Bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có một vectơ chỉ phương lớp 12 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d đi qua điểm M(−2; 1; 4) và nhận vectơ \(\vec u = \left( {3; - 1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Áp dụng định nghĩa, ta thiết lập được phương trình tham số của đường thẳng d là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2 + 3t}\\{y = 1 - t}\\{z = 4 + 2t}\end{array}} \right.\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; −3; 0) và có vectơ chỉ phương \(\vec v = \left( { - 2;4;1} \right)\).

Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ được viết như sau:

\(\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - \left( { - 3} \right)}}{4} = \frac{{z - 0}}{1}\) Û \(\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y + 3}}{4} = \frac{z}{1}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d đi qua điểm P(3; −1; 2) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( { - 2;1;4} \right)\).

Do các tọa độ của vectơ chỉ phương đều khác 0 nên ta có thể viết phương trình chính tắc của d.

Phương trình chính tắc của đường thẳng d được lập như sau:

\(\frac{{x - 3}}{{ - 2}} = \frac{{y - \left( { - 1} \right)}}{1} = \frac{{z - 2}}{4} \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{{ - 2}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{4}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\vec a = \left( {3;0; - 1} \right)\).

Vì tung độ của vectơ chỉ phương bằng 0 nên đường thẳng d không thể viết được dưới dạng phương trình chính tắc (do mẫu số không được bằng 0).

Phương trình tham số của d là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3t}\\{y = 2}\\{z =  - 5 - t}\end{array}} \right.\).

Thay tọa độ Q(3; 2; −4) vào hệ phương trình tham số của d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 = 3t}\\{2 = 2}\\{ - 4 =  - 5 - t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t =  - 1}\end{array}} \right.\).

Hệ vô nghiệm nên Q không thuộc d. Vậy chỉ có mệnh đề A đúng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Từ phương trình tham số của đường thẳng d, ta xác định được đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ là M(1; 0; −2).

Đồng thời, đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( { - 2;3;1} \right)\).

Từ đó, phương trình chính tắc của đường thẳng d được viết là:

\(\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 0}}{3} = \frac{{z - \left( { - 2} \right)}}{1} \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 2}}{1}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Đúng.                d) Sai.

a) Đúng. Ta có \(\vec v = \left( {1;0; - 2} \right) =  - \frac{1}{2}\vec u\). Vì hai vectơ cùng phương nên \(\vec v\) hoàn toàn hợp lệ để làm vectơ chỉ phương của d.

b) Đúng. Áp dụng định nghĩa với điểm M(1; −2; 3) và vectơ \(\vec u = \left( { - 2;0;4} \right)\), phương trình tham số được viết chính xác là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - 2t}\\{y =  - 2 + 0 \cdot t}\\{z = 3 + 4t}\end{array}} \right.\) Û \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - 2t}\\{y =  - 2}\\{z = 3 + 4t}\end{array}} \right.\).

c) Đúng. Thay tọa độ điểm N(−1; −2; 7) vào phương trình tham số của d: 1 – 2t = – 1  Þ t = 1; y = −2 (khớp); 3 + 4t = 7 Þ t = 1. Hệ có nghiệm chung t = 1 nên N nằm trên d.

d) Sai. Do tung độ của vectơ chỉ phương bằng 0 nên ta không thể viết phương trình của đường thẳng d dưới dạng phân thức chính tắc (vì mẫu số không được bằng 0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Sai.                    d) Đúng.

a) Đúng. Đường thẳng ∆ đi qua A(4; −1; 2) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( { - 1;2;0} \right)\) nên có phương trình tham số được lập là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4 - t}\\{y =  - 1 + 2t}\\{z = 2}\end{array}} \right.\).

b) Đúng. Ta có \(\vec v =  - 2\vec u\), suy ra \(\vec v\) cùng phương với \(\vec u\). Do đó, \(\vec v\) cũng là một vectơ chỉ phương hợp lệ của ∆.

c) Sai. Vì cao độ của vectơ chỉ phương \(\vec u\) bằng 0 nên ta không thể viết phương trình chính tắc cho đường thẳng ∆ dưới dạng có phân số chia cho 0.

d) Đúng. Thay tọa độ điểm B(3; 1; 2) vào hệ phương trình tham số của ∆ ta được hệ mới:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 = 4 - t}\\{1 =  - 1 + 2t}\\{2 = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t = 1}\\{2 = 2}\end{array}} \right.\).

Hệ có nghiệm duy nhất t = 1 nên B thuộc ∆.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Sai.                    d) Đúng.

a) Đúng. Đường thẳng d đi qua O và A nên nhận vectơ nối hai điểm \(\overrightarrow {OA} \) làm vectơ chỉ phương.

b) Đúng. Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OA} \) chính là tọa độ của điểm A do O là gốc tọa độ, vậy \(\overrightarrow {OA}  = \left( {2; - 4;6} \right)\).

c) Sai. Vì d nhận cả hai vectơ \(\vec u = \left( {1;m;n} \right)\) và \(\overrightarrow {OA}  = \left( {2; - 4;6} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên chúng phải cùng phương. Ta có: \(\frac{1}{2} = \frac{m}{{ - 4}} = \frac{n}{6} \Leftrightarrow m =  - 2\).

Giá trị của m là −2, không phải là −4.

d) Đúng. Từ chuỗi tỉ lệ trên, ta có \(\frac{1}{2} = \frac{n}{6} \Rightarrow n = 3\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Sai.                    d) Đúng.

a) Đúng. \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 4;6} \right)\).

b) Đúng. Đường thẳng d nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 4;6} \right)\) làm vectơ chỉ phương. Ta nhận thấy \(\overrightarrow {AB}  = 2\vec v\), tức là hai vectơ này cùng phương với nhau. Do đó, \(\vec v\) cũng là một vectơ chỉ phương hợp lệ của đường thẳng d.

c) Sai. Dựa vào điểm M(0; 1; 4) và vectơ chỉ phương \(\vec v = \left( {1; - 2;3} \right)\), phương trình tham số đúng của đường thẳng d phải là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 1 - 2t}\\{z = 4 + 3t}\end{array}} \right.\).

d) Đúng. Áp dụng công thức lập phương trình chính tắc với điểm M(0; 1; 4) đi qua và vectơ chỉ phương \(\vec v = \left( {1; - 2;3} \right)\), ta thu được biểu thức \(\frac{{x - 0}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 4}}{3}\) ⇔ \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 4}}{3}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Đúng.                d) Sai.

a) Đúng. Áp dụng công thức trọng tâm tam giác, ta tính được các tọa độ của G trong một hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_G} = \frac{{1 + 2 + \left( { - 3} \right)}}{3} = 0}\\{{y_G} = \frac{{2 + \left( { - 1} \right) + 5}}{3} = 2}\\{{z_G} = \frac{{ - 1 + 3 + 1}}{3} = 1}\end{array}} \right.\). Vậy tọa độ trọng tâm là G(0; 2; 1).

b) Đúng. Ta tính tọa độ hai vectơ \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 3;4} \right)\) và \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 4;3;2} \right)\). Đường thẳng d nhận tích có hướng của hai vectơ này làm vectơ chỉ phương. Ta có:

\(\vec u = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left( { - 3} \right)2 - 4 \cdot 3;4\left( { - 4} \right) - 1 \cdot 2;1 \cdot 3 - \left( { - 3} \right)\left( { - 4} \right)} \right) = \left( { - 18; - 18; - 9} \right)\).

c) Đúng. Ta thấy \(\vec u =  - 9\left( {2;2;1} \right)\). Bằng cách chia các tọa độ của \(\vec u\) cho −9, ta thu được vectơ \(\vec v = \left( {2;2;1} \right)\) cùng phương với \(\vec u\). Do đó \(\vec v\) cũng là vectơ chỉ phương của d.

d) Sai. Đường thẳng d đi qua điểm G(0; 2; 1) và nhận \(\vec v = \left( {2;2;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của d được lập dưới dạng hệ là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2t}\\{y = 2 + 2t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\).

Đáp án: 7

Hướng dẫn giải:

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A(1; 0; −2) với vectơ chỉ phương \(\vec u\) = (3; −1; 2) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 3t}\\{y =  - t}\\{z =  - 2 + 2t}\end{array}} \right.\).

Điểm B(a; b; 4) thuộc đường thẳng d nên tọa độ của B phải thỏa mãn hệ phương trình tham số.

Từ phương trình cao độ z = 4, ta có: −2 + 2t = 4 Þ 2t = 6 Þ t = 3.

Thay giá trị t = 3 vào các phương trình còn lại để tìm a và b:

a = x = 1 + 3 · 3 = 10 và b = y = −3.

Tổng cần tìm là a + b = 10 + (−3) = 7.

Đáp án: 2

Hướng dẫn giải:

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(3; −2; 4) với vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1;2; - 1} \right)\) là:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + t}\\{y =  - 2 + 2t}\\{z = 4 - t}\end{array}} \right.\).

Điểm B thuộc d có hoành độ bằng 5. Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có: 3 + t = 5 Þ t = 2.

Thay t = 2 vào phương trình tính cao độ, ta thu được: z = 4 − 2 = 2.

Đáp án: 10

Hướng dẫn giải:

Phương trình tham số của đường thẳng d là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 + t}\\{z = - 2 + 2t}\end{array}} \right.\).

Điểm B nằm trên d nên tọa độ của B có dạng (1 + 2t; 1 + t; −2 + 2t).

Vectơ nối hai điểm A và B là \(\overrightarrow {AB} = \left( {2t;t;2t} \right)\).

Bình phương độ dài đoạn thẳng AB được biểu diễn qua phương trình:

AB² = (2t)² + t² + (2t)² = 4t² + t² + 4t² = 9t².

Theo giả thiết độ dài AB bằng 6, ta có AB²  = 36. Từ đó suy ra phương trình:

\(9{t^2} = 36 \Leftrightarrow {t^2} = 4 \Leftrightarrow t = \pm 2\).

Hoành độ của B bằng 1 + 2t. Vì hoành độ lớn hơn 1 nên ta có bất phương trình: 1 + 2t > 1 => 2t > 0 => t > 0.

Do đó, ta chỉ nhận nghiệm t = 2.

Thay t = 2 vào biểu thức tọa độ dạng tham số, ta tính được tọa độ điểm B là (5; 3; 2).

Tổng ba tọa độ của điểm B là 5 + 3 + 2 = 10.

Đáp án: 1

Hướng dẫn giải:

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(−4; 5; −2) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1; - 2;2} \right)\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 4 + t}\\{y = 5 - 2t}\\{z = - 2 + 2t}\end{array}} \right.\).

Điểm K nằm trên d nên tọa độ của K có dạng (−4 + t; 5 − 2t; −2 + 2t).

Vectơ nối từ gốc tọa độ O đến K là \(\overrightarrow {OK} = \left( { - 4 + t;5 - 2t; - 2 + 2t} \right)\).

Vì K là hình chiếu vuông góc của O lên d nên vectơ \(\overrightarrow {OK} \) phải vuông góc với vectơ chỉ phương \(\vec u\).

Ta thiết lập phương trình tích vô hướng:

\(\overrightarrow {OK} \cdot \vec u = 0 \Leftrightarrow 1\left( { - 4 + t} \right) - 2\left( {5 - 2t} \right) + 2\left( { - 2 + 2t} \right) = 0\)

<=> -4 + t – 10 + 4t – 4 + 4t = 0 <=> t = 2.

Thay giá trị t = 2 vào tọa độ điểm K, ta tính được các tọa độ:

x = −4 + 2 = −2; y = 5 − 2 · 2 = 1; z = −2 + 2 · 2 = 2.

Vậy tọa độ của K là (−2; 1; 2).

Tổng ba tọa độ của điểm K là −2 + 1 + 2 = 1.