Bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng cho trước lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; −2; 3) và mặt phẳng (P): 2x – y + 3z + 1 = 0. Phương trình của đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 - t\\z = 3 + 3t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = - 3 + 3t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 - 2t\\z = 3 + 3t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = - 2 - t\\z = 3 - 3t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng cần tìm đi qua M(1; −2; 3), vuông góc với (P) nên nhận \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;3} \right)\) là vectơ chỉ phương.
Phương trình đường thẳng cần tìm là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 - t\\z = 3 + 3t\end{array} \right.\).
Trong không gian Oxyz, cho M(1; 2; −3) và mặt phẳng (P): 2x – y + 3z – 1 = 0. Phương trình của đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 + 2t\\z = 3 - 3t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = - 2 - t\\z = 3 + 3t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = - 3 + 3t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 2 - t\\z = - 3 - 3t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng đi qua điểm M(1; 2; −3) và nhận \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;3} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = - 3 + 3t\end{array} \right.\).
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; −2; 2) và mặt phẳng (P): 2x + y – 3z + 1 = 0. Phương trình của đường thẳng qua M và vuông góc với mặt phẳng (P) là:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 + t\\z = 2 - 3t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 2 - 2t\\z = 2 + t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - 2t\\z = - 3 + 2t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 2 + t\\z = - 2 - 3t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng đi qua M(1; −2; 2) nhận \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 3} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 + t\\z = 2 - 3t\end{array} \right.\).
Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua A(2; 3; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 3y – z + 5 = 0.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + 3t\\z = 1 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 3t\\z = 1 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 1 + 3t\\z = 1 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 1 + 3t\\z = 1 + t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là \(\overrightarrow u = \left( {1;3; - 1} \right)\) nên suy ra chỉ có đáp án A hoặc B đúng. Thử tọa độ điểm A(2; 3; 0) vào ta thấy đáp án B thỏa mãn.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α): x – y + 2z = 1. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với (α).
\({d_1}:\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\);
\({d_2}:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{{ - 1}}\);
\({d_3}:\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{{ - 1}}\);
\({d_4}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 0\\z = - t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1; - 1;2} \right) = \overrightarrow {{u_{{d_1}}}} \). Do đó d1 (α).
Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm A(1; 1; 1) và vuông góc với mặt phẳng tọa độ (Oxy) có phương trình tham số là:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1\\z = 1\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 1 + t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 1\\z = 1\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1 + t\\z = 1\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng tọa độ (Oxy) nên nhận \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương mà d đi qua A(1; 1; 1) nên đường thẳng d có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 1 + t\end{array} \right.\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (P): 2x – 5y + z – 1 = 0 và A(1; 2; −1). Đường thẳng qua A và vuông góc với (P) có phương trình là:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 5 + 2t\\z = 1 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = - 3 - 5t\\z = 1 + t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - 5t\\z = 1 + t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = - 3 + 5t\\z = - t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: D
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2; - 5;1} \right)\).
Đường thẳng vuông góc với (P) nên có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = - \overrightarrow n = \left( { - 2;5; - 1} \right)\)và đi qua A nên có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 2 + 5t\\z = - 1 - t\end{array} \right.\).
Cho t = −1 ta được điểm B(3; −3; 0) ∈ .
Vì thế có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = - 3 + 5t\\z = - t\end{array} \right.\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + z + 3 = 0 và điểm A(1; −2; 1). Phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 - t\\z = 1 + t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 - 4t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 - 2t\\z = 1 + t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 - t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên nhận \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương mà d đi qua A(1; −2; 1) nên có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 - t\\z = 1 + t\end{array} \right.\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P): x – 2y – z – 1 = 0 có dạng:
\(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{z}{{ - 1}}\);
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}\);
\(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\);
\(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{{ - 4}} = \frac{z}{{ - 2}}\).
Đáp án đúng là: D
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2; - 1} \right)\).
Vì d (P) nên d có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2; - 1} \right)\). Suy ra chọn A, C, D.
Thay tọa độ điểm A vào các câu đã chọn, ta thấy câu D thỏa mãn yêu cầu.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng đi qua điểm A(−2; 4; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α): 2x – 3y + 6z + 19 = 0 có phương trình là
\(\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y + 3}}{4} = \frac{{z - 6}}{3}\);
\(\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{6}\);
\(\frac{{x + 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{4} = \frac{{z + 6}}{3}\);
\(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 4}}{{ - 3}} = \frac{{z + 3}}{6}\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng đi qua điểm A(−2; 4; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α) nhận \(\overrightarrow n = \left( {2; - 3;6} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{6}\).
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; −1; 3) và mặt phẳng (P): x − 2y + 4z − 1 = 0. Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P) là
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 2 - t}\\{z = 4 + 3t}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t}\\{y = - 1 + 2t}\\{z = 3 - 4t}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y = - 1 - 2t}\\{z = 3 + 4t}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - 2t}\\{y = - 2 + t}\\{z = 4 - 3t}\end{array}} \right.\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên d nhận vectơ pháp tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương.
Từ phương trình mặt phẳng (P), ta có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;4} \right)\).
Đường thẳng d đi qua điểm M(2; −1; 3) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;4} \right)\).
Áp dụng công thức, ta viết được phương trình tham số của d như sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 1 \cdot t}\\{y = - 1 - 2t}\\{z = 3 + 4t}\end{array}} \right.\) Û \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y = - 1 - 2t}\\{z = 3 + 4t}\end{array}} \right.\).
Trong không gian Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(−1; 4; 0) và vuông góc với mặt phẳng (α): 2x + y − 3z + 5 = 0 là
\(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{z}{{ - 3}}\).
\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 4}}{1} = \frac{z}{{ - 3}}\).
\(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 1}} = \frac{z}{{ - 3}}\).
\(\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{4} = \frac{{z + 3}}{0}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Vì đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α) nên ∆ nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) làm vectơ chỉ phương.
Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {2;1; - 3} \right)\).
Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(−1; 4; 0) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {2;1; - 3} \right)\).
Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ được viết như sau: \(\frac{{x - \left( { - 1} \right)}}{2} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{{z - 0}}{{ - 3}}\) <=> \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{z}{{ - 3}}\).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (β): 3x − y + z − 2 = 0. Đường thẳng d đi qua điểm B(1; 1; −2) và vuông góc với (β). Đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây?
P(2; 0; −1).
Q(3; −1; 1).
M(1; 3; −2).
N(4; 0; −1).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (β) nên nhận \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {3; - 1;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua B(1; 1; −2) là:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 3t}\\{y = 1 - t}\\{z = - 2 + t}\end{array}} \right.\)
Thay tọa độ điểm N(4; 0; −1) vào hệ phương trình tham số của d, ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 3t = 4}\\{1 - t = 0}\\{ - 2 + t = - 1}\end{array}} \right.\) Û \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3t = 3}\\{t = 1}\\{t = 1}\end{array}} \right.\) Û \(t = 1\).
Vì hệ phương trình có nghiệm duy nhất t = 1, nên điểm N(4; 0; −1) nằm trên đường thẳng d.
Trong không gian Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm C(5; −2; 1) và vuông góc với mặt phẳng tọa độ (Oxz) có phương trình tham số là
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + t}\\{y = - 2}\\{z = 1}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{y = - 2 + t}\\{z = 1}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{y = - 2}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + t}\\{y = - 2}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Mặt phẳng tọa độ (Oxz) có phương trình đặc trưng là y = 0, do đó nó nhận vectơ đơn vị của trục Oy là \(\vec j = \left( {0;1;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (Oxz) nên nhận \(\vec j = \left( {0;1;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Đường thẳng d đi qua điểm C(5; −2; 1) và có vectơ chỉ phương \(\vec j\) có phương trình tham số là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 0 \cdot t}\\{y = - 2 + 1 \cdot t}\\{z = 1 + 0 \cdot t}\end{array}} \right.\) <=> \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{y = - 2 + t}\\{z = 1}\end{array}} \right.\).
Trong không gian Oxyz, cho tam giác DEF với D(4; 0; 0), E(0; −3; 0) và F(2; 0; 12). Đường thẳng ∆ đi qua trọng tâm G của tam giác DEF và vuông góc với mặt phẳng (P): x − 2y + 2z − 1 = 0 có phương trình chính tắc là
\(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 4}}{2}\).
\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{4}\).
\(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 4}}{2}\).
\(\frac{{x - 4}}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{z}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Tọa độ trọng tâm G của tam giác DEF được tính bằng trung bình cộng tọa độ ba đỉnh:
\({x_G} = \frac{{4 + 0 + 2}}{3} = 2\); \({y_G} = \frac{{0 - 3 + 0}}{3} = - 1\); \({z_G} = \frac{{0 + 0 + 12}}{3} = 4\) Þ G(2; −1; 4).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;2} \right)\).
Đường thẳng ∆ vuông góc với (P) nên nhận \(\overrightarrow {{n_P}} \) làm vectơ chỉ phương.
Phương trình chính tắc của ∆ đi qua G(2; −1; 4) với vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{n_P}} \) là: \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - \left( { - 1} \right)}}{{ - 2}} = \frac{{z - 4}}{2}\) <=> \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 4}}{2}\).
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3; −2; 1) và mặt phẳng (Q): 2x − y + 5z + 4 = 0. Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (Q). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2; - 1;5} \right)\).
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - 2;1; - 5} \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng d là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 2t}\\{y = - 2 - t}\\{z = 1 + 5t}\end{array}} \right.\).
Điểm N(5; −3; 5) nằm trên đường thẳng d.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Đọc trực tiếp từ hệ số của phương trình mặt phẳng (Q), ta có \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2; - 1;5} \right)\).
b) Đúng. Đường thẳng d vuông góc với (Q) nên nhận \(\overrightarrow {{n_Q}} \) làm vectơ chỉ phương. Vectơ \(\overrightarrow {{u_d}} = - \overrightarrow {{n_Q}} = \left( { - 2;1; - 5} \right)\) là vectơ đối, do đó hoàn toàn hợp lệ làm vectơ chỉ phương.
c) Đúng. Phương trình tham số đi qua M(3; −2; 1) với vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2; - 1;5} \right)\) được viết chính xác là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 2t}\\{y = - 2 - t}\\{z = 1 + 5t}\end{array}} \right.\).
d) Sai. Thay tọa độ N(5; −3; 5) vào hệ phương trình tham số của d, ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 + 2t = 5}\\{ - 2 - t = - 3}\\{1 + 5t = 5}\end{array}} \right.\) <=> \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2t = 2}\\{ - t = - 1}\\{5t = 4}\end{array}} \right.\) <=> \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t = 1}\\{t = \frac{4}{5}}\end{array}} \right.\).
Vì các giá trị của t không đồng nhất nên điểm N không thuộc đường thẳng d.
Trong không gian Oxyz, xét đường thẳng ∆ đi qua điểm A(0; −3; 2) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\).
Phương trình tham số của ∆ là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = - 3}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\).
Đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (Oxy) tại gốc tọa độ O.
Đường thẳng ∆ nằm hoàn toàn trong mặt phẳng (Oyz).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z = 0, nên nhận vectơ đơn vị của trục Oz là \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
b) Đúng. Đường thẳng ∆ vuông góc với (Oxy) nên nhận \(\vec k\) làm vectơ chỉ phương. Phương trình tham số đi qua A(0; −3; 2) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 + 0 \cdot t}\\{y = - 3 + 0 \cdot t}\\{z = 2 + 1 \cdot t}\end{array}} \right.\) <=> \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = - 3}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\).
c) Sai. Giao điểm của ∆ và (Oxy) có cao độ z = 0. Thay z = 0 vào phương trình thứ ba ta được 2 + t = 0 => t = −2.
Tại t = −2, tọa độ giao điểm là (0; −3; 0), khác gốc tọa độ O(0; 0; 0).
d) Đúng. Mặt phẳng tọa độ (Oyz) có phương trình x = 0. Dựa vào phương trình tham số của ∆, mọi điểm trên ∆ đều có hoành độ x = 0. Do đó ∆ nằm gọn trong mặt phẳng (Oyz).
Trong không gian Oxyz, cho điểm B(1; 2; −1) và mặt phẳng (P): x + y − z + 2 = 0. Gọi d là đường thẳng đi qua B và vuông góc với (P). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Phương trình chính tắc của đường thẳng d là \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\).
Đường thẳng d cắt mặt phẳng (Oxz) tại điểm có tọa độ (−1; 0; 1).
Giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) là I(−1; 0; 1).
Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (P) bằng 3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Vectơ pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1; - 1} \right)\). Đường thẳng d vuông góc với (P) nên lấy \(\overrightarrow {{n_P}} \) làm vectơ chỉ phương.
Phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - \left( { - 1} \right)}}{{ - 1}}\) Û \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\).
b) Đúng. Phương trình tham số của d là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 1 - t}\end{array}} \right.\). Mặt phẳng (Oxz) có phương trình y = 0. Thay y = 0 vào hệ: 2 + t = 0 => t = −2.
Khi đó hoành độ x = 1 + (−2) = −1, cao độ z = −1 − (−2) = 1.
Giao điểm là (−1; 0; 1).
c) Đúng. Thế các biểu thức x, y, z từ phương trình tham số của d vào phương trình mặt phẳng (P) ta giải như sau: (1 + t) + (2 + t) − (−1 − t) + 2 = 0 ⇔ 1 + t + 2 + t + 1 + t + 2 = 0 ⇔ 3t + 6 = 0 => t = −2.
Thay t = −2 vào d ta được giao điểm I(−1; 0; 1).
d) Sai. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (P) chính là độ dài đoạn thẳng BI. Tính độ dài BI bằng công thức:
\(BI = \sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} = \sqrt {4 + 4 + 4} = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 \).
Giá trị \(2\sqrt 3 \) khác 3.
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x − y + z = 0 và (Q): x + y − z + 2 = 0. Xét đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (Q).
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {1; - 1;1} \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng d là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\).
Đường thẳng d cắt mặt phẳng (Q) tại điểm ứng với tham số t = 3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai. Vectơ pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;1} \right)\), của (Q) là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;1; - 1} \right)\). Hai vectơ này không cùng phương vì tỉ lệ tọa độ không bằng nhau. Do d vuông góc với (P) nên nó không thể vuông góc với (Q).
b) Đúng. Đường thẳng d vuông góc với (P) nên d nhận \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
c) Đúng. Áp dụng công thức, hệ phương trình tham số của d đi qua A(1; 1; 1) với vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{n_P}} \) được viết là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 1 \cdot t}\\{y = 1 - 1 \cdot t}\\{z = 1 + 1 \cdot t}\end{array}} \right.\) <=> \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\)
d) Đúng. Thế phương trình tham số vào mặt phẳng (Q) ta có: (1 + t) + (1 – t) – (1 + t) + 2 = 0 <=> 3 – t = 0 Þ t = 3.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x − y + 2z − 1 = 0. Đường thẳng d đi qua điểm I(a; b; c), vuông góc với (P) và biết d cũng đi qua hai điểm M(1; −1; 2) và N(3; −2; 4). Gọi I là giao điểm của d và (P). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Vectơ nối hai điểm \(\overrightarrow {MN} \) là \(\left( {2; - 1;2} \right)\).
Vectơ \(\overrightarrow {MN} \) chính là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Đường thẳng d có phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 1 - t}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.\).
Tổng tọa độ của điểm I là a + b + c = 1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {MN} \) là \(\left( {3 - 1; - 2 - \left( { - 1} \right);4 - 2} \right) = \left( {2; - 1;2} \right)\).
b) Đúng. Từ phương trình (P), vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;2} \right)\). Ta thấy \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {{n_P}} \), nên \(\overrightarrow {MN} \) đóng vai trò là một vectơ pháp tuyến. Điều này cũng xác nhận đường thẳng đi qua M, N vuông góc với (P).
c) Đúng. Phương trình tham số của đường thẳng d (đi qua M và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {MN} \)) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 1 - t}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.\).
d) Sai.
Thế \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 1 - t}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.\) vào phương trình mặt phẳng (P) để tìm giao điểm I:
2(1 + 2t) − (−1 − t) + 2(2 + 2t) − 1 = 0 <=> 2 + 4t + 1 + t + 4 + 4t − 1 = 0
<=> 9t + 6 = 0 => t = \( - \frac{2}{3}\).
Thay t = \( - \frac{2}{3}\) vào phương trình tham số của d để tìm tọa độ I(a; b; c):
a = 1 + 2·\(\left( { - \frac{2}{3}} \right)\) = \( - \frac{1}{3}\); b = −1 − \(\left( { - \frac{2}{3}} \right)\) = \( - \frac{1}{3}\); c = 2 + 2·\(\left( { - \frac{2}{3}} \right)\) = \(\frac{2}{3}\)
Tính tổng: a + b + c = \( - \frac{1}{3}\) − \(\frac{1}{3}\) + \(\frac{2}{3}\) = 0.
Trong không gian Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm M(3; −1; 5) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x + y − z + 4 = 0. Biết phương trình chính tắc của d có dạng \(\frac{{x - 3}}{a} = \frac{{y + 1}}{b} = \frac{{z - 5}}{{ - 1}}\). Tính giá trị của tổng a + b.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 3
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 1} \right)\).
Đường thẳng d vuông góc với (P) nên nhận \(\overrightarrow {{n_P}} \) làm vectơ chỉ phương.
Phương trình chính tắc của d đi qua M(3; −1; 5) với vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{n_P}} \) là: \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - \left( { - 1} \right)}}{1} = \frac{{z - 5}}{{ - 1}} \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 5}}{{ - 1}}\)
Đồng nhất phương trình này với biểu thức đề bài, ta có phần mẫu số a = 2 và b = 1.
Giá trị tổng cần tìm là a + b = 2 + 1 = 3.
Trong không gian Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm A(2; 1; −3) và vuông góc với mặt phẳng (P): x − 2y + z − 1 = 0. Đường thẳng d cắt mặt phẳng tọa độ (Oxy) tại điểm K(x; y; 0). Tính tổng tọa độ x + y của điểm K.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;1} \right)\).
Đường thẳng d vuông góc với (P) nên phương trình tham số của d đi qua A(2; 1; −3) được lập là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y = 1 - 2t}\\{z = - 3 + t}\end{array}} \right.\)
Điểm K nằm trên mặt phẳng (Oxy) nên cao độ z = 0.
Thay z = 0 vào phương trình thứ ba, ta giải được: −3 + t = 0 <=> t = 3.
Thế t = 3 vào biểu thức tính hoành độ và tung độ của điểm K: x = 2 + 3 = 5; y = 1 − 2·3 = −5
Tổng các tọa độ của điểm K là x + y = 5 + (−5) = 0.
Trong không gian Oxyz, xét đường thẳng d đi qua điểm M(−2; 4; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P): 3x − y + 2z − 5 = 0. Biết đường thẳng d cắt mặt phẳng tọa độ (Oyz) tại điểm A(0; b; c). Tính giá trị của hiệu b − c.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1
Đường thẳng d vuông góc với (P) nên nhận vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; - 1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của d được viết là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2 + 3t}\\{y = 4 - t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\)
Đường thẳng cắt mặt phẳng (Oyz) tại điểm có hoành độ x = 0.
Giải phương trình hoành độ: −2 + 3t = 0 ⇒ 3t = 2 ⇒ t = \(\frac{2}{3}\)
Thay t = \(\frac{2}{3}\) vào tính tung độ và cao độ của A:
b = 4 − \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{{12}}{3}\) − \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{{10}}{3}\)
c = 1 + 2·\(\left( {\frac{2}{3}} \right)\) = 1 + \(\frac{4}{3}\) = \(\frac{7}{3}\)
Giá trị của hiệu b − c là: \(\frac{{10}}{3}\) − \(\frac{7}{3}\) = \(\frac{3}{3}\) = 1.
Trong không gian Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2y − 2z + 3 = 0. Có một điểm M nằm trên đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến M bằng 6 và hoành độ của M là số dương. Tính hoành độ của điểm M.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 3
Đường thẳng d vuông góc với (P) nên nhận \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của đường thẳng d là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 1 - 2t}\end{array}} \right.\).
Vì điểm M nằm trên d nên tọa độ của M có dạng M(1 + t; 1 + 2t; 1 − 2t).
Vectơ nối hai điểm là \(\overrightarrow {AM} = \left( {t;2t; - 2t} \right)\).
Theo giả thiết, khoảng cách AM = 6. Ta thiết lập phương trình độ dài:
\(\sqrt {{t^2} + {{\left( {2t} \right)}^2} + {{\left( { - 2t} \right)}^2}} = 6 \Leftrightarrow \sqrt {{t^2} + 4{t^2} + 4{t^2}} = 6 \Leftrightarrow \sqrt {9{t^2}} = 6 \Leftrightarrow 3\left| t \right| = 6 \Rightarrow \left| t \right| = 2\)
Giải ra ta được t = 2 hoặc t = −2.
Nếu t = 2, hoành độ của M là x = 1 + 2 = 3 (số dương, thỏa mãn).
Nếu t = −2, hoành độ của M là x = 1 + (−2) = −1 (loại).
Vậy hoành độ của điểm M bằng 3.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm A(1; −1; 2) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x − y + 2z − 1 = 0. Gọi A' là điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P). Tính tổng ba tọa độ của điểm A'.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −2
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P). Đường thẳng d chính là đường thẳng đi qua A, H và A'.
Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;2} \right)\).
Phương trình tham số của d là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 1 - t}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.\).
Giao điểm H của d và (P) có tham số t thỏa mãn:
\(2\left( {1 + 2t} \right) - \left( { - 1 - t} \right) + 2\left( {2 + 2t} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow 9t + 6 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{2}{3}\) \( \Rightarrow H\left( { - \frac{1}{3}; - \frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)\).
Điểm H là trung điểm của đoạn AA'. Do đó \(A'\left( { - \frac{5}{3};\frac{1}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\).
Tổng 3 tọa độ của A' là −2.
Bạn có thích hoạt động này không?
