Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề 8)
11 câu hỏi
Giá trị \(x = 0\) và \(x = - 1\) là nghiệm của phương trình nào sau đây?
\(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\).
\(x\left( {x + 1} \right) = 0\).
\(x = 0\).
\(x\left( {x - 1} \right) = 0\).
Đáp án đúng là: B
Dễ dàng thấy rằng:
⦁ Giá trị \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\).
⦁ Giá trị \(x = 0\) và \(x = - 1\) là nghiệm của phương trình \(x\left( {x + 1} \right) = 0\).
⦁ Giá trị \(x = - 1\) không là nghiệm của phương trình \(x = 0\) và phương trình \(x\left( {x - 1} \right) = 0\)
Vậy ta chọn phương án B.
Phương trình \(0x + 7y = 14\) có nghiệm tổng quát là
\(\left( {x;\,\,2} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\).
\(\left( {2;\,\,y} \right)\) với \(y \in \mathbb{R}\).
\(\left( {x;\,\,0} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\).
\(\left( {0;\,\,y} \right)\) với \(y \in \mathbb{R}\).
Đáp án đúng là: A
Từ phương trình \(0x + 7y = 14\) ta có \(7y = 14\) suy ra \(y = 2\).
Như vậy, phương trình đã cho có nghiệm tổng quát là \(\left( {x;\,\,2} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\).
Cho tam giác \(MNP\) vuông tại \(M\). Khi đó \(\cos \widehat {MNP}\) bằng
\(\frac{{MN}}{{MP}}\).
\(\frac{{MP}}{{NP}}\).
\(\frac{{MN}}{{NP}}\).
\(\frac{{MP}}{{MN}}\).
Đáp án đúng là: C
Xét \(\Delta MNP\) vuông tại \(M\), ta có: \(\cos \widehat {MNP} = \frac{{MN}}{{NP}}\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = a,\,\,AC = b,\,\,AB = c\). Hệ thức nào sau đây là sai?
\(b = a \cdot \sin B = a \cdot \cos C\).
\(a = c \cdot \tan B = c \cdot \cot C\).
\({a^2} = {b^2} + {c^2}.\)
\(c = a \cdot \sin C = a \cdot \cos B\).
Đáp án đúng là: B
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) ta có: ⦁ \[B{C^2} = A{C^2} + A{B^2}\] hay \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) (định lí Pythagore); ⦁ \[AC = BC \cdot \sin B = BC \cdot \cos C\] hay \(b = a \cdot \sin B = a \cdot \cos C\); ⦁ \(AB = BC \cdot \sin C = BC \cdot \cos B\) hay \(c = a \cdot \sin C = a \cdot \cos B\); Như vậy các khẳng định A, C, D đều đúng. Ta chọn phương án B. |
|
Cho ba số \(a,\,\,b,\,\,c\) và \(a \le b.\)
a) \(a + c \le b + c.\)
b) \(ac \ge bc\) với \(c > 0.\)
c) \( - \frac{a}{c} \ge - \frac{b}{c}\) với \(c < 0.\)
d) \({a^2} \le {b^2}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đ;b) S;c) S; d) S.
Với \(a \le b,\) ta có:
⦁ \(a + c \le b + c.\) Do đó ý a) là đúng.
⦁ \(ac \le bc\) với \(c > 0.\) Do đó ý b) là sai.
⦁ \(\frac{a}{c} \ge \frac{b}{c}\) với \(c < 0,\) nên \( - \frac{a}{c} \le - \frac{b}{c}.\) Do đó ý c) là sai.
⦁ \(a - b \le 0\)
Chẳng hạn nếu \(a + b \le 0\) thì \(\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) \ge 0\) hay \({a^2} - {b^2} \ge 0\) nên \({a^2} \ge {b^2}.\)
Do đó ý d) là sai.
Cho hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 4\\2x - y = 11\end{array} \right.\] có nghiệm \[\left( {x\,;\,\,y} \right).\] Tính giá trị \[{x^2} - {y^2}\].
Hướng dẫn giải
Đáp số: \[ - 16.\]
Cách 2. Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 4\\2x - y = 11\end{array} \right.\]
Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được: \(5x = 15\), suy ra \(x = 3.\)
Thay \(x = 3\) vào phương trình \(3x + y = 4,\) ta được: \(3 \cdot 3 + y = 4,\) hay \(9 + y = 4,\) suy ra \(y = - 5.\)
Do đó \[{x^2} - {y^2} = {3^2} - {\left( { - 5} \right)^2} = 9 - 25 = - 16.\]
Biết \(0^\circ < \alpha < 90^\circ ,\) tính giá trị biểu thức \[A = \frac{{\sin \alpha + 3\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right)}}{{\sin \alpha - 2\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right)}}.\]
</>
Hướng dẫn giải
Đáp số: \[ - 1.\]
Theo tính chất tỉ số lượng giác hai góc nhọn phụ nhau, ta có \[\sin \alpha = \cos \left( {90^\circ - \alpha } \right).\]
Khi đó, ta có \[A = \frac{{\sin \alpha + 3\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right)}}{{\sin \alpha - 2\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right)}} = \frac{{\sin \alpha + 3\sin \alpha }}{{\sin \alpha - 2\sin \alpha }} = \frac{{4\sin \alpha }}{{ - \sin \alpha }} = - \,4.\]
(2,5 điểm)
1. Giải các phương trình sau:
a) \(\left( {\frac{1}{2}x - 1} \right)\left( {3 + 5x} \right) = 0.\)
b) \(\frac{{x + 3}}{{x + 1}} - \frac{{x - 1}}{x} = \frac{{{x^2} + 5x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\).
2. Giải các bất phương trình sau:
a) \(\frac{{3 - 2x}}{2} > 4\).
b) \[{\left( {x + 2} \right)^2}\; < x + {x^2}\;--3.\]
c) \[\frac{{4x - 1}}{2} + \frac{{6x - 19}}{6} \ge \frac{{9x - 11}}{3}.\]
Hướng dẫn giải
1. a) \(\left( {\frac{2}{3}x + 6} \right)\left( {8 - 2x} \right) = 0\) \(\frac{2}{3}x + 6 = 0\) hoặc \(8 - 2x = 0\) \(\frac{2}{3}x = - 6\) hoặc \(2x = 8\) \(x = - 9\) hoặc \(x = 4\) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = - 9;\) \(x = 4\). | 1. b) \(\frac{{x + 3}}{{x + 1}} - \frac{{x - 1}}{x} = \frac{{{x^2} + 5x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\) Điều kiện xác định \(x \ne 0\) và \(x + 1 \ne 0\) hay \(x \ne 0\) và \(x \ne - 1.\) Quy đồng mẫu hai vế của phương trình, ta được \(\frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{{x^2} + 5x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\) Suy ra \(x\left( {x + 3} \right) - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^2} + 5x + 1\) \({x^2} + 3x - \left( {{x^2} - 1} \right) = {x^2} + 5x + 1\) \[{x^2} + 3x - {x^2} + 1 = {x^2} + 5x + 1\] \(3x + 1 = {x^2} + 5x + 1\) \[{x^2} + 2x = 0\] \[x\left( {x + 2} \right) = 0\] \(x = 0\) hoặc \[x + 2 = 0\] \(x = 0\) hoặc \[x = - 2\] Đối chiếu ĐKXĐ suy ra \[x = - 2\] là nghiệm của phương trình. |
2. a) \(\frac{{3 - 2x}}{2} > 4\) \(\frac{{3 - 2x}}{2} \cdot 2 > 4 \cdot 2\) \(3 - 2x > 8\) \( - 2x > 5\) \(x < - \frac{5}{2}\). Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x < - \frac{5}{2}\). 2. b) \[{\left( {x + 2} \right)^2}\; < x + {x^2}\;--3\] \[{x^2} + 4x + 4\; < x + {x^2}\;--3\] \[\left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {4x - x} \right) < - 4 - 3\] \[3x < - 7\] \[x < - \frac{7}{3}\] Vậy nghiệm của bất phương trình là \[x < - \frac{7}{3}.\] | 2. c) \[\frac{{4x - 1}}{2} + \frac{{6x - 19}}{6} \ge \frac{{9x - 11}}{3}\] \[\frac{{3\left( {4x - 1} \right)}}{6} + \frac{{6x - 19}}{6} \ge \frac{{2\left( {9x - 11} \right)}}{6}\] \[3\left( {4x - 1} \right) + 6x - 19 \ge 2\left( {9x - 11} \right)\] \[12x - 3 + 6x - 19 \ge 18x - 22\] \[12x + 6x - 18x \ge - 22 + 3 + 19\] \[0x \ge 0\]. Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x \in \mathbb{R}.\) |
(2,0 điểm)
1. Tìm các hệ số \(x\) và \(y\) trong phản ứng hóa học đã được cân bằng sau:
\(x{\rm{FeO}} + y{{\rm{O}}_2}\mathop \to \limits^{{\rm{t}}^\circ } 2{\rm{F}}{{\rm{e}}_3}{{\rm{O}}_4}.\)
Từ đó, hãy hoàn thiện phương trình phản ứng hóa học sau khi được cân bằng.
2. Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:
Do ảnh hưởng của dịch Covid – 19 nên trong tháng hai cả hai tổ công nhân chỉ làm được 700 sản phẩm. Sang tháng ba, tình hình dịch ổn định tổ I vượt mức \[20\% ,\] tổ II vượt mức \[15\% \] nên cả hai tổ làm được 830 sản phẩm. Hỏi trong tháng hai mỗi tổ làm được bao nhiêu sản phẩm?
Hướng dẫn giải
1. Vì số nguyên tử của \({\rm{Fe}}\) và \({\rm{O}}\) ở cả hai vế của phương trình phản ứng phải bằng nhau nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 \cdot 3\\x + 2y = 2 \cdot 4\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6\\x + 2y = 8.\end{array} \right.\)
Thay \(x = 6\) vào phương trình \(x + 2y = 8,\) ta được:
\(6 + 2y = 8,\) suy ra \(2y = 2,\) nên \(y = 1.\)
Vậy \(x = 6\) và \(y = 1.\) Khi đó ta hoàn thiện phương trình phản ứng hóa học sau cân bằng như sau:
\({\rm{6FeO}} + {{\rm{O}}_2}\mathop \to \limits^{{\rm{t}}^\circ } 2{\rm{F}}{{\rm{e}}_3}{{\rm{O}}_4}.\)
2. Gọi \(x,\,\,y\) lần lượt là số sản phẩm mà tổ I và tổ II làm được trong tháng 2 \[\left( {0 < x,{\rm{ }}y < 700} \right)\].
Tháng 2 hai tổ làm được 700 sản phẩm nên ta có: \[x + y = 700\] (sản phẩm) \[\left( 1 \right)\]
Số sản phẩm tổ I làm được trong tháng 3 là: \[x + 20\% \cdot x = 1,2x\] (sản phẩm).
Số sản phẩm tổ II làm được trong tháng 3 là: \[y + 15\% \cdot y = 1,15y\] (sản phẩm).
Tháng 3 hai tổ làm được 830 sản phẩm nên ta có: \[1,2x + 1,15y = 830\] (sản phẩm) \[\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 700\\1,2x + 1,15y = 830\end{array} \right.\).
Từ phương trình thứ nhất ta có \(x + y = 700\) suy ra \(x = 700 - y\). Thế vào phương trình thứ hai, ta được:
\(1,2\left( {700 - y} \right) + 1,15y = 830\), suy ra \(0,05y = 10\) hay \(y = 200\) (thỏa mãn).
Từ đó \(x = 700 - y = 700 - 200 = 500\) (thỏa mãn).
Vậy trong tháng 2 tổ I làm được 500 sản phẩm, tổ II làm được 200 sản phẩm.
(2,5 điểm)
1. Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = 16\,{\rm{cm}},\,\,\widehat {ABC} = 45^\circ ,\,\,\widehat {ACB} = 30^\circ .\) Gọi \(N\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(A\) đến cạnh \(BC.\) Tính độ dài cạnh \(AN\) (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
2. Người ta cần lắp đặt một thiết bị chiếu sáng gắn trên tường cho một phòng triển lãm như hình vẽ. Thiết bị này có góc chiếu sáng là \(20^\circ \) và cần đặt cao hơn mặt đất là \(2,5\,\,{\rm{m}}.\) Người ta đặt thiết bị chiếu sáng này sát tường và được canh chỉnh sao cho trên mặt đất dải ánh sáng bắt đầu từ vị trí cách tường \(2\,\,{\rm{m}}\) (như hình vẽ). Tính độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Hướng dẫn giải
1) Từ \(B\) kẻ \(BK \bot AC\) tại \(K.\) Xét tam giác \(BCK\) vuông tại \(K\) nên \(BK = BC \cdot \sin C = 16 \cdot \sin 30^\circ = 8\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) Xét tam giác \(ABC\) có \(\widehat {BAK}\) là góc ngoài nên \(\widehat {BAK} = \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ .\) Tam giác \(ABK\) vuông tại \(K\) nên \(\widehat {BAK} + \widehat {ABK} = 90^\circ \). |
|
Do đó
\(\widehat {ABK} = 90^\circ - \widehat {BAK} = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ .\)
Ta có \(\cos \widehat {ABK} = \frac{{BK}}{{AB}}\) suy ra \(AB = \frac{{BK}}{{\cos \widehat {ABK}}} = \frac{8}{{\cos 15^\circ }} \approx 8,28\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
Tam giác \(ANB\) vuông cân tại \(N\) nên \(\widehat {ABN} = \widehat {BAN} = 45^\circ \); \(\sin \widehat {ABN} = \frac{{AN}}{{AB}}\).
Suy ra \(AN = AB \cdot \sin \widehat {ABK} \approx 8,28 \cdot \sin 45^\circ \approx 5,85\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Vậy \(AN \approx 5,85\,\,{\rm{cm}}\,.\)
2. Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\), ta có \(\tan \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{2}{{2,5}} = 0,8\) nên \(\widehat {BAC} \approx 38,7^\circ .\) Ta có \(\widehat {BAD} = \widehat {BAC} + \widehat {CAD} \approx 38,7^\circ + 20^\circ = 58,7^\circ .\) Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(B\), ta có \(BD = AB \cdot \tan \widehat {BAD} \approx 2,5 \cdot \tan 58,7^\circ \approx 4,1\,\,\left( {\rm{m}} \right).\) |
|
Do đó
\(CD = BD - BC \approx 4,1 - 2 = 2,1\,\,\left( {\rm{m}} \right).\)
Vậy độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất khoảng \(2,1\) mét.
(0,5 điểm) Cho tứ giác \(ABCD\) có \(\alpha \) là góc nhọn tạo bởi hai đường chéo, chứng minh rằng: \({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AC \cdot BD \cdot \sin \alpha .\)
Hướng dẫn giải
Gọi \(E\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD.\) Kẻ đường cao \(AH\) xuống \(BD\) và đường cao \(DK\) xuống \(AC\). Xét \(\Delta AEH\) vuông tại \(H\) có: \(AH = AE.\sin \alpha .\) Do đó \({S_{ADE}} = \frac{1}{2}DE \cdot AH = \frac{1}{2}DE \cdot AE \cdot \sin \alpha .\) Ta có: \(\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{ADC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}DK \cdot AE}}{{\frac{1}{2}DK \cdot AC}} = \frac{{AE}}{{AC}}\) |
|
Suy ra \({S_{ADC}} = \frac{{AC}}{{AE}} \cdot {S_{ADE}} = \frac{{AC}}{{AE}} \cdot \frac{1}{2}DE \cdot AE \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2}DE \cdot AC \cdot \sin \alpha .\)
Tương tự, ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}BE \cdot AC \cdot \sin \alpha \)
Khi đó: \({S_{ABCD}} = {S_{ADC}} + {S_{ABC}} = \frac{1}{2}DE \cdot AC \cdot \sin \alpha + \frac{1}{2}BE \cdot AC \cdot \sin \alpha \)
\( = \frac{1}{2}AC \cdot \left( {DE + BE} \right) \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2}AC \cdot BD \cdot \sin \alpha \).
Vậy \({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AC \cdot BD \cdot \sin \alpha .\)
