d) Ta có \(y' = {\left( {2 - 3x} \right)^\prime } \cdot f'\left( {2 - 3x} \right) = - 3f'\left( {2 - 3x} \right)\).
Hàm số \(y = f\left( {2 - 3x} \right)\) nghịch biến \(y' = - 3f'\left( {2 - 3x} \right) < 0 \Leftrightarrow f'\left( {2 - 3x} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - 3x < 0\\2 - 3x > 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \frac{2}{3}\\x < 0\end{array} \right.\). Suy ra hàm số \(y = f\left( {2 - 3x} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {\frac{2}{3}; + \infty } \right)\).
Cho hàm số \(y = \frac{{x - {m^2} - 2}}{{x - m}}\) (với tham số \(m\)). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Khi \(m = 1\) hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
b) Khi \(m = 1\) thì trên đoạn \(\left[ {1;4} \right]\) hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{1}{2}\).
c) \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
d) Có 1 giá trị của tham số \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{x - {m^2} - 2}}{{x - m}}\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) bằng \( - 1\).
a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ
a) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\).
Ta có \(y' = \frac{{{m^2} - m + 2}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne m\).
Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;m} \right)\) và \(\left( {m; + \infty } \right)\).
Vậy khi \(m = 1\) hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
b) Bảng biến thiên
Với \(m = 1\) thì giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( 4 \right) = \frac{1}{3}\).
c) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - {m^2} - 2}}{{x - m}} = 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - {m^2} - 2}}{{x - m}} = 1\).
Suy ra \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
d) Để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{x - {m^2} - 2}}{{x - m}}\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) bằng \( - 1\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\\frac{{2 - {m^2}}}{{4 - m}} = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\{m^2} + m - 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\m = 2,m = - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m = - 3\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(M\left( {2;3; - 1} \right),N\left( { - 1;1;1} \right)\).
a) Hình chiếu của điểm \(M\) trên trục \(Oy\) có tọa độ là \(\left( { - 2;3;1} \right)\).
b) Gọi \(E\) là điểm đối xứng của điểm \(M\) qua \(N\). Tọa độ của điểm \(E\) là \(\left( { - 4; - 1;3} \right)\).
c) Cho \(P\left( {1;m - 1;3} \right)\). Tam giác \(MNP\) vuông tại N khi và chỉ khi \(m = 1\).
d) Điểm \(I\left( {a;b;c} \right)\) nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) thỏa mãn \(T = \left| {3\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {IN} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó \(2a + b + c = 9\).
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Hình chiếu của điểm \(M\) trên trục \(Oy\) có tọa độ là \(\left( {0;3;0} \right)\).
b) Vì \(N\) là trung điểm của \(ME\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 = \frac{{2 + {x_E}}}{2}\\1 = \frac{{3 + {y_E}}}{2}\\1 = \frac{{ - 1 + {z_E}}}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} = - 4\\{y_E} = - 1\\{z_E} = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow E\left( { - 4; - 1;3} \right)\).
c) Ta có \(\overrightarrow {NM} = \left( {3;2; - 2} \right);\overrightarrow {NP} = \left( {2;m - 2;2} \right)\).
\(\Delta MNP\) vuông tại \(N\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {NM} \cdot \overrightarrow {NP} = 0\)\( \Leftrightarrow 3 \cdot 2 + 2 \cdot \left( {m - 2} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot 2 = 0 \Leftrightarrow m = 1\).
d) Gọi \(J\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn \(3\overrightarrow {JM} - \overrightarrow {JN} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\left( {2 - x} \right) - \left( { - 1 - x} \right) = 0\\3\left( {3 - y} \right) - \left( {1 - y} \right) = 0\\3\left( { - 1 - z} \right) - \left( {1 - z} \right) = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{2}\\y = 4\\z = - 2\end{array} \right.\).
Suy ra \(J\left( {\frac{7}{2};4; - 2} \right)\).
Khi đó \(T = \left| {3\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {IN} } \right| = \left| {3\overrightarrow {IJ} + 3\overrightarrow {JM} - \overrightarrow {IJ} - \overrightarrow {JN} } \right| = \left| {2\overrightarrow {IJ} } \right| = 2IJ\).
\(T\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(I\) là hình chiếu của \(J\) trên \(\left( {Oxy} \right)\)\( \Leftrightarrow I\left( {\frac{7}{2};4;0} \right)\).
Vậy \(a = \frac{7}{2};b = 4;c = 0\). Suy ra \(2a + b + c = 11\).
Anh Bình đầu tư số tiền bằng nhau vào hai lĩnh vực kinh doanh A, B. Anh Bình thống kê số tiền thu được mỗi tháng trong vòng 40 tháng theo mỗi lĩnh vực cho kết quả như sau:
Số tiền (triệu đồng) | \[\left[ {15;20} \right)\] | \[\left[ {20;25} \right)\] | \[\left[ {25;30} \right)\] | \[\left[ {30;35} \right)\] | \[\left[ {35;40} \right)\] |
Số tháng đầu tư vào lĩnh vực A | 5 | 10 | 8 | 8 | 9 |
Số thángđầu tư vào lĩnh vực B | 6 | 8 | 9 | 8 | 9 |
a) Khoảng biến thiên về số tháng đầu từ vào lĩnh vực A và B ở mẫu số liệu trên bằng nhau.
b) Số tiền trung bình đầu tư vào lĩnh vực A lớn hơn số tiền trung bình đầu tư vào lĩnh vực B.
c) Phương sai của số tiền thu được khi đầu tư vào lĩnh vực A là \[46,9375\].
d) Anh Bình đầu tư vào lĩnh vực A rủi ro hơn đầu tư vào lĩnh vực B.
a) Đ, b) S, c) S, d) Đ
a) Khoảng biến thiên về số tháng đầu từ vào lĩnh vực A và B ở mẫu số liệu trên bằng nhau và bằng \(40 - 15 = 25\).
b)Số tiền trung bình thu được khi đầu tư vào lĩnh vực A là
\[\overline {{x_A}} = \frac{{5 \cdot 17,5 + 10 \cdot 22,5 + 8 \cdot 27,5 + 8 \cdot 32,5 + 9 \cdot 37,5}}{{40}} = 28,25\].
Số tiền trung bình thu được khi đầu tư vào lĩnh vực B là
\[\overline {{x_B}} = \frac{{6 \cdot 17,5 + 8 \cdot 22,5 + 9 \cdot 27,5 + 8 \cdot 32,5 + 9 \cdot 37,5}}{{40}} = 28,25\].
c) Phương sai của số tiền thu được khi đầu tư vào lĩnh vực A là
\[s_A^2 = \frac{1}{{40}}\left( {5 \cdot 17,{5^2} + 10 \cdot 22,{5^2} + 8 \cdot 27,{5^2} + 8 \cdot 32,{5^2} + 9 \cdot 37,{5^2}} \right) - 28,{25^2} = 45,6875\].
d) Độ lệch chuẩn của số tiền thu được khi đầu tư vào lĩnh vực A là
\[{s_A} = \sqrt {\frac{1}{{40}}\left( {5 \cdot 17,{5^2} + 10 \cdot 22,{5^2} + 8 \cdot 27,{5^2} + 8 \cdot 32,{5^2} + 9 \cdot 37,{5^2}} \right) - 28,{{25}^2}} = \frac{{\sqrt {731} }}{4}\].
Độ lệch chuẩn của số tiền thu được khi đầu tư vào lĩnh vực B là
\[{s_B} = \sqrt {\frac{1}{{40}}\left( {6 \cdot 17,{5^2} + 8 \cdot 22,{5^2} + 9 \cdot 27,{5^2} + 8 \cdot 32,{5^2} + 9 \cdot 37,{5^2}} \right) - 28,{{25}^2}} = \frac{{\sqrt {751} }}{4}\].
Như vậy, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về số tiền thu được hàng tháng khi đầu tư vào lĩnh vực B cao hơn khi đầu tư vào lĩnh vực A. Do đó, anh Bình đầu tư vào lĩnh vực B “rủi ro” hơn lĩnh vực A.
Gọi \(m,M\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}x - \sqrt {x + 1} \) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\). Tổng \(S = 2M - m\) bằng bao nhiêu?
Ta có \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}x - \sqrt {x + 1} \)\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} = \frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{{2\sqrt {x + 1} }}\).
Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = 1 \Leftrightarrow x = 0\).
Ta có \(f\left( 0 \right) = - 1;f\left( 3 \right) = - \frac{1}{2}\) và hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\).
Vậy \(M = - \frac{1}{2};m = - 1\)\( \Rightarrow S = 2M - m = 2\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right) + 1 = 0\).
Chi phí để loại \(x\left( \% \right)\) chất gây ô nhiễm là \(C\) (nghìn đô) với \(C\left( x \right) = \frac{{12x}}{{100 - x}}\). Chi phí để loại bỏ \(50\% \) chất gây ô nhiễm là bao nhiêu nghìn đô?
Khi \(x = 50\) thì \(C\left( {50} \right) = \frac{{12 \cdot 50}}{{100 - 50}} = 12\) (nghìn đô).
Vậy chi phí để loại bỏ 50% chất gây ô nhiên là 12 nghìn đô.
Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là \(100\;{\rm{km}}\). Vận tốc dòng nước là \(5\;\left( {{\rm{km/h}}} \right)\). Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là \(v\;\left( {{\rm{km/h}}} \right)\), \(\left( {v > 5} \right)\) thì năng lượng tiêu hao của cá trong \(t\) giờ được cho bởi công thức \(E\left( v \right) = c \cdot {v^3} \cdot t\), trong đó \(c\) là hằng số dương, \(E\) được tính bằng Jun. Biết rằng vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên thuộc khoảng \(\left( {a;b} \right)\) thì năng lượng tiêu hao của cá giảm. Hãy tính giá trị lớn nhất của \(b - a\) (kết quả làm tròn tới hàng phần mười).
Khi bơi ngược dòng vận tốc của cá là \(v - 5\) (km/h).
Thời gian để cá vượt khoảng cách 100 km là \(t = \frac{{100}}{{v - 5}}\left( {v > 5} \right)\).
Năng lượng tiêu hao của cá khi vượt khoảng cách 100 km là \(E\left( v \right) = c \cdot {v^3} \cdot \frac{{100}}{{v - 5}} = 100c \cdot \frac{{{v^3}}}{{v - 5}}\).
Xét hàm số \(y = E\left( v \right)\) ta có \(E'\left( v \right) = 100c \cdot \frac{{3{v^2}\left( {v - 5} \right) - {v^3}}}{{{{\left( {v - 5} \right)}^2}}} = 100c \cdot \frac{{{v^2}\left( {2v - 15} \right)}}{{{{\left( {v - 5} \right)}^2}}}\).
Có \(E'\left( v \right) = 0 \Leftrightarrow v = 7,5\) (do \(v > 5\)). Ta có bảng biến thiên
Vậy vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên thuộc khoảng \(\left( {5;7,5} \right)\) thì năng lượng tiêu hoa của cá giảm. Khi đó giá trị lớn nhất của \(b - a = 2,5\).
Trên hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\) với \(x > - 1\) mô tả chuyển động của một chiếc thuyền trên biển. Một trạm phát sóng đặt tại điểm \(I\left( { - 1; - 1} \right)\), biết hoành độ điểm \(M\)thuộc đồ thị \(\left( C \right)\) mà tại đó thuyền thu được sóng tốt nhất là \({x_0} = \frac{1}{{\sqrt[n]{a}}} - b\) (loại trừ các điều kiện ảnh hưởng đến việc thu phát sóng). Tính giá trị biểu thức \(P = a \cdot n + b\).
Ta có \(M \in \left( C \right)\)\( \Rightarrow M\left( {{x_0};{x_0} + \frac{1}{{{x_0} + 1}}} \right)\) với \({x_0} > - 1\).
Ta có \(I{M^2} = {\left( {{x_0} + 1} \right)^2} + {\left( {{x_0} + 1 + \frac{1}{{{x_0} + 1}}} \right)^2} = 2{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} + 2\).
Đặt \(t = {\left( {{x_0} + 1} \right)^2},t > 0\) thì khi đó \(I{M^2} = 2t + 2 + \frac{1}{t}\).
Xét hàm số \(y = 2t + 2 + \frac{1}{t}\) có \(y' = 2 - \frac{1}{{{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Bảng biến thiên
Để thuyền thu được sóng tốt nhất \( \Leftrightarrow IM\) ngắn nhất \( \Leftrightarrow {x_0} = \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}} - 1\).
Vậy \(n = 4;a = 2;b = 1 \Rightarrow a \cdot n + b = 9\).
Theo định luật II Newton (Vật lí 10 - Chân trời sáng tạo, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2023, trang 60): Gia tốc của một vật có cùng hướng với lực tác dụng lên vật. Độ lớn của gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật: \(\vec F = m\vec a\) trong đó \(\vec a\) là vectơ gia tốc \(\left( {{\rm{m}}/{{\rm{s}}^2}} \right),\vec F\) là vectơ lực (N), \(m\left( {{\rm{\;kg}}} \right)\) là khối lượng của vật.
Muốn truyền cho quả bóng có khối lượng \(0,5{\rm{\;kg}}\)một gia tốc \(50{\rm{\;m}}/{{\rm{s}}^2}\) thì cần một lực đá có độ lớn là bao nhiêu Newton?
Ta có \(\vec F = m\vec a\), suy ra \(\left| {\vec F\left| { = m} \right|\vec a} \right| = 0,5 \cdot 50 = 25\left( {{\rm{\;N}}} \right)\).
Vậy muốn truyền cho quả bóng khối lượng \(0,5{\rm{\;kg}}\) một gia tốc \(50{\rm{\;m}}/{{\rm{s}}^2}\) thì cần một lực đá có độ lớn là \(25{\rm{\;N}}\).
Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là 10 m, chiều rộng là 6m và chiều cao là 4 m. Một chiếc quạt được treo trên trần nhà sao cho là điểm chính giữa của phòng học.
Xét hệ trục tọa độ \(Oxyz\)có gốc (\(O \equiv A\)) trùng với một góc phòng và mặt phẳng (\(Oxy\)) trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét . Gọi \[I(a;b;c)\]là tọa độ của điểm treo quạt. Tính giá trị \(a + b + c\)?
Ta có \(C'(6;10;4)\), \(A'(0;0;4)\).
Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là trung điểm của \(A'C'\).
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{6 + 0}}{2} = 3\\{y_I} = \frac{{10 + 0}}{2} = 5\\{z_I} = \frac{{4 + 4}}{2} = 4\end{array} \right.\).
Vậy tọa độ của điểm treo quạt \(I(3;5;4)\)suy ra \(a + b + c = 12\).
