Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 12 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 3
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và các số thực tùy ý \(a,b,c\). Xét các khẳng định sau:
(1) \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} } \);
(2) \[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx + } \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} \];
(3) \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = 0\);
(4) \(\int\limits_a^b {cf\left( x \right)dx} = c\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).
Số khẳng định đúng là
4.
2.
3.
1.
Đáp án đúng là: A
Tất cả các khẳng định trên đều là khẳng định đúng.
Biết \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 3\). Giá trị của \(\int\limits_1^3 {2f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng
\(5\).
\(9\).
\(6\).
\(\frac{3}{2}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\int\limits_1^3 {2f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2.3 = 6\).
Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(\smallint {\rm{cos}}2x{\rm{\;d}}x = \frac{1}{2}{\rm{sin}}2x + C\).
\(\smallint {\rm{cos}}2x{\rm{\;d}}x = {\rm{sin}}2x + C\).
\(\smallint {\rm{cos}}2x{\rm{\;d}}x = - {\rm{sin}}2x + C\).
\(\smallint {\rm{cos}}2x{\rm{\;d}}x = \frac{{ - 1}}{2}{\rm{sin}}2x + C\).
Đáp án đúng là: A
\(\smallint {\rm{cos}}2x{\rm{\;d}}x = \frac{1}{2}{\rm{sin}}2x + C\).
Tích phân \(\int\limits_0^2 {\frac{{dx}}{{x + 3}}} \) bằng
\(\frac{2}{{15}}\).
\(\frac{{16}}{{225}}\).
\(\log \frac{5}{3}\).
\(\ln \frac{5}{3}\).
Đáp án đúng là: D
\[\int\limits_0^2 {\frac{{dx}}{{x + 3}}} = \left. {\ln \left| {x + 3} \right|} \right|_0^2 = \ln \frac{5}{3}\].
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^3},y = 0,x = - 1,x = 2\) là
\(\frac{1}{4}\).
\(\frac{{17}}{4}\).
\(\frac{{15}}{4}\).
\(\frac{{19}}{4}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^3}} \right|dx} = - \int\limits_{ - 1}^0 {{x^3}dx} + \int\limits_0^2 {{x^3}dx} \)\( = \frac{1}{4} + 4 = \frac{{17}}{4}\).
Biết một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x\) là \(F\left( x \right) = \frac{x}{2} - \frac{{\sin 2x}}{4}\). Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sin x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = \pi \) khi quay quanh trục \(Ox\) là
\(\frac{{{\pi ^2}}}{4}\).
\(\frac{{{\pi ^2}}}{2}\).
\(\frac{\pi }{2}\).
\(\frac{\pi }{4}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(V = \pi \int\limits_0^\pi {{{\sin }^2}xdx} = \left. {\pi \left( {\frac{x}{2} - \frac{{\sin 2x}}{4}} \right)} \right|_0^\pi = \pi .\frac{\pi }{2} = \frac{{{\pi ^2}}}{2}\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x - 2y + 3z + 1 = 0\) và \(\left( \beta \right):2x - 4y + 6z + 1 = 0\), khi đó
\(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\).
\(\left( \alpha \right)\) cắt \(\left( \beta \right)\).
\(\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\).
\(\left( \alpha \right) \equiv \left( \beta \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2;3} \right)\), \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; - 4;6} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\).
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_2}} = 2\overrightarrow {{n_1}} \\1 \ne 2.1\end{array} \right.\) nên \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 2z - 3 = 0\). Điểm nào dưới đây không thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)?
\[P\left( {5;2; - 1} \right)\].
\[N\left( {3;1;0} \right)\].
\[Q\left( {1; - 1;1} \right)\].
\[M\left( {1;1;0} \right)\].
Đáp án đúng là: D
Thay tọa độ điểm \[M\left( {1;1;0} \right)\] vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 2z - 3 = 0\) ta được
\(1 + 2.0 - 3 = - 2 \ne 0\). Do đó \(M \notin \left( \alpha \right)\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;2;0} \right),C\left( {0;0; - 3} \right)\). Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \(A,B,C\) là
\[6x + 3y + 2z - 6 = 0\].
\[6x + 3y - 2z + 6 = 0\].
\[6x + 3y - 2z - 6 = 0\].
\[6x - 3y - 2z + 6 = 0\].
Đáp án đúng là: C
Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \(A,B,C\) có dạng:
\(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{{ - 3}} = 1\)\( \Leftrightarrow 6x + 3y - 2z - 6 = 0\).
Trong không gian \(Oxyz\), phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {3;2; - 4} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là:
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = - 1 - 2t\\z = 2 + 4t\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = 2\\z = - 4 + 3t\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 2 - t\\z = - 4 + 2t\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = - 1 + 2t\\z = 2 - 4t\end{array} \right.\].
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {3;2; - 4} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 2 - t\\z = - 4 + 2t\end{array} \right.\].
Một hộp chứa 5 quả bóng: 2 quả màu đỏ (đánh số 1 và 2), 2 quả màu xanh (đánh số 3 và 4) và 1 quả màu vàng (đánh số 5). Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng liên tiếp không hoàn lại. Xét các biến cố:
\(A\): "Quả bóng lấy ra đầu tiên có màu đỏ"
\(B\): "Tổng số của hai quả bóng lấy ra là số lẻ"
Xác định \[B|A\] là biến cố \(B\) khi biết \(A\) đã xảy ra.
\[B|A{\rm{ }} = {\rm{ }}\left\{ {\left( {1,2} \right);\left( {1,4} \right);\left( {2,1} \right);\left( {2,3} \right);\left( {2,5} \right)} \right\}\].
\[B|A{\rm{ }} = {\rm{ }}\left\{ {\left( {1,2} \right);\left( {1,4} \right);\left( {2,1} \right);\left( {2,3} \right)} \right\}\].
\[B|A{\rm{ }} = {\rm{ }}\left\{ {\left( {1,3} \right);\left( {1,5} \right);\left( {2,3} \right);\left( {2,5} \right)} \right\}\].
\[B|A{\rm{ }} = {\rm{ }}\left\{ {\left( {1,3} \right);\left( {1,5} \right);\left( {2,1} \right);\left( {2,3} \right);\left( {2,5} \right)} \right\}\].
Đáp án đúng là: A
Khi \(A\) đã xảy ra, nghĩa là quả bóng đầu tiên lấy ra có màu đỏ (số 1 hoặc 2).
Do đó, không gian mẫu mới là
\[\Omega ' = A = \left\{ {\left( {1,2} \right);\left( {1,3} \right);\left( {1,4} \right);\left( {1,5} \right);\left( {2,1} \right);\left( {2,3} \right);\left( {2,4} \right);\left( {2,5} \right)} \right\}\].
Biến cố \(B\) khi biết \(A\) đã xảy ra là \[B|A = \left\{ {\left( {1,2} \right);\left( {1,4} \right);\left( {2,1} \right);\left( {2,3} \right);\left( {2,5} \right)} \right\}\].
Một mảnh đất chia thành 2 khu vườn: Khu A có 300 cây ăn quả, khu B có 400 cây ăn quả. Trong đó, số cây cam ở khu A và khu B lần lượt là 200 cây và 250 cây. Chọn ngẫu nhiên 1 cây trong mảnh đất. Xác suất cây được chọn là cây cam, biết rằng cây đó ở khu B, là:
\(\frac{5}{{14}}\).
\(\frac{5}{9}\).
\(\frac{5}{8}\).
\(\frac{1}{2}\).
Đáp án đúng là: C
Xét các biến cố:
M: “Cây được chọn là cây cam”; N: “Cây được chọn ở khu B”.
Ta có: \({\rm{P}}\left( {M|N} \right) = \frac{{n\left( {M \cap N} \right)}}{{n\left( N \right)}} = \frac{{250}}{{400}} = \frac{5}{8}\).
Vậy xác suất cây được chọn là cây cam, biết rằng cây đó ở khu B, là \(\frac{5}{8}\).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Một xe ô tô đang chạy với vận tốc \(65\)\({\rm{km/h}}\) thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó \(50\;{\rm{m}}\). Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ \[v\left( t \right) = - 10t + 20\;\left( {{\rm{m/s}}} \right)\], trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi \(s\left( t \right)\) là quãng đường xe ô tô đi được trong \(t\) (giây) kể từ lúc đạp phanh.
Quãng đường \(s\left( t \right)\) mà xe ô tô đi được trong thời gian \(t\) (giây) là một nguyên hàm của hàm số \(v\left( t \right)\).
\(s\left( t \right) = - 5{t^2} + 20t\).
Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là \(20\) giây.
Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường.
a)Đ, b) Đ, c) S, d) Đ
a) Do \(s'(t) = v(t)\) nên quãng đường \(s(t)\) mà xe ô tô đi được trong thời gian \(t\) (giây) là một nguyên hàm của hàm số \(v(t)\).
b) Ta có: \(\int {( - 10t + 20)} dt = - 5{t^2} + 20t + C\) với \(C\) là hằng số.
Khi đó, ta gọi hàm số \(s(t) = - 5{t^2} + 20t + C\).
Do \(s(0) = 0\) nên \(C = 0\). Suy ra \(s(t) = - 5{t^2} + 20t\).
c) Xe ô tô dừng hẳn khi \(v(t) = 0\) hay \( - 10t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 2\).
Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 2 giây.
d) Ta có xe ô tô đang chạy với tốc độ \(65\;{\rm{km/h}} \approx 18\;{\rm{m/s}}\).
Do đó, quãng đường xe ô tô còn di chuyển được kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là: \(s(2) = - 5 \cdot {2^2} + 20 \cdot 2 = 20\,{\rm{(m)}}\).
Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là: \(18 + 20 \approx 38\,{\rm{(m)}}\).
Do \(38 < 50\) nên xe ô tô đã dừng hẳn trước khi va chạm với chướng ngại vật trên đường.
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + t\\z = - 1 - 3t\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(2x + y - 3z - 1 = 0\).
Một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow u = \left( {2;0; - 3} \right)\).
Góc giữa \(\Delta \) và \(\left( P \right)\) là \(150^\circ \).
Không có điểm chung nào giữa \(\Delta \) và \(\left( P \right)\).
Hình chiếu của \(M\left( {1;2; - 1} \right)\) lên \(\left( P \right)\) là \(N\left( {1;2;1} \right)\).
a)S, b) S, c) S, d) S
a) Một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 3} \right)\).
b) \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 3} \right)\) là vectơ chỉ phương của \(\Delta \), \(\overrightarrow n = \left( {2;1; - 3} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Ta có \(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.2 + 1.1 + \left( { - 3} \right)\left( { - 3} \right)} \right|}}{{14}} = 1\). Suy ra \(\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = 90^\circ \).
c) Vì \(\Delta \bot \left( P \right)\) nên \(\Delta \) và \(\left( P \right)\) có một điểm chung.
d) Ta có \(M \in \Delta \).
Tọa độ điểm \(N\) là nghiệm của hệ x=1+2ty=2+tz=−1−3t2x+y−3z−1=0 ⇔x=1+2ty=2+tz=−1−3t2+4t+2+t+3+9t−1=0
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{7}\\y = \frac{{11}}{7}\\z = \frac{2}{7}\\t = - \frac{3}{7}\end{array} \right.\). Suy ra \(N\left( {\frac{1}{7};\frac{{11}}{7};\frac{2}{7}} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\).
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2; - 1;1} \right)\), bán kính \(R = 3\).
Điểm \(M\left( {1;3;5} \right)\) nằm trong mặt cầu.
Mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z + 8 = 0\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính \(r = 2\).
Đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = t\\z = 3 - t\end{array} \right.\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) tại hai điểm \(A,B\). Khi đó diện tích tam giác \(IAB\) là \(\frac{{\sqrt {182} }}{3}\).
a)Đ, b)S, c) S, d) Đ
a) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2; - 1;1} \right)\), bán kính \(R = 3\).
b) Ta có \(IM = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {3 + 1} \right)}^2} + {{\left( {5 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {33} > R\). Do đó điểm \(M\left( {1;3;5} \right)\) nằm ngoài mặt cầu.
c) Ta có \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 + 2.\left( { - 1} \right) - 2.1 + 8} \right|}}{3} = 2\).
Suy ra bán kính đường tròn giao tuyến là \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I,\left( P \right)} \right)} = \sqrt {9 - 4} = \sqrt 5 \).
d)
Hạ \(IH \bot AB\). Vì \(H \in \Delta \) nên \(H\left( {1 + t;t;3 - t} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {IH} = \left( {t - 1;t + 1;2 - t} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {IH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0\) nên \(t - 1 + t + 1 + t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2}{3}\).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {IH} } \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{2}{3} - 1} \right)}^2} + {{\left( {\frac{2}{3} + 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - \frac{2}{3}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{14}}{3}} \).
Ta có \(AB = 2HB = 2\sqrt {{R^2} - I{H^2}} = 2\sqrt {9 - \frac{{14}}{3}} = 2\sqrt {\frac{{13}}{3}} \).
Khi đó \({S_{\Delta IAB}} = \frac{1}{2}IH.AB = \frac{1}{2}.\sqrt {\frac{{14}}{3}} .2\sqrt {\frac{{13}}{3}} = \frac{{\sqrt {182} }}{3}\).
Khảo sát dân cư của thành phố X cho thấy có 1% dân số mắc căn bệnh Y. Các nhà khoa học đã tìm ra một phương pháp xét nghiệm để chẩn đoán căn bệnh này. Tuy nhiên, xét nghiệm có sai số nên khi xét nghiệm 96% người bị bệnh có kết quả dương tính và 92% người không bị bệnh có kết quả âm tính. Một người đi xét nghiệm. Gọi A là biến cố người được xét nghiệm bị bệnh, B là biến cố người được xét nghiệm có kết quả xét nghiệm dương tính.
\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right)}}\).
Xác suất để người đi xét nghiệm bị bệnh là 1%.
Xác suất để người đó có kết quả dương tính khi người đó không bị bệnh là 8%.
Một người đi xét nghiệm và có kết quả xét nghiệm dương tính. Xác suất để người đó bị bệnh lớn hơn xác suất để người đó không bị bệnh.
a)S, b)Đ, c) Đ, d) S
A là biến cố “Người được xét nghiệm bị bệnh”,
B là biến cố “Người được xét nghiệm có kết quả xét nghiệm dương tính”.
a) \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
b) Theo đề bài ta có \(P\left( A \right) = 1\% = 0,01\).
c) \(P\left( {B|A} \right) = 0,96;P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 0,92 \Rightarrow P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - 0,92 = 0,08\).
d) Cần tính \(P\left( {A|B} \right)\) và \(P\left( {\overline A |B} \right)\).
Ta có \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\)\( = 0,01.0,96 + 0,99.0,08 = 0,0888\).
Theo công thức Bayes, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,01.0,96}}{{0,0888}} = \frac{4}{{37}}\).
\(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,99.0,08}}{{0,0888}} = \frac{{33}}{{37}}\).
Vì \(\frac{4}{{37}} < \frac{{33}}{{37}}\) nên xác suất để người đó bị bệnh nhỏ hơn xác suất để người đó không bị bệnh.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 6.
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} + \frac{1}{{2x + 1}}\). Biết \(F\left( 0 \right) = 0,F\left( 1 \right) = a + \frac{b}{c}\ln 3\), trong đó \(a,b,c\) là các số nguyên dương và \(\frac{b}{c}\) là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức \(a + b + c\).
Trả lời: 4
Ta có \(F\left( x \right) = \int {\left( {3{x^2} + \frac{1}{{2x + 1}}} \right)} dx = {x^3} + \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + C\).
Vì \(F\left( 0 \right) = 0\) nên \(C = 0\).
Do đó \(F\left( x \right) = {x^3} + \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right|\). Suy ra \(F\left( 1 \right) = {1^3} + \frac{1}{2}\ln \left| {2.1 + 1} \right| = 1 + \frac{1}{2}\ln 3\).
Do đó \(a + b + c = 1 + 1 + 2 = 4\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ { - 2;3} \right]\) và \(f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau:
Biết \(\int\limits_{ - 2}^1 {f'\left( x \right)dx} = 3\) và diện tích phần gạch sọc trong hình vẽ \(S = \frac{5}{3}\). Giá trị \(f\left( 3 \right) - f\left( { - 2} \right)\) bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Trả lời: 1,3
Ta có \(\int\limits_{ - 2}^3 {f'\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^1 {f'\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {f'\left( x \right)dx} = 3 - \int\limits_1^3 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx} \)\( = 3 - \frac{5}{3} = \frac{4}{3}\).
Mà \(\int\limits_{ - 2}^3 {f'\left( x \right)dx} = \left. {f\left( x \right)} \right|_{ - 2}^3 = f\left( 3 \right) - f\left( { - 2} \right)\).
Do đó \(f\left( 3 \right) - f\left( { - 2} \right) \approx 1,3\).
Chủ một trung tâm thương mại muốn cho thuê một số gian hàng như nhau. Người đó muốn tăng giá cho thuê của mỗi gian hàng thêm \(x\) (triệu đồng) \(\left( {x \ge 0} \right)\). Tốc độ thay đổi doanh thu từ các gian hàng đó được biểu diễn bởi hàm số \(T'\left( x \right) = - 20x + 300\), trong đó \(T'\left( x \right)\) tính bằng triệu đồng (Nguồn: R.Larson anh B. Edwards, Calculus 10e, Cengage). Biết rằng nếu người đó tăng giá thuê cho mỗi gian hàng thêm 10 triệu đồng thì doanh thu là 12 000 triệu đồng. Tìm giá trị của \(x\) để người đó có doanh thu là cao nhất?
Trả lời: 15
Ta có: \(T\left( x \right) = \int {T'\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( { - 20x + 300} \right){\rm{d}}x} = - 10{x^2} + 300x + C,\,C \in \mathbb{R}\).
Khi người đó tăng giá cho thuê mỗi gian hàng thêm 10 triệu đồng thì doanh thu là 12 000 triệu đồng. Nên ứng với \(x = 10\) ta có \(T\left( {10} \right) = 12\,000\) suy ra
\(12000 = - {10.10^2} + 300.10 + C \Rightarrow C = 10000\).
Vậy \(T\left( x \right) = - 10{x^2} + 300x + 10000\).
Ta có \(T\left( x \right)\) là một hàm bậc hai với hệ số \(a < 0\) và đồ thị hàm số có đỉnh là \(I\left( {15;12250} \right)\).
Vậy doanh thu cao nhất mà người đó có thể thu về là 12 250 triệu đồng và khi đó mỗi gian hàng đã tăng giá cho thuê thêm 15 triệu đồng.
Một người đứng ở mặt đất điều khiển hai flycam để phục vụ trong một chương trình của đài truyền hình. Flycam I ở vị trí \(A\) cách vị trí điều khiển \(150\;{\rm{m}}\) về phía nam và \(200\;{\rm{m}}\) về phía đông, đồng thời cách mặt đất \(50\;{\rm{m}}\). Flycam II ở vị trí \(B\) cách vị trí điều khiển \(180\;{\rm{m}}\) về phía bắc và \(240\;{\rm{m}}\) về phía tây, đồng thời cách mặt đất \(60\;{\rm{m}}\). Chọn hệ trục toạ độ \(Oxyz\)với gốc \(O\) là vị trí người điều khiển, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất, trục \(Ox\)có hướng trùng với hướng nam, trục \(Oy\)trùng với hướng đông, trục \(Oz\)vuông góc với mặt đất hướng lên bầu trời, đơn vị trên mỗi trục tính theo mét. Khoảng cách giữa hai flycam đó bằng bao nhiêu mét ( làm tròn đến hàng đơn vị )?
Trả lời: 550
Ta có: Vị trí \(A,B\)có tọa độ lần lượt là: \((150;200;50),( - 180; - 240;60)\).
Suy ra khoảng cách giữa hai flycam đó bằng:
\(AB = \sqrt {{{( - 180 - 150)}^2} + {{( - 240 - 200)}^2} + {{(60 - 50)}^2}} \approx 550(\;{\rm{m}}).\)
Khi gắn hệ tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí \(A\left( {5;\,0;\,5} \right)\) đến vị trí \(B\left( {10;\,10;\,3} \right)\) và hạ cánh tại vị trí \(M\left( {a;\,b;\,0} \right)\). Giá trị của \(a + b\) bằng bao nhiêu (viết kết quả dưới dạng số thập phân)?
Trả lời: 42,5
Phương trình đường thẳng \(AB\) là:\(\frac{{x - 5}}{5} = \frac{y}{{10}} = \frac{{z - 5}}{{ - 2}}\).
Vì \(M\)thuộc \(AB\) nên tồn tại số thực \(t\) sao cho\[M(5t + 5;\,10t;\, - 2t + 5)\].
Ngoài ra, \(M\)thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) nên \( - 2t + 5 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{5}{2}\). Suy ra \(M(17,5;\,25;\,0)\).
Vậy\(a + b = 17,5 + 25 = 42,5\).
Truờng Bình Phúc có 20% học sinh tham gia câu lạc bộ âm nhạc, trong số học sinh đó có 85% học sinh biết chơi đàn guitar. Ngoài ra, có 10% số học sinh không tham gia câu lạc bộ âm nhạc cũng biết chơi đàn guitar. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của trường. Giả sử học sinh đó biết chơi đàn guitar. Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc là bao nhiêu?
Trả lời: 0,68
Xét các biến cố: \(A\): "Chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc";
\(B\): “Chọn được học sinh biết chơi đàn guitar”.
Khi đó, \[P\left( A \right) = 0,2;\,\,P\left( {\overline A } \right) = 0,8;\,\,P\left( {B|A} \right) = 0,85;\,\,P\left( {B|\overline A } \right) = 0,1\].
Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,2.0,85 + 0,8.0,1 = 0,25\).
Theo công thức Bayes, xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc, biết học sinh đó chơi được đàn guitar, là:
\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,2.0,85}}{{0,25}} = 0,68\).
