Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 12 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 2
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Biết \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = 3\) và \(\int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx} = 2\). Khi đó \(\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} \) bằng
\(5\).
\( - 1\).
\(1\).
\(6\).
Đáp án đúng là: C
\(\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} \)\( = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx} = 3 - 2 = 1\).
Thể tích \(V\) của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\), xung quanh trục \(Ox\), được tính theo công thức nào sau đây?
\(V = \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).
\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).
\(V = \pi \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).
\(V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
Đáp án đúng là: B
\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).
Biết \(F\left( x \right) = \cos x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\). Giá trị của \(\int\limits_0^\pi {\left[ {3f\left( x \right) + 2} \right]dx} \) bằng
\(2\).
\( - 4\).
\(2\pi \).
\(2\pi - 6\).
Đáp án đúng là: D
\(\int\limits_0^\pi {\left[ {3f\left( x \right) + 2} \right]dx} = 3\int\limits_0^\pi {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^\pi {2dx} \)\( = \left. {\left( {3\cos x + 2x} \right)} \right|_0^\pi = - 3 + 2\pi - 3 = 2\pi - 6\).
Biết \(\int\limits_3^5 {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = a + \ln \frac{b}{2}} \) với \(a,b\) là các số nguyên. Tính \(S = a - 2b\).
\(S = 2\).
\(S = - 2\).
\(S = 5\).
\(S = 10\).
Đáp án đúng là: A
\[\int\limits_3^5 {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = } \int\limits_3^5 {\left( {x + \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx = } \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_3^5 = \frac{{25}}{2} + \ln 6 - \frac{9}{2} - \ln 4 = 8 + \ln \frac{3}{2}\].
Suy ra \(S = 8 - 2.3 = 2\).
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) xác định bởi các đường \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2},y = 0,x = 0,x = 3\) quanh trục \(Ox\) là
\(\frac{{81}}{{35}}\).
\(\frac{{81\pi }}{{35}}\).
\(\frac{{71\pi }}{{35}}\).
\(\frac{{71}}{{35}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {\frac{1}{3}{x^3} - {x^2}} \right)}^2}dx} = \frac{{81\pi }}{{35}}\).
Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = {x^2},y = x\) và các đường thẳng \(x = - 2;x = 1\) có diện tích là
\(S = \frac{{29}}{6}\).
\(S = \frac{{171}}{{10}}\).
\(S = \frac{9}{2}\).
\(S = 4,83346\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^2} - x} \right|dx} \)\( = \int\limits_{ - 2}^0 {\left| {{x^2} - x} \right|dx} + \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - x} \right|dx} \)\( = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} + \int\limits_0^1 {\left( {x - {x^2}} \right)dx} = \frac{{14}}{3} + \frac{1}{6} = \frac{{29}}{6}\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\). Tính bán kính \(R\) của \(\left( S \right)\).
\(R = 3\).
\(R = 9\).
\(R = 18\).
\(R = 6\).
Đáp án đúng là: A
Bán kính mặt cầu: \(R = \sqrt 9 = 3\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua gốc tọa độ \(O\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {5; - 3;2} \right)\) là
\(5x - 3y + 2z + 2 = 0\).
\(5x - 3y + 2z + 1 = 0\).
\(5x - 3y + 2z = 0\).
\(5x - 3y - 2z = 0\).
Đáp án đúng là: C
Phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua gốc tọa độ \(O\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {5; - 3;2} \right)\) là
\(5x - 3y + 2z = 0\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc \(\Delta \) của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {1; - 2;5} \right),B\left( {3;1;1} \right)\).
\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 5}}{{ - 4}}\).
\(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 5}}{1}\).
\(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 5}}{{ - 4}}\).
\(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 5}}{5}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;3; - 4} \right)\).
Phương trình \(\Delta \) đi qua \(A\left( {1; - 2;5} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;3; - 4} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 5}}{{ - 4}}\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(3x + 4y + 2z + 4 = 0\) và điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right)\). Tính khoảng cách d từ \(A\) đến \(\left( P \right)\).
\(d = \frac{5}{{29}}\).
\(d = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
\(d = \frac{5}{9}\).
\(d = \frac{5}{{\sqrt {29} }}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(d = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 4.\left( { - 2} \right) + 2.3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {2^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {29} }}\).
Cho hai biến cố độc lập \(A,B\) với \(P\left( A \right) = 0,6;P\left( B \right) = 0,45\). Khi đó \(P\left( {B|A} \right)\) bằng
\(0,45\).
\(0,6\).
\(0,75\).
\(0,15\).
Đáp án đúng là: A
Vì \(A,B\) độc lập nên \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).
Khi đó \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = P\left( B \right) = 0,45\).
Cho hai biến cố \(A,B\) sao cho \(P\left( A \right) = 0,4;P\left( B \right) = 0,8;P\left( {A|B} \right) = 0,2\). Tính \(P\left( {B|A} \right)\).
\(0,1\).
\(0,2\).
\(0,3\).
\(0,4\).
Đáp án đúng là: D
Theo công thức Bayes, ta có \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,8.0,2}}{{0,4}} = 0,4\).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Một vật chuyển động với gia tốc \(a\left( t \right) = \frac{1}{{{t^2} + 3t + 2}}\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\), trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính từ thời điểm ban đầu. Vận tốc chuyển động của vật là \(v\left( t \right)\), vận tốc ban đầu của vật là \({v_0} = 3\ln 2\left( {{\rm{m/s}}} \right).\)
Vận tốc của vật tại thời điểm \(t\) giây là \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} \).
Vận tốc của vật tại thời điểm \(t\) giây là \(v\left( t \right) = \ln \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| + 4\ln 2\).
Vào thời điểm \(t = 10\;{\rm{s}}\) thì vận tốc của vật là \(2,86\;{\rm{m/s}}\).
Không có thời điểm nào vận tốc của vật đạt \(v = 4\ln 2\;\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ
a) Vận tốc của vật tại thời điểm \(t\) giây là \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} \).
b) \(v\left( t \right) = \int {\frac{1}{{{t^2} + 3t + 2}}dt} \)\( = \int {\frac{1}{{\left( {t + 1} \right)\left( {t + 2} \right)}}dt} \)\( = \int {\left( {\frac{1}{{t + 1}} - \frac{1}{{t + 2}}} \right)dt} \)\( = \ln \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| + C\).
Mà \({v_0} = 3\ln 2\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) nên \(\ln \frac{1}{2} + C = 3\ln 2 \Rightarrow C = 4\ln 2\).
Do đó \(v\left( t \right) = \ln \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| + 4\ln 2\).
c) Có \(v\left( {10} \right) = \ln \frac{{11}}{{12}} + 4\ln 2 \approx 2,69\;{\rm{m/s}}\).
d) \(v\left( t \right) = \ln \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| + 4\ln 2 = 4\ln 2\)\( \Rightarrow \ln \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| = 0\)\( \Rightarrow \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| = 1\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{t + 1}}{{t + 2}} = 1\\\frac{{t + 1}}{{t + 2}} = - 1\end{array} \right.\) vô nghiệm.
Do đó không có thời điểm nào vận tốc của vật đạt \(v = 4\ln 2\;\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z + 3 = 0\) và điểm\(A\left( {1;1;2} \right)\).
Tọa độ của một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\left( {1;2; - 1} \right)\).
Điểm \(A\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Phương trình mặt cầu tâm \(A\) và có bán kính bằng khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 8\).
Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(A\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có phương trình là \(x + 2y - z - 1 = 0\).
a)Đ, b) S, c) S, d) Đ
a) Tọa độ của một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\left( {1;2; - 1} \right)\).
b) Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;1;2} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z + 3 = 0\) ta được
\(1 + 2.1 - 2 + 3 = 4 \ne 0\). Do đó \(A \notin \left( P \right)\).
c) Ta có \(R = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.1 - 2 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 6 }}\).
Mặt cầu cần tìm là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \frac{{16}}{6} = \frac{8}{3}\).
d) Mặt phẳng \(\left( Q \right)//\left( P \right)\) nên ta có \(\left( Q \right):x + 2y - z + D = 0\left( {D \ne 3} \right)\).
Vì \(\left( Q \right)\) đi qua điểm \(A\) nên \(1 + 2.1 - 2 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 1\).
Vậy \(\left( Q \right):x + 2y - z - 1 = 0\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1; - 1;3} \right)\) và hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{1}\) và \({d_2}:\frac{{x - 3}}{3} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\). Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(A\) cắt đường thẳng \({d_1}\) và vuông góc với đường thẳng \({d_2}\).
Đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1;1} \right)\).
Mặt phẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với đường thẳng \({d_2}\) có phương trình là \(3x + 3y + z - 3 = 0\).
Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {6;5;3} \right)\).
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(K\left( {13; - 11;9} \right)\).
a)Đ, b) S, c) S, d) Đ
a) Đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1;1} \right)\).
b) Ta có \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3;3; - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({d_2}\).
Mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {1; - 1;3} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \({d_2}\) nhận vectơ \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3;3; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 1} \right) - \left( {z - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + 3y - z + 3 = 0\).
c) Giả sử \(d \cap {d_1} = M\). Khi đó \(M\left( {2 + t; - 1 - t;1 + t} \right)\).
Đường thẳng \(d\) nhận \(\overrightarrow {AM} = \left( {1 + t; - t;t - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Lại có \(d \bot {d_2}\) nên \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \Leftrightarrow \left( {1 + t} \right).3 + \left( { - t} \right).3 + \left( {t - 2} \right).\left( { - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow t = 5\).
Suy ra \(\overrightarrow {AM} = \left( {6; - 5;3} \right)\).
d) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1; - 1;3} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AM} = \left( {6; - 5;3} \right)\) có phương trình là \(\frac{{x - 1}}{6} = \frac{{y + 1}}{{ - 5}} = \frac{{z - 3}}{3}\).
Thay tọa độ điểm \(K\left( {13; - 11;9} \right)\) vào phương trình đường thẳng d ta được
\(\frac{{13 - 1}}{6} = \frac{{ - 11 + 1}}{{ - 5}} = \frac{{9 - 3}}{3}\) (đúng). Do đó đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(K\left( {13; - 11;9} \right)\).
Một xưởng máy sử dụng một loại linh kiện được sản xuất từ hai cơ sở I và II. Số linh kiện do cơ sở I sản xuất chiếm \(61\)%, số linh kiện do cơ sở II sản xuất chiếm \(39\)%. Tỉ lệ linh kiện đạt tiêu chuẩn của cơ sở I, cơ sở II lần lượt là 93%, 82%. Kiểm tra ngẫu nhiên 1 linh kiện ở xưởng máy. Xét các biến cố:\({A_1}\): “Linh kiện được kiểm tra do cơ sở I sản xuất”;\({A_2}\): “Linh kiện được kiểm tra do cơ sở II sản xuất”;\(B\): “Linh kiện được kiểm tra đạt tiêu chuẩn”.
\(P\left( {{A_1}} \right) = 0,39.\)
\(P\left( {B|{A_2}} \right) = 0,82.\)
\(P\left( B \right) = 0,8871.\)
\(P\left( {{A_1}|B} \right) = 0,55.\)
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Do \({\rm{P}}\left( {{A_1}} \right) = 0,61\).
b) \({\rm{P}}\left( {B\mid {A_2}} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {B \cap {A_2}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {{A_2}} \right)}} = 0,82\).
c) Ta có: \({\rm{P}}\left( {{A_1}} \right) = 0,61;{\rm{P}}\left( {{A_2}} \right) = 0,39;{\rm{P}}\left( {B\mid {A_1}} \right) = 0,93;{\rm{P}}\left( {B\mid {A_2}} \right) = 0,82\).
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\({\rm{P}}\left( B \right) = {\rm{P}}\left( {{A_1}} \right){\rm{.P}}\left( {B\mid {A_1}} \right) + {\rm{P}}\left( {{A_2}} \right){\rm{.P}}\left( {B\mid {A_2}} \right) = 0,61.0,93 + 0,39.0,82 = 0,8871\).
d) Theo công thức Bayes, ta có: \({\rm{P}}\left( {{A_1}\mid B} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {{A_1}} \right){\rm{.P}}\left( {B\mid {A_1}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( B \right)}} = \frac{{0,61 \cdot 0,93}}{{0,8871}} \approx 0,64\).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 6.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 3{\cos ^2}\frac{x}{2} + \sin x\). Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 5\). Tính giá trị \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Trả lời: 7,53
Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{{\cos }^2}\frac{x}{2} + \sin x} \right)} dx\)\( = \int {\left( {3\frac{{1 + \cos x}}{2} + \sin x} \right)} dx\)
\[ = \int {\left( {\frac{3}{2} + \frac{{3\cos x}}{2} + \sin x} \right)} dx\]\[ = \frac{3}{2}x + \frac{3}{2}\sin x - \cos x + C\].
Vì \(F\left( 0 \right) = 5\) nên \[F\left( 0 \right) = - 1 + C = 5 \Rightarrow C = 6\].
Do đó \[F\left( x \right) = \frac{3}{2}x + \frac{3}{2}\sin x - \cos x + 6\].
Vậy \[F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{3}{2}.\frac{\pi }{4} + \frac{3}{2}\sin \frac{\pi }{4} - \cos \frac{\pi }{4} + 6 \approx 7,53\].
Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của \(a\) thỏa mãn \(I = \int\limits_1^2 {\left[ {{a^2} + \left( {4 - a} \right)x + 4{x^3}} \right]dx} = \frac{{184}}{9}\) (với \(a \in \mathbb{R}\)). Khi đó tổng các phần tử của \(S\) là bao nhiêu?
Trả lời: 1,5
\(I = \int\limits_1^2 {\left[ {{a^2} + \left( {4 - a} \right)x + 4{x^3}} \right]dx} = \frac{{184}}{9}\)
\( \Leftrightarrow \left. {\left( {{a^2}x + \left( {4 - a} \right)\frac{{{x^2}}}{2} + {x^4}} \right)} \right|_1^2 = \frac{{184}}{9}\)
\( \Leftrightarrow \left( {2{a^2} + 2\left( {4 - a} \right) + 16 - {a^2} - \frac{1}{2}\left( {4 - a} \right) - 1} \right) = \frac{{184}}{9}\)
\( \Leftrightarrow {a^2} + \frac{3}{2}\left( {4 - a} \right) + 15 = \frac{{184}}{9}\)
\( \Leftrightarrow {a^2} - \frac{3}{2}a + \frac{5}{9} = 0\)
\( \Leftrightarrow a = \frac{5}{6}\) hoặc \(a = \frac{2}{3}\). Suy ra \(S = \left\{ {\frac{5}{6};\frac{2}{3}} \right\}\)
Do đó tổng các phần tử của \(S\) là \(1,5\).
Hình sau minh họa mặt cắt đứng của một bức tường cũ có dạng hình chữ nhật với một cổng ra vào có dạng hình parabol với các kích thước được cho như trong hình đó. Người ta dự định sơn lại mặt ngoài của bức tường đó. Chi phí để sơn bức tường là 15 000 đồng/1 m2. Tổng chi phí để sơn lại toàn bộ mặt ngoài của bức tường đó sẽ là bao nhiêu nghìn đồng?
Trả lời: 1008
Ta có diện tích bức tường hình chữ nhật là \(10.8 = 80\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho gốc \(O\) trùng với chân bên trái cổng parabol như hình sau:
Giả sử \(P:y = a{x^2} + bx + c\).
Vì \(\left( P \right)\) đi qua \(\left( {0;0} \right),\left( {2;4,8} \right),\left( {4;0} \right)\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 4,8\\16a + 4b + c = 0\\c = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{6}{5}\\b = \frac{{24}}{5}\\c = 0\end{array} \right.\).
Do đó \(\left( P \right):y = - \frac{6}{5}{x^2} + \frac{{24}}{5}x\).
Diện tích của chiếc cổng là: \(S = \int\limits_0^4 {\left| { - \frac{6}{5}{x^2} + \frac{{24}}{5}x} \right|dx} = \frac{{64}}{5}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Suy ra diện tích cần sơn là: \(80 - \frac{{64}}{5} = 67,2\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Chi phí cần để sơn là: \(67,2.15000 = 100800\) đồng = 1008 nghìn đồng.
Khi gắn hệ tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét) vào một căn nhà sao cho nền nhà thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), người ta coi mỗi mái nhà là một phần của mặt phẳng và thấy ba vị trí \(A,B,C\) ở mái nhà bên phải lần lượt có tọa độ \(\left( {2;\,0;\,4} \right)\), \(\left( {4;\,0;\,3} \right)\) và \(\left( {4;\,9;\,3} \right)\). Góc giữa mái nhà bên phải và nền nhà bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Trả lời: 27
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;0; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {2;9; - 1} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {9;0;18} \right) = 9\left( {1;0;2} \right)\).
Mặt phẳng \((ABC)\) và \((Oxy)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là:\({\vec n_1} = (1;0;2)\),\({\vec n_2} = (0;0;1)\).
Gọi \(\alpha \) là góc giữa mặt phẳng mái nhà bên phải và nền nhà.
Ta có \(\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\). Suy ra \(\alpha \approx 27^\circ \).
Trong không gian \[Oxyz\], đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ \(O\left( {0;0;0} \right)\), đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Một máy bay chuyển động hướng về đài kiểm soát không lưu, bay qua hai vị trí \(A\left( { - 500; - 250;150} \right),\,B\left( { - 200; - 200;100} \right).\)Khi máy bay ở gần đài kiểm soát nhất, tọa độ của vị trí máy bay là \(\left( {a;b;c} \right)\). Giá trị của biểu thức \(\frac{{\left( { - 3a - b - c} \right)}}{{10}}\)là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Trả lời: −180
Vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {300;50; - 50} \right)\) nên \(\overrightarrow u = \left( {6;1; - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\). Phương trình đường thẳng \(AB\) là: \(\frac{{x + 500}}{6} = \frac{{y + 250}}{1} = \frac{{z - 150}}{{ - 1}}\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của điểm \(O\) trên đường thẳng \(AB\)thì \(OH\) là khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát. Khi đó \(H\left( {6t - 500;t - 250; - t + 150} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {OH} .\overrightarrow u = \left( {6t - 500} \right).6 + t - 250 + \left( { - t + 150} \right).\left( { - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{1700}}{9}\).
Suy ra toạ độ của vị trí máy bay khi đó là \(\left( {\frac{{1900}}{3}; - \frac{{550}}{9}; - \frac{{350}}{9}} \right)\).
Vậy \(\frac{{ - 3a - b - c}}{{10}} = - 180.\)
Có 40 tấm thẻ kích thước như nhau và đánh số thứ tự lần lượt từ 1 đến 40 (mỗi tấm thẻ chỉ ghi một số nguyên dương, hai thẻ khác nhau ghi hai số khác nhau). Một người lần lượt rút hai thẻ (rút không hoàn lại). Tính xác suất lần thứ hai rút được thẻ ghi số nguyên tố.
Trả lời: 0,3
Xét các biến cố: \(A\): “Lần thứ nhất rút ra được thẻ ghi số nguyên tố”;
\(B\): “Lần thứ hai rút được thẻ ghi số nguyên tố”.
Từ \(1\) đến \(40\) có \(12\) số nguyên tố nên \(P\left( A \right) = \frac{{12}}{{40}} = 0,3\) và \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0,3 = 0,7\).
Vì rút không hoàn lại nên \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{11}}{{39}}\), \[P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{12}}{{39}} = \frac{4}{{13}}\].
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\[P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,3.\frac{{11}}{{39}} + 0,7.\frac{4}{{13}} = 0,3\].
