Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo (Tự luận) có đáp án - Đề 1

a) Với \(m \ne 0,\) ta viết phương trình \(x + my = n\) về dạng \(y =  - \frac{1}{m}x + \frac{n}{m}\).

Do đó đồ thị hàm số \(y =  - \frac{1}{m}x + \frac{n}{m}\) biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn \(x + my = n\).

Nghiệm tổng quát của phương trình \(x + my = n\) là \(\left( {x;\,\, - \frac{1}{m}x + \frac{n}{m}} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý và \(m \ne 0.\)

b) Với \(m =  - 2;\,\,n = 1\) thì ta có \({d_1}:x - 2y = 1\).

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) thỏa mãn hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\\ - 2x + 3y =  - 1.\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2, ta được hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 4y = 2\\ - 2x + 3y =  - 1.\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được: \( - y = 1\) hay \(y =  - 1.\)

Thay \(y =  - 1\) vào phương trình \(x - 2y = 1,\) ta được: \(x - 2 \cdot \left( { - 1} \right) = 1\) hay \(x + 2 = 1,\) suy ra \(x =  - 1.\)

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) là\(\left( { - 1\,;\,\, - 1} \right).\)

a) \[\left( {3x + 2} \right)\left( {1 - x} \right) = 0\]

\(3x + 2 = 0\) hoặc \(1 - x = 0\)

\(3x =  - 2\) hoặc \(x = 1\)

\(x = \frac{{ - 2}}{3}\) hoặc \(x = 1\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = \frac{{ - 2}}{3};\,\,x = 1.\)

b) Điều kiện xác định \(x \ne 0;\,\,x \ne 3.\)

\(\frac{{x + 3}}{{x - 3}} = \frac{3}{{{x^2} - 3x}} + \frac{1}{x}\)

\(\frac{{\left( {x + 3} \right)x}}{{x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{3}{{x\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{x - 3}}{{x\left( {x - 3} \right)}}\)

\(\left( {x + 3} \right)x = 3 + x - 3\)

\({x^2} + 3x = 3 + x - 3\)

\({x^2} + 2x = 0\)

\(x\left( {x + 2} \right) = 0\)

\(x = 0\) hoặc \(x + 2 = 0\)

\(x = 0\) (không thỏa mãn) hoặc \(x =  - 2\) (thỏa mãn).

Vậy nghiệm phương trình đã cho là \(x =  - 2\).

a) \(3x - 8 < 4x - 12\)

 \(3x - 4x <  - 12 + 8\)

 \( - x <  - 4\)

   \(x > 4\).

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x > 4.\)

b) \[\frac{{4x - 1}}{2} + \frac{{6x - 19}}{6} \ge \frac{{9x - 11}}{3}\]

\[\frac{{3\left( {4x - 1} \right)}}{6} + \frac{{6x - 19}}{6} \ge \frac{{2\left( {9x - 11} \right)}}{6}\]

\[3\left( {4x - 1} \right) + 6x - 19 \ge 2\left( {9x - 11} \right)\]

\[12x - 3 + 6x - 19 \ge 18x - 22\]

\[12x + 6x - 18x \ge  - 22 + 3 + 19\]

                  \[0x \ge 0\].

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x \in \mathbb{R}.\)

Gọi \[x,{\rm{ }}y\] (bước) lần lượt là số bước mà anh Sơn và chị Hà đi bộ trong 1 phút\[\left( {x,{\rm{ }}y \in \mathbb{N}*;\,\,x > y} \right).\]

Trong 2 phút, anh Sơn đi được \(2x\) (bước); chị Hà đi được \(2y\) (bước).

Nếu đi cùng trong 2 phút thì anh Sơn đi nhiều hơn chị Hà 20 bước nên

\(2x - 2y = 20\) hay \(x - y = 10 & \left( 1 \right)\)

Trong 3 phút anh Sơn đi được \(3x\) (bước)

Trong 5 phút chị Hà đi được \(5y\) (bước)

Do chị Hà đi trong 5 phút thì nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước nên

\[5y - 3x = 160\] hay \[ - 3x + 5y = 160 &  & \left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 10\\ - 3x + 5y = 160\end{array} \right.\).

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(3,\) ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 3y = 30\\ - 3x + 5y = 160\end{array} \right..\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được: \(2y = 190\) nên \(y = 95\) (thỏa mãn).

Thay \(y = 95\) vào phương trình thứ nhất của hệ ban đầu, ta được:

\[x - 95 = 10\] suy ra \(x = 10 + 95 = 105\) (thỏa mãn).

Mỗi ngày anh Sơn đi bộ trong 1 giờ nên số bước anh Sơn đi là \(105 \cdot 60 = 6\,\,300\) (bước)

Mỗi ngày anh Sơn đi bộ trong 1 giờ nên số bước chị Hà đi là \(95 \cdot 60 = 5\,\,700\) (bước)

Vậy anh Sơn đạt được mục tiêu đề ra, còn chị Hà thì không đạt mục tiêu đề ra.

a) Gọi \(x\) là số câu trả lời đúng \(\left( {0 \le x \le 12,\,\,x \in \mathbb{N}} \right)\).

Khi đó, số câu trả lời sai là \(12 - x\) (câu hỏi).

Số điểm được cộng khi trả lời đúng \(x\) câu hỏi là \(5x\) (điểm)

Số điểm bị trừ khi trả lời đúng \(12 - x\) câu hỏi là \(2\left( {12 - x} \right)\) (điểm)

Khi bắt đầu cuộc thi mỗi thí sinh có sẵn 20 điểm nên số điểm thí

Theo đề bài, những thí sinh nào đạt từ 50 điểm trở lên sẽ được vào vòng tiếp theo nên ta có

\(20 + 5x - 2\left( {12 - x} \right) \ge 50\)

Vậy bất phương trình cần tìm là: \(20 + 5x - 2\left( {12 - x} \right) \ge 50\).

b) Giải bất phương trình:

\(20 + 5x - 2\left( {12 - x} \right) \ge 50\)

\(20 + 5x - 24 + 2x \ge 50\)

\(7x - 4 \ge 50\)

\(x \ge \frac{{54}}{7} \approx 7,714.\)

Vậy thí sinh muốn vào vòng tiếp theo cần trả lời đúng 8 câu hỏi trở lên.

Đặt \(BC = x\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

Khi đó \(AC = BC + 1 = x + 1\,\,\left( {{\rm{km}}} \right).\)

Xét \[\Delta ADC\] vuông tại \[C\] có

\[CD = BC \cdot \tan 40^\circ  = x\tan 40^\circ  & \left( 1 \right)\]

Xét \[\Delta BDC\] vuông tại \[C\] có

\[CD = AC \cdot \tan 32^\circ  = \left( {x + 1} \right)\tan 32^\circ  & \left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[x\tan 40^\circ  = \left( {x + 1} \right)\tan 32^\circ \]

\[x\tan 40^\circ  = x\tan 32^\circ  + \tan 32^\circ \]

\[x\left( {\tan 40^\circ  - \tan 32^\circ } \right) = \tan 32^\circ \]

\[x = \frac{{\tan 32^\circ }}{{\tan 40^\circ  - \tan 32^\circ }} \approx 2,45\,\,\left( {{\rm{km}}} \right).\]

Vậy ngọn núi cao khoảng \[2,45{\rm{ km}}.\]

a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) ta có:

\(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}},\,\,\cos B = \frac{{AB}}{{BC}},\)

\(\tan B = \frac{{AC}}{{AB}},\,\,\cot B = \frac{{AB}}{{AC}}.\)

b) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) theo định lí Pythagore, ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)

Suy ra \(A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {20^2} - {16^2} = 144.\) Do đó \(AB = 12{\rm{\;cm}}.\)

Theo câu a, ta có: \(\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{12}}{{20}} = \frac{3}{5}.\) Từ đó suy ra \(\widehat {B\,} \approx 53^\circ 8'.\)

Lại có: \(\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ \), suy ra \(\widehat {C\,} = 90^\circ  - \widehat {B\,} \approx 90^\circ  - 53^\circ 8' \approx 36^\circ 52'.\)

Vậy \(AB = 12{\rm{\;cm}},\,\,\widehat {B\,} \approx 53^\circ 8',\,\,\widehat {C\,} \approx 36^\circ 52'.\)

c) Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H,\) ta có: \(\cos B = \frac{{BH}}{{AB}}.\)

Xét \(\Delta MBH\) vuông tại \(M,\) ta có: \(\cos B = \frac{{BM}}{{BH}}.\)

Ta có: \({\cos ^3}B = \cos B \cdot \cos B \cdot \cos B = \frac{{AB}}{{BC}} \cdot \frac{{BH}}{{AB}} \cdot \frac{{BM}}{{BH}} = \frac{{BM}}{{BC}}.\)

Chứng minh tương tự, ta cũng có: \[{\cos ^3}C = \cos C \cdot \cos C \cdot \cos C = \frac{{AC}}{{BC}} \cdot \frac{{CH}}{{AC}} \cdot \frac{{CK}}{{CH}} = \frac{{CK}}{{BC}}.\]

Lại có \(\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ \) nên \(\cos C = \sin B,\) suy ra \[{\sin ^3}B = \frac{{CK}}{{BC}}.\]

Do đó \({\cos ^3}B + {\sin ^3}B = \frac{{BM}}{{BC}} + \frac{{CK}}{{BC}} = \frac{{BM + CK}}{{BC}}.\)

Suy ra \(BM + CK = BC\left( {{{\cos }^3}B + {{\sin }^3}B} \right).\)

 

Điểm trung bình của 40 học sinh là: \(\frac{{300}}{4} = 7,5\) (điểm).

Giả sử có một học sinh có điểm lớn hơn 30. Gọi điểm của học sinh đó là \[{a_k} > 30.\]

Điểm của các học sinh còn lại là \[{a_1},\,\,{a_2},\,\, \ldots ,\,\,{a_{k - 1}},\,\,{a_{k + 1}}\,\,,\,\, \ldots ,\,\,{a_{40}}.\]

Tổng điểm của các học sinh còn lại là: \[S = 300 - {a_k}.\]

Vì \[{a_k} > 30\] thì \[S < 300 - 30 = 270.\]

Số lượng học sinh còn lại là 39 nên trung bình điểm của các học sinh còn lại là:

\[M = \frac{S}{{39}} < \frac{{270}}{{39}} \approx 6,92.\]

Theo giả thiết, không có học sinh nào có điểm dưới 10.

Do đó, tổng điểm tối thiểu của 39 học sinh còn lại là: \[S\, \ge 10 \cdot 39 = 390.\]

Mà \[S < 270\] dẫn đến mâu thuẫn.

Vậy không có học sinh nào có điểm lớn hơn 30.