Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề 6)
11 câu hỏi
Điều kiện xác định của phương trình \[\frac{1}{{x - 2}} + \frac{x}{{x + 1}} = - \frac{1}{2}\] là
\(x \ne 2.\)
\(x \ne - 1.\)
\[x \ne 2\] và \(x \ne - 1.\)
\(x \ne 2\) và \(x \ne 0.\)
Vì \(x - 2 \ne 0\) khi \(x \ne 2\) và \(x + 1 \ne 0\) khi \(x \ne - 1\) nên ĐKXĐ của phương trình \[\frac{1}{{x - 2}} + \frac{x}{{x + 1}} = - \frac{1}{2}\] là \[x \ne 2\] và \(x \ne - 1.\)
Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn?
\[\frac{1}{x} - 2y = 3\].
\[xy - 2y = 0\].
\[\frac{x}{y}--\frac{1}{2}y = 0.\]
\(x - 2y = 0.\)
Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \[ax + by = c\] với \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0\).
Do đó phương trình bậc nhất hai ẩn trong các phương trình trên là: \(x - 2y = 0.\)
Cho tam giác \(MNP\) vuông tại \(M\) có đường cao \(MH\) và \(\widehat P = \alpha \). Tỉ số \(\frac{{PH}}{{MP}}\) bằng
\(\cot \alpha \).
\[\cos \alpha \].
\(\sin \alpha \).
\(\tan \alpha .\)
Đáp án đúng là: B
Xét \(\Delta MPH\) vuông tại \[H,\] ta có:
\(\cos P = \frac{{PH}}{{MP}}\) hay \(\cos \alpha = \frac{{PH}}{{MP}}.\)
Vậy chọn đáp án B.
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A.\] Hệ thức nào sau đây không đúng?
\(AB = BC \cdot \sin C.\)
\(AC = AB \cdot \cot C.\)
\(AB = AC \cdot \tan B.\)
\(AB = BC \cdot \cos B.\)
Đáp án đúng là: B Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], ta có \(AB = BC \cdot \sin C = BC \cdot \cos B = AC \cdot \tan C\,;\) \(AC = BC \cdot \cos C = AB \cdot \cot C.\) |
|
Cho hai số \(a,\,\,b\) và \[a > 1 > b.\]
a) \(a - 1 > 0.\)
b) \(a - b < 0.\)
c) \(\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) < 0.\)
d) \(a - 2b < - 1.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đ;b) S;c) Đ; d) S.
⦁ Do \(a > 1\) nên \(a - 1 > 0\). Do đó ý a) là đúng.
⦁ Do \(a > b\) nên \(a - b > 0\). Do đó ý b) là sai.
⦁ Do \(1 > b\) hay \(b < 1\) nên \(b - 1 < 0\), mà \(a - 1 > 0\) suy ra \(\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) < 0.\) Do đó ý c) là đúng.
⦁ Ta có \(a - 2b = \left( {a - 1} \right) - 2\left( {b - 1} \right) - 1\)
Do \(b - 1 < 0\) nên \( - 2\left( {b - 1} \right) > 0\).</>
Lại có \(a - 1 > 0\) nên \(\left( {a - 1} \right) - 2\left( {b - 1} \right) > 0,\) suy ra \(\left( {a - 1} \right) - 2\left( {b - 1} \right) - 1 > - 1\)
Như vậy \(2a - b > - 1.\) Do đó ý d) là sai.
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\3x + y = 7\end{array} \right.\) có nghiệm \[\left( {x\,;\,\,y} \right).\] Tính tổng \[x + y\].
Hướng dẫn giải
Đáp số: 3.
Cách 2. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\3x + y = 7\end{array} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được: \(4x = 8\), suy ra \(x = 2.\)
Thay \(x = 2\) vào phương trình \(x - y = 1,\) ta được: \(2 - y = 1,\) suy ra \(y = 1.\)
Do đó \[x + y = 2 + 1 = 3.\]
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 5{\rm{\;cm}},\,\,BC = 12{\rm{\;cm}}\) và \(CA = 13{\rm{\;cm}}.\) Tính số đo góc \(C\) (làm tròn kết quả đến phút).
Hướng dẫn giải
Đáp số: \(\widehat {C\,} \approx 22^\circ 37'.\)
Xét \(\Delta ABC\) có \(A{B^2} + B{C^2} = {5^2} + {12^2} = 169\);
\(C{A^2} = {13^2} = 169.\)
Do đó \(A{B^2} + B{C^2} = C{A^2},\) nên theo định lí Pythagore đảo ta có \(\Delta ABC\) vuông tại \(B.\)
Khi đó, ta có: \[\sin C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{{13}}.\]
Sử dụng MTCT, ta bấm lần lượt các phím:
Trên màn hình cho kết quả \(22^\circ 37'11.51'',\) làm tròn đến phút ta được \(22^\circ 37'.\)
(2,5 điểm)
1. Giải các phương trình sau:
a) \(\left( {2 - x} \right)\left( {x + 3} \right) = 0.\)
b) \(\frac{{x + 2}}{{x - 2}} = \frac{{x - 2}}{{x + 2}} + \frac{{16}}{{{x^2} - 4}}.\)
2. Giải các bất phương trình sau:
a) \(8x + 2 < 7x - 1\).
b) \(\frac{{15 - 6x}}{3} > 5\).
c) \[\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) < \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 2} \right) - 2{x^2} + 4\].
Hướng dẫn giải
1. a) \(\left( {2 - x} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\) \(2 - x = 0\) hoặc \(x + 3 = 0\) \(x = 2\) hoặc \(x = - 3.\) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 2;\,\,x = - 3.\) | 1. b) Điều kiện xác định: \(x \ne 2,\,\,x \ne - 2.\) \(\frac{{x + 2}}{{x - 2}} = \frac{{x - 2}}{{x + 2}} + \frac{{16}}{{{x^2} - 4}}\) \(\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{16}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\) \({\left( {x + 2} \right)^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + 16\) \({x^2} + 4x + 4 = {x^2} - 4x + 4 + 16\) \(8x = 16\) \(x = 2\) (không thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. |
2. a) \(8x + 2 < 7x - 1\) \(8x - 7x < - 1 - 2\) \(x < - 3\). Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x < - 3\). b) \(\frac{{15 - 6x}}{3} > 5\) \(\frac{{15 - 6x}}{3} \cdot 3 > 5 \cdot 3\) \(15 - 6x > 15\) \( - 6x > 0\) \(x < 0\). | 2. c) \[\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) < \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 2} \right) - 2{x^2} + 4\] \[{x^3} + 8 < {x^3} + 2{x^2} + x + 2 - 2{x^2} + 4\] \[{x^3} - {x^3} + 2{x^2} - 2{x^2} - x < 2 + 4 - 8\] \[ - x < - 2\] \(x > 2\). Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x > 2\). |
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x < 0\).
(2,0 điểm)
1. Tìm các hệ số \(x\) và \(y\) trong phản ứng hóa học đã được cân bằng sau:
\[x{\rm{Fe}}{\left( {{\rm{OH}}} \right)_3} \to {\rm{F}}{{\rm{e}}_2}{{\rm{O}}_3} + y{{\rm{H}}_2}{\rm{O}}.\]
Từ đó, hãy hoàn thiện phương trình phản ứng hóa học sau khi được cân bằng.
2. Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:
Một đoàn khách du lịch gồm 40 người dự định tham quan chùa Hương (Hà Nội) bằng cáp treo khứ hồi (gồm lượt lên và lượt xuống). Nhưng khi tới nơi có 5 bạn trẻ muốn khám phá bằng đường bộ khi leo lên còn lúc xuống sẽ đi cáp treo để trải nghiệm nên 5 bạn chỉ mua vé lượt xuống, do đó đoàn đã chi ra \[8{\rm{ }}450{\rm{ }}000\] đồng để mua vé. Hỏi giá vé cáp treo khứ hồi và giá vé cáp treo 1 lượt là bao nhiêu? Biết rằng giá vé 1 lượt rẻ hơn giá vé khứ hồi là \[70{\rm{ }}000\] đồng.
(Giá vé tính tại thời điểm tháng 2 năm 2024)
Hướng dẫn giải
1. Vì số nguyên tử của \({\rm{Fe,}}\,\,{\rm{O}}\) và \({\rm{H}}\) ở cả hai vế của phương trình phản ứng phải bằng nhau nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\3x = 3 + y\\3x = 2y\end{array} \right.\).
Từ hai phương trình \(3x = 3 + y\) và \(3x = 2y\) ta có phương trình \(3 + y = 2y,\) suy ra \(y = 3.\)
Vậy \(x = 2\) và \(y = 3.\) Khi đó ta có phương trình phản ứng hóa học sau khi được cân bằng như sau:
\[2{\rm{Fe}}{\left( {{\rm{OH}}} \right)_3} \to {\rm{F}}{{\rm{e}}_2}{{\rm{O}}_3} + 3{{\rm{H}}_2}{\rm{O}}.\]
2. Gọi \(x\) (đồng) và \(y\) (đồng) lần lượt là giá vé cáp treo khứ hồi và giá vé 1 lượt \(\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right).\)
Do giá vé 1 lượt rẻ hơn giá vé khứ hồi là \[70{\rm{ }}000\] đồng nên ta có phương trình:
\(x - y = 70\,\,000.\,\,\,\left( 1 \right)\)
Do trong đoàn \(40\) người chỉ có \(5\) người mua vé cáp treo \(1\) lượt cho lượt xuống nên đã có \(40 - 5 = 35\) người mua vé cáp treo khứ hồi.
Khi đó, số tiền cần trả để mua \(35\) vé cáp treo khứ hồi và \(5\) vé cáp treo 1 lượt là: \(35x + 5y\) (đồng).
Theo bài, cả đoàn khách du lịch này đã chi ra \[8{\rm{ }}450{\rm{ }}000\] đồng để mua vé nên ta có phương trình:
\(35x + 5y = 8{\rm{ }}450{\rm{ }}000.\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 70\,\,000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\35x + 5y = 8{\rm{ }}450{\rm{ }}000\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình \(\left( 1 \right)\) với \(5,\) ta được hệ phương trình mới là: \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 5y = 350\,\,000\\35x + 5y = 8{\rm{ }}450{\rm{ }}000.\end{array} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được:
\(40x = 8\,\,800\,\,000,\) suy ra \(x = 220\,\,000\) (thỏa mãn).
Thay \(x = 220\,\,000\) vào phương trình \(\left( 1 \right),\) ta được:
\(220\,\,000 - y = 70\,\,000,\) suy ra \(y = 150\,\,000\) (thỏa mãn).
Do đó hệ phương trình trên có nghiệm là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {220\,\,000;\,\,150\,\,000} \right).\)
Vậy giá vé cáp treo khứ hồi và giá vé cáp treo 1 lượt lần lượt là \(200\,\,000\) đồng và \(150\,\,000\) đồng.
(2,5 điểm)
1. Cho tam giác \(ABC\) có đường cao \(AH = 5\,\,{\rm{cm}},\,\,\widehat B = 70^\circ ,\,\,\widehat C = 35^\circ .\) Tính độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\) (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
2. Một người quan sát ở đài hải đăng cao \(149\,\,{\rm{m}}\) so với mực nước biển nhìn thấy một con tàu ở xa với một góc nghiêng xuống đất là \(27^\circ .\) Hỏi tàu đang đứng cách chân hải đăng là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Hướng dẫn giải
1. Xét tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\) nên \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}\) Suy ra \(AB = \frac{{AH}}{{\sin B}} = \frac{5}{{\sin 70^\circ }} \approx 5,32\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\) Xét tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\) nên \(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}}\) Suy ra \(AC = \frac{{AH}}{{\sin C}} = \frac{5}{{\sin 35^\circ }} \approx 8,72\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\) |
|
Áp dụng hệ thức giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông trong tam giác vuông, ta có
\(BH = AH \cdot \cot B = 5 \cdot \cot 70^\circ \approx 1,82\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
\(CH = AH \cdot \cot C = 5 \cdot \cot 35^\circ \approx 7,14\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
Do đó \(BC = BH + HC \approx 1,82 + 7,14 = 8,96\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
Vậy độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\) là \(AB \approx 5,32\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{,}}\,\,AC \approx 8,72\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{,}}\,\,BC \approx 8,96\,\,{\rm{cm}}\,.\)
2. Giả sử trong hình vẽ \(BC\) là độ cao của ngọn hải đăng so với mực nước biển thì \(AB\) là khoảng cách từ tàu đến chân ngọn hải đăng, góc nghiêng xuống \[\widehat {ACx} = 27^\circ \] nên \[\widehat {CAB} = 27^\circ .\] Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) có \(AB = BC \cdot \cot \widehat {CAB}\). Suy ra \[AB = 149 \cdot \cot 27^\circ \approx 292\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]. |
|
Vậy tàu đang đứng cách chân hải đăng khoảng 292 mét.
(0,5 điểm) Cho tam giác nhọn \(ABC\). Chứng minh: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}BA \cdot BC \cdot \sin B = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2}CA \cdot CB \cdot \sin C\).
Hướng dẫn giải
Kẻ đường cao \(AH\)\[\left( {H \in BC} \right)\]. Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) có: \(AH = AB \cdot \sin B\). Do đó \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}BC \cdot AH = \frac{1}{2}BC \cdot AB \cdot \sin B\). Chứng minh tương tự ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2}CA \cdot CB \cdot \sin C\). |
|
Vậy \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}BA \cdot BC \cdot \sin B = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2}CA \cdot CB \cdot \sin C\).
