Bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng cho trước lớp 12 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên d nhận vectơ pháp tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương.

Từ phương trình mặt phẳng (P), ta có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 2;4} \right)\).

Đường thẳng d đi qua điểm M(2; −1; 3) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 2;4} \right)\).

Áp dụng công thức, ta viết được phương trình tham số của d như sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 1 \cdot t}\\{y =  - 1 - 2t}\\{z = 3 + 4t}\end{array}} \right.\) Û \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y =  - 1 - 2t}\\{z = 3 + 4t}\end{array}} \right.\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α) nên ∆ nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) làm vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {2;1; - 3} \right)\).

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(−1; 4; 0) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {2;1; - 3} \right)\).

Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ được viết như sau: \(\frac{{x - \left( { - 1} \right)}}{2} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{{z - 0}}{{ - 3}}\) <=> \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{z}{{ - 3}}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (β) nên nhận \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left( {3; - 1;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua B(1; 1; −2) là:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 3t}\\{y = 1 - t}\\{z =  - 2 + t}\end{array}} \right.\)

Thay tọa độ điểm N(4; 0; −1) vào hệ phương trình tham số của d, ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 3t = 4}\\{1 - t = 0}\\{ - 2 + t =  - 1}\end{array}} \right.\) Û \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3t = 3}\\{t = 1}\\{t = 1}\end{array}} \right.\) Û \(t = 1\).

Vì hệ phương trình có nghiệm duy nhất t = 1, nên điểm N(4; 0; −1) nằm trên đường thẳng d.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Mặt phẳng tọa độ (Oxz) có phương trình đặc trưng là y = 0, do đó nó nhận vectơ đơn vị của trục Oy là \(\vec j = \left( {0;1;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (Oxz) nên nhận \(\vec j = \left( {0;1;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng d đi qua điểm C(5; −2; 1) và có vectơ chỉ phương \(\vec j\) có phương trình tham số là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 0 \cdot t}\\{y =  - 2 + 1 \cdot t}\\{z = 1 + 0 \cdot t}\end{array}} \right.\) <=> \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{y =  - 2 + t}\\{z = 1}\end{array}} \right.\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Tọa độ trọng tâm G của tam giác DEF được tính bằng trung bình cộng tọa độ ba đỉnh:

\({x_G} = \frac{{4 + 0 + 2}}{3} = 2\); \({y_G} = \frac{{0 - 3 + 0}}{3} =  - 1\); \({z_G} = \frac{{0 + 0 + 12}}{3} = 4\) Þ G(2; −1; 4).

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 2;2} \right)\).

Đường thẳng ∆ vuông góc với (P) nên nhận \(\overrightarrow {{n_P}} \) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình chính tắc của ∆ đi qua G(2; −1; 4) với vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{n_P}} \) là: \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - \left( { - 1} \right)}}{{ - 2}} = \frac{{z - 4}}{2}\) <=> \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 4}}{2}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Đúng.                d) Sai.

a) Đúng. Đọc trực tiếp từ hệ số của phương trình mặt phẳng (Q), ta có \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {2; - 1;5} \right)\).

b) Đúng. Đường thẳng d vuông góc với (Q) nên nhận \(\overrightarrow {{n_Q}} \) làm vectơ chỉ phương. Vectơ \(\overrightarrow {{u_d}}  =  - \overrightarrow {{n_Q}}  = \left( { - 2;1; - 5} \right)\) là vectơ đối, do đó hoàn toàn hợp lệ làm vectơ chỉ phương.

c) Đúng. Phương trình tham số đi qua M(3; −2; 1) với vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {2; - 1;5} \right)\) được viết chính xác là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 2t}\\{y =  - 2 - t}\\{z = 1 + 5t}\end{array}} \right.\).

d) Sai. Thay tọa độ N(5; −3; 5) vào hệ phương trình tham số của d, ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 + 2t = 5}\\{ - 2 - t =  - 3}\\{1 + 5t = 5}\end{array}} \right.\) <=> \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2t = 2}\\{ - t =  - 1}\\{5t = 4}\end{array}} \right.\) <=> \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t = 1}\\{t = \frac{4}{5}}\end{array}} \right.\).

Vì các giá trị của t không đồng nhất nên điểm N không thuộc đường thẳng d.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Sai.                    d) Đúng.

a) Đúng. Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z = 0, nên nhận vectơ đơn vị của trục Oz là \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

b) Đúng. Đường thẳng ∆ vuông góc với (Oxy) nên nhận \(\vec k\) làm vectơ chỉ phương. Phương trình tham số đi qua A(0; −3; 2) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 + 0 \cdot t}\\{y =  - 3 + 0 \cdot t}\\{z = 2 + 1 \cdot t}\end{array}} \right.\) <=> \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y =  - 3}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\).

c) Sai. Giao điểm của ∆ và (Oxy) có cao độ z = 0. Thay z = 0 vào phương trình thứ ba ta được 2 + t = 0 => t = −2.

Tại t = −2, tọa độ giao điểm là (0; −3; 0), khác gốc tọa độ O(0; 0; 0).

d) Đúng. Mặt phẳng tọa độ (Oyz) có phương trình x = 0. Dựa vào phương trình tham số của ∆, mọi điểm trên ∆ đều có hoành độ x = 0. Do đó ∆ nằm gọn trong mặt phẳng (Oyz).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Đúng.                d) Sai.

a) Đúng. Vectơ pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1; - 1} \right)\). Đường thẳng d vuông góc với (P) nên lấy \(\overrightarrow {{n_P}} \) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - \left( { - 1} \right)}}{{ - 1}}\) Û \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\).

b) Đúng. Phương trình tham số của d là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t}\\{z =  - 1 - t}\end{array}} \right.\). Mặt phẳng (Oxz) có phương trình y = 0. Thay y = 0 vào hệ: 2 + t = 0 => t = −2.

Khi đó hoành độ x = 1 + (−2) = −1, cao độ z = −1 − (−2) = 1.

Giao điểm là (−1; 0; 1).

c) Đúng. Thế các biểu thức x, y, z từ phương trình tham số của d vào phương trình mặt phẳng (P) ta giải như sau: (1 + t) + (2 + t) − (−1 − t) + 2 = 0 ⇔ 1 + t + 2 + t + 1 + t + 2 = 0 ⇔ 3t + 6 = 0 => t = −2.

Thay t = −2 vào d ta được giao điểm I(−1; 0; 1).

d) Sai. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (P) chính là độ dài đoạn thẳng BI. Tính độ dài BI bằng công thức:

\(BI = \sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}}  = \sqrt {4 + 4 + 4}  = \sqrt {12}  = 2\sqrt 3 \).

Giá trị \(2\sqrt 3 \) khác 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.               b) Đúng.               c) Đúng.                d) Sai.

a) Sai. Vectơ pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 1;1} \right)\), của (Q) là \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1;1; - 1} \right)\). Hai vectơ này không cùng phương vì tỉ lệ tọa độ không bằng nhau. Do d vuông góc với (P) nên nó không thể vuông góc với (Q).

b) Đúng. Đường thẳng d vuông góc với (P) nên d nhận \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 1;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

c) Đúng. Áp dụng công thức, hệ phương trình tham số của d đi qua A(1; 1; 1) với vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{n_P}} \) được viết là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 1 \cdot t}\\{y = 1 - 1 \cdot t}\\{z = 1 + 1 \cdot t}\end{array}} \right.\) <=> \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\)

d) Đúng. Thế phương trình tham số vào mặt phẳng (Q) ta có: (1 + t) + (1 – t) – (1 + t) + 2 = 0 <=> 3 – t = 0 Þ t = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Đúng.                d) Sai.

a) Đúng. Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {MN} \) là \(\left( {3 - 1; - 2 - \left( { - 1} \right);4 - 2} \right) = \left( {2; - 1;2} \right)\).

b) Đúng. Từ phương trình (P), vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2; - 1;2} \right)\). Ta thấy \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {{n_P}} \), nên \(\overrightarrow {MN} \) đóng vai trò là một vectơ pháp tuyến. Điều này cũng xác nhận đường thẳng đi qua M, N vuông góc với (P).

c) Đúng. Phương trình tham số của đường thẳng d (đi qua M và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {MN} \)) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y =  - 1 - t}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.\).

d) Sai.

Thế \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y =  - 1 - t}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.\) vào phương trình mặt phẳng (P) để tìm giao điểm I:

2(1 + 2t) − (−1 − t) + 2(2 + 2t) − 1 = 0 <=> 2 + 4t + 1 + t + 4 + 4t − 1 = 0

<=> 9t + 6 = 0 => t = \( - \frac{2}{3}\).

Thay t = \( - \frac{2}{3}\) vào phương trình tham số của d để tìm tọa độ I(a; b; c):

a = 1 + 2·\(\left( { - \frac{2}{3}} \right)\) = \( - \frac{1}{3}\); b = −1 − \(\left( { - \frac{2}{3}} \right)\) = \( - \frac{1}{3}\); c = 2 + 2·\(\left( { - \frac{2}{3}} \right)\) = \(\frac{2}{3}\)

Tính tổng: a + b + c = \( - \frac{1}{3}\) − \(\frac{1}{3}\) + \(\frac{2}{3}\) = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2;1; - 1} \right)\).

Đường thẳng d vuông góc với (P) nên nhận \(\overrightarrow {{n_P}} \) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình chính tắc của d đi qua M(3; −1; 5) với vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{n_P}} \) là: \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - \left( { - 1} \right)}}{1} = \frac{{z - 5}}{{ - 1}} \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 5}}{{ - 1}}\)

Đồng nhất phương trình này với biểu thức đề bài, ta có phần mẫu số a = 2 và b = 1.

Giá trị tổng cần tìm là a + b = 2 + 1 = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 2;1} \right)\).

Đường thẳng d vuông góc với (P) nên phương trình tham số của d đi qua A(2; 1; −3) được lập là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y = 1 - 2t}\\{z =  - 3 + t}\end{array}} \right.\)

Điểm K nằm trên mặt phẳng (Oxy) nên cao độ z = 0.

Thay z = 0 vào phương trình thứ ba, ta giải được: −3 + t = 0 <=> t = 3.

Thế t = 3 vào biểu thức tính hoành độ và tung độ của điểm K: x = 2 + 3 = 5; y = 1 − 2·3 = −5

Tổng các tọa độ của điểm K là x + y = 5 + (−5) = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Đường thẳng d vuông góc với (P) nên nhận vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {3; - 1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của d được viết là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2 + 3t}\\{y = 4 - t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\)

Đường thẳng cắt mặt phẳng (Oyz) tại điểm có hoành độ x = 0.

Giải phương trình hoành độ: −2 + 3t = 0 ⇒ 3t = 2 ⇒ t = \(\frac{2}{3}\)

Thay t = \(\frac{2}{3}\) vào tính tung độ và cao độ của A:

b = 4 − \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{{12}}{3}\) − \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{{10}}{3}\)

c = 1 + 2·\(\left( {\frac{2}{3}} \right)\) = 1 + \(\frac{4}{3}\) = \(\frac{7}{3}\)

Giá trị của hiệu b − c là: \(\frac{{10}}{3}\) − \(\frac{7}{3}\) = \(\frac{3}{3}\) = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Đường thẳng d vuông góc với (P) nên nhận \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;2; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng d là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 1 - 2t}\end{array}} \right.\).

Vì điểm M nằm trên d nên tọa độ của M có dạng M(1 + t; 1 + 2t; 1 − 2t).

Vectơ nối hai điểm là \(\overrightarrow {AM}  = \left( {t;2t; - 2t} \right)\).

Theo giả thiết, khoảng cách AM = 6. Ta thiết lập phương trình độ dài:

\(\sqrt {{t^2} + {{\left( {2t} \right)}^2} + {{\left( { - 2t} \right)}^2}}  = 6 \Leftrightarrow \sqrt {{t^2} + 4{t^2} + 4{t^2}}  = 6 \Leftrightarrow \sqrt {9{t^2}}  = 6 \Leftrightarrow 3\left| t \right| = 6 \Rightarrow \left| t \right| = 2\)

Giải ra ta được t = 2 hoặc t = −2.

Nếu t = 2, hoành độ của M là x = 1 + 2 = 3 (số dương, thỏa mãn).

Nếu t = −2, hoành độ của M là x = 1 + (−2) = −1 (loại).

Vậy hoành độ của điểm M bằng 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −2

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P). Đường thẳng d chính là đường thẳng đi qua A, H và A'.

Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2; - 1;2} \right)\).

Phương trình tham số của d là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y =  - 1 - t}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.\).

Giao điểm H của d và (P) có tham số t thỏa mãn:

\(2\left( {1 + 2t} \right) - \left( { - 1 - t} \right) + 2\left( {2 + 2t} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow 9t + 6 = 0 \Leftrightarrow t =  - \frac{2}{3}\) \( \Rightarrow H\left( { - \frac{1}{3}; - \frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)\).

Điểm H là trung điểm của đoạn AA'. Do đó \(A'\left( { - \frac{5}{3};\frac{1}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\).

Tổng 3 tọa độ của A' là −2.