Bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng AB với A(1; 1; 2) và B(−4; 3; −2) là:
\(\frac{{x + 4}}{1} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\);
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}\);
\(\frac{{x + 1}}{{ - 5}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 2}}{{ - 4}}\);
\(\frac{{x + 4}}{{ - 5}} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z + 2}}{{ - 4}}\).
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng AB đi qua điểm B(−4; 3; −2) nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 5;2; - 4} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là \(\frac{{x + 4}}{{ - 5}} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z + 2}}{{ - 4}}\).
Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm A(1; −3; 5), B(2; −1; 7) có phương trình chính tắc là
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 7}}{2}\);
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 5}}{{ - 2}}\);
\(\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 3}}{{ - 2}} = \frac{{z - 5}}{{ - 2}}\);
\(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z + 5}}{{ - 2}}\).
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng đi qua điểm A(1; −3; 5) nhận \[\overrightarrow {BA} = \left( { - 1; - 2; - 2} \right)\] làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 3}}{{ - 2}} = \frac{{z - 5}}{{ - 2}}\).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1; 0; 1) và N(3; 2; −1). Đường thẳng MN có phương trình tham số là:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2t\\z = 1 + t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = t\\z = 1 + t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = t\\z = 1 + t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = t\\z = 1 - t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: D
Có \(\overrightarrow {MN} = \left( {2;2; - 2} \right) = 2\left( {1;1; - 1} \right)\).
Đường thẳng MN đi qua M và nhận \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = t\\z = 1 - t\end{array} \right.\).
Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 2; −3), B(3; −1; 1) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 2 + 2t\\z = - 1 - 3t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = - 2 - t\\z = - 3 + t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - 3t\\z = - 3 + 4t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = - 2 - 3t\\z = 3 + 4t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3;4} \right)\).
Đường thẳng AB đi qua A(1; 2; −3) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3;4} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - 3t\\z = - 3 + 4t\end{array} \right.\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm P(1; 1; −1) và Q(2; 3; 2).
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{3}\);
\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z + 1}}{2}\);
\(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z + 2}}{3}\);
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\).
Đáp án đúng là: A
Có \(\overrightarrow {PQ} = \left( {1;2;3} \right)\)
Phương trình đường thẳng PQ đi qua P(1; 1; −1) và nhận \(\overrightarrow {PQ} = \left( {1;2;3} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{3}\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(1; −2; 5) và B(3; 1; 1).
\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 5}}{{ - 4}}\);
\(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 5}}{1}\);
\(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 5}}{{ - 4}}\);
\(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{5}\).
Đáp án đúng là: A
Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;3; - 4} \right)\)
Phương trình đường thẳng AB đi qua A(1; −2; 5) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;3; - 4} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 5}}{{ - 4}}\).
Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(−3; 1; −2) và B(−2; 3; −4) là
\(\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\);
\(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}\);
\(\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{2}\);
\(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{2}\).
Đáp án đúng là: A
Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;2; - 2} \right)\).
Đường thẳng AB đi qua A(−3; 1; −2) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;2; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình \(\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1; 1; −1) và N(3; 0; 2). Đường thẳng MN có phương trình là:
\(\frac{{x + 1}}{4} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\);
\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{3}\);
\(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{1}\);
\(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{3}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {2; - 1;3} \right)\)
Đường thẳng MN đi qua M(1; 1; −1) và nhận \(\overrightarrow {MN} = \left( {2; - 1;3} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{3}\).
Trongkhông gian Oxyz, cho E(−1; 0; 2) và F(2; 1; −5). Phương trình đường thẳng EF là
\(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 7}}\);
\(\frac{{x + 1}}{3} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 7}}\);
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 3}}\);
\(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 2}}{3}\).
Đáp án đúng là: B
Có \(\overrightarrow {EF} = \left( {3;1; - 7} \right)\).
Đường thẳng EF đi qua điểm E(−1; 0; 2) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {EF} = \left( {3;1; - 7} \right)\) có phương trình: \(\frac{{x + 1}}{3} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 7}}\).
Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2; 3) và B(5; 4; −1) là
\(\frac{{x - 5}}{2} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\);
\(\frac{{x + 1}}{4} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z + 3}}{{ - 4}}\);
\(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{4}\);
\(\frac{{x - 3}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}\).
Đáp án đúng là: D
Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;2; - 4} \right) = - 2\left( { - 2; - 1;2} \right)\).
Phương trình đường thẳng AB đi qua B(5; 4; −1) nhận \(\overrightarrow u = \left( { - 2; - 1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương là: \(\frac{{x - 5}}{{ - 2}} = \frac{{y - 4}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\) (1). Do đó loại đáp án A, C.
Có tạo độ C(−1; −2; −3) không thỏa mãn phương trình (1) nên loại phương án B.
Lại có tọa độ D(3; 3; 1) thỏa mãn phương trình (1) nên phương trình đường thẳng AB cũng viết là \(\frac{{x - 3}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}\).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(−1; 2; 3) và N(1; −2; 5). Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm M và N là
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 5}}{1}\).
\(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{1}\).
\(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 4}} = \frac{{z - 3}}{1}\).
\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 4}} = \frac{{z - 5}}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng đi qua hai điểm M và N nhận vectơ nối hai điểm làm một vectơ chỉ phương.
Ta tính tọa độ của vectơ chỉ phương như sau:
\(\overrightarrow {MN} = \left( {1 - \left( { - 1} \right); - 2 - 2;5 - 3} \right) = \left( {2; - 4;2} \right)\)
Ta chọn vectơ chỉ phương \(\vec u = \frac{1}{2}\overrightarrow {MN} = \left( {1; - 2;1} \right)\).
Đường thẳng đi qua điểm M(−1; 2; 3) và nhận \(\vec u = \left( {1; - 2;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - \left( { - 1} \right)}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{1}\) Û \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{1}\)
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; 0; −1). Gọi B là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (Oxy). Phương trình tham số của đường thẳng AB là
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 0}\\{z = - 1 + t}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y = 0}\\{z = - 1}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = t}\\{z = - 1}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y = t}\\{z = - 1 + t}\end{array}} \right.\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Hình chiếu vuông góc của điểm A(2; 0; −1) lên mặt phẳng tọa độ (Oxy) là điểm B(2; 0; 0).
Đường thẳng AB nhận vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {0 - 0;0 - 0;0 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( {0;0;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua A(2; 0; −1) với vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;0;1} \right)\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 0 \cdot t}\\{y = 0 + 0 \cdot t}\\{z = - 1 + 1 \cdot t}\end{array}} \right.\) Û \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 0}\\{z = - 1 + t}\end{array}} \right.\)
Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm E(3; −1; 2) và F(4; −3; 1) đi qua điểm nào dưới đây?
P(5; −5; 0).
Q(2; 1; 1).
M(4; −3; 2).
N(1; 3; −1).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng EF là \(\overrightarrow {EF} = \left( {4 - 3; - 3 - \left( { - 1} \right);1 - 2} \right) = \left( {1; - 2; - 1} \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng EF đi qua E(3; −1; 2) được viết là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + t}\\{y = - 1 - 2t}\\{z = 2 - t}\end{array}} \right.\)
Lần lượt thay tọa độ các điểm ở các đáp án vào hệ phương trình tham số.
Với điểm P(5; −5; 0), ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 + t = 5}\\{ - 1 - 2t = - 5}\\{2 - t = 0}\end{array}} \right.\) Û \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 2}\\{t = 2}\\{t = 2}\end{array}} \right.\).
Vì hệ có nghiệm duy nhất t = 2 nên điểm P(5; −5; 0) nằm trên đường thẳng EF.
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 2; −1), B(2; −1; 3) và C(−3; 2; 1). Phương trình đường thẳng đi qua đỉnh A và trọng tâm G của tam giác ABC là
\(\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\).
\(\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}\).
\(\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\).
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC được tính bằng công thức trung bình cộng tọa độ ba đỉnh: \(G\left( {\frac{{1 + 2 + \left( { - 3} \right)}}{3};\frac{{2 + \left( { - 1} \right) + 2}}{3};\frac{{ - 1 + 3 + 1}}{3}} \right)\) Þ G(0; 1; 1).
Đường thẳng đi qua A và G nhận vectơ \(\overrightarrow {AG} = \left( {0 - 1;1 - 2;1 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 1; - 1;2} \right)\) làm một vectơ chỉ phương. Ta chọn vectơ chỉ phương \(\vec u = - \overrightarrow {AG} = \left( {1;1; - 2} \right)\).
Đường thẳng đi qua A(1; 2; −1) và nhận \(\vec u = \left( {1;1; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - \left( { - 1} \right)}}{{ - 2}}\) Û \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\)
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm P(1; 1; −2) và Q(2; 2; 1). Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm P và Q. Biết đường thẳng d cắt mặt phẳng (Oyz) tại điểm K. Tọa độ của điểm K là
K(0; 0; −5).
K(0; 1; −5).
K(0; 0; 5).
K(1; 1; 0).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow {PQ} = \left( {2 - 1;2 - 1;1 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( {1;1;3} \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm P(1; 1; −2) là:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 1 + t}\\{z = - 2 + 3t}\end{array}} \right.\)
Mặt phẳng (Oyz) có phương trình đặc trưng là x = 0.
Thay x = 0 vào phương trình hoành độ của d, ta có: \(1 + t = 0\) Þ t = −1.
Thay t = −1 vào các phương trình biểu diễn y và z, ta tính được tọa độ giao điểm: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 1 + \left( { - 1} \right) = 0}\\{z = - 2 + 3\left( { - 1} \right) = - 5}\end{array}} \right.\)
Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là K(0; 0; −5).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; −2; 4) và B(3; 2; 0). Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm A và B. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là \(\left( {2;4; - 4} \right)\).
Đường thẳng d nhận vectơ \(\vec u = \left( {1;2; - 2} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.
Phương trình chính tắc của đường thẳng d là \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}\).
Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) được tính là \(\left( {3 - 1;2 - \left( { - 2} \right);0 - 4} \right) = \left( {2;4; - 4} \right)\).
b) Đúng. Ta thấy \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;4; - 4} \right) = 2\left( {1;2; - 2} \right)\). Rút gọn cho 2, ta được vectơ cùng phương \(\vec u = \left( {1;2; - 2} \right)\), do đó \(\vec u\) cũng là một vectơ chỉ phương của d.
c) Đúng. Đường thẳng d đi qua điểm A(1; −2; 4) và nhận \(\vec u = \left( {1;2; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên phương trình chính tắc \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}\).
d) Sai. Thay tọa độ gốc O(0; 0; 0) vào phương trình chính tắc của d, ta có \(\frac{{0 - 1}}{1} = \frac{{0 + 2}}{2} = \frac{{0 - 4}}{{ - 2}}\).
Vì các phân thức không bằng nhau nên đường thẳng d không đi qua gốc tọa độ.
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; −3; 1). Gọi M' là điểm đối xứng với M qua gốc tọa độ O. Xét đường thẳng ∆ đi qua hai điểm M và M'. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Tọa độ điểm M' là \(\left( { - 2;3; - 1} \right)\).
Đường thẳng ∆ đi qua gốc tọa độ O.
Đường thẳng ∆ nhận vectơ \(\vec u = \left( {2; - 3;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2t}\\{y = - 3t}\\{z = t}\end{array}} \right.\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Điểm đối xứng với M(x; y; z) qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) có tọa độ là M'(−x; −y; −z). Suy ra M'(−2; 3; −1).
b) Đúng. Vì M và M' đối xứng nhau qua O nên trung điểm của đoạn thẳng MM' chính là gốc tọa độ O. Suy ra đường thẳng nối M và M' hiển nhiên đi qua O.
c) Đúng. Đường thẳng ∆ đi qua O và M nên nhận \(\overrightarrow {OM} = \left( {2; - 3;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
d) Đúng. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) với vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {OM} = \left( {2; - 3;1} \right)\) được viết chính xác là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2t}\\{y = - 3t}\\{z = t}\end{array}} \right.\).
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0) và C(0; 0; 6). Gọi d là đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và gốc tọa độ O. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là \(\left( {\frac{2}{3};\frac{4}{3};2} \right)\).
Vectơ \(\overrightarrow {OG} \) có tọa độ là (2; 4; 6).
Đường thẳng d nhận vectơ \(\vec u = \left( {1;2;3} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Phương trình chính tắc của đường thẳng d là \(\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Tính tọa độ trọng tâm G theo công thức:
\({x_G} = \frac{{2 + 0 + 0}}{3} = \frac{2}{3}\), \({y_G} = \frac{{0 + 4 + 0}}{3} = \frac{4}{3}\), \({z_G} = \frac{{0 + 0 + 6}}{3} = 2\). Vậy \(G\left( {\frac{2}{3};\frac{4}{3};2} \right)\).
b) Sai. Vectơ \(\overrightarrow {OG} \) có tọa độ chính bằng tọa độ điểm G, tức là \(\overrightarrow {OG} = \left( {\frac{2}{3};\frac{4}{3};2} \right)\).
Vectơ (2; 4; 6) là \(3\overrightarrow {OG} \), không phải bản thân \(\overrightarrow {OG} \).
c) Đúng. Ta có \(3\overrightarrow {OG} = \left( {2;4;6} \right) = 2\left( {1;2;3} \right)\). Rút gọn ta được vectơ \(\vec u = \left( {1;2;3} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow {OG} \), do đó \(\vec u\) hợp lệ để làm vectơ chỉ phương của d.
d) Đúng. Đường thẳng d đi qua O(0; 0; 0) và nhận \(\vec u = \left( {1;2;3} \right)\) làm vectơ chỉ phương, thiết lập được phương trình chính tắc
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua hai điểm E(1; −1; 2) và F(3; 3; −2). Xét một đường thẳng d' có phương trình \(\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{z}{2}\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d' là \(\vec u' = \left( { - 1; - 2;2} \right)\).
Hai đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương cùng phương với nhau.
Điểm E(1; −1; 2) nằm trên đường thẳng d'.
Hai đường thẳng d và d' trùng nhau.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Đọc từ mẫu số của phương trình chính tắc, d' có vectơ chỉ phương \(\vec u' = \left( { - 1; - 2;2} \right)\).
b) Đúng. Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow {EF} = \left( {2;4; - 4} \right)\). Ta thấy \(\overrightarrow {EF} = - 2\left( { - 1; - 2;2} \right) = - 2\vec u'\), do đó hai vectơ chỉ phương này cùng phương với nhau.
c) Sai. Lấy tọa độ E(1; −1; 2) thay vào phương trình của d', ta xét các tỉ số: \(\frac{{1 + 1}}{{ - 1}} = - 2\); \(\frac{{ - 1 - 3}}{{ - 2}} = 2\); \(\frac{2}{2} = 1\). Vì các tỉ số này khác nhau nên E không thuộc d'.
d) Sai. Mặc dù d và d' có cùng phương (các vectơ chỉ phương tỉ lệ với nhau), nhưng do điểm E thuộc d mà không thuộc d' nên hai đường thẳng này song song với nhau chứ không trùng nhau.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm P(1; 2; −1) và Q(0; 3; 1). Đường thẳng d đi qua hai điểm P, Q cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm M(a; b; 0). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {PQ} \) là \(\left( { - 1;1;2} \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng PQ là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 1 + 2t}\end{array}} \right.\).
Điểm M có hoành độ bằng 1.
Tổng a + b = 3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Tính tọa độ vectơ: \(\overrightarrow {PQ} = \left( {0 - 1;3 - 2;1 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 1;1;2} \right)\).
b) Đúng. Đường thẳng đi qua P(1; 2; −1) và nhận \(\overrightarrow {PQ} = \left( { - 1;1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 1 + 2t}\end{array}} \right.\).
c) Sai. M nằm trên mặt phẳng (Oxy) nên z = 0. Thay z = 0 vào phương trình z của đường thẳng d: \( - 1 + 2t = 0\) Þ t = 0,5. Tính hoành độ a của điểm M: \(a = 1 - 0,5 = 0,5\). Hoành độ không bằng 1.
d) Đúng. Với t = 0,5, tính tung độ b: \(b = 2 + 0,5 = 2,5\). Tổng a + b = 0,5 + 2,5 = 3.
Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm A(−1; 2; 5) và B(1; −2; 3) có phương trình chính tắc là \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{m} = \frac{{z - 5}}{n}\). Tính giá trị của biểu thức S = m + n.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −3
Ta tính tọa độ của vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \): \(\overrightarrow {AB} = \left( {1 - \left( { - 1} \right); - 2 - 2;3 - 5} \right) = \left( {2; - 4; - 2} \right)\)
Rút gọn bằng cách chia cho 2, ta chọn vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1; - 2; - 1} \right)\) để hoành độ khớp với mẫu số bằng 1 trong giả thiết.
Đường thẳng đi qua A(−1; 2; 5) với \(\vec u = \left( {1; - 2; - 1} \right)\) có phương trình: \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 5}}{{ - 1}}\)
Đồng nhất với phương trình đề bài cung cấp, ta suy ra m = −2 và n = −1.
Giá trị của biểu thức S = m + n = −2 + (−1) = −3.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua hai điểm C(2; 0; −3) và D(5; 1; −1). Biết đường thẳng d cắt mặt phẳng tọa độ (Oxy) tại điểm K. Tính tổng hoành độ và tung độ của điểm K.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 8
Đường thẳng d đi qua hai điểm C, D nên nhận \(\overrightarrow {CD} = \left( {5 - 2;1 - 0; - 1 - \left( { - 3} \right)} \right) = \left( {3;1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua C(2; 0; −3) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 3t}\\{y = t}\\{z = - 3 + 2t}\end{array}} \right.\)
Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z = 0. Để tìm giao điểm K, ta thế z = 0 vào phương trình thứ ba: -3 + 2t Þ 2t = 3 Þ t = 1,5.
Thay t = 1,5 vào hai phương trình còn lại để tính tọa độ x và y của K: x = 2 + 3 × 1,5 = 6,5; y = 1,5.
Tổng hoành độ và tung độ của điểm K là x + y = 6,5 + 1,5 = 8.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua hai điểm P(m; 2; −1) và Q(3; n; 2). Biết d nhận vectơ \(\vec u = \left( {1; - 1;3} \right)\) làm vectơ chỉ phương. Tính giá trị biểu thức T = m x n.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Ta tính tọa độ của vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {PQ} \) theo tham số m và n: \(\overrightarrow {PQ} = \left( {3 - m;n - 2;2 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( {3 - m;n - 2;3} \right)\)
Vì đường thẳng d cũng nhận \(\vec u = \left( {1; - 1;3} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên \(\overrightarrow {PQ} \) và \(\vec u\) phải cùng phương.
Do cao độ của hai vectơ bằng nhau (cùng bằng 3), nên để cùng phương, hai vectơ này phải bằng nhau ở từng thành phần tương ứng.
Ta thiết lập hệ phương trình đồng nhất tọa độ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 - m = 1}\\{n - 2 = - 1}\end{array}} \right.\)
Giải các phương trình bậc nhất cơ bản ta được m = 2 và n = 1.
Giá trị của biểu thức T = 2 x 1 = 2.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; −1; 3) và B(1; 1; 2). Gọi N(a; b; c) là điểm thuộc đường thẳng AB sao cho N cách điểm A một khoảng bằng \(3\sqrt 6 \) và a < 2. Tính giá trị của a.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: -1
Tính tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {1 - 2;1 - \left( { - 1} \right);2 - 3} \right) = \left( { - 1;2; - 1} \right)\).
Độ dài đoạn thẳng AB là \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt 6 \).
Vì N nằm trên đường thẳng AB, vectơ \(\overrightarrow {AN} \) phải cùng phương với \(\overrightarrow {AB} \), tức là tồn tại số thực k sao cho \(\overrightarrow {AN} = k\overrightarrow {AB} \).
Từ giả thiết \(AN = 3\sqrt 6 \), ta có \(\left| {\overrightarrow {AN} } \right| = \left| k \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right|\) Þ \(3\sqrt 6 = \left| k \right|\sqrt 6 \) Þ \(\left| k \right| = 3\) Þ k = 3 hoặc k = −3.
Tọa độ điểm N được biểu diễn theo k là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2 - k}\\{b = - 1 + 2k}\\{c = 3 - k}\end{array}} \right.\).
Trường hợp 1: k = 3, ta có a = 2 − 3 = −1. Giá trị này thỏa mãn điều kiện a < 2.
Trường hợp 2: k = −3, ta có a = 2 − (−3) = 5. Giá trị này bị loại do không thỏa mãn a < 2.
Vậy a = −1.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua hai điểm E(3; 3; 0) và F(1; 2; −2). Gọi M(a; b; c) là điểm nằm trên đường thẳng d sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến M là nhỏ nhất. Tính tổng a + b + c.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1
Tính tọa độ của vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {EF} = \left( {1 - 3;2 - 3; - 2 - 0} \right) = \left( { - 2; - 1; - 2} \right)\).
Chọn vectơ chỉ phương \(\vec u = - \overrightarrow {EF} = \left( {2;1;2} \right)\).
Đường thẳng d có phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 2t}\\{y = 3 + t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\).
Vì M thuộc d nên tọa độ M(3 + 2t; 3 + t; 2t). Vectơ \(\overrightarrow {OM} = \left( {3 + 2t;3 + t;2t} \right)\).
Khoảng cách từ O đến M đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của O lên d.
Do đó, \(\overrightarrow {OM} \) vuông góc với \(\vec u\), tương đương \(\overrightarrow {OM} \cdot \vec u = 0\) <=> 2(3 + 2t) + 1(3 + t) + 2 × 2t = 0.
<=> 6 + 4t + 3 + t + 4t = 0 <=> 9t + 9 = 0 => t = −1.
Thay t = −1 vào tọa độ M, ta được hoành độ a = 1, tung độ b = 2 và cao độ c = −2.
Tổng cần tìm là a + b + c = 1 + 2 + (−2) = 1.
Bạn có thích hoạt động này không?
