Bài tập Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố song song lớp 12 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Gọi d là đường thẳng cần tìm.

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 3; 4). Vì đường thẳng d song song với trục hoành Oy nên d nhận vectơ đơn vị của trục Oy là \(\overrightarrow j  = \left( {0;1;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng đi qua điểm M(1; 3; 4) và có vectơ chỉ phương \(\vec i\) sẽ có phương trình tham số là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 0 \cdot t}\\{y = 3 + 1 \cdot t}\\{z = 4 + 0 \cdot t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 3 + t}\\{z = 4}\end{array}} \right.\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Gọi d là đường thẳng cần tìm.

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2; −1).

Vì đường thẳng d song song với đường thẳng NP nên d nhận vectơ \(\overrightarrow {NP} \) làm vectơ chỉ phương.

Ta có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {NP}  = \left( {2;1; - 2} \right)\).

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {NP} \) được viết như sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z =  - 1 - 2t}\end{array}} \right.\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Gọi d là đường thẳng cần tìm.

Từ phương trình của mặt phẳng (P) và (Q), ta xác định được các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2; - 1;3} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1;2; - 1} \right)\).

Đường thẳng d song song với cả hai mặt phẳng nên d vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến này. Do đó, d nhận tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến làm vectơ chỉ phương.

\(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( { - 5;5;5} \right) =  - 5\left( {1; - 1; - 1} \right)\).

Đường thẳng d đi qua M(3; −1; 2) với vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 1; - 1} \right)\) có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng MN là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_I} = \frac{{3 + 1}}{2} = 2}\\{{y_I} = \frac{{ - 1 + 5}}{2} = 2}\\{{z_I} = \frac{{2 + \left( { - 4} \right)}}{2} =  - 1}\end{array}} \right.\).

Từ phương trình chính tắc của đường thẳng d, ta có được vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;3; - 1} \right)\).

Vì đường thẳng Δ song song với đường thẳng d nên Δ nhận \(\overrightarrow {{u_d}} \) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua I và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} \) được viết lại là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 2t}\\{y = 2 + 3t}\\{z =  - 1 - t}\end{array}} \right.\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Đúng.                d) Sai.

a) Đúng. Từ phương trình tổng quát của mặt phẳng (P), ta có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1;1} \right)\).

b) Đúng. Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1; - 1;1} \right)\).

Đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên vectơ chỉ phương của d được tính bằng tích có hướng: \(\vec v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {1 \cdot 1 - 1\left( { - 1} \right);1 \cdot 1 - 1 \cdot 1;1\left( { - 1} \right) - 1 \cdot 1} \right) = \left( {2;0; - 2} \right)\).

Rút gọn vectơ này bằng cách chia cho 2, ta được \(\vec u = \left( {1;0; - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương hoàn toàn hợp lệ.

c) Đúng. Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(1; 2; 3) với vectơ chỉ phương \(\vec u\) được viết dưới dạng hệ phương trình là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\).

Để kiểm tra xem điểm M(2; 2; 2) có nằm trên d hay không, ta thay tọa độ M vào hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 = 1 + t}\\{2 = 2}\\{2 = 3 - t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t = 1}\end{array}} \right.\).

Vì hệ có nghiệm duy nhất t = 1 nên điểm M thuộc d.

d) Sai. Vì tung độ của vectơ chỉ phương bằng 0 nên đường thẳng d không thể viết dưới dạng phương trình chính tắc (do mẫu số của phân thức không được phép bằng 0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.               b) Đúng.               c) Đúng.                d) Đúng.

a) Sai. Phương trình đặc trưng của mặt phẳng (Oxy) là z = 0. Do đó, nó nhận vectơ đơn vị nằm trên trục Oz là \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

b) Đúng. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 1;0} \right)\).

Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Oxy) nên d nhận tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến làm vectơ chỉ phương:

\(\vec v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\vec k} \right] = \left( { - 1; - 1;0} \right)\).

Vectơ \(\vec v\) này cùng phương với \(\overrightarrow u  = \left( {1;1;0} \right)\) nên \(\overrightarrow u  = \left( {1;1;0} \right)\) cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

c) Đúng. Vì đường thẳng d đi qua điểm M(1; 3; 2) và có vectơ chỉ phương \(\vec v = \left( { - 1; - 1;0} \right)\) với cao độ luôn bằng 0, nên mọi điểm trên d đều có cao độ z = 2 không thay đổi.

d) Đúng. Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 3; 2) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;1;0} \right)\) có phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 3 + t}\\{z = 2}\end{array}} \right.\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.               b) Đúng.               c) Sai.                    d) Đúng.

a) Sai. Từ phương trình mặt phẳng (Q): x − y − 5 = 0, ta suy ra vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1; - 1;0} \right)\).

b) Đúng. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1; - 1} \right)\).

Vì đường thẳng d song song với cả (P) và (Q) nên d nhận tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến làm vectơ chỉ phương:

\(\vec v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {1 \cdot 0 - \left( { - 1} \right)\left( { - 1} \right);\left( { - 1} \right)1 - 1 \cdot 0;1\left( { - 1} \right) - 1 \cdot 1} \right) = \left( { - 1; - 1; - 2} \right)\).

Nhân vectơ này với −1 để rút gọn, ta được vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1;1;2} \right)\).

c) Sai. Theo định nghĩa, do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) nên d phải vuông góc với vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} \), chứ d không vuông góc với mặt phẳng (P).

d) Đúng. Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1;1;2} \right)\) thì có phương trình chính tắc là: \(\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Sai.                    d) Đúng.

a) Đúng. Dựa vào hệ số của tham số t trong phương trình tham số của d', ta trích xuất được ngay vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( { - 1;2;4} \right)\).

b) Đúng. Đường thẳng d song song với d' nên nhận \(\vec u = \left( { - 1;2;4} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của d đi qua A(1; 1; 1) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 1 + 4t}\end{array}} \right.\).

Thay t = 1 vào phương trình của d, ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 = 1 - t}\\{3 = 1 + 2t}\\{5 = 1 + 4t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t = 1}\\{t = 1}\end{array}} \right.\).

Vì hệ có nghiệm duy nhất t = 1 nên điểm B thuộc d.

c) Sai. Vì đường thẳng d song song với đường thẳng d' theo giả thiết đã cho nên chúng không có điểm chung, do đó chúng không thể cắt nhau.

d) Đúng. Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1; 1) và nhận \(\vec u = \left( { - 1;2;4} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{4}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Đúng.                d) Sai.

a) Đúng. Lấy các giá trị ở mẫu số của phương trình chính tắc, ta xác định được một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2; - 1;3} \right)\).

b) Đúng. Vì đường thẳng d song song với đường thẳng d1 nên d cũng nhận \(\overrightarrow {{u_1}} \) làm vectơ chỉ phương. Phương trình tham số đi qua M(−1; 2; 1) có dạng là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + 2t}\\{y = 2 - t}\\{z = 1 + 3t}\end{array}} \right.\).

c) Đúng. Để kiểm tra điểm N(1; 1; 4), ta thay tọa độ N vào hệ phương trình tham số của d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 =  - 1 + 2t}\\{1 = 2 - t}\\{4 = 1 + 3t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2t = 2}\\{t = 1}\\{3t = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t = 1\).

Tọa độ khớp hoàn toàn với giá trị t = 1.

d) Sai. Giao điểm của d và mặt phẳng (Oxy) phải có cao độ z = 0.

Thay z = 0 vào phương trình tham số thứ ba của d để giải ra t, sau đó thay t vào phương trình hoành độ x: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 3t = 0}\\{x =  - 1 + 2t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t =  - \frac{1}{3}}\\{x =  - 1 + 2\left( { - \frac{1}{3}} \right) =  - \frac{5}{3}}\end{array}} \right.\).

Vì hoành độ của giao điểm là \( - \frac{5}{3}\) khác 0, nên mệnh đề sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: -0,5

Từ phương trình chính tắc của đường thẳng d, ta xác định được vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3; - 2;4} \right)\).

Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương dựa theo biểu thức đề bài là \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {a;b; - 2} \right)\).

Vì hai đường thẳng này song song với nhau nên hai vectơ chỉ phương của chúng phải cùng phương.

Ta có: \(\frac{a}{3} = \frac{b}{{ - 2}} = \frac{{ - 2}}{4} =  - 0,5 \Leftrightarrow a =  - 1,5;b = 1\).

Tổng cần tìm là a + b = −1,5 + 1 = −0,5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: -2,4

Từ phương trình tham số của đường thẳng d', ta xác định được vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {2;5;4} \right)\).

Đường thẳng d song song với d' nên d cũng nhận \(\overrightarrow {{u_{d'}}} \) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2; −1) được viết dưới dạng hệ là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + 5t}\\{z = - 1 + 4t}\end{array}} \right.\).

Điểm K nằm trên mặt phẳng (Oxz) nên có tung độ y bằng 0.

Thay y = 0 vào hệ phương trình tham số trên để giải ra t:

2 + 5t = 0 => 5t = −2 => t = −0,4.

Sử dụng giá trị t = −0,4 để tính tọa độ của điểm K trong một chuỗi biểu thức: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 1 + 2\left( { - 0,4} \right) = 0,2}\\{{z_0} = - 1 + 4\left( { - 0,4} \right) = - 2,6}\end{array}} \right.\).

Tổng giá trị biểu thức cần tính là x₀ + z₀ = 0,2 + (−2,6) = −2,4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2,4

Từ phương trình của hai mặt phẳng (P) và (Q), ta có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {6; - 3; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {0;2; - 1} \right)\).

Vì đường thẳng d song song với giao tuyến của hai mặt phẳng nên d nhận tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến làm vectơ chỉ phương:

\(\vec v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {\left( { - 3} \right)\left( { - 1} \right) - \left( { - 1} \right)2;\left( { - 1} \right)0 - 6\left( { - 1} \right);6 \cdot 2 - \left( { - 3} \right)0} \right) = \left( {5;6;12} \right)\).

Đường thẳng d cũng nhận \(\vec u = \left( {2;m;n} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên \(\vec u\) và \(\vec v\) phải cùng phương.

Ta thiết lập chuỗi tỉ lệ để tìm m và n: \(\frac{2}{5} = \frac{m}{6} = \frac{n}{{12}} = 0,4 \Leftrightarrow m = 2,4;n = 4,8\).

Hiệu cần tìm là n − m = 4,8 − 2,4 = 2,4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2,33

Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) nên d vuông góc với vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;1} \right)\).

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (Q) nên d vuông góc với vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1;2} \right)\).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d được tính bằng tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến trên:

\(\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {1 \cdot 2 - 1\left( { - 1} \right);1 \cdot 1 - 1 \cdot 2;1\left( { - 1} \right) - 1 \cdot 1} \right) = \left( {3; - 1; - 2} \right)\).

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A(2; 2; −1) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 3t}\\{y = 2 - t}\\{z = - 1 - 2t}\end{array}} \right.\).

Giao điểm B của d với mặt phẳng (Oyz) có hoành độ x = 0. Thay vào phương trình đầu tiên ta giải được: 2 + 3t = 0 => t = \( - \frac{2}{3}\).

Thay t vào biểu thức của y và z để tính hiệu y₀ - z₀ một mạch như sau:

\({y_0} - {z_0} = \left( {2 - \left( { - \frac{2}{3}} \right)} \right) - \left( { - 1 - 2\left( { - \frac{2}{3}} \right)} \right) = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \approx 2,33\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0,75

Đường thẳng d₁ nhận vectơ nối hai điểm \(\overrightarrow {MN} = \left( {1;0;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Do đường thẳng d₂ song song với d₁ nên d₂ cũng nhận \(\vec u = \left( {1;0;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Vì d₂ nằm trong mặt phẳng (R) nên điểm K(0; a; b) thuộc d₂ cũng phải nằm trên mặt phẳng (R).

Thay tọa độ K vào phương trình (R), ta có: a + b − 2 = 0 Þ b = 2 − a.

Ta có tọa độ điểm K(0; a; 2 − a). Vectơ nối M và K là \(\overrightarrow {MK} = \left( { - 1;a;3 - a} \right)\).

Ta tính tích có hướng của \(\overrightarrow {MK} \) và \(\vec u\) để áp dụng công thức tính khoảng cách:

\(\left[ {\overrightarrow {MK} ,\vec u} \right] = \left( {a \cdot 0 - \left( {3 - a} \right)0;\left( {3 - a} \right)1 - \left( { - 1} \right)0;\left( { - 1} \right)0 - a \cdot 1} \right) = \left( {0;3 - a; - a} \right)\).

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là độ dài đường cao hình bình hành:

\(\frac{{\sqrt {{0^2} + {{\left( {3 - a} \right)}^2} + {{\left( { - a} \right)}^2}} }}{1} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sqrt {2{a^2} - 6a + 9} = \sqrt {4,5} \Leftrightarrow 2{a^2} - 6a + 4,5 = 0\)

\( \Leftrightarrow 4{a^2} - 12a + 9 = 0 \Leftrightarrow {\left( {2a - 3} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow a = 1,5\).

Với a = 1,5, ta suy ra b = 2 − 1,5 = 0,5.

Tích số cần tìm là a x b = 1,5 x 0,5 = 0,75.