Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo (Tự luận) có đáp án - Đề 3

a) Để phương trình đã cho là phương trình bậc nhất hai ẩn thì \(2a \ne 0\) hoặc \( - \left( {3b + 1} \right) \ne 0,\) tức là \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne  - \frac{1}{3}.\)

b) Để đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( { - 7;6} \right)\) thì tọa độ điểm \(M\) thỏa mãn phương trình đã cho.

Thay \(x =  - 7;\,\,y = 6\) vào phương trình \(2ax - \left( {3b + 1} \right)y = a - 1,\) ta được:

\[2a \cdot \left( { - 7} \right) - \left( {3b + 1} \right) \cdot 6 = a - 1\]

\( - 14a - 18b - 6 = a - 1\)

\( - 15a - 18b = 5\)   (1)

Để đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(N\left( {4; - 3} \right)\) thì tọa độ điểm \(N\) thỏa mãn phương trình đã cho.

Thay \(x = 4;y =  - 3\) vào phương trình \(2ax - \left( {3b + 1} \right)y = a - 1,\) ta được:

\[2a \cdot 4 - \left( {3b + 1} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = a - 1\]

\(8a + 9b + 3 = a - 1\)

\(7a + 9b =  - 4\)   (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 15a - 18b = 5}\\{7a + 9b =  - 4}\end{array}} \right.\)

Nhân hai vế phương trình thứ hai với 2 ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 15a - 18b = 5}\\{14a + 18b =  - 8}\end{array}} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được:

\(\left( { - 15a - 18b} \right) + \left( {14a + 18b} \right) = 5 + \left( { - 8} \right)\)

\( - a =  - 3\)

  \(a = 3\).

Thay \(a = 3\) vào phương trình \(7a + 9b =  - 4,\) ta có:

\(7 \cdot 3 + 9b =  - 4\) hay \(9b =  - 25\) nên \(b =  - \frac{{25}}{9}.\)

Vậy \(a = 3\) và \(b =  - \frac{{25}}{9}.\)

a) \[2x\left( {3x - 1} \right) = \left( {3x - 1} \right)\]

 \(2x\left( {3x - 1} \right) - \left( {3x - 1} \right) = 0\)

         \(\left( {3x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0\)

\(3x - 1 = 0\) hoặc \(2x - 1 = 0\)

\(x = \frac{1}{3}\) hoặc \(x = \frac{1}{2}\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{1}{3}\) và \(x = \frac{1}{2}\).

b) Điều kiện xác định \(x \ne 0;\,\,x \ne 3.\)

\(\frac{{x + 3}}{{x - 3}} = \frac{3}{{{x^2} - 3x}} + \frac{1}{x}\)

\(\frac{{\left( {x + 3} \right)x}}{{x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{3}{{x\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{x - 3}}{{x\left( {x - 3} \right)}}\)

\(\left( {x + 3} \right)x = 3 + x - 3\)

\({x^2} + 3x = 3 + x - 3\)

\({x^2} + 2x = 0\)

\(x\left( {x + 2} \right) = 0\)

\(x = 0\) hoặc \(x + 2 = 0\)

\(x = 0\) hoặc \(x =  - 2\).

Đối chiếu ĐKXĐ suy ra nghiệm phương trình đã cho là \(x =  - 2\).

a) \[4x + 1 < 2x - 9\]

\[4x - 2x <  - 9 - 1\]

\[2x < \; - 10\]

\[x <  - 5\].

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x <  - 5.\)

b) \(3\left( {x - 2} \right) + 7x \le 4\left( {x + 1} \right) + 14\)

\(3x - 6 + 7x \le 4x + 4 + 14\)

\(10x - 6 \le 4x + 18\)

\(10x - 4x \le 18 + 6\)

\(6x \le 24\)

\(x \le 4\).

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \le 4\).

Gọi \(x,\,\,y\) lần lượt là số sản phẩm mà tổ I và tổ II làm được trong tháng 2 \[\left( {0 < x,{\rm{ }}y < 700} \right)\].

Tháng 2 hai tổ làm được 700 sản phẩm nên ta có: \[x + y = 700\] (sản phẩm) \[\left( 1 \right)\]

Số sản phẩm tổ I làm được trong tháng 3 là: \[x + 20\%  \cdot x = 1,2x\] (sản phẩm).

Số sản phẩm tổ II làm được trong tháng 3 là: \[y + 15\%  \cdot y = 1,15y\] (sản phẩm).

Tháng 3 hai tổ làm được 830 sản phẩm nên ta có: \[1,2x + 1,15y = 830\] (sản phẩm) \[\left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 700\\1,2x + 1,15y = 830\end{array} \right.\).

Từ phương trình thứ nhất ta có \(x + y = 700\) suy ra \(x = 700 - y\). Thế vào phương trình thứ hai, ta được:

\(1,2\left( {700 - y} \right) + 1,15y = 830\), suy ra \(0,05y = 10\) hay \(y = 200\) (thỏa mãn).

Từ đó \(x = 700 - y = 700 - 200 = 500\) (thỏa mãn).

Vậy trong tháng 2 tổ I làm được 500 sản phẩm, tổ II làm được 200 sản phẩm.

a) Hình tam giác có kích thước ba cạnh lần lượt là \(x + 2\,;\,\,x + 4\,;\,\,x + 5\) (đvđd).

Khi đó, chu vi hình tam giác là \(x + 2 + x + 4 + x + 5 = 3x + 11\) (đvđd).

Hình chữ nhật có chiều dài \(x + 3\) (đvđd) và chiều rộng \(x + 1\) (đvđd).

Khi đó, chu vi hình chữ nhật là \[2\left( {x + 3 + x + 1} \right) = 4x + 8\] (đvđd).

Vì chu vi của hình tam giác luôn lớn hơn chu vi của hình chữ nhật nên ta có \(3x + 11 > 4x + 8\).

Vậy bất phương trình cần tìm là: \(3x + 11 > 4x + 8\).

b) Giải bất phương trình:

\(3x + 11 > 4x + 8\)

\(4x - 3x < 11 - 8\)

\(x < 3.\)

Mà \(x\) là giá trị nguyên lớn nhất có thể nên \(x = 2.\)

Giả sử trong hình vẽ \(BC\) là độ cao của ngọn hải đăng so với mực nước biển thì \(AB\) là khoảng cách từ tàu đến chân ngọn hải đăng, góc nghiêng xuống \[\widehat {ACx} = 27^\circ \] nên \[\widehat {CAB} = 27^\circ .\]

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) có \(AB = BC \cdot \cot \widehat {CAB}\).

Suy ra \[AB = 149 \cdot \cot 27^\circ  \approx 292\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].

a) Xét \(\Delta AKC\) vuông tại \(K,\) ta có:

\(\sin C = \frac{{AK}}{{AC}},\,\,\cos C = \frac{{KC}}{{AC}},\)

\(\tan C = \frac{{AK}}{{KC}},\,\,\cot C = \frac{{KC}}{{AK}}.\)

b) Xét \(\Delta AKB\) vuông tại \(K,\) ta có: \(BK = AK \cdot \cot B.\)

Xét \(\Delta AKC\) vuông tại \(K,\) ta có: \(KC = AK \cdot \cot C.\)

Suy ra \(BC = BK + KC = AK \cdot \cot B + AK \cdot \cot C\)

Do đó \(BC = AK \cdot \left( {\cot B + \cot C} \right)\) nên \(AK = \frac{{BC}}{{\cot B + \cot C}}.\)

c) Kẻ \[DI\, \bot \,BD\] tại \[D\] \[(I\]thuộc đường thẳng \[BC)\].

Ta có \(\widehat {ADN} + \widehat {CDN} = 90^\circ ,\,\,\widehat {CDI} + \widehat {CDN} = 90^\circ .\) Suy ra \[\widehat {ADN} = \widehat {CDI}\].

Xét \[\Delta ADN\] và \[\Delta CDI\] có: \(\widehat {DAN} = \widehat {DCI} = 90^\circ ,\,\,\widehat {ADN} = \widehat {CDI}\)

Do đó  (g.g).

Suy ra \[\frac{{AD}}{{CD}} = \frac{{AN}}{{CI}} = \frac{{DN}}{{DI}}\] nên \[\frac{{A{D^2}}}{{C{D^2}}} = \frac{{D{N^2}}}{{D{I^2}}}.\]

Xét \(\Delta ADC\) vuông tại \(D,\) ta có: \[\cot \widehat {DAC} = \frac{{AD}}{{DC}}.\]

Vì \(CKAD\) là hình chữ nhật nên \(AD\,{\rm{//}}\,KC\) nên \[\widehat {ACB} = \widehat {DAC}\] (so le trong).

Suy ra \[{\cot ^2}\widehat {ACB} = {\cot ^2}\widehat {DAC} = {\left( {\frac{{AD}}{{DC}}} \right)^2} = \frac{{A{D^2}}}{{D{C^2}}} = \frac{{D{N^2}}}{{D{I^2}}}\].

Ta có: \[\frac{{{{\cot }^2}ACB}}{{D{N^2}}} + \frac{1}{{D{B^2}}} = \frac{{\frac{{D{N^2}}}{{D{I^2}}}}}{{D{N^2}}} + \frac{1}{{D{B^2}}} = \frac{1}{{D{I^2}}} + \frac{1}{{D{B^2}}} = \frac{{D{I^2} + D{B^2}}}{{D{I^2} \cdot D{B^2}}}\].

Xét \(\Delta BDI\) vuông tại \(D,\) theo định lí Pythagore, ta có: \(B{I^2} = D{I^2} + D{B^2}\).

Xét \(\Delta BCD\) vuông tại \(C,\) ta có \(\sin \widehat {DBC} = \frac{{CD}}{{BD}}.\)

Xét \(\Delta BDI\) vuông tại \(D,\) ta có \[\cos \widehat {DIB} = \frac{{DI}}{{BI}}.\]

Lại có \[\widehat {DBC} + \widehat {DIB} = 90^\circ \] nên \(\sin \widehat {DBC} = \cos \widehat {DIB}\) hay \(\frac{{CD}}{{BD}} = \frac{{DI}}{{BI}}.\)

Như vậy, \(CD \cdot BI = DI \cdot BD.\) Hay \(C{D^2} \cdot B{I^2} = D{I^2} \cdot B{D^2}.\)

Suy ra \[\frac{{{{\cot }^2}ACB}}{{D{N^2}}} + \frac{1}{{D{B^2}}} = \frac{{D{I^2} + D{B^2}}}{{D{I^2} \cdot D{B^2}}} = \frac{{B{I^2}}}{{D{I^2} \cdot D{B^2}}} = \frac{{B{I^2}}}{{C{D^2} \cdot B{I^2}}} = \frac{1}{{C{D^2}}}.\]

Vì \(CKAD\) là hình chữ nhật nên \(AK = DC.\) Do đó \[\frac{{{{\cot }^2}ACB}}{{D{N^2}}} + \frac{1}{{D{B^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}}.\]

Gọi \(x\) là số lượng khách đăng ký thêm, \(x > 0,\,\,x \in \mathbb{N}.\)

Khi đó, tổng số khách sẽ là \(80 + x\) (khách).

Cứ thêm một người thì giá chuyến du lịch còn lại là: \[5\,\,000\,\,000 - 50\,\,000 \cdot 1\] đồng/ người cho toàn bộ hành khách.

Thêm \(x\) người thì giá chuyến du lịch còn lại là: \[5\,\,000\,\,000 - 50\,\,000x\] đồng/người cho toàn bộ hành khách.

Doanh thu công ty du lịch thu được là:

\(T = \left( {80 + x} \right)\left( {5\,\,000\,\,000 - 50\,\,000x} \right) = 50\,\,000\left( {80 + x} \right)\left( {100 - x} \right)\) (đồng).

Để doanh thu cao nhất thì ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T.\)

⦁ Chứng minh bất đẳng thức: \(ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\,\left( * \right)\) với \(a,\,\,b\) là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - ab = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{4} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}\)

Với mọi \(a,\,\,b\) là các số không âm, ta có:

\({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) nên \(\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0\) suy ra \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b.\) Như vậy bất đẳng thức \(\left( * \right)\) đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức \(\left( * \right)\) vào biểu thức \(T = 50\,\,000\left( {80 + x} \right)\left( {100 - x} \right),\) ta được:

\[T = 50\,\,000\left( {80 + x} \right)\left( {100 - x} \right) \le 20\,\,000 \cdot {\left( {\frac{{80 + x + 100 - x}}{2}} \right)^2} = 648\,\,000\,\,000\].

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[80 + x = 100 - x\] hay \[x = 10\].

Vậy nếu đoàn khách có \(80 + 10 = 90\) người thì công ty du lịch đạt doanh thu cao nhất là \[648\,\,000\,\,000\] đồng.