Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề 9)
13 câu hỏi
Phương trình nào sau đâylà phương trình bậc nhất hai ẩn?
\[2{x^2} + 2 = 0\].
\[3y - 1 = 5y\left( {y - 2} \right)\].
\(2x + \frac{y}{2} - 1 = 0.\)
\[\frac{3}{x} + y = 0.\]
Đáp án đúng là: C
Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \[ax + by = c\] với \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0\).
Phương trình \(2x + \frac{y}{2} - 1 = 0\) viết thành \(2x + \frac{1}{2}y = 1\), đây là phương trình bậc nhất hai ẩn với \[a = 2\] và \(b = \frac{1}{2}.\)
Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\2x - y = 4\end{array} \right.\]?
\[\left( { - 3\,;\,\,2} \right)\].
\[\left( {3\,;\,\,2} \right)\].
\[\left( {3\,;\,\, - 2} \right)\].
\[\left( { - 3\,;\,\, - 2} \right).\]
Từ phương trình thứ nhất ta có \[y = 5 - x\]. Thế vào phương trình thứ hai, ta được
\[2x - \left( {5 - x} \right) = 4\], tức là \[3x - 5 = 4\], suy ra \[3x = 9\] hay \[x = 3\].
Từ đó \[y = 5 - 3 = 2.\]
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \[\left( {3\,;\,\,2} \right).\]
Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{1}{{x + 2}} + 1 = \frac{2}{{x - 1}}\) là
\[x \ne - 2;{\rm{ }}x \ne 1\].
\[x \ne 2;{\rm{ }}x \ne 1\].
\[x \ne - 3;{\rm{ }}x \ne --2\].
\[x \ne 1;{\rm{ }}x \ne - 3\].
Vì \[x + 2 \ne 0\] khi \[x \ne - 2\] và \[x - 1 \ne 0\] khi \[x \ne 1\] nên điều kiện xác định của phương trình \(\frac{1}{{x + 2}} + 1 = \frac{2}{{x - 1}}\) là \[x \ne - 2\] và \[x \ne 1\].
Phát biểu “\(a\) không nhỏ hơn \(b\)” được biểu diễn bằng bất đẳng thức nào dưới đây?
\(a < b.\)
\(a \ge b.\)
\(a \le b.\)
\(a > b.\)
Đáp án đúng là: B
Phát biểu “\(a\) không nhỏ hơn \(b\)” tức là “\(a\) lớn hơn hoặc bằng \(b\)” được biểu diễn như sau: \(a \ge b.\)
Vậy chọn đáp án B.
Bất phương trình \(3x - 5 < 4x + 2\) có nghiệm là
\(x > - 7.\)
\(x < - 7.\)
\(x \ge - 7.\)
\(x \le - 7.\)
Ta có: \(3x - 5 < 4x + 2\)
\(3x - 4x < 2 + 5\)
\( - x < 7\) hay \(x > - 7.\)</>
Vậy bất đẳng thức có nghiệm là \(x > - 7.\)
Cho bất đẳng thức \(a > b\). Kết luận nào sau đây là không đúng?
\(2a > 2b.\)
\( - a < - b.\)
\(a - 3 < b - 3.\)
\(a - b > 0.\)
Đáp án đúng là: C
Với \(a > b\) thì \(a + \left( { - 3} \right) > b + \left( { - 3} \right)\) hay \(a - 3 > b - 3.\)
Cho \(\alpha = 40^\circ \) và \(\beta = 50^\circ .\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\sin \alpha = \sin \beta \).
\(\cos \alpha = \cos \beta \).
\(\tan \alpha = \cot \beta \).
\(\tan \alpha = \tan \beta \).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\alpha + \beta = 40^\circ + 50^\circ = 90^\circ \) nên \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc nhọn phụ nhau, do đó:
\(\sin \alpha = \cos \beta \) và \(\tan \alpha = \cot \beta \).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) và \(\widehat B = \alpha .\) Tỉ số \(\frac{{HA}}{{HC}}\) bằng:
\(\sin \alpha \).
\[\cos \alpha \].
\(\tan \alpha \).
\(\cot \alpha \).
Đáp án đúng là: D
Xét \(\Delta ACH\) vuông tại \[H,\] ta có \(\frac{{HA}}{{HC}} = \tan C\).
Mà \(\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ \) nên \(\frac{{HA}}{{HC}} = \tan C = \cot B = \cot \alpha \).
Vậy ta chọn phương án D.
(2,0 điểm) Giải các phương trình và bất phương trình sau:
a) \(\left( {\frac{2}{3}x + 6} \right)\left( {8 - 2x} \right) = 0.\)
b) \(\frac{3}{{x + 1}} - \frac{2}{{x - 2}} = \frac{{4x - 2}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\);
c) \[3\left( {x + 2} \right) \le x - 8\];
d) \(3\left( {x + 1} \right) + 2x\left( {x - 1} \right) < 2{x^2}\).
Hướng dẫn giải
a) \(\left( {\frac{2}{3}x + 6} \right)\left( {8 - 2x} \right) = 0\) \(\frac{2}{3}x + 6 = 0\) hoặc \(8 - 2x = 0\) \(\frac{2}{3}x = - 6\) hoặc \(2x = 8\) \(x = - 9\) hoặc \(x = 4\) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = - 9;\) \(x = 4\). b) \(\frac{3}{{x + 1}} - \frac{2}{{x - 2}} = \frac{{4x - 2}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\) Điều kiện xác định \(x + 1 \ne 0\) và \(x - 2 \ne 0\) hay \(x \ne - 1\) và \(x \ne 2\). Quy đồng mẫu hai vế của phương trình, ta được \(\frac{{3\left( {x - 2} \right) - 2\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{4x - 2}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\) Suy ra \(3\left( {x - 2} \right) - 2\left( {x + 1} \right) = 4x - 2\) \(3x - 6 - 2x - 2 = 4x - 2\) \[x - 8 = 4x - 2\] \[3x = - 6\] \[x = - 2\]. Giá trị \[x = - 2\] thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy nghiệm của phương trình là \[x = - 2\]. | c) \[3\left( {x + 2} \right) \le x - 8\] Ta có: \[3\left( {x + 2} \right) \le x - 8\] \[3x + 6 \le x - 8\] \[3x - x \le - 8 - 6\] \[2x \le \; - 14\] \[x \le - 7\]. Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \le - 7.\) d) \(3\left( {x + 1} \right) + 2x\left( {x - 1} \right) < 2{x^2}\) Ta có: \(3\left( {x + 1} \right) + 2x\left( {x - 1} \right) < 2{x^2}\) \(3x + 3 + 2{x^2} - 2x < 2{x^2}\) \(x + 3 + 2{x^2} - 2{x^2} < 0\) \(x + 3 < 0\) \(x < - 3\). Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x < - 3\). |
(3,0 điểm)
a) Cho \(4,2 < a < 4,3\). Chứng minh \(13,8 < 3a + 1,2 < 14,1.\)
b) Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2mx + y = m\\x - my = - 1 - 6m\end{array} \right.\). Tìm giá trị của tham số \(m\) để cặp số \(\left( { - 2;\,\,1} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
c) Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng \[68{\rm{ m}}.\] Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và chiều dài lên gấp ba thì chu vi khu vườn mới là \[178{\rm{ m}}.\] Tính diện tích ban đầu của khu vườn.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(4,2 < a < 4,3\)
\(3.4,2 < 3a < 3.4,3\)
\(12,6 < 3a < 12,9\)
\(12,6 + 1,2 < 3a + 1,2 < 12,9 + 1,2\)
\(13,8 < 3a + 1,2 < 14,1.\)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
b) Để cặp số \(\left( { - 2;\,\,1} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2mx + y = m\\x - my = - 1 - 6m\end{array} \right.\) thì \(x = - 2\) và \(y = 1\) phải thỏa mãn cả hai phương trình của hệ.
Thay \(x = - 2\) và \(y = 1\) vào hệ phương trình đã cho, ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2m \cdot \left( { - 2} \right) + 1 = m\\ - 2 - m \cdot 1 = - 1 - 6m\end{array} \right.\)
hay \(\left\{ \begin{array}{l} - 4m + 1 = m\\ - 2 - m = - 1 - 6m\end{array} \right.\) tức là \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 5m\\5m = 1\end{array} \right.\), suy ra \(m = \frac{1}{5}\).
Vậy để cặp số \[\left( { - 2\,;\,1} \right)\] là nghiệm của hệ phương trình đã cho thì \(m = \frac{1}{5}.\)
c) Gọi \[x\,\,\left( {\rm{m}} \right)\] là chiều rộng của khu vườn lúc đầu \[\left( {x > 0} \right).\]
\[y\,\,\left( {\rm{m}} \right)\] là chiều rộng của khu vườn lúc đầu \[\left( {y > 0} \right).\]
Khu vườn lúc đầu có chu vi bằng \[68{\rm{ m}}\] nên \[2x + 2y = 68\] hay \[x + y = 34\,\,\,\,\left( 1 \right)\]
Chiều rộng khu vườn sau khi tăng là \[2x\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]
Chiều dài khu vườn sau khi tăng là \[3y\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]
Chu vi của khu vườn sau khi tăng là \[2 \cdot 2x + 2 \cdot 3y = 178\] hay \[2x + 3y = 89{\rm{ }}\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 34\\2x + 3y = 89\end{array} \right.\).
Từ phương trình thứ nhất ta có \(x = 34 - y\). Thế vào phương trình thứ hai, ta được
\(2\left( {34 - y} \right) + 3y = 89\), tức là \(2y = 42\), suy ra \(y = 21\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)\).
Từ đó \(x = 34 - 21 = 13\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)\).
Khi đó, chiều rộng lúc ban đầu là 13 m và chiều dài lúc ban đầu là 21 m.
Diện tích ban đầu của khu vườn là: \(13 \cdot 21 = 273\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Vậy diện tích ban đầu của khu vườn là \(273\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\)
(1,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(A = \sin 35^\circ + \sin 67^\circ - \cos 23^\circ - \cos 55^\circ .\)
b) \(B = \frac{{\sin 10^\circ }}{{\cos 80^\circ }} - \frac{{\cos 20^\circ }}{{\sin 70^\circ }} + \frac{{\tan 15^\circ }}{{\cot 75^\circ }}.\)
Hướng dẫn giải
a) \(A = \sin 35^\circ + \sin 67^\circ - \cos 23^\circ - \cos 55^\circ \) \( = \sin 35^\circ + \sin 67^\circ - \sin \left( {90^\circ - 23^\circ } \right) - \sin \left( {90^\circ - 55^\circ } \right)\) \( = \sin 35^\circ + \sin 67^\circ - \sin 67^\circ - \sin 35^\circ = 0.\) Vậy \(A = 0.\) | b) \(B = \frac{{\sin 10^\circ }}{{\cos 80^\circ }} - \frac{{\cos 20^\circ }}{{\sin 70^\circ }} + \frac{{\tan 15^\circ }}{{\cot 75^\circ }}\) \( = \frac{{\sin 10^\circ }}{{\sin 10^\circ }} - \frac{{\cos 20^\circ }}{{\cos 20^\circ }} + \frac{{\tan 15^\circ }}{{\tan 15^\circ }}\) \( = 1 - 1 + 1 = 1.\) |
(1,5 điểm) Lúc 6 giờ sáng, bạn An đi từ nhà (điểm \[A)\] đến trường (điểm \[B)\] phải leo lên và xuống một con dốc đỉnh \(C\) được mô tả như hình vẽ dưới. Cho biết đoạn \[AB\] dài 762 m, \(\widehat {A\,\,} = 4^\circ ,\,\,\widehat {B\,} = 6^\circ .\)
a) Tính chiều cao con dốc (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).
b) Hỏi bạn An đến trường lúc mấy giờ (làm tròn kết quả đến phút)? Biết rằng tốc độ lên dốc là 4 km/h và tốc độ xuống dốc là 19 km/h.
Hướng dẫn giải
a) Kẻ \(CH \bot AB,\,\,H \in AB.\) Khi đó \(CH\) là chiều cao của con dốc.
⦁ Xét \(\Delta ACH\) vuông tại \[H,\] ta có: \({\rm{tan}}\widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AH}}\)
Suy ra \(AH = \frac{{CH}}{{{\rm{tan}}\widehat {CAH}}} = \frac{{CH}}{{{\rm{tan6}}^\circ }}\,\,({\rm{m}}).\) (1)
⦁ Xét \(\Delta BCH\) vuông tại \[H,\] ta có: \({\rm{tan}}\widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{BH}}\)
Suy ra \(BH = \frac{{CH}}{{{\rm{tan}}\widehat {CBH}}} = \frac{{CH}}{{{\rm{tan4}}^\circ }}\,\,({\rm{m}}).\) (2)
⦁ Từ (1) và (2) ta có: \(AH + BH = \frac{{CH}}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{{CH}}{{{\rm{tan4}}^\circ }}\) hay \(AB = CH \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{1}{{{\rm{tan4}}^\circ }}} \right)\)
Do đó \(762 = CH \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{1}{{{\rm{tan4}}^\circ }}} \right)\)
Suy ra \(CH = \frac{{762}}{{\frac{1}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{1}{{{\rm{tan4}}^\circ }}}} \approx 32{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Vậy chiều cao của con dốc là 32 m.
b) ⦁ Xét \(\Delta ACH\) vuông tại \[H,\] ta có: \({\rm{sin}}\widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AC}}\)
Suy ra \(AC = \frac{{CH}}{{{\rm{sin}}\widehat {CAH}}} \approx \frac{{{\rm{32}}}}{{{\rm{sin6}}^\circ }}{\rm{\;(m)}} = \frac{4}{{125{\rm{sin6}}^\circ }}{\rm{\;(km)}}{\rm{.}}\) (3)
Xét \(\Delta BCH\) vuông tại \[H,\] ta có: \({\rm{sin}}\widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{CB}}\)
Suy ra \(CB = \frac{{CH}}{{{\rm{sin}}\widehat {CBH}}} \approx \frac{{{\rm{32}}}}{{{\rm{sin4}}^\circ }}{\rm{\;(m)}} = \frac{4}{{125{\rm{sin4}}^\circ }}{\rm{\;(km)}}{\rm{.}}\) (4)
⦁ Thời gian lên dốc \[AC\] là: \[{t_{AC}} = \frac{{{S_{AC}}}}{{{v_{ld}}}} = \frac{{AC}}{{{v_{ld}}}} \approx \frac{4}{{125{\rm{sin6}}^\circ }}:4 = \frac{1}{{125{\rm{sin6}}^\circ }}\] (giờ).
Thời gian xuống dốc \(CB\) là: \[{t_{CB}} = \frac{{{S_{CB}}}}{{{v_{xd}}}} = \frac{{CB}}{{{v_{xd}}}} \approx \frac{4}{{125{\rm{sin4}}^\circ }}:19 = \frac{4}{{{\rm{2}}\,\,{\rm{375sin4}}^\circ }}\] (giờ).
Thời gian đi từ \(A\) đến \(B\) là:
\({t_{AB}} = {t_{AC}} + {t_{CB}} \approx \frac{1}{{125\sin 6^\circ }} + \frac{4}{{{\rm{2}}\,\,{\rm{375sin4}}^\circ }} \approx 0,1007\) (giờ) ≈ 6 phút.
Vậy bạn An đến trường lúc 6 giờ + 6 phút = 6 giờ 6 phút.
(0,5 điểm) Cho các số \[a,\,\,b,\,\,c\] không âm thỏa mãn \[a + b + c = 1\].
Chứng minh rằng \[T = {a^{2024}} + {b^{2023}} + {c^{2022}} - ab - bc - ca \le 1\].
Hướng dẫn giải
Vì \(a,b,c \ge 0\,;\,\,a + b + c = 1\) nên \(0 \le a,\,\,b,\,\,c \le 1\).
Suy ra \(\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right)\left( {c - 1} \right) \le 0\)
\(abc - \left( {ab + bc + ca} \right) + a + b + c - 1 \le 0\)
\(a + b + c - ab - bc - ac \le 1 - abc \le 1\).
Vì \(0 \le a,\,\,b,\,\,c \le 1\) nên \({a^{2023}} \le a\,;\,\,{b^{2023}} \le b\,;\,\,{c^{2023}} \le c.\)
Suy ra \(T \le a + b + c - ab - bc - ca \le 1\) hay \[{a^{2024}} + {b^{2023}} + {c^{2022}} - ab - bc - ca \le 1\].
Dấu xảy ra khi \(\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right) \in \left\{ {\left( {1\,;\,\,0\,;\,\,0} \right)\,;\,\,\left( {0\,;\,\,1\,;\,\,0} \right)\,;\,\,\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,1} \right)} \right\}\).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
