Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 12 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề 9)
22 câu hỏi
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( {2; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ; - 2} \right)\).
\(\left( { - 2; + \infty } \right)\).
\(\left( { - 2;1} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 2\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = + \infty \).
Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang phân biệt.
Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng \(x = 2\).
Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 2\)\( \Rightarrow \) đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của \(y = f\left( x \right)\).
Gọi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}\) trên nửa khoảng \(\left[ {1;\,{e^2}} \right)\) lần lượt là \(m\) và \(M\). Giá trị của biểu thức \(\ln \left( {m + M} \right)\)bằng
\[1\].
\[ - 1\].
\[e\].
\({e^{ - 1}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}\).
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = e\).
Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng \(\left[ {1;\,{e^2}} \right)\):
Vậy \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;{e^2}} \right)} f\left( x \right) = 0;\,M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;{e^2}} \right)} f\left( x \right) = \frac{1}{e}\).
\( \Rightarrow \ln \left( {m + M} \right) = \ln \frac{1}{e} = - 1\).
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
\(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\).
\(y = \frac{{1 - 2x}}{{x - 1}}\).
\(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\).
\(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\).
Đáp án đúng là: C
Dựa vào đồ thị ta thấy đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(x = - 1\) nên loại B và D.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tọa độ \(\left( {0; - 1} \right)\) chọn C.
Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\]. Vectơ nào dưới đây cùng phương với vectơ \[\overrightarrow {AB} \]?
\[\overrightarrow {CD} \].
\[\overrightarrow {B'C'} \] .
\[\overrightarrow {AD} \].
\[\overrightarrow {AC'} \].
Đáp án đúng là: A
![Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\]. Vectơ nào dưới đây cùng phương với vectơ \[ {AB} \]? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/12/blobid53-1734018803.png)
Vectơ cùng phương với \[\overrightarrow {AB} \]là \[\overrightarrow {CD} \], vì hai vectơ này có giá song song với nhau.
Trong không gian \(Oxyz\), cho vectơ \(\overrightarrow a = 3\overrightarrow i + 4\overrightarrow j - \overrightarrow k \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \)là
\(\overrightarrow a = \left( {3\;;\;4\;;\;1} \right)\).
\(\overrightarrow a = \left( {3\;;\;0\;;\;1} \right)\).
\(\overrightarrow a = \left( {3\;;\;4\;;\; - 1} \right)\).
\(\overrightarrow a = \left( {3\;;\;0\;;\;0} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \)là \(\overrightarrow a = \left( {3\;;\;4\;;\; - 1} \right)\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\vec a\left( { - 1;0;3} \right)\)và\(\vec b\left( {1;2; - 1} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\vec c = \vec a - \vec b\) là
\(\left( { - 1;0; - 2} \right)\).
\(\left( { - 2; - 2;4} \right)\).
\(\left( {2;2; - 4} \right)\).
\(\left( {0;2;2} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Vì \(\vec c = \vec a - \vec b = \left( { - 2; - 2;4} \right)\).
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\), \(M\) là trung điểm của \(BB'\). Đặt \(\overrightarrow {CA} = \vec a\), \(\overrightarrow {CB} = \vec b\), \(\overrightarrow {AA'} = \vec c\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow {AM} = \vec b + \vec c - \frac{1}{2}\vec a\).
\(\overrightarrow {AM} = \vec a - \vec c + \frac{1}{2}\vec b\).
\(\overrightarrow {AM} = \vec a + \vec c - \frac{1}{2}\vec b\).
\(\overrightarrow {AM} = \vec b - \vec a + \frac{1}{2}\vec c\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} \)\( = \vec b - \vec a + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} = \vec b - \vec a + \frac{1}{2}\vec c\).
Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \[I\left( { - 5;0;5} \right)\] là trung điểm của đoạn \[MN\], biết \[M\left( {1; - 4;7} \right)\]. Tìmtọa độ của điểm \[N\].
\[N\left( { - 10;4;3} \right)\].
\[N\left( { - 11; - 4;3} \right)\].
\[N\left( { - 2; - 2;6} \right)\].
\[N\left( { - 11;4;3} \right)\].
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[I\left( { - 5;0;5} \right)\] là trung điểm của đoạn \[MN\] nên ta có.
\[\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_M} + {y_N}}}{2}\\{z_I} = \frac{{{z_M} + {z_N}}}{2}\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2{x_I} - {x_M}\\{y_N} = 2{y_I} - {y_M}\\{z_N} = 2{z_I} - {z_M}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2 \cdot \left( { - 5} \right) - 1\\{y_N} = 2 \cdot 0 - \left( { - 4} \right)\\{z_N} = 2 \cdot 5 - 7\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = - 11\\{y_N} = 4\\{z_N} = 3\end{array} \right.\]. Suy ra \[N\left( { - 11;4;3} \right)\].
Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho vectơ \(\overrightarrow a = \left( {0; - 1;1} \right),\,\,\overrightarrow b = \left( { - 1;0; - m} \right)\). Có bao nhiêu giá trị thực của \(m\) để góc giữa vectơ \(\overrightarrow a \) và vectơ \(\overrightarrow b \) bằng \(60^\circ \)?
\(1\).
\(0\).
\(2\).
\(3\).
Đáp án đúng là: A
Ta có:\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} \Leftrightarrow \cos 60^\circ = \frac{{ - m}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {m^2}} }}\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{ - m}}{{\sqrt 2 .\sqrt {1 + {m^2}} }}\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\{m^2} - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow m = - 1\].
Một công ty xây dựng khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào. Kết quả khảo sát được ghi lại ở bảng sau:
Mức giá (triệu đồng/\[{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\]) | [10;14) | [14;18) | [18;22) | [22;26) | [26;30) |
Số khách hàng | 54 | 78 | 120 | 45 | 12 |
Khoảng biến thiên \(R\) của mẫu số liệu ghép nhóm trên là.
\(R = 4\).
\(R = 20\).
\(R = 9\).
\(R = 108\).
Đáp án đúng là: B
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:\(R = 30 - 10 = 20\) (triệu đồng /\({{\rm{m}}^{\rm{2}}}\)).
Độ lệch chuẩn bằng
bình phương của phương sai.
một nửa của phương sai.
căn bậc hai số học của phương sai.
nghịch đảo của phương sai.
Đáp án đúng là: C
Căn bậc hai số học của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có bảng biến thiên như hình vẽ
b)Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2.
c) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là \(I\left( {1;2} \right)\).
d) Có 2024 số nguyên \(m\) trên \(\left[ { - 2024;2024} \right]\) để phương trình \(\left| {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right| = m\) có hai nghiệm phân biệt.
a) S, b) S, c) Đ, d) S
a) Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
b) Hàm số không có giá trị nhỏ nhất.
c) Đồ thị hàm số nhận \(x = 1\) làm tiệm cận đứng và \(y = 2\) làm tiệm cận ngang nên tâm đối xứng của đồ thị là \(I\left( {1;2} \right)\).
d) Từ bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\) ta có bảng biến thiên của hàm số \(\left| {f\left( x \right)} \right|\) như sau (ở đây \({x_0} = - \frac{b}{a}\)).
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình \(\left| {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right| = m\) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(2 \ne m > 0\), do đó có 2023 giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa yêu cầu.
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x + 2025\), (tham số \(m\)). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau
a) Khi \(m = 1\) thì hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\).
b) Khi \(m = 1\) thì hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
c) Khi \(m = 1\) thì hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) bằng \( - 4\).
d) Có tất cả 1 giá trị nguyên của \(m\) để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
a) Đ, b) S, c) S, d) S
Ta có \(y' = 3{x^2} - 6mx + 3\left( {{m^2} - 1} \right)\).
Với \(m = 1\), ta có \(y' = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên,
a) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\).
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
c) Hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) bằng \(2021\).
d) Ta có \(y' = 3{x^2} - 6mx + 3\left( {{m^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = m - 1\\{x_2} = m + 1\end{array} \right.\).
Để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì \({x_1} \le 0 < {x_2}\) hoặc \(0 < {x_1} < {x_2}\).
TH1:\({x_1} \le 0 < {x_2}\)\( \Leftrightarrow m - 1 \le 0 < m + 1 \Leftrightarrow - 1 < m \le 1\). Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {0;1} \right\}\).
Bảng biến thiên
TH2: \(0 < {x_1} < {x_2}\)
Bảng biến thiên của hàm số
Hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 > 0\\y\left( {m + 1} \right) \le y\left( 0 \right)\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\{\left( {m + 1} \right)^3} - 3m{\left( {m + 1} \right)^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)\left( {m + 1} \right) + 2025 \le 2025\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\{\left( {m + 1} \right)^2}\left( {m - 2} \right) \le 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\\left[ \begin{array}{l}m \le 2\\m = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 1 < m \le 2\). Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 2\).
Vậy có tất cả 3 giá trị của \(m\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\Delta ABC\), biết \(A\left( { - 1;0;3} \right),B\left( {4;2;0} \right),C\left( {3;1; - 3} \right)\).
a) \(\overrightarrow {OA} = - \overrightarrow i + 3\overrightarrow k \).
b) \(G\left( {2;1;0} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
c)\(M\left( {a;b;c} \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {CB} \). Khi đó \(a + b + c = - 13\).
d)\(M\left( {a;b;c} \right) \in Ox\) sao cho \(BM\) vuông góc với đường thẳng \(AC\). Khi đó \(4{a^2} + {b^2} + {c^2} = 162.\)
a) Đ, b) Đ, c) S, d) S
a) \(\overrightarrow {OA} = - \overrightarrow i + 3\overrightarrow k \).
b) Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 1 + 4 + 3}}{3} = 2\\{y_G} = \frac{{0 + 2 + 1}}{3} = 1\\{z_G} = \frac{{3 + 0 - 3}}{3} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow G\left( {2;1;0} \right)\).
c) Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {a + 1;b;c - 3} \right)\), \(\overrightarrow {CB} = \left( {1;1;3} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {CB} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 3\\b = 3\\c - 3 = 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\\c = 12\end{array} \right.\)\( \Rightarrow a + b + c = 17\).
d) \(M\left( {a;b;c} \right) \in Ox \Rightarrow M\left( {a;0;0} \right)\).
Có \(\overrightarrow {BM} = \left( {a - 4; - 2;0} \right)\); \(\overrightarrow {AC} = \left( {4;1; - 6} \right)\).
Để \(BM\) vuông góc với đường thẳng \(AC\) khi
\(\overrightarrow {BM} \bot \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {BM} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\)\( \Leftrightarrow 4\left( {a - 4} \right) - 2 \cdot 1 = 0 \Leftrightarrow 4a = 18 \Leftrightarrow a = \frac{9}{2}\).
Do đó \(4{a^2} + {b^2} + {c^2} = 81\).
Bác tài xế A và bác tài xế B thống kê lại độ dài quãng đường (đơn vị: km) mà hai bác đã lái xe mỗi ngày trong một tháng ở bảng sau:
Độ dài quãng đường (km) | \(\left[ {50;100} \right)\) | \(\left[ {100;150} \right)\) | \(\left[ {150;200} \right)\) | \(\left[ {200;250} \right)\) | \(\left[ {250;300} \right)\) |
Số ngày bác tài A lái xe | 5 | 10 | 9 | 4 | 2 |
Số ngày bác tài B lái xe | 4 | 8 | 12 | 6 | 0 |
a) Khoảng biến thiên về độ dài quãng đường đi mỗi ngày của bác tài A và B ở mẫu số liệu trên bằng nhau.
b) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu về độ dài quãng đường mỗi ngày của bác tài A lớn hơn bác tài B
c) Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu về quãng đường mỗi ngày của bác tài B thuộc nhóm \(\left[ {150;200} \right)\).
d) Theo khoảng biến thiên thì độ dài quãng đường mỗi ngày của bác tài A phân tán hơn độ dài quãng đường mỗi ngày bác tài B.
a) S, b) S, c) Đ, d) Đ
a) Khoảng biến thiên về độ dài quãng đường đi của bác tài A là \(300 - 50 = 250\).
Khoảng biến thiên về độ dài quãng đường đi của bác tài B là \(250 - 50 = 200\).
b) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu về độ dài quãng đường mỗi ngày của bác tài A là \({Q_1} = 100 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 5}}{{10}} \cdot 50 = 112,5\).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu về độ dài quãng đường mỗi ngày của bác tài B là \({Q_1} = 100 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 4}}{8} \cdot 50 = 121,875\).
c) Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu về quãng đường mỗi ngày của bác tài B là \({x_{23}}\)nên thuộc nhóm \(\left[ {150;200} \right)\).
d) Vì khoảng biến thiên về độ dài quãng đường đi của bác tài A lớn hơn bác tài B nên mức độ phân tán về độ dài quãng đường bác A phân tán hơn bác B.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x - \sqrt {{x^2} - x} \). Tìm số đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Hàm số xác định và liên tục trên \(D = \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\). Ta có:
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - \sqrt {{x^2} - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 - \sqrt {1 - \frac{1}{x}} } \right) = 1\).
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f\left( x \right) - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x - \sqrt {{x^2} - x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{x + \sqrt {{x^2} - x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{1 + \sqrt {1 - \frac{1}{x}} }} = \frac{1}{2}\).
\( \Rightarrow y = x + \frac{1}{2}\)là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi \(x \to + \infty \).
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - \sqrt {{x^2} - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 + \sqrt {1 - \frac{1}{x}} } \right) = 3\).
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {f\left( x \right) - 3x} \right) = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} - x} } \right) = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{x - \sqrt {{x^2} - x} }} = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{1 + \sqrt {1 - \frac{1}{x}} }} = - \frac{1}{2}\).
\( \Rightarrow y = 3x - \frac{1}{2}\)là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi \(x \to - \infty \).
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận xiên.
Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(s\left( t \right) = 6{t^2} - {t^3}\). Vận tốc \(v\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm \(t\left( {\rm{s}} \right)\) bằng bao nhiêu giây?
Ta có \(v = s'\left( t \right) = 12t - 3{t^2}\); \(v'\left( t \right) = 12 - 6t\); \(v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2\).
Bảng biến thiên
Do đó \({v_{\max }} = 12\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) tại \(t = 2\left( {\rm{s}} \right)\).
Giả sử chi phí tiền xăng \(C\) (đồng) phụ thuộc tốc độ trung bình \(v\left( {{\rm{km/h}}} \right)\) theo công thức: \(C\left( v \right) = \frac{{5400}}{v} + \frac{3}{2}v\left( {0 < v \le 120} \right)\). Tài xế xe tải lái xe với tốc độ trung bình là bao nhiêu để tiết kiệm tiền xăng nhất?
Ta có \(C'\left( v \right) = - \frac{{5400}}{{{v^2}}} + \frac{3}{2} = \frac{{3\left( {v - 60} \right)\left( {v + 60} \right)}}{{2{v^2}}}\);
\(C'\left( v \right) = 0\)\( \Leftrightarrow v = - 60\)(loại) hoặc \(v = 60\) (nhận).
Trên khoảng \(\left( {0;60} \right)\), \(C'\left( v \right) < 0\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
Trên khoảng \(\left( {60;120} \right)\), \(C'\left( v \right) > 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng này.
Hàm số đạt cực tiểu tại \(v = 60,{C_{CT}} = C\left( {60} \right) = 180\).
Như vậy để tiết kiệm xăng nhất tài xế nên chạy xe với tốc độ trung bình là 60 km/h.
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\),\(B\left( {0;1;0} \right)\) và \(C\left( {0;0;1} \right)\). Điểm \(M\)là điểm thỏa mãn \(P = M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\).
Gọi \[M\left( {x;y;z} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = \left( {x - 1;y;z} \right)\\\overrightarrow {BM} = \left( {x;y - 1;z} \right)\\\overrightarrow {CM} = \left( {x;y;z - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A{M^2} = {(x - 1)^2} + {y^2} + {z^2}\\B{M^2} = {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2}\\C{M^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2}\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\]\[ = \left[ {{{(x - 1)}^2} + {y^2} + {z^2}} \right] + 2\left[ {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} + {z^2}} \right] - \left[ {{x^2} + {y^2} + {{\left( {z - 1} \right)}^2}} \right]\]
\[ = 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2x - 4y + 2z + 2\]\[ = 2{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} + 2{\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} - 1 \ge - 1\].
\( \Rightarrow {P_{\min }} = - 1 \Leftrightarrow \)\[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = 1\\z = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\]\( \Leftrightarrow M\left( {\frac{1}{2};1; - \frac{1}{2}} \right)\).
Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát \(2,5{\rm{\;km}}\) về phía nam và \({\rm{2\;km}}\) về phía đông, đồng thời cách mặt đất \(0,8{\rm{\;km}}\). Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát \(1,5{\rm{\;km}}\) về phía bắc và \(3{\rm{ km}}\) về phía tây, đồng thời cách mặt đất \(0,6{\rm{\;km}}\). Người ta cần tìm một vị trí trên mặt đất để tiếp nhiên liệu cho hai khinh khí cầu sao cho tổng khoảng cách từ vị trí đó tới hai khinh khí cầu nhỏ nhất. Giả sử vị trí cần tìm cách địa điểm hai khinh khí cầu bay lên là \(a\,{\rm{km}}\) theo hướng nam và \(b\,{\rm{km}}\) theo hướng tây. Tính tổng \(2a + 3b\).
Chọn hệ trục toạ độ \(Oxyz\) với gốc \(O\) đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất với trục \(Ox\) hướng về phía nam, trục \(Oy\) hướng về phía đông và trục \({\rm{Oz}}\) hướng thẳng đứng lên trời (tham khảo hình vẽ), đơn vị đo lấy theo kilômét.
Chiếc khinh khí cầu thứ nhất và thứ hai ở vị trí \(A,B\). Ta có \(A\left( {\frac{5}{2};2;\frac{4}{5}} \right),B\left( { - \frac{3}{2}; - 3;\frac{3}{5}} \right)\).
Gọi \(C\) là điểm đối xứng của \(A\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), \(C\left( {\frac{5}{2};2; - \frac{4}{5}} \right)\).
Khi đó \(I = BC \cap \left( {Oxy} \right)\).
\(\overrightarrow {BC} = \left( {4;5; - \frac{7}{5}} \right)\). \(I \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow I\left( {x;y;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BI} = \left( {x + \frac{3}{2};y + 3; - \frac{3}{5}} \right)\)
\(\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BI} \) cùng phương nên \(\frac{{x + \frac{3}{2}}}{4} = \frac{{y + 3}}{5} = \frac{3}{7} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{{14}}\\y = - \frac{6}{7}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{{14}}\\b = \frac{6}{7}\end{array} \right. \Rightarrow 2a + 3b = 3\).
Thời gian chạy tập luyện cự li \[100{\rm{ }}m\]của một vận động viên được cho trong bảng sau:
Thời gian ( giây) | \(\left[ {10;10,4} \right)\) | \(\left[ {10,4;10,8} \right)\) | \(\left[ {10,8;11,2} \right)\) | \(\left[ {11,2;11,6} \right)\) | \(\left[ {11,6;12,0} \right)\) |
Số lần chạy | 3 | 8 | 6 | 2 | 1 |
Tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Chọn giá trị đại diện cho nhóm số liệu ta có:
Giá trị đại diện | \(10,2\) | \(10,6\) | \(11\) | \(11,4\) | \(11,8\) |
Số lần chạy | 3 | 8 | 6 | 2 | 1 |
Thời gian trung bình mỗi lần chạy của vận động viên trên là
\(\overline x = \frac{1}{{20}}\left( {3 \cdot 10,2 + 8 \cdot 10,6 + 6 \cdot 11 + 2 \cdot 11,4 + 1 \cdot 11,8} \right) = 10,8\,\)( giây).
Phương sai của thời gian chạy của vận động viên trên là
\({s^2} = \frac{1}{{20}}\left( {3 \cdot 10,{2^2} + 8 \cdot 10,{6^2} + 6 \cdot {{11}^2} + 2 \cdot 11,{4^2} + 1 \cdot 11,{8^2}} \right) - 10,{8^2} = 0,168\).
