Bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm lớp 12 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng đi qua hai điểm M và N nhận vectơ nối hai điểm làm một vectơ chỉ phương.

Ta tính tọa độ của vectơ chỉ phương như sau:

\(\overrightarrow {MN}  = \left( {1 - \left( { - 1} \right); - 2 - 2;5 - 3} \right) = \left( {2; - 4;2} \right)\)

Ta chọn vectơ chỉ phương \(\vec u = \frac{1}{2}\overrightarrow {MN}  = \left( {1; - 2;1} \right)\).

Đường thẳng đi qua điểm M(−1; 2; 3) và nhận \(\vec u = \left( {1; - 2;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - \left( { - 1} \right)}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{1}\) Û \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{1}\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Hình chiếu vuông góc của điểm A(2; 0; −1) lên mặt phẳng tọa độ (Oxy) là điểm B(2; 0; 0).

Đường thẳng AB nhận vectơ \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0 - 0;0 - 0;0 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( {0;0;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua A(2; 0; −1) với vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0;0;1} \right)\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 0 \cdot t}\\{y = 0 + 0 \cdot t}\\{z =  - 1 + 1 \cdot t}\end{array}} \right.\) Û \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 0}\\{z =  - 1 + t}\end{array}} \right.\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng EF là \(\overrightarrow {EF}  = \left( {4 - 3; - 3 - \left( { - 1} \right);1 - 2} \right) = \left( {1; - 2; - 1} \right)\).

Phương trình tham số của đường thẳng EF đi qua E(3; −1; 2) được viết là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + t}\\{y =  - 1 - 2t}\\{z = 2 - t}\end{array}} \right.\)

Lần lượt thay tọa độ các điểm ở các đáp án vào hệ phương trình tham số.

Với điểm P(5; −5; 0), ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 + t = 5}\\{ - 1 - 2t =  - 5}\\{2 - t = 0}\end{array}} \right.\) Û \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 2}\\{t = 2}\\{t = 2}\end{array}} \right.\).

Vì hệ có nghiệm duy nhất t = 2 nên điểm P(5; −5; 0) nằm trên đường thẳng EF.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC được tính bằng công thức trung bình cộng tọa độ ba đỉnh: \(G\left( {\frac{{1 + 2 + \left( { - 3} \right)}}{3};\frac{{2 + \left( { - 1} \right) + 2}}{3};\frac{{ - 1 + 3 + 1}}{3}} \right)\) Þ G(0; 1; 1).

Đường thẳng đi qua A và G nhận vectơ \(\overrightarrow {AG}  = \left( {0 - 1;1 - 2;1 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 1; - 1;2} \right)\) làm một vectơ chỉ phương. Ta chọn vectơ chỉ phương \(\vec u =  - \overrightarrow {AG}  = \left( {1;1; - 2} \right)\).

Đường thẳng đi qua A(1; 2; −1) và nhận \(\vec u = \left( {1;1; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - \left( { - 1} \right)}}{{ - 2}}\) Û \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow {PQ}  = \left( {2 - 1;2 - 1;1 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( {1;1;3} \right)\).

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm P(1; 1; −2) là:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 1 + t}\\{z =  - 2 + 3t}\end{array}} \right.\)

Mặt phẳng (Oyz) có phương trình đặc trưng là x = 0.

Thay x = 0 vào phương trình hoành độ của d, ta có: \(1 + t = 0\) Þ t = −1.

Thay t = −1 vào các phương trình biểu diễn y và z, ta tính được tọa độ giao điểm: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 1 + \left( { - 1} \right) = 0}\\{z =  - 2 + 3\left( { - 1} \right) =  - 5}\end{array}} \right.\)

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là K(0; 0; −5).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Đúng.                d) Sai.

a) Đúng. Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) được tính là \(\left( {3 - 1;2 - \left( { - 2} \right);0 - 4} \right) = \left( {2;4; - 4} \right)\).

b) Đúng. Ta thấy \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;4; - 4} \right) = 2\left( {1;2; - 2} \right)\). Rút gọn cho 2, ta được vectơ cùng phương \(\vec u = \left( {1;2; - 2} \right)\), do đó \(\vec u\) cũng là một vectơ chỉ phương của d.

c) Đúng. Đường thẳng d đi qua điểm A(1; −2; 4) và nhận \(\vec u = \left( {1;2; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên phương trình chính tắc \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}\).

d) Sai. Thay tọa độ gốc O(0; 0; 0) vào phương trình chính tắc của d, ta có \(\frac{{0 - 1}}{1} = \frac{{0 + 2}}{2} = \frac{{0 - 4}}{{ - 2}}\).

Vì các phân thức không bằng nhau nên đường thẳng d không đi qua gốc tọa độ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Đúng.                d) Đúng.

a) Đúng. Điểm đối xứng với M(x; y; z) qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) có tọa độ là M'(−x; −y; −z). Suy ra M'(−2; 3; −1).

b) Đúng. Vì M và M' đối xứng nhau qua O nên trung điểm của đoạn thẳng MM' chính là gốc tọa độ O. Suy ra đường thẳng nối M và M' hiển nhiên đi qua O.

c) Đúng. Đường thẳng ∆ đi qua O và M nên nhận \(\overrightarrow {OM}  = \left( {2; - 3;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

d) Đúng. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) với vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {OM}  = \left( {2; - 3;1} \right)\) được viết chính xác là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2t}\\{y =  - 3t}\\{z = t}\end{array}} \right.\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Sai.                    c) Đúng.                d) Đúng.

a) Đúng. Tính tọa độ trọng tâm G theo công thức:

\({x_G} = \frac{{2 + 0 + 0}}{3} = \frac{2}{3}\), \({y_G} = \frac{{0 + 4 + 0}}{3} = \frac{4}{3}\), \({z_G} = \frac{{0 + 0 + 6}}{3} = 2\). Vậy \(G\left( {\frac{2}{3};\frac{4}{3};2} \right)\).

b) Sai. Vectơ \(\overrightarrow {OG} \) có tọa độ chính bằng tọa độ điểm G, tức là \(\overrightarrow {OG}  = \left( {\frac{2}{3};\frac{4}{3};2} \right)\).

Vectơ (2; 4; 6) là \(3\overrightarrow {OG} \), không phải bản thân \(\overrightarrow {OG} \).

c) Đúng. Ta có \(3\overrightarrow {OG}  = \left( {2;4;6} \right) = 2\left( {1;2;3} \right)\). Rút gọn ta được vectơ \(\vec u = \left( {1;2;3} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow {OG} \), do đó \(\vec u\) hợp lệ để làm vectơ chỉ phương của d.

d) Đúng. Đường thẳng d đi qua O(0; 0; 0) và nhận \(\vec u = \left( {1;2;3} \right)\) làm vectơ chỉ phương, thiết lập được phương trình chính tắc

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Sai.                    d) Sai.

a) Đúng. Đọc từ mẫu số của phương trình chính tắc, d' có vectơ chỉ phương \(\vec u' = \left( { - 1; - 2;2} \right)\).

b) Đúng. Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow {EF}  = \left( {2;4; - 4} \right)\). Ta thấy \(\overrightarrow {EF}  =  - 2\left( { - 1; - 2;2} \right) =  - 2\vec u'\), do đó hai vectơ chỉ phương này cùng phương với nhau.

c) Sai. Lấy tọa độ E(1; −1; 2) thay vào phương trình của d', ta xét các tỉ số: \(\frac{{1 + 1}}{{ - 1}} =  - 2\); \(\frac{{ - 1 - 3}}{{ - 2}} = 2\); \(\frac{2}{2} = 1\). Vì các tỉ số này khác nhau nên E không thuộc d'.

d) Sai. Mặc dù d và d' có cùng phương (các vectơ chỉ phương tỉ lệ với nhau), nhưng do điểm E thuộc d mà không thuộc d' nên hai đường thẳng này song song với nhau chứ không trùng nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Sai.                    d) Đúng.

a) Đúng. Tính tọa độ vectơ: \(\overrightarrow {PQ}  = \left( {0 - 1;3 - 2;1 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 1;1;2} \right)\).

b) Đúng. Đường thẳng đi qua P(1; 2; −1) và nhận \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - 1;1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - t}\\{y = 2 + t}\\{z =  - 1 + 2t}\end{array}} \right.\).

c) Sai. M nằm trên mặt phẳng (Oxy) nên z = 0. Thay z = 0 vào phương trình z của đường thẳng d: \( - 1 + 2t = 0\) Þ t = 0,5. Tính hoành độ a của điểm M: \(a = 1 - 0,5 = 0,5\). Hoành độ không bằng 1.

d) Đúng. Với t = 0,5, tính tung độ b: \(b = 2 + 0,5 = 2,5\). Tổng a + b = 0,5 + 2,5 = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −3

Ta tính tọa độ của vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \): \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1 - \left( { - 1} \right); - 2 - 2;3 - 5} \right) = \left( {2; - 4; - 2} \right)\)

Rút gọn bằng cách chia cho 2, ta chọn vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1; - 2; - 1} \right)\) để hoành độ khớp với mẫu số bằng 1 trong giả thiết.

Đường thẳng đi qua A(−1; 2; 5) với \(\vec u = \left( {1; - 2; - 1} \right)\) có phương trình: \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 5}}{{ - 1}}\)

Đồng nhất với phương trình đề bài cung cấp, ta suy ra m = −2 và n = −1.

Giá trị của biểu thức S = m + n = −2 + (−1) = −3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 8

Đường thẳng d đi qua hai điểm C, D nên nhận \(\overrightarrow {CD}  = \left( {5 - 2;1 - 0; - 1 - \left( { - 3} \right)} \right) = \left( {3;1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua C(2; 0; −3) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 3t}\\{y = t}\\{z =  - 3 + 2t}\end{array}} \right.\)

Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z = 0. Để tìm giao điểm K, ta thế z = 0 vào phương trình thứ ba: -3 + 2t Þ 2t = 3 Þ t = 1,5.

Thay t = 1,5 vào hai phương trình còn lại để tính tọa độ x và y của K: x = 2 + 3 × 1,5 = 6,5; y = 1,5.

Tổng hoành độ và tung độ của điểm K là x + y = 6,5 + 1,5 = 8.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Ta tính tọa độ của vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {PQ} \) theo tham số m và n: \(\overrightarrow {PQ}  = \left( {3 - m;n - 2;2 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( {3 - m;n - 2;3} \right)\)

Vì đường thẳng d cũng nhận \(\vec u = \left( {1; - 1;3} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên \(\overrightarrow {PQ} \) và \(\vec u\) phải cùng phương.

Do cao độ của hai vectơ bằng nhau (cùng bằng 3), nên để cùng phương, hai vectơ này phải bằng nhau ở từng thành phần tương ứng.

Ta thiết lập hệ phương trình đồng nhất tọa độ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 - m = 1}\\{n - 2 =  - 1}\end{array}} \right.\)

Giải các phương trình bậc nhất cơ bản ta được m = 2 và n = 1.

Giá trị của biểu thức T = 2 x 1 = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: -1

Tính tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1 - 2;1 - \left( { - 1} \right);2 - 3} \right) = \left( { - 1;2; - 1} \right)\).

Độ dài đoạn thẳng AB là \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 6 \).

Vì N nằm trên đường thẳng AB, vectơ \(\overrightarrow {AN} \) phải cùng phương với \(\overrightarrow {AB} \), tức là tồn tại số thực k sao cho \(\overrightarrow {AN}  = k\overrightarrow {AB} \).

Từ giả thiết \(AN = 3\sqrt 6 \), ta có \(\left| {\overrightarrow {AN} } \right| = \left| k \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right|\) Þ \(3\sqrt 6  = \left| k \right|\sqrt 6 \) Þ \(\left| k \right| = 3\) Þ k = 3 hoặc k = −3.

Tọa độ điểm N được biểu diễn theo k là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2 - k}\\{b =  - 1 + 2k}\\{c = 3 - k}\end{array}} \right.\).

Trường hợp 1: k = 3, ta có a = 2 − 3 = −1. Giá trị này thỏa mãn điều kiện a < 2.

Trường hợp 2: k = −3, ta có a = 2 − (−3) = 5. Giá trị này bị loại do không thỏa mãn a < 2.

Vậy a = −1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Tính tọa độ của vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {EF}  = \left( {1 - 3;2 - 3; - 2 - 0} \right) = \left( { - 2; - 1; - 2} \right)\).

Chọn vectơ chỉ phương \(\vec u =  - \overrightarrow {EF}  = \left( {2;1;2} \right)\).

Đường thẳng d có phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 2t}\\{y = 3 + t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\).

Vì M thuộc d nên tọa độ M(3 + 2t; 3 + t; 2t). Vectơ \(\overrightarrow {OM}  = \left( {3 + 2t;3 + t;2t} \right)\).

Khoảng cách từ O đến M đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của O lên d.

Do đó, \(\overrightarrow {OM} \) vuông góc với \(\vec u\), tương đương \(\overrightarrow {OM}  \cdot \vec u = 0\) <=> 2(3 + 2t) + 1(3 + t) + 2 × 2t = 0.

<=> 6 + 4t + 3 + t + 4t = 0 <=> 9t + 9 = 0 => t = −1.

Thay t = −1 vào tọa độ M, ta được hoành độ a = 1, tung độ b = 2 và cao độ c = −2.

Tổng cần tìm là a + b + c = 1 + 2 + (−2) = 1.