Bài tập Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố song song lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 1), B(1; 1; 0) và C(3; 4; −1). Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là
\(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{y}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\);
\(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\);
\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\);
\(\frac{{x + 1}}{4} = \frac{y}{5} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\).
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng d đi qua A và song song với BC nhận \(\overrightarrow {BC} = \left( {2;3; - 1} \right)\) làm một vectơ chỉ phương có phương trình là \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng đi qua M(1; 3; 4) và song song với trục hoành là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3 + t\\z = 4\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 3\\z = 4\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\\z = 4 + t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3 + t\\z = 4 + t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng đi qua M(1; 3; 4) và song song với trục hoành nhận \(\overrightarrow u = - \overrightarrow i = \left( { - 1;0;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 3\\z = 4\end{array} \right.\).
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(−1; 2; 2). Đường thẳng đi qua M và song song với Oy có phương trình là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2\\z = 2 + t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = t\\z = 2\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 2\\z = 2\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 2\\z = 2 + t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng đi qua M và song song với Oy nhận \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng ở đáp án B thỏa mãn.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 1; 0), B(1; 0; 1), C(3; 1; 0). Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là:
\(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{1}\);
\(\frac{{z + 1}}{4} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{1}\);
\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\);
\(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{1}\).
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng đi qua A(1; 1; 0) song song với BC nên nhận \(\overrightarrow {BC} = \left( {2;1; - 1} \right)\) là vectơ chỉ phương do đó có phương trình là \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; −1; 3), B(1; 0; 1), C(−1; 1; 2). Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng BC.
\(x - 2y + z = 0\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2t\\y = - 1 + t\\z = 3 + t\end{array} \right.\);
\(\frac{x}{{ - 2}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{1}\);
\(\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\).
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng đi qua A và song song BC nhận \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;1;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Suy ra phương trình chính tắc của đường thẳng \(\frac{x}{{ - 2}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{1}\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; −2; −3), B(−1; 4; 1) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{2}\). Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn AB và song song với d?
\(\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\);
\(\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\);
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\);
\(\frac{x}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{2}\).
Đáp án đúng là: B
Trung điểm của AB là I(0; 1; −1).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;2} \right)\) nên đường thẳng cần tìm cũng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;2} \right)\).
Suy ra phương trình \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; −1) và mặt phẳng (P): x + y – 1 = 0. Đường thẳng đi qua A đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy) có phương trình là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 2t\\z = 1 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - t\\z = - 1\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1\\z = - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 1 + 2t\\z = - t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
Mặt phẳng (Oxy) và (P) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {0;0;1} \right)\), \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;1;0} \right)\).
Có \(\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = - \left( {1; - 1;0} \right)\).
Gọi d là đường thẳng đi qua A đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy). Khi đó đường thẳng d nhận \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - t\\z = - 1\end{array} \right.\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): x – 2y + z – 1 = 0, (β): 2x + y – z = 0 và điểm A(1; 2; −1). Đường thẳng đi qua điểm A và song song với cả hai mặt phẳng (α), (β) có phương trình là:
\(\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 2}}{4} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\);
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{5}\);
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\);
\(\frac{x}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2;1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1; - 1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) và (β).
Đường thẳng có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {1;3;5} \right)\).
Phương trình của đường thẳng : \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{5}\).
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y – z – 2 = 0 và (Q): x – y – 5 = 0. Đường thẳng (d) song song với cả hai mặt phẳng (P) và (Q) có vectơ chỉ phương là
\(\overrightarrow u = \left( { - 1; - 1;1} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( {2; - 1;1} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( {1; - 2;1} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( { - 1; - 1; - 2} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1;0} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
Đường thẳng d song song với cả hai mặt phẳng (P) và (Q) nên nhận \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( { - 1; - 1; - 2} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + y – z – 1 = 0, (Q): x – 2y + z – 5 = 0. Đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a; - 3;b} \right)\). Tính a + b.
6;
−6;
9;
−9.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 2;1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
Đường thẳng d song song với cả hai mặt phẳng (P) và (Q) nên nhận \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( { - 1; - 3; - 5} \right)\).
Suy ra a = −1; b = −5. Do đó a + b = −6.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; −1; 3), B(1; 3; −2) và C(4; 5; 1). Đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng BC có phương trình là
\(\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 3}}{3}\).
\(\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 3}}\).
\(\frac{{x + 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 3}}{3}\).
\(\frac{{x - 2}}{5} = \frac{{y + 1}}{8} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Gọi d là đường thẳng cần tìm.
Theo giả thiết, đường thẳng d đi qua điểm A(2; −1; 3). Vì đường thẳng d song song với đường thẳng BC nên d nhận vectơ \(\overrightarrow {BC} \) làm một vectơ chỉ phương.
Có \(\overrightarrow {BC} = \left( {3;2;3} \right)\).
Khi đó, phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {BC} \) được lập là: \(\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 3}}{3}\)
Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M(1; 3; 4) và song song với trục hoành Oy là
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 3}\\{z = 4}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 3 + t}\\{z = 4}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 3}\\{z = 4 + t}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 3 + t}\\{z = 4 + t}\end{array}} \right.\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Gọi d là đường thẳng cần tìm.
Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 3; 4). Vì đường thẳng d song song với trục hoành Oy nên d nhận vectơ đơn vị của trục Oy là \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Đường thẳng đi qua điểm M(1; 3; 4) và có vectơ chỉ phương \(\vec i\) sẽ có phương trình tham số là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 0 \cdot t}\\{y = 3 + 1 \cdot t}\\{z = 4 + 0 \cdot t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 3 + t}\\{z = 4}\end{array}} \right.\).
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(1; 2; −1), N(2; −1; 3) và P(4; 0; 1). Phương trình tham số của đường thẳng đi qua M và song song với đường thẳng NP là
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 1 - 2t}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 - t}\\{z = - 1 + 2t}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = - 2 - t}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 1 + 2t}\end{array}} \right.\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Gọi d là đường thẳng cần tìm.
Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2; −1).
Vì đường thẳng d song song với đường thẳng NP nên d nhận vectơ \(\overrightarrow {NP} \) làm vectơ chỉ phương.
Ta có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {NP} = \left( {2;1; - 2} \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {NP} \) được viết như sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 1 - 2t}\end{array}} \right.\).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x − y + 3z − 5 = 0 và mặt phẳng (Q): x + 2y – z + 1 = 0. Đường thẳng đi qua điểm M(3; −1; 2) và song song với cả hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình là
\(\frac{{x - 3}}{{ - 5}} = \frac{{y + 1}}{5} = \frac{{z + 2}}{5}\).
\(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\).
\(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\).
\(\frac{{x + 3}}{{ - 5}} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z + 2}}{5}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Gọi d là đường thẳng cần tìm.
Từ phương trình của mặt phẳng (P) và (Q), ta xác định được các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;3} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;2; - 1} \right)\).
Đường thẳng d song song với cả hai mặt phẳng nên d vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến này. Do đó, d nhận tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến làm vectơ chỉ phương.
\(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( { - 5;5;5} \right) = - 5\left( {1; - 1; - 1} \right)\).
Đường thẳng d đi qua M(3; −1; 2) với vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1; - 1} \right)\) có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(3; −1; 2), N(1; 5; −4) và đường thẳng d có phương trình \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{3} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\). Gọi Δ là đường thẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng MN và song song với d. Phương trình tham số của Δ là
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 2t}\\{y = 2 + 3t}\\{z = - 1 - t}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 2t}\\{y = 2 - 3t}\\{z = - 1 - t}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 2t}\\{y = 2 + 3t}\\{z = - 1 - t}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y = 2 - 3t}\\{z = - 1 + 2t}\end{array}} \right.\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng MN là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_I} = \frac{{3 + 1}}{2} = 2}\\{{y_I} = \frac{{ - 1 + 5}}{2} = 2}\\{{z_I} = \frac{{2 + \left( { - 4} \right)}}{2} = - 1}\end{array}} \right.\).
Từ phương trình chính tắc của đường thẳng d, ta có được vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;3; - 1} \right)\).
Vì đường thẳng Δ song song với đường thẳng d nên Δ nhận \(\overrightarrow {{u_d}} \) làm vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua I và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} \) được viết lại là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 2t}\\{y = 2 + 3t}\\{z = - 1 - t}\end{array}} \right.\).
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và hai mặt phẳng (P): x + y + z + 1 = 0, (Q): x − y + z − 2 = 0. Gọi d là đường thẳng đi qua A và song song với cả hai mặt phẳng (P), (Q). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;1} \right)\).
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {1;0; - 1} \right)\).
Đường thẳng d đi qua điểm M(2; 2; 2).
Phương trình chính tắc của đường thẳng d là \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{0} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Từ phương trình tổng quát của mặt phẳng (P), ta có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;1} \right)\).
b) Đúng. Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1;1} \right)\).
Đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên vectơ chỉ phương của d được tính bằng tích có hướng: \(\vec v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {1 \cdot 1 - 1\left( { - 1} \right);1 \cdot 1 - 1 \cdot 1;1\left( { - 1} \right) - 1 \cdot 1} \right) = \left( {2;0; - 2} \right)\).
Rút gọn vectơ này bằng cách chia cho 2, ta được \(\vec u = \left( {1;0; - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương hoàn toàn hợp lệ.
c) Đúng. Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(1; 2; 3) với vectơ chỉ phương \(\vec u\) được viết dưới dạng hệ phương trình là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\).
Để kiểm tra xem điểm M(2; 2; 2) có nằm trên d hay không, ta thay tọa độ M vào hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 = 1 + t}\\{2 = 2}\\{2 = 3 - t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t = 1}\end{array}} \right.\).
Vì hệ có nghiệm duy nhất t = 1 nên điểm M thuộc d.
d) Sai. Vì tung độ của vectơ chỉ phương bằng 0 nên đường thẳng d không thể viết dưới dạng phương trình chính tắc (do mẫu số của phân thức không được phép bằng 0).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x − y + 2 = 0 và điểm M(1; 3; 2). Gọi d là đường thẳng đi qua M, đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;1;0} \right)\).
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow u = \left( {1;1;0} \right)\).
Đường thẳng d nằm hoàn toàn trong mặt phẳng có phương trình z = 2.
Phương trình tham số của đường thẳng d là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 3 + t}\\{z = 2}\end{array}} \right.\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai. Phương trình đặc trưng của mặt phẳng (Oxy) là z = 0. Do đó, nó nhận vectơ đơn vị nằm trên trục Oz là \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
b) Đúng. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;0} \right)\).
Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Oxy) nên d nhận tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến làm vectơ chỉ phương:
\(\vec v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\vec k} \right] = \left( { - 1; - 1;0} \right)\).
Vectơ \(\vec v\) này cùng phương với \(\overrightarrow u = \left( {1;1;0} \right)\) nên \(\overrightarrow u = \left( {1;1;0} \right)\) cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
c) Đúng. Vì đường thẳng d đi qua điểm M(1; 3; 2) và có vectơ chỉ phương \(\vec v = \left( { - 1; - 1;0} \right)\) với cao độ luôn bằng 0, nên mọi điểm trên d đều có cao độ z = 2 không thay đổi.
d) Đúng. Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 3; 2) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;1;0} \right)\) có phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 3 + t}\\{z = 2}\end{array}} \right.\).
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y − z − 2 = 0 và (Q): x − y − 5 = 0. Gọi d là đường thẳng song song với cả hai mặt phẳng (P) và (Q). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1; - 5} \right)\).
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {1;1;2} \right)\).
Đường thẳng d luôn vuông góc với mặt phẳng (P).
Nếu d đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) thì có phương trình chính tắc là \(\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai. Từ phương trình mặt phẳng (Q): x − y − 5 = 0, ta suy ra vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1;0} \right)\).
b) Đúng. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1; - 1} \right)\).
Vì đường thẳng d song song với cả (P) và (Q) nên d nhận tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến làm vectơ chỉ phương:
\(\vec v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {1 \cdot 0 - \left( { - 1} \right)\left( { - 1} \right);\left( { - 1} \right)1 - 1 \cdot 0;1\left( { - 1} \right) - 1 \cdot 1} \right) = \left( { - 1; - 1; - 2} \right)\).
Nhân vectơ này với −1 để rút gọn, ta được vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1;1;2} \right)\).
c) Sai. Theo định nghĩa, do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) nên d phải vuông góc với vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} \), chứ d không vuông góc với mặt phẳng (P).
d) Đúng. Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1;1;2} \right)\) thì có phương trình chính tắc là: \(\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}\).
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 1; 1) và đường thẳng d' có phương trình tham số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t}\\{y = 3 + 2t}\\{z = 4t}\end{array}} \right.\). Gọi d là đường thẳng đi qua A và song song với d'. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Đường thẳng d' có vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( { - 1;2;4} \right)\).
Đường thẳng d đi qua điểm B(0; 3; 5).
Hai đường thẳng d và d' cắt nhau tại một điểm.
Phương trình chính tắc của đường thẳng d là \(\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{4}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Dựa vào hệ số của tham số t trong phương trình tham số của d', ta trích xuất được ngay vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( { - 1;2;4} \right)\).
b) Đúng. Đường thẳng d song song với d' nên nhận \(\vec u = \left( { - 1;2;4} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của d đi qua A(1; 1; 1) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 1 + 4t}\end{array}} \right.\).
Thay t = 1 vào phương trình của d, ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 = 1 - t}\\{3 = 1 + 2t}\\{5 = 1 + 4t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t = 1}\\{t = 1}\end{array}} \right.\).
Vì hệ có nghiệm duy nhất t = 1 nên điểm B thuộc d.
c) Sai. Vì đường thẳng d song song với đường thẳng d' theo giả thiết đã cho nên chúng không có điểm chung, do đó chúng không thể cắt nhau.
d) Đúng. Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1; 1) và nhận \(\vec u = \left( { - 1;2;4} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{4}\).
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M(−1; 2; 1) và song song với đường thẳng d1 có phương trình \(\frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{3}\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Đường thẳng d1 có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 1;3} \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng d là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\\{y = 2 - t}\\{z = 1 + 3t}\end{array}} \right.\).
Điểm N(1; 1; 4) nằm trên đường thẳng d.
Đường thẳng d cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm có hoành độ x = 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Lấy các giá trị ở mẫu số của phương trình chính tắc, ta xác định được một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 1;3} \right)\).
b) Đúng. Vì đường thẳng d song song với đường thẳng d1 nên d cũng nhận \(\overrightarrow {{u_1}} \) làm vectơ chỉ phương. Phương trình tham số đi qua M(−1; 2; 1) có dạng là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\\{y = 2 - t}\\{z = 1 + 3t}\end{array}} \right.\).
c) Đúng. Để kiểm tra điểm N(1; 1; 4), ta thay tọa độ N vào hệ phương trình tham số của d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 = - 1 + 2t}\\{1 = 2 - t}\\{4 = 1 + 3t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2t = 2}\\{t = 1}\\{3t = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t = 1\).
Tọa độ khớp hoàn toàn với giá trị t = 1.
d) Sai. Giao điểm của d và mặt phẳng (Oxy) phải có cao độ z = 0.
Thay z = 0 vào phương trình tham số thứ ba của d để giải ra t, sau đó thay t vào phương trình hoành độ x: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 3t = 0}\\{x = - 1 + 2t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = - \frac{1}{3}}\\{x = - 1 + 2\left( { - \frac{1}{3}} \right) = - \frac{5}{3}}\end{array}} \right.\).
Vì hoành độ của giao điểm là \( - \frac{5}{3}\) khác 0, nên mệnh đề sai.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ có phương trình chính tắc \(\frac{{x - 1}}{a} = \frac{{y + 2}}{b} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}\). Biết Δ song song với đường thẳng d có phương trình \(\frac{x}{3} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{4}\). Tính tổng a + b.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: -0,5
Từ phương trình chính tắc của đường thẳng d, ta xác định được vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3; - 2;4} \right)\).
Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương dựa theo biểu thức đề bài là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {a;b; - 2} \right)\).
Vì hai đường thẳng này song song với nhau nên hai vectơ chỉ phương của chúng phải cùng phương.
Ta có: \(\frac{a}{3} = \frac{b}{{ - 2}} = \frac{{ - 2}}{4} = - 0,5 \Leftrightarrow a = - 1,5;b = 1\).
Tổng cần tìm là a + b = −1,5 + 1 = −0,5.
Trong không gian Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2; −1) và song song với đường thẳng d' có phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 2t}\\{y = 1 + 5t}\\{z = 4t}\end{array}} \right.\). Biết đường thẳng d cắt mặt phẳng tọa độ (Oxz) tại điểm K(x0; 0; z0). Tính tổng x0 +z0 .
Hướng dẫn giải:
Đáp án: -2,4
Từ phương trình tham số của đường thẳng d', ta xác định được vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {2;5;4} \right)\).
Đường thẳng d song song với d' nên d cũng nhận \(\overrightarrow {{u_{d'}}} \) làm vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2; −1) được viết dưới dạng hệ là:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + 5t}\\{z = - 1 + 4t}\end{array}} \right.\).
Điểm K nằm trên mặt phẳng (Oxz) nên có tung độ y bằng 0.
Thay y = 0 vào hệ phương trình tham số trên để giải ra t:
2 + 5t = 0 => 5t = −2 => t = −0,4.
Sử dụng giá trị t = −0,4 để tính tọa độ của điểm K trong một chuỗi biểu thức:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 1 + 2\left( { - 0,4} \right) = 0,2}\\{{z_0} = - 1 + 4\left( { - 0,4} \right) = - 2,6}\end{array}} \right.\).
Tổng giá trị biểu thức cần tính là x0 +z0 = 0,2 + (−2,6) = −2,4.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm A(2; 0; −3) và song song với đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 6x − 3y − z = 0 và (Q): 2y − z + 1 = 0. Biết đường thẳng d có một vectơ chỉ phương dạng \(\vec u = \left( {2;m;n} \right)\). Tính hiệu n − m.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2,4
Từ phương trình của hai mặt phẳng (P) và (Q), ta có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {6; - 3; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {0;2; - 1} \right)\).
Vì đường thẳng d song song với giao tuyến của hai mặt phẳng nên d nhận tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến làm vectơ chỉ phương:
\(\vec v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {\left( { - 3} \right)\left( { - 1} \right) - \left( { - 1} \right)2;\left( { - 1} \right)0 - 6\left( { - 1} \right);6 \cdot 2 - \left( { - 3} \right)0} \right) = \left( {5;6;12} \right)\).
Đường thẳng d cũng nhận \(\vec u = \left( {2;m;n} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên \(\vec u\) và \(\vec v\) phải cùng phương.
Ta thiết lập chuỗi tỉ lệ để tìm m và n:\(\frac{2}{5} = \frac{m}{6} = \frac{n}{{12}} = 0,4 \Leftrightarrow m = 2,4;n = 4,8\).
Hiệu cần tìm là n − m = 4,8 − 2,4 = 2,4.
Trong không gian Oxyz, đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P): x + y + z − 3 = 0, song song với mặt phẳng (Q): x − y + 2z − 1 = 0 và đi qua điểm A(2; 2; −1). Biết d cắt mặt phẳng tọa độ (Oyz) tại điểm B(0; y0; z0). Tính hiệu y0-z0 (làm tròn kết quả đến hai chữ số thập phân).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2,33
Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) nên d vuông góc với vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;1} \right)\).
Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (Q) nên d vuông góc với vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1;2} \right)\).
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d được tính bằng tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến trên:
\(\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {1 \cdot 2 - 1\left( { - 1} \right);1 \cdot 1 - 1 \cdot 2;1\left( { - 1} \right) - 1 \cdot 1} \right) = \left( {3; - 1; - 2} \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A(2; 2; −1) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 3t}\\{y = 2 - t}\\{z = - 1 - 2t}\end{array}} \right.\).
Giao điểm B của d với mặt phẳng (Oyz) có hoành độ x = 0. Thay vào phương trình đầu tiên ta giải được:2 + 3t = 0 => t = \( - \frac{2}{3}\).
Thay t vào biểu thức của y và z để tính hiệu y0-z0 một mạch như sau:
\({y_0} - {z_0} = \left( {2 - \left( { - \frac{2}{3}} \right)} \right) - \left( { - 1 - 2\left( { - \frac{2}{3}} \right)} \right) = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \approx 2,33\).
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \({d_1}\) đi qua hai điểm M(1; 0; −1) và N(2; 0; −1). Đường thẳng \({d_2}\) song song với \({d_1}\), nằm trong mặt phẳng (R): y + z − 2 = 0 và khoảng cách giữa hai đường thẳng này bằng \(\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\). Biết \({d_2}\) đi qua điểm K(0; a; b), tính tích số \(a \cdot b\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0,75
Đường thẳng d1 nhận vectơ nối hai điểm \(\overrightarrow {MN} = \left( {1;0;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Do đường thẳng d2 song song với d1 nên d2 cũng nhận \(\vec u = \left( {1;0;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Vì d2 nằm trong mặt phẳng (R) nên điểm K(0; a; b) thuộc d2 cũng phải nằm trên mặt phẳng (R).
Thay tọa độ K vào phương trình (R), ta có:a + b − 2 = 0 Þ b = 2 − a.
Ta có tọa độ điểm K(0; a; 2 − a). Vectơ nối M và K là \(\overrightarrow {MK} = \left( { - 1;a;3 - a} \right)\).
Ta tính tích có hướng của \(\overrightarrow {MK} \) và \(\vec u\) để áp dụng công thức tính khoảng cách:
\(\left[ {\overrightarrow {MK} ,\vec u} \right] = \left( {a \cdot 0 - \left( {3 - a} \right)0;\left( {3 - a} \right)1 - \left( { - 1} \right)0;\left( { - 1} \right)0 - a \cdot 1} \right) = \left( {0;3 - a; - a} \right)\).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là độ dài đường cao hình bình hành:
\(\frac{{\sqrt {{0^2} + {{\left( {3 - a} \right)}^2} + {{\left( { - a} \right)}^2}} }}{1} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sqrt {2{a^2} - 6a + 9} = \sqrt {4,5} \Leftrightarrow 2{a^2} - 6a + 4,5 = 0\)
\( \Leftrightarrow 4{a^2} - 12a + 9 = 0 \Leftrightarrow {\left( {2a - 3} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow a = 1,5\).
Với a = 1,5, ta suy ra b = 2 − 1,5 = 0,5.
Tích số cần tìm là a x b = 1,5 x 0,5 = 0,75.
Bạn có thích hoạt động này không?
