Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề 3)
14 câu hỏi
Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{1}{{x - 3}} - 3 = \frac{2}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right)}}\) là
\[x \ne 4;{\rm{ }}x \ne - 3\].
\[x \ne 3;{\rm{ }}x \ne - 4\].
\[x \ne 3;{\rm{ }}x \ne 6\].
\[x \ne 0;{\rm{ }}x \ne - 3\].
Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{1}{{x - 3}} - 3 = \frac{2}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right)}}\) là \[x - 3 \ne 0\] và \[x + 4 \ne 0,\] hay \[x \ne 3\] và \[x \ne - 4\].
Phương trình \(\left( {\frac{2}{3}x + 6} \right)\left( {8 - 2x} \right) = 0\) có nghiệm là
\[\left\{ { - 9;4} \right\}.\]
\[\left\{ 4 \right\}.\]
\[\left\{ { - 9} \right\}.\]
\[\left\{ {9;4} \right\}.\]
Ta có: \(\left( {\frac{2}{3}x + 6} \right)\left( {8 - 2x} \right) = 0\)
\(\frac{2}{3}x + 6 = 0\) hoặc \(8 - 2x = 0\)
\(\frac{2}{3}x = - 6\) hoặc \(2x = 8\)
\(x = - 9\) hoặc \(x = 4\)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = - 9;\) \(x = 4\).
Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 42\\10x - 9y = 6\end{array} \right.?\]
\[\left( {6;\,\, - 6} \right)\].
\[\left( {6;\,\,6} \right)\].
\[\left( { - \frac{{354}}{{13}};\,\,\frac{{402}}{{13}}} \right)\].
\[\left( {\frac{{354}}{{13}};\,\,\frac{{402}}{{13}}} \right)\].
Cách 2. Thay \(x = 6;\,\,y = - 6\) vào hệ phương trình đã cho, ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}3 \cdot 6 + 4 \cdot \left( { - 6} \right) = - 6\,\,\left( { \ne 42} \right)\\10 \cdot 6 - 9 \cdot \left( { - 6} \right) = 114\,\,\left( { \ne 6} \right).\end{array} \right.\)
Tương tự, thay giá trị của \(x\) và \(y\) lần lượt của các cặp số ở phương án B, C, D vào hệ phương trình đã cho, ta thấy chỉ có cặp số \(\left( {6;\,\,6} \right)\) là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ.
Vậy cặp số \(\left( {6;\,\,6} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 42\\10x - 9y = 6.\end{array} \right.\]
Cách 3. Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 42\\10x - 9y = 6.\end{array} \right.\]
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(10\) và nhân hai vế của phương trình thứ hai với \(3,\) ta được hệ phương trình mới \[\left\{ \begin{array}{l}30x + 40y = 420\\30x - 27y = 18.\end{array} \right.\]
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ phương trình trên, ta được:
\(67y = 402\), suy ra \(y = 6\).
Thay \(y = 6\) vào phương trình \[3x + 4y = 42,\] ta được:
\[3x + 4 \cdot 6 = 42\] hay \[3x = 18\] suy ra \(x = 6.\)
Do đó, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( {6;\,\,6} \right)\).
Vậy ta chọn phương án B.
Nếu \(a,\,\,b,\,\,c\) là ba số mà \(a < b\) và \(ac > bc\) thì \(c\) là</>
số âm.
số dương.
số 0.
số tùy ý.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(a < b\) và \(ac > bc\) nên ta có \(c < 0\), tức \(c\) là số âm.
Vậy ta chọn phương án A.
Với ba số \(a,b\) và \(c < 0\), các khẳng định sau khẳng định nào đúng</>?
Nếu \[a > b\] thì \(ac > bc.\)
Nếu \(a > b\) thì \(\frac{a}{c} > \frac{b}{c}.\)
Nếu \(a > b\) thì \(ac < bc.\)
Nếu \(a > b\) thì \(a + c < b + c.\)
Đáp án đúng là: C
Từ giả thiết \(c < 0\) và điều kiện \(a > b\) ở 4 đáp án, ta có:</>
Nếu \(a > b\) và \(c < 0\) thì \(ac < bc\). Do đó đáp án A sai.
Nếu \(a > b\) và \(c < 0\) thì \(\frac{a}{c} < \frac{b}{c}.\) Do đó đáp án B sai.
Nếu \(a > b\) và \(c < 0\) thì \(ac < bc\). Do đó đáp án C đúng.
Nếu \(a > b\) và \(c < 0\) thì \(a + c > b + c.\) Do đó đáp án D sai.</>
Vậy chọn đáp án C.
Bất phương trình \[2x - 1 \le x + 4\] có nghiệm là
\[x \le 5.\]
\[x \ge 5.\]
\[x \le - 5.\]
\[x < 5.\]
Ta có: \[2x - 1 \le x + 4\]
\[2x - x \le 4 + 1\]
\[x \le 5\].
Vậy nghiệm của bất phương trình \[2x - 1 \le x + 4\] là \[x \le 5\].
Nghiệm \[x = 5\] thỏa mãn bất phương trình nào dưới đây?
\[5 + 7x \le 11.\]
\[2,5x - 6 > 9 + 4x.\]
\[5 + 7x \ge 15.\]
\[3 - 0,2x > 13.\]
Đáp án đúng là: C
Thay nghiệm \[x = 5\] vào các bất phương trình, ta được:
Với \[x = 5\] có \[5 + 7.5 \le 11\] hay \[40 \le 11\] (vô lí).
Nên \[x = 5\] không là nghiệm của bất phương trình \[5 + 7x \le 11.\]
Với \[x = 5\] có \[2,5.5 - 6 > 9 + 4.5\] hay \[6,5 > 29\] (vô lí).
Nên \[x = 5\] không là nghiệm của bất phương trình \[2,5x - 6 > 9 + 4x.\]
Với \[x = 5\] có \[5 + 7.5 \ge 15\] hay \[40 \ge 15\] (thỏa mãn).
Nên \[x = 5\] là nghiệm của bất phương trình \[5 + 7x \ge 15.\]
Với \[x = 5\] có \[3 - 0,2.5 > 13\] hay \[2 > 13\] (vô lí).
Nên \[x = 5\] không là nghiệm của bất phương trình \[3 - 0,2x > 13.\]
Vậy chọn đáp án C.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Khi đó, \(\sin \widehat {ABC}\) bằng:
\(\frac{{AC}}{{BC}}.\)
\(\frac{{BC}}{{AC}}.\)
\(\frac{{AB}}{{BC}}.\)
\(\frac{{AB}}{{AC}}.\)
Đáp án đúng là: A
Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], ta có: \[\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{BC}}\].
Vậy ta chọn phương án A.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 10\,\,{\rm{cm}},\,\,\widehat C = 40^\circ .\) Cạnh \(BC\) có độ dài gần nhất với kết quả nào dưới đây?
\(12,45\)cm.
\(15,56\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)
\(6,43\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)
\(8\)cm.
Đáp án đúng là: B
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \[\widehat C = 40^\circ \], ta có: \[AB = BC \cdot \sin {\rm{ }}C.\] Suy ra \(BC = \frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{10}}{{\sin 40^\circ }} \approx 15,56\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\) Vậy \[BC\] có độ dài gần nhất với đáp án B. |
|
(1,0 điểm) Giải các hệ phương trình sau:
a) \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y = 8\\2x - 3y = 0\end{array} \right.\];
b) \[\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 4\\5x - y = 10\end{array} \right.\].
Hướng dẫn giải
a) Từ phương trình thứ nhất ta có \[2x + 5y = 8\] suy ra \(x = 4 - \frac{5}{2}y\). Thế vào phương trình thứ hai, ta được:
\[2\left( {4 - \frac{5}{2}y} \right) - 3y = 0\], tức là \[8 - 8y = 0\], suy ra \[8y = 8\] hay \[y = 1\].
Từ đó \[x = 4 - \frac{5}{2} = \frac{3}{2}.\]
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \[\left( {\frac{3}{2}\,;\,\,1} \right).\]
b) Cộng từng vế của hai phương trình ta được \[2x + y + 5x - y = 14\] hay \[7x = 14\], suy ra \[x = 2.\]
Thế \[x = 2\] vào phương trình thứ nhất, ta được \[2 \cdot 2 + y = 4\], suy ra \(y = 0.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \[\left( {2\,;\,\,0} \right).\]
(2,5 điểm)
1. Giải các phương trình sau:
a) \[2x(3x - 1) + 6x - 2 = 0\];
b) \(\frac{2}{{x - 3}} - \frac{3}{{x + 3}} = \frac{{3x + 5}}{{{x^2} - 9}}\).
2. Giải các bất phương trình sau:
a) \(3x - 8 > 4x - 12;\)
b) \(\frac{2}{3}\left( {2x + 3} \right) < 7 - 4x;\)
c) \(2x + 3\left( {x + 1} \right) > 5x - \left( {2x - 4} \right).\)
Hướng dẫn giải
1. a) \[2x(3x - 1) + 6x - 2 = 0\] \[2x\left( {3x - 1} \right) + 2\left( {3x - 1} \right) = 0\] \[\left( {3x - 1} \right)\left( {2x + 2} \right) = 0\] \[2\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\] \(3x - 1 = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\) \(x = \frac{1}{3}\) hoặc \(x = - 1\). Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{1}{3}\) và \(x = - 1\). | 1. b) \(\frac{2}{{x - 3}} - \frac{3}{{x + 3}} = \frac{{3x + 5}}{{{x^2} - 9}}\) Điều kiện xác định \(x + 3 \ne 0\); \(x - 3 \ne 0\) và \({x^2} - 9 \ne 0\) hay \(x \ne - 3\) và \(x \ne 3\). Quy đồng mẫu hai vế của phương trình, ta được \(\frac{{2\left( {x + 3} \right) - 3\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{3x + 5}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\) Suy ra \(2\left( {x + 3} \right) - 3\left( {x - 3} \right) = 3x + 5\) \(2x + 6 - 3x + 9 = 3x + 5\) \[15 - x = 3x + 5\] \[4x = 10\] \[x = \frac{5}{2}\]. Giá trị \[x = \frac{5}{2}\] thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy nghiệm của phương trình là \[x = \frac{5}{2}\]. |
2. a) \(3x - 8 > 4x - 12\) \(3x - 4x > - 12 + 8\) \( - x > - 4\) \(x < 4\). Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x < 4.\) | 2. b) Ta có: \(\frac{2}{3}\left( {2x + 3} \right) < 7 - 4x\) \(\frac{4}{3}x + 2 < 7 - 4x\) \(\frac{4}{3}x + 4x < 5\) \(\frac{{16}}{3}x < 5\) \(x < \frac{{15}}{{16}}\). Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x < \frac{{15}}{{16}}\). |
2. c) \(2x + 3\left( {x + 1} \right) > 5x - \left( {2x - 4} \right)\) \(2x + 3x + 3 > 5x - 2x + 4\) \(5x + 3 > 3x + 4\) \(5x - 3x > 4 - 3\) \(2x > 1\) \(x > \frac{1}{2}.\) Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x > \frac{1}{2}.\) |
(1 điểm) Một xe máy khởi hành cùng một lúc với hai tỉnh cách nhau \(200{\rm{ km,}}\) đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của ô tô và xe máy, biết rằng nếu vận tốc của ô tô tăng thêm \(10{\rm{ km/h}}\)và vận tốc của xe máy giảm đi \(5{\rm{ km/h}}\) thì vận tốc của ô tô bằng 2 lần vận tốc của xe máy.
Hướng dẫn giải
Gọi vận tốc của ô tô và vận tốc của xe máy lần lượt là \(x,y{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\) và \(x,y > 0.\)
Sau 2 giờ ô tô đi được quãng đường là \(2x{\rm{ }}\left( {{\rm{km}}} \right)\).
Sau 2 giờ xe máy đi được quãng đường là \(2y{\rm{ }}\left( {{\rm{km}}} \right)\)
Vì hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh cách nhau \(200{\rm{ km,}}\) đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ nên ta có phương trình \[2x + 2y = 200\] hay \[x + y = 100 & \left( 1 \right)\]
Nếu vận tốc của ô tô tăng thêm \(10{\rm{ km/h}}\) thì vận tốc mới của ô tô là: \(x + 10{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\).
Nếu vận tốc của xe máy giảm đi \({\rm{5 km/h}}\) thì vận tốc mới của xe máy là \(y - 5{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\).
Vì vận tốc của ô tô tăng thêm \(10{\rm{ km/h}}\) và vận tốc của xe máy giảm đi \({\rm{5 km/h}}\) thì lúc này vận tốc của ô tô bằng 2 lần vận tốc của xe máy nên ta có phương trình
\(x + 10 = 2\left( {y - 5} \right)\) hay \(x - 2y = - 20 & \left( 2 \right)\).
Từ \[\left( 1 \right)\] và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 100\\x - 2y = - 20\end{array} \right.\).
Trừ từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được: \(3y = 120\), suy ra \(y = 40\) (thỏa mãn).
Thay \(y = 40\) vào phương trình \(x + y = 100\), ta được:
\(x + 40 = 100\) suy ra \(x = 60\) (thỏa mãn).
Vậy vận tốc của ô tô là \(60{\rm{ km/h}}\) và vận tốc của xe máy là \(40{\rm{ km/h}}\).
(2 điểm)
1. Cho hình vẽ dưới đây, tính độ dài các cạnh \(BH,CK,AK.\) (kết quả được làm tròn đến hàng phần mười).
2. Một người đứng cách nơi thả khinh khí cầu 800 m nhìn thấy nó với góc nghiêng \(38^\circ .\) Tính độ cao của khinh khí cầu so với mặt đất. Cho biết khoảng cách từ mặt đất đến mắt người đó là \(1,5\,\,{\rm{m}}\) (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Hướng dẫn giải
1. Xét tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\), ta có:
\(\sin A = \frac{{BH}}{{AH}}\) suy ra \(BH = AH.\sin A = 3.\sin 40^\circ \approx 1,9.\)
Xét tam giác \(ACK\) vuông tại \(K\), ta có:
\(AC = AB + BC = 3 + 2 = 5\).
\(\sin A = \frac{{CK}}{{AC}}\) suy ra \(CK = AC.\sin A = 5.\sin 40^\circ \approx 3,2\).
Xét tam giác \(ACK\) vuông tại \(K\), ta có:
\(\tan A = \frac{{CK}}{{AK}}\) suy ra \(AK = \frac{{CK}}{{\tan A}} = \frac{{3,2}}{{\tan 40^\circ }} \approx 3,8.\)
Vậy \(BH \approx 1,9\), \(CK \approx 3,2\), \(AK \approx 3,8.\)
2. Quan sát hình vẽ hình học của bài toán, ta có:
Độ cao của khinh khí cầu so với mặt đất là đoạn thẳng \(BE.\)
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có:
\(\tan \widehat {BCA} = \frac{{AB}}{{AC}}\) hay \(AB = AC.\tan \widehat {BCA}\).
Suy ra \[AB = 800.\tan 38^\circ \approx 625\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].
Ta có \(BE = AB + AE \approx 625 + 1,5 = 626,5\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).
Vậy độ cao của khinh khí cầu so với mặt đất khoảng \(626,5\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)
(0,5 điểm) Cho các số thực dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 4.\) Chứng bất đẳng thức sau:
\(\frac{1}{{2x + y + z}} + \frac{1}{{x + 2y + z}} + \frac{1}{{x + y + 2z}} \le 1.\)
Hướng dẫn giải
⦁ Trước hết, ta chứng minh với \(a > 0\) và \(b > 0\) luôn có \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}.\]
Thật vậy, với \(a > 0\) và \(b > 0,\) ta có:
\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{{a + b}} = \frac{{b\left( {a + b} \right) + a\left( {a + b} \right) - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} \ge 0.\]\(\)
Do đó \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}.\,\,\,\left( * \right)\]
⦁ Áp dụng bất đẳng thức \(\left( * \right)\) cho hai số \(2x > 0\) và \(y + z > 0,\) ta có:
\[\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{y + z}} \ge \frac{4}{{2x + y + z}}\]
Suy ra \[\frac{1}{{2x + y + z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{y + z}}} \right).\]
Áp dụng bất đẳng thức \(\left( * \right)\) cho hai số \(y > 0\) và \(z > 0,\) ta có:
\(\frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{4}{{y + z}}.\)
Suy ra \[\frac{1}{{y + z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{4z}}.\]
Do đó: \[\frac{1}{{2x + y + z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{y + z}}} \right) \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{4z}}} \right).\]
Chứng minh tương tự, ta có:
\[\frac{1}{{x + 2y + z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{2y}} + \frac{1}{{4z}}} \right);\] \[\frac{1}{{x + y + 2z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{2z}}} \right).\]
Khi đó:
\(\frac{1}{{2x + y + z}} + \frac{1}{{x + 2y + z}} + \frac{1}{{x + y + 2z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{4z}}} \right) + \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{2y}} + \frac{1}{{4z}}} \right) + \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{2z}}} \right)\)
\( = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{4z}} + \frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{2y}} + \frac{1}{{4z}} + \frac{1}{{4x}} + \frac{1}{{4y}} + \frac{1}{{2z}}} \right)\)
\( = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1\) (do \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 4).\)
Vậy \(\frac{1}{{2x + y + z}} + \frac{1}{{x + 2y + z}} + \frac{1}{{x + y + 2z}} \le 1.\)
