Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 12 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề 6)
22 câu hỏi
Cho hàm số có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{7}{3}; + \infty } \right)\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
\(f\left( 1 \right)\).
\(f\left( { - 2} \right)\).
\(f\left( { - 1} \right)\).
\(f\left( 0 \right)\).
Đáp án đúng là: D
Dựa vào bảng xét dấu ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left( { - 1; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\).
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x + 1}}{{x - 1}}\) có phương trình
\(y = \frac{1}{3}\).
\(y = 3\).
\(y = - 1\).
\(y = 1\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x + 1}}{{x - 1}} = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3x + 1}}{{x - 1}} = 3\).
Do đó \(y = 3\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình \(f\left( x \right) = - 1\) là
3.
1.
0.
2.
Đáp án đúng là: A
Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = - 1\) là số giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = - 1\).
Dựa vào đồ thị ta thấy số giao điểm là 3. Do đó phương trình \(f\left( x \right) = - 1\) có ba nghiệm phân biệt.
Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 8}}{{5x - 9}}\). Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
\(\left( { - \infty ;5} \right)\).
\(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
\(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(\left( {2; + \infty } \right)\)
Đáp án đúng là: D
Ta có \(y' = \frac{{ - 58}}{{{{\left( {5x - 9} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne \frac{9}{5}\).
Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{9}{5}} \right)\) và \(\left( {\frac{9}{5}; + \infty } \right)\).
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Đồ thị của hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\) là
Đáp án đúng là: C
Có \(y' = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 1\).
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
Đồ thị hàm số nhận \(x = - 1\) là tiệm cận đứng và \(y = 1\) là tiệm cận ngang. Do đó chọn C.
Cho \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\). Hỏi vectơ \(\overrightarrow {AO} - \overrightarrow {DO} \) bằng vectơ nào?
\(\overrightarrow {BA} \).
\(\overrightarrow {AD} \).
\(\overrightarrow {DC} \).
\(\overrightarrow {AC} \).
Đáp án đúng là: B
\(\overrightarrow {AO} - \overrightarrow {DO} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {AD} \).
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\overrightarrow a = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là
\(\left( {2; - 1; - 3} \right)\).
\(\left( { - 3;2; - 1} \right)\).
\(\left( {2; - 3; - 1} \right)\).
\(\left( { - 1;2; - 3} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow a = \left( { - 1;2; - 3} \right)\).
Cho tứ diện \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), \(SB\) vuông góc với đáy và \(SB = \sqrt 3 a\). Góc giữa hai vectơ \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right)\) là
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(90^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right) = \widehat {SAB}\).
Có \(\tan \widehat {SAB} = \frac{{SB}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 a}}{a} = \sqrt 3 \)\( \Rightarrow \widehat {SAB} = 60^\circ \).
Cho tam giác \(ABC\) biết \(A\left( {2; - 1;3} \right)\) và trọng tâm của tam giác có tọa độ là \(G\left( {2;1;0} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \) có tọa độ là
\(\left( {0; - 9;9} \right)\).
\(\left( {0;6;9} \right)\).
\(\left( {0;9; - 9} \right)\).
\(\left( {0;6; - 9} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Có \(\overrightarrow {AG} = \left( {0;2; - 3} \right)\).
Gọi M là trung điểm của BC.
Khi đó \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} = 2.\frac{3}{2}\overrightarrow {AG} = 3\overrightarrow {AG} = 3\left( {0;2; - 3} \right) = \left( {0;6; - 9} \right)\).
Bảng thống kê cân nặng 50 quả thanh long được lựa chọn ngẫu nhiên sau khi thu hoạch ở nông trường:
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)
63,5.
65,3.
382,7.
319,2.
Đáp án đúng là: A
Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1} = 290 + \frac{{\frac{{50}}{4} - 3}}{{13}}.\left( {330 - 290} \right) = \frac{{4150}}{{13}}\).
Tứ phân vị thứ ba \({Q_3} = 370 + \frac{{\frac{{3.50}}{4} - \left( {3 + 13 + 18} \right)}}{{11}}.\left( {410 - 370} \right) = \frac{{4210}}{{11}}\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{4210}}{{11}} - \frac{{4150}}{{13}} \approx 63,5\).
Một mẫu số liệu ghép nhóm có độ lệch chuẩn bằng 3 thì có phương sai bằng
\({s^2} = \sqrt 3 \).
\({s^2} = 3\).
\({s^2} = 9\).
\({s^2} = 6\).
Đáp án đúng là: C
Có \({s^2} = 9\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\)và hàm số \(y = f'\left( x \right)\)là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.
Xét tính đúng hoặc sai của các mệnh đề sau:
a) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\).
b) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị.
c) \(f'\left( 2 \right) = 4\).
d) Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \frac{1}{2}{x^2} + x + 2024\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{3}{2}} \right)\).
a) S, b) S, c) S, d) Đ
a) Vì từ đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta thấy \(f'\left( x \right) \ge 0\) với \(\forall x \ge 1\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
b) Vì từ đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta thấy \(f'\left( x \right)\) chỉ đổi dấu một lần qua \(x = 1\) nên hàm số có một điểm cực trị.
c) Từ đồ thị ta có hàm số \(f'\left( x \right)\) có dạng: \(f'\left( x \right) = a{\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right)\).
Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) đi qua \(\left( {0; - 4} \right)\) nên: \( - 4 = a{\left( {0 + 2} \right)^2}\left( {0 - 1} \right) \Leftrightarrow a = 1\).
Vậy \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right) \Rightarrow f'\left( 2 \right) = {\left( {2 + 2} \right)^2}\left( {2 - 1} \right) = 16\).
d) Ta có: \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - x + 1 = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x - 1\).
Vẽ đường thẳng \(y = x - 1\) trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\).
Khi đó: \(f'\left( x \right) = x - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)\).
Ta có hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 3; - 1} \right)\) nên \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{3}{2}} \right)\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 4x - 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Số khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số là bằng nhau.
b) Đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực đại tại điểm có tọa độ \(\left( { - 1;2} \right)\).
c) Đường thẳng \(x = 1\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).
d) Trên đồ thị \(\left( C \right)\) tồn tại đúng 4 điểm có tọa độ nguyên.
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S
Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 4x - 1}}{{x - 1}}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Xét đạo hàm \(y' = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\).
a) Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\) và \(\left( {1;3} \right)\).
b) Đồ thị hàm số đạt cực đại tại điểm \(\left( { - 1;2} \right)\).
c) Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty \) nên đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
d) Ta có \(y = \frac{{{x^2} + 4x - 1}}{{x - 1}} = x + 5 + \frac{4}{{x - 1}}\).
Ta có \(M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right):y = x + 5 + \frac{4}{{x - 1}}\) có tọa độ nguyên \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z}\\y \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z}\\4 \vdots \left( {x - 1} \right)\end{array} \right.\).
Từ đó ta có \(\left[ \begin{array}{l}x - 1 = 1\\x - 1 = - 1\\x - 1 = 2\\x - 1 = - 2\\x - 1 = 4\\x - 1 = - 4\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2;y = 11\\x = 0;y = 1\\x = 3;y = 10\\x = - 1;y = 2\\x = 5;y = 11\\x = - 3;y = 1\end{array} \right.\).
Do đó đồ thị \(\left( C \right)\) có 6 tọa độ nguyên.
Trong không gian \[Oxyz\], cho \(\Delta ABC\)với \(A\left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)\), \(B\left( {4\,;\,5\,;\,6} \right)\), \(C\left( {2\,;\,7\,;\,4} \right)\)
a) Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;3;3} \right)\).
b) Tọa độ trọng tâm \(G\) của \(\Delta ABC\) là \(G\left( {\frac{7}{3};\,\frac{{14}}{3}\,;\,\frac{{13}}{3}} \right)\).
c) Tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là 31.
d) Chu vi và diện tích của \(\Delta ABC\) lần lượt là \(8\sqrt 3 \) và \(6\sqrt 2 \,\).
a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ
a) \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;3;3} \right)\).
b) Gọi \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\).
Ta có: \(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\,\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\,;\,\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)
Vậy: \(G\left( {\frac{7}{3};\,\frac{{14}}{3}\,;\,\frac{{13}}{3}} \right)\).
c) \(\overrightarrow {AB} = \left( {3\,;\,3\,;\,3} \right)\); \(\overrightarrow {AC} = \left( {1\,;\,5\,;\,1} \right)\).
Tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \): \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 3.1 + 3.5 + 3.1 = 21\).
d) Ta có:
\(AB = \sqrt {{{(4 - 1)}^2} + {{(5 - 2)}^2} + {{(6 - 3)}^2}} = 3\sqrt 3 \)
\(BC = \sqrt {{{(2 - 4)}^2} + {{(7 - 5)}^2} + {{(4 - 6)}^2}} = 2\sqrt 3 \)
\(AC = \sqrt {{{(2 - 1)}^2} + {{(7 - 2)}^2} + {{(4 - 3)}^2}} = 3\sqrt 3 \)
Chu vi \(\Delta ABC\):
\({P_{\Delta ABC}} = AB + BC + AC = 3\sqrt 3 + 2\sqrt 3 + 3\sqrt 3 = 8\sqrt 3 \).
Ta có nửa chu vi \(\Delta ABC\) là \(p = \frac{1}{2}.8\sqrt 3 = 4\sqrt 3 \).
Áp dụng công thức Heron, ta có diện tích tam giác \(ABC\) là:
\({S_{\Delta ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - BC} \right)\left( {p - AC} \right)} \)
\( = \sqrt {4\sqrt 3 \left( {4\sqrt 3 - 3\sqrt 3 } \right)\left( {4\sqrt 3 - 2\sqrt 3 } \right)\left( {4\sqrt 3 - 3\sqrt 3 } \right)} = 6\sqrt 2 \,\).a
Bảng sau thống kê lại tổng số giờ nắng trong tháng 6 của các năm từ 2002 đến 2021 tại hai trạm quan trắc đặt ở Nha Trang và Quy Nhơn.
Số giờ nắng | \([130;160)\) | \([160;190)\) | \([190;220)\) | \([220;250)\) | \([250;280)\) | \([280;310)\) |
Số năm ở Nha Trang | 1 | 1 | 1 | 8 | 7 | 2 |
Số năm ở Quy Nhơn | 0 | 1 | 2 | 4 | 10 | 3 |
(Nguồn: Tổng cục Thống kê)
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu của Quy Nhơn là 180.
b) Xét số liệu của Nha trang ta có phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là: 1248,75.
c) Xét số liệu của Quy Nhơn ta có độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) là: \(30,59\).
d) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 6 của Nha Trang đồng đều hơn.
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu của Quy Nhơn là 310 – 160 = 150.
b) Xét số liệu của Nha Trang:
Số trung bình: \(\overline {{x_X}} = \frac{{1.145 + 1.175 + 1.205 + 8.235 + 7.265 + 2.295}}{{20}} = 242,5\).
Độ lệch chuẩn: \(s_X^2 = \frac{{{{1.145}^2} + {{1.175}^2} + {{1.205}^2} + {{8.235}^2} + {{7.265}^2} + {{2.295}^2}}}{{20}} - 242,{5^2} = 1248,75\).
c) Xét số liệu của Quy Nhơn:
Số trung bình: \(\overline {{x_Y}} = \frac{{1.175 + 2.205 + 4.235 + 10.265 + 3.295}}{{20}} = 253\).
Độ lệch chuẩn: \({s_Y} = \sqrt {\frac{{{{1.175}^2} + {{2.205}^2} + {{4.235}^2} + {{10.265}^2} + {{3.295}^2}}}{{20}} - {{253}^2}} \approx 30,59\).
d) Vậy nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn.Biết hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 28\) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) tại \({x_0}\). Tính \(P = {x_0} + 2\).
Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x - 9\); \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\).
Vì \(x \in \left[ {0;4} \right]\) nên chọn \(x = 3\).
Ta có \(y\left( 0 \right) = 28;y\left( 3 \right) = 1;y\left( 4 \right) = 8\).
Suy ra hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 3\). Do đó \(P = 3 + 2 = 5\).
Cho hàm số \(y = \frac{{2x + m}}{{mx - 1}}\). Có bao nhiêu giá trị của \(m\)để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và các tiệm cận cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 2.
Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang thì \(m \ne 0\).
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x = \frac{1}{m}\) và tiệm cận ngang là \(y = \frac{2}{m}\).
Vì diện tích bằng 2 nên \(\left| {\frac{1}{m}} \right|.\left| {\frac{2}{m}} \right| = 2 \Leftrightarrow m = \pm 1\).
Vậy có 2 giá trị của m.
Cho một tấm nhôm hình chữ nhật có kích thước \[15\,{\rm{cm}} \times 24\,{\rm{cm}}\]. Người ta cắt bỏ 4 góc của tấm tôn 4 miếng hình vuông bằng nhau rồi gò lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp. Để thể tích của hình hộp đó lớn nhất thì độ dài cạnh hình vuông của các miếng tôn bị cắt bỏ bằng bao nhiêu?
![Cho một tấm nhôm hình chữ nhật có kích thước \[15\,{\rm{cm}} \times 24\,{\rm{cm}}\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/12/blobid13-1734011829.png)
Giả sử độ dài cạnh hình vuông của các miếng tôn bị cắt bỏ bằng \[x\,(0 < 2x < 15 \Leftrightarrow 0 < x < \frac{{15}}{2})\]. Khi đó hình hộp chữ nhật có chiều cao bằng x, chiều rộng bằng \[15 - 2x\] và chiều dài bằng \[24 - 2x\]. Suy ra hình hộp chữ nhật có thể tích \[V = x\left( {15 - 2x} \right)\left( {24 - 2x} \right) = 4{x^3} - 78{x^2} + 360x\].
Xét hàm \[f\left( x \right) = 4{x^3} - 78{x^2} + 360x\] trên \[\left( {0;\frac{{15}}{2}} \right)\].
\[f'\left( x \right) = 12{x^2} - 156x + 360 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 10\end{array} \right.\]. Bảng biến thiên hàm số \[f\left( x \right)\] trên \[\left( {0;\frac{{15}}{2}} \right)\]:
![Cho một tấm nhôm hình chữ nhật có kích thước \[15\,{\rm{cm}} \times 24\,{\rm{cm}}\]. (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/12/blobid14-1734011839.png)
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đạt giá trị lớn nhất trên \[\left( {0;\frac{{15}}{2}} \right)\] tại \[x = 3\] hay hình hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất khi độ dài cạnh hình vuông của miếng tôn bị cắt bỏ bằng 3 cm.
Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết \(x\) sản phẩm đó \(\left( {0 < x \le 2000} \right)\), tổng số tiền doanh nghiệp thu được (đơn vị: chục nghìn đồng) là \(f\left( x \right) = 2000x - {x^2}\) và tổng chi phí (đơn vị: chục nghìn đồng) doanh nghiệp chi ra là \(g\left( x \right) = {x^2} + 1440x + 50\). Giả sử mức thuế phụ thu trên một đơn vị sản phẩm bán được là \(t\) (chục nghìn đồng) \(\left( {0 < t < 300} \right)\). Mức thuế phụ thu \(t\) (trên một đơn vị sản phẩm) sao cho nhà nước nhận được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng thu được lợi nhuận lớn nhất theo mức thuế phụ thu đó là bao nhiêu đồng?
Lợi nhuận doanh nghiệp thu được là \(h\left( x \right) = \left( {2000x - {x^2}} \right) - \left( {{x^2} + 1440x + 50} \right) - tx\)
\( = - 2{x^2} + \left( {560 - t} \right)x - 50\) với \(0 < x \le 2000\).
Xét hàm \(h\left( x \right) = - 2{x^2} + \left( {560 - t} \right)x - 50\) với \(0 < x \le 2000\).
Ta có \(h'\left( x \right) = - 4x + 560 - t = 0 \Rightarrow x = \frac{{560 - t}}{4} \in \left( {0;2000} \right)\).
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy lợi nhuận doanh nghiệp cao nhất tại \(x = \frac{{560 - t}}{4}\).
Khi đó số tiền thuế thu được từ doanh nghiệp là \(k\left( t \right) = \frac{{560 - t}}{4}.t = - \frac{{{t^2}}}{4} + \frac{{560}}{4}t\) với \(0 < t < 300\).
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy mức thuế phụ thu trên một đơn vị sản phẩm bán được là \(t = 280 \Rightarrow x = 70\) sản phẩm.
Vậy mức thuế phụ thu là 2800000 đồng/ sản phẩm, doanh nghiệp sản xuất và bán hết 70 sản phẩm.
Cho tứ diện \(ABCD\). Trên các cạnh \(AD\) và \(BC\) lần lượt lấy \(M,N\) sao cho \(AM = 3MD\), \(BN = 3NC\). Gọi \(P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC\). Phân tích vectơ \(\overrightarrow {MN} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {PQ} \) và \(\overrightarrow {DC} \) ta được \(\overrightarrow {MN} = a\overrightarrow {PQ} + b\overrightarrow {DC} \). Tính \(a + 2b\).
Do \(AM = 3MD\), \(BN = 3NC\) và \(P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC\)nên \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(PD\) và \(QC\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QN} \\\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN} \end{array} \right. \Rightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {DC} \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {DC} } \right)\).
Khi đó \(a = \frac{1}{2};b = \frac{1}{2} \Rightarrow a + 2b = \frac{3}{2}\).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;2;1} \right);B\left( {2; - 1;3} \right)\) và điểm \(M\left( {a;b;0} \right)\) sao cho \(M{A^2} + M{B^2}\) nhỏ nhất. Tính \(a + b\).
Ta thấy \(M\left( {a;b;0} \right) \in \left( {Oxy} \right)\). Gọi \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2};2} \right)\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).
Ta có \(M{A^2} + M{B^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} = {\left( {\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {IM} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IM} } \right)^2}\)
\( = 2I{M^2} + 2I{A^2} = 2I{M^2} + 7\).
Suy ra \(M{A^2} + M{B^2}\) nhỏ nhất Û \(IM\) ngắn nhất Û \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).
Suy ra \(M\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2};0} \right)\). Như vậy \(a = \frac{3}{2};b = \frac{1}{2} \Rightarrow a + b = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2\).
