Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 12 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 4
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\({\left( {\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right)^\prime } = f'\left( x \right)\).
\({\left( {\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right)^\prime } = - f\left( x \right)\).
\({\left( {\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right)^\prime } = - f'\left( x \right)\).
\({\left( {\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right)^\prime } = f\left( x \right)\).
Đáp án đúng là: D
Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\).
Ta có \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) hay \({\left( {\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right)^\prime } = f\left( x \right)\).
cho \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{5}{3}} \); \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{3}{5}} \). Tích phân \(\int\limits_3^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng
\(\frac{{ - 16}}{{15}}\).
\(\frac{{14}}{{15}}\).
\( - \frac{{17}}{{15}}\).
\(\frac{8}{{15}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x + } \,\int\limits_3^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int\limits_0^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x \Rightarrow } } \int\limits_3^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x = - \frac{{16}}{{15}}} \].
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2x + \frac{1}{x}\) là
\(2 - \frac{1}{{{x^2}}} + C\).
\({x^2} - \frac{1}{{{x^2}}} + C\).
\({x^2} + \ln |x| + C\).
\(2x - \ln |x| + C\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\int {\left( {2x + \frac{1}{x}} \right){\rm{d}}x} = 2\int {x{\rm{d}}x + \int {\frac{1}{x}} } {\rm{d}}x = {x^2} + \ln |x| + C\).
Tích phân \(\int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{x} + 2} \right)} dx\) bằng
\(\ln 2 - 1\).
\(\ln 2 + 3\).
ln2+1.
\(\ln 2 + 2\).
Đáp án đúng là: D
Ta có ∫121x+2dx=lnx+2x12=ln2+2
Nếu các số hữu tỉ \(a,b\) thỏa mãn \(\int\limits_0^1 {\left( {a{e^x} + b} \right)dx} = e + 2\) thì giá trị của biểu thức \(a + b\) bằng
\(4\).
\(6\).
\(5\).
\(3\).
Đáp án đúng là: A
Ta có ∫01aex+bdx=aex+bx01=ae+b−a
Mà \(\int\limits_0^1 {\left( {a{e^x} + b} \right)dx} = e + 2\) nên a=1b−a=2⇒a=1b=3⇒a+b=4
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\), có đồ thị tạo với trục hoành một hình phẳng gồm 3 phần có diện tích \({S_1};{S_2};{S_3}\) như hình vẽ bên dưới
Tích phân \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} \) bằng
\({S_2} + {S_3} - {S_1}\).
\({S_1} - {S_2} + {S_3}\).
\({S_1} + {S_2} + {S_3}\).
\( - {S_1} + {S_2} - {S_3}\).
Đáp án đúng là: D
\(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \)\( = - {S_1} + {S_2} - {S_3}\).
Trong không gian \[Oxyz\] cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + z - 3 = 0\). Véctơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\)?
\(\left( {2\,;1\,;1} \right)\).
\(\left( {3\,; - 1; - 1} \right)\).
\(\left( { - 2\,;1\,; - 1} \right)\).
\(\left( { - 2\,;1\,;1} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Ta thấy một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\)là \(\overrightarrow {n'} \left( {2; - 1;1} \right)\) hay \(\overrightarrow n \left( { - 2;1; - 1} \right)\) là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{{ - 1}} = \frac{z}{3}\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = 1 - 3t\\z = 3\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 3 - t\\z = 3t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 - 3t\\z = 3\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 3 - t\\z = 3t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{{ - 1}} = \frac{z}{3}\) đi qua điểm \(M\left( {1; - 3;0} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {2; - 1;3} \right)\) nên có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 3 - t\\z = 3t\end{array} \right.\).
Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {1\,;\,1\,;\, - 1} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}\) có phương trình là
\(2x + 2y + z + 3 = 0\).
\(x - 2y - z = 0\).
\(2x + 2y + z - 3 = 0\).
\(x - 2y - z - 2 = 0\).
Đáp án đúng là: C
Do mặt phẳng vuông góc với đường thẳng nên VTPT mặt phẳng cần tìm cùng phương với VTCP của đường thẳng \(\Delta \). Suy ra \({\vec n_P} = \left( {2\,;\,2\,;1} \right)\).
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm: \(2\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 1} \right) + \left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y + z - 3 = 0\).
Trong không gian \(Oxyz\) cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - m}} = \frac{{z - 2}}{{ - 3}}\), \({d_2}:\frac{{x - 3}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\). Tìm tất cả giá trị thực của \(m\) để \({d_1}\) vuông góc với \({d_2}\).
\(m = - 1\).
\(m = 1\).
\(m = - 5\).
\(m = 5\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - m; - 3} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;1;1} \right)\) lần lượt là vectơ chỉ phương của \({d_1}\) và \({d_2}\).
Để \({d_1} \bot {d_2}\) thì \(2.1 + \left( { - m} \right).1 + \left( { - 3} \right).1 = 0\)\( \Leftrightarrow m = - 1\).
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) với \(P\left( A \right) = 0,3;P\left( B \right) = 0,5;P\left( {B|A} \right) = 0,9\). Khi đó xác suất của biến cố \(A \cap B\) là
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{{27}}{{100}}\).
\(\frac{9}{{20}}\).
\(\frac{3}{{20}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = 0,3.0,9 = \frac{{27}}{{100}}\).
Cho hai biến cố \(A,\;\;B\) thoả mãn \(P\left( A \right) = 0,4;\;\;P\left( B \right) = 0,3;\;\;P\left( {A\mid B} \right) = 0,25\). Khi đó, \(P\left( {B\mid A} \right)\) bằng
\(0,1875\).
\(0,48\).
\(0,333\).
\(0,95\).
Đáp án đúng là: A
Theo công thức Bayes, ta có: \(P\left( {B\mid A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A\mid B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,3.0,25}}{{0,4}} = 0,1875\).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) là phần tô đậm trong hình sau. Khi đó:
Hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2} - 2x - 1,y = - {x^2} + 3\) và hai đường thẳng \(x = - 1;x = 2\).
Diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) là \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left( { - {x^2} + 3} \right) - \left( {{x^2} - 2x - 1} \right)} \right|dx} \).
Diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) là \(S = 2\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^2} - x - 2} \right)dx} \).
Nếu \(\ln S = a\ln b\) (với \(a,b\) là các số nguyên tố) thì \({a^2} + {b^2} = 29\).
a)Đ, b) Đ, c) S, d) S
a) Hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2} - 2x - 1,y = - {x^2} + 3\) và hai đường thẳng \(x = - 1;x = 2\).
b) \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left( { - {x^2} + 3} \right) - \left( {{x^2} - 2x - 1} \right)} \right|dx} \).
c) \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left( { - {x^2} + 3} \right) - \left( {{x^2} - 2x - 1} \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} + 2x + 4} \right)dx} \).
d) \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} + 2x + 4} \right)dx} = 9\).
Suy ra \(\ln 9 = 2\ln 3\). Khi đó \({a^2} + {b^2} = {2^2} + {3^2} = 13\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = 1 + 2t\\z = - 5 + t\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - 5 = 0\).
Vectơ \(\overrightarrow u = \left( { - 2;2;1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \).
Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {Oyz} \right)\) bằng \(45^\circ \).
Đường thẳng đi qua \(N\left( {2;3; - 4} \right)\) và song song với \(\Delta \) có phương trình là \(\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z + 4}}{1}.\)
Đường thẳng \(d\) vuông góc \(\Delta \) và tạo với \(\left( P \right)\) một góc \(45^\circ \) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 2;4} \right)\).
a)Đ, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Vectơ \(\overrightarrow u = \left( { - 2;2;1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \).
b) Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;0} \right),\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {Oyz} \right)\).
Có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {Oyz} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow i } \right)} \right| = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\). Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {Oyz} \right)} \right) = 45^\circ \).
c) Đường thẳng \({d_1}\) song song với \(\Delta \) nên nhận \(\overrightarrow u = \left( { - 2;2;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Phương trình đường thẳng \({d_1}\) có dạng:\(\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z + 4}}{1}\) .
d) \(d \bot \Delta \)nên \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow u = 0\) mà \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow u = 1.\left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right).2 + 4.1 = - 2 \ne 0\).
Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 4\).
Đường kính mặt cầu bằng 8.
Mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;3;0} \right)\).
Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) bằng 2.
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(x + 2y - 2z - 2 = 0\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\).
a)S, b) S, c) Đ, d) S
a) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 2;1;0} \right),R = 2\). Suy ra đường kính mặt cầu bằng 4.
b) Thay tọa độ điểm \(A\left( { - 1;3;0} \right)\) vào phương trình mặt cầu ta được
\({\left( { - 1 + 2} \right)^2} + {\left( {3 - 1} \right)^2} + {0^2} = 5 \ne 4\).
Do đó mặt cầu \(\left( S \right)\) không đi qua điểm \(A\left( { - 1;3;0} \right)\).
c) \(d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = 2\).
d) Ta có \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2 + 2.1 - 2.0 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{3} < R\).
Suy ra mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\).
Bạn Nam tham gia một gian hàng trò chơi dân gian trong hội xuân của trường. Trò chơi có hai lượt chơi. Xác suất để Nam thắng ở lượt chơi thứ nhất là 0,6. Nếu Nam thắng ở lượt chơi thứ nhất thì xác suất Nam thắng ở lượt chơi thứ hai là 0,8. Ngược lại, nếu Nam thua ở lượt chơi thứ nhất thì xác suất Nam thắng ở lượt chơi thứ hai là 0,3. Xét các biến cố:
A: “Nam thắng ở lượt chơi thứ nhất”.
B: “Nam thắng ở lượt chơi thứ hai”.
\(P\left( A \right) = 0,8\).
\(P\left( {B|A} \right) = 0,6\).
\(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,3\).
Xác suất Nam thắng ở lượt chơi thứ nhất khi đã thắng ở lượt chơi thứ hai là khoảng 80%.
a)S, b) S, c) Đ, d) Đ
a) Theo đề, \(P\left( A \right) = 0,6\).
b) \(P\left( {B|A} \right) = 0,8\).
c) \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,3\).
d) Ta có \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\)\( = 0,6.0,8 + 0,4.0,3 = 0,6\).
Suy ra \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,6.0,8}}{{0,6}} = 0,8 = 80\% \).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 6.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{3{x^3} - 2x + 1}}{x}\). Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = 3\). Khi đó \(F\left( 5 \right) = a + \ln b\) với \(a,b \in \mathbb{N}\). Tính tích \(T = ab\).
Trả lời: 595
Ta có \(f\left( x \right) = \frac{{3{x^3} - 2x + 1}}{x} = 3{x^2} - 2 + \frac{1}{x}\).
Có \(F\left( x \right) = \int {\left( {3{x^2} - 2 + \frac{1}{x}} \right)dx} = {x^3} - 2x + \ln \left| x \right| + C\).
Vì \(F\left( 1 \right) = 3\) nên \(F\left( 1 \right) = {1^3} - 2.1 + \ln \left| 1 \right| + C = 3 \Leftrightarrow C = 4\).
Do đó \(F\left( x \right) = {x^3} - 2x + \ln \left| x \right| + 4\).
Suy ra \(F\left( 5 \right) = {5^3} - 2.5 + \ln \left| 5 \right| + 4 = 119 + \ln 5\).
Suy ra \(a = 119;b = 5\). Vậy \(T = ab = 595\).
Biết giá trị tích phân \(I = \int\limits_1^2 {\sqrt[5]{{{x^2}}}dx} \) có dạng \(\frac{{2a\sqrt[5]{b} - a}}{7}\) với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính \(S = {a^2} + {b^2}\).
Trả lời: 41
\(I = \int\limits_1^2 {\sqrt[5]{{{x^2}}}dx} = \int\limits_1^2 {{x^{\frac{2}{5}}}dx} \)\[ = \left. {\frac{5}{7}{x^{\frac{7}{5}}}} \right|_1^2 = \frac{{5\sqrt[5]{{128}} - 5}}{7} = \frac{{10\sqrt[5]{4} - 5}}{7}\].
Suy ra \(a = 5;b = 4\). Vậy \(S = {a^2} + {b^2} = 41\).
Bạn An cần mua một chiếc gương có viền là đường parabol bậc 2 (xem hình vẽ). Biết rằng đoạn \(AB = 60\;{\rm{cm}}\), \(OH = 30\;{\rm{cm}}\). Diện tích của chiếc gương bạn An mua bằng bao nhiêu\({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\)?
Trả lời: 1200
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Ta có đồ thị\(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) đi qua \(A\left( { - 30;0} \right),B\left( {30;0} \right),H\left( {0;30} \right)\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}900a - 30b + c = 0\\900a + 30b + c = 0\\c = 30\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{{30}}\\b = 0\\c = 30\end{array} \right.\). Do đó \(\left( P \right):y = - \frac{1}{{30}}{x^2} + 30\).
Diện tích chiếc gương là \(S = \int\limits_{ - 30}^{30} {\left( { - \frac{1}{{30}}{x^2} + 30} \right)dx} = 1200\) cm2.
Khi gắn hệ tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một trận địa pháo phòng không, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất. Trong tập luyện, một vùng mặt phẳng trong tầm hoạt động của pháo được giữ bởi 3 điểm pháo \(A\left( {3;0;0} \right);B\left( {0;1,5;0} \right);C\left( {0;0; - 1,5} \right)\). Một mục tiêu bay từ điểm \(M\left( {5;2;4} \right)\) tới \(N\left( {1;0; - 2} \right)\). Khoảng cách từ điểm pháo \(A\) tới vị trí va chạm của mục tiêu khi tới mặt phẳng là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Trả lời: 1,41
Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{{1,5}} + \frac{z}{{ - 1,5}} = 1\)\( \Leftrightarrow x + 2y - 2z - 3 = 0\).
Đường thẳng \(MN\) qua \(M\left( {5;2;4} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = - \frac{1}{2}\overrightarrow {MN} = \left( {2;1;3} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 2t\\y = 2 + t\\z = 4 + 3t\end{array} \right.\).
Tọa độ điểm H va chạm của mục tiêu tới mặt phẳng là nghiệm của hệ
x=5+2ty=2+tz=4+3tx+2y−2z−3=0 ⇔x=5+2ty=2+tz=4+3t5+2t+4+2t−8−6t−3=0 ⇔x=3y=1z=1t=−1 . Suy ra H3;1;1
Ta có \(AH = \sqrt {{0^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \approx 1,41\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ \(O\left( {0;0;0} \right)\), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí \(A\left( { - 688; - 185;8} \right)\), chuyển động theo đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {91;75;0} \right)\) và hướng về đài kiểm soát không lưu. Tọa độ của vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa là \(M\left( {a;b;c} \right)\). Khi đó \(a + b + c\) bằng bao nhiêu?
Trả lời: −367
Phương trình đường thẳng d là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 688 + 91t\\y = - 185 + 75t\\z = 8\end{array} \right.\).
Giả sử M là vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa.
Suy ra \(M \in d\)\( \Rightarrow M\left( { - 688 + 91t; - 185 + 75t;8} \right)\).
Vì \(OM = 417\) nên \(\sqrt {{{\left( { - 688 + 91t} \right)}^2} + {{\left( { - 185 + 75t} \right)}^2} + 64} = 417\)
\( \Leftrightarrow {\left( { - 688 + 91t} \right)^2} + {\left( { - 185 + 75t} \right)^2} + 64 = {417^2}\)
\( \Leftrightarrow 13906{t^2} - 152966t + 333744 = 0\)
\( \Leftrightarrow t = 8\) hoặc \(t = 3\).
Với \(t = 8\) thì \(M\left( {40;415;8} \right)\)\( \Rightarrow AM = \sqrt {{{\left( {40 + 688} \right)}^2} + {{\left( {415 + 185} \right)}^2} + {{\left( {8 - 8} \right)}^2}} \approx 943,4\).
Với \(t = 3\) thì \(M\left( { - 415;40;8} \right)\)\( \Rightarrow AM = \sqrt {{{\left( { - 415 + 688} \right)}^2} + {{\left( {40 + 185} \right)}^2} + {{\left( {8 - 8} \right)}^2}} \approx 353,8\).
Vì \(353,8 < 943,4\) nên tọa độ điểm M xuất hiện sớm nhất trên ra đa là \(M\left( { - 415;40;8} \right)\).
Suy ra \(a + b + c = - 415 + 40 + 8 = - 367\).
Một doanh nghiệp có 45% nhân viên là nữ. Tỉ lệ nhân viên nữ và tỉ lệ nhân viên nam mua bảo hiểm nhân thọ lần lượt là 7% và 5%. Gặp ngẫu nhiên một nhân viên của doanh nghiệp. Biết rằng nhân viên đó có mua bảo hiểm nhân thọ. Xác suất nhiên viên đó là nam bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Trả lời: 0,5
Gọi A là biến cố “Nhân viên đó là nhân viên nữ”.
B là biến cố “Nhân viên đó mua bảo hiểm nhân thọ”.
Theo đề ta có \(P\left( A \right) = 0,45 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 0,55\);\(P\left( {B|A} \right) = 0,07;P\left( {B|\overline A } \right) = 0,05\).
Ta có \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\)\( = 0,45.0,07 + 0,55.0,05 = 0,059\).
Có \(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,55.0,05}}{{0,059}} \approx 0,5\).
