Bài tập Vị trí tương đối của hai đường thẳng lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\); \({d_2}:\frac{{x + 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\). Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng đã cho.
Chéo nhau;
Trùng nhau;
Song song;
Cắt nhau.
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = \left( {2;1; - 2} \right),\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = \left( { - 2; - 1;2} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = - \overrightarrow {{u_{{d_2}}}} \).
Do đó d1 song song hoặc trùng với d2.
Lấy điểm M(1; 0; −2) d1. Thay M vào d2 ta được: \(\frac{{1 + 2}}{{ - 2}} = \frac{{0 - 1}}{{ - 1}} = \frac{{ - 2}}{2}\) (vô lí).
Vậy d1 // d2.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{4}\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - 2t\end{array} \right.\). Kết luận gì về vị trí tương đối hai đường thẳng nêu trên?
Vuông góc nhưng không cắt nhau;
Cắt nhau nhưng không vuông góc;
Vừa cắt nhau vừa vuông góc;
Không vuông góc và không cắt nhau.
Đáp án đúng là: C
Chọn M(1; 2; 3), N(0; 0; 5) là hai điểm lần lượt thuộc đường thẳng d1 và d2.
Ta có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;3;4} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;2; - 2} \right)\)lần lượt là vectơ chỉ phương của d1; d2.
Do \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\) nên d1 d2.
Mặt khác \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {MN} = 0\) nên d1 cắt d2.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 4}}{3} = \frac{{1 - z}}{{ - 2}}\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 4t\\y = 1 + 6t\\z = - 1 + 4t\end{array} \right.\). Vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d'.
d và d' trùng nhau;
d và d' chéo nhau;
d và d' song song với nhau;
d và d' cắt nhau.
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;3;2} \right)\) và đi qua điểm M(2; −4; 1).
Đường thẳng d' có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u'} = \left( {4;6;4} \right)\) và đi qua điểm M'(0; 1; −1).
Vì \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {u'} \) cùng phương và M d' nên d và d' song song với nhau.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}\) và \(d':\frac{{x + 2}}{{ - 4}} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{4}\). Vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d'.
d và d' trùng nhau;
d và d' chéo nhau;
d và d' song song với nhau;
d và d' cắt nhau.
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng d, d' có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1; - 2} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 4; - 2;4} \right)\).
Chọn M(1; −3; 4) d.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_2}} = - 2\overrightarrow {{u_1}} \\M \notin d'\end{array} \right. \Rightarrow d//d'\).
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 6 + 3t\\y = 8 + 4t\\z = 11 + 6t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + 4t'\\y = 10 + 6t'\\z = 6 + t'\end{array} \right.\). Vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d'.
d và d' trùng nhau;
d và d' chéo nhau;
d và d' song song với nhau;
d và d' cắt nhau.
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng d đi qua M(6; 8; 11) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3;4;6} \right)\).
Đường thẳng d' đi qua N(7; 10; 6) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {4;6;1} \right)\).
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = \left( { - 32;21;2} \right)\) và \(\overrightarrow {MN} = \left( {1;2; - 5} \right)\).
Do đó \(\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right].\overrightarrow {MN} = - 32 + 42 - 10 = 0\).
Vậy d và d' cắt nhau.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - t\\z = 1\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 2\\z = t'\end{array} \right.\). Khẳng định nào sau đây đúng?
d1 ≡ d2;
d1 và d2 chéo nhau;
d1 // d2;
d1 và d2 cắt nhau.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1;0} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {0;0;1} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương.
Do đó d1 và d2 chéo nhau hoặc cắt nhau.
Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}t = 0\\ - t = 2\\1 = t'\end{array} \right.\) vô nghiệm. Do đó d1 và d2 chéo nhau.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 3 - t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t'\\y = - 1 + 2t'\\z = 2 - 2t'\end{array} \right.\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
d1 ≡ d2;
d1 và d2 chéo nhau;
d1 // d2;
d1 và d2 cắt nhau.
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;1; - 1} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;2; - 2} \right)\) lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d1; d2.
Ta có \(\overrightarrow {{u_2}} = 2\overrightarrow {{u_1}} \) nên đường thẳng d1 và d2 song song hoặc trùng nhau.
Lấy M(1; 2; 3) d1, thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d2 ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 + 2t'\\2 = - 1 + 2t'\\3 = 2 - 2t'\end{array} \right.\) vô nghiệm. Vậy M d2 nên hai đường thẳng này song song.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 3t\\z = 3 + 4t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 4t'\\y = 5 + 6t'\\z = 7 + 8t'\end{array} \right.\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
d1 ≡ d2;
d1 và d2 chéo nhau;
d1 // d2;
d1 và d2 cắt nhau.
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng d1 đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;3;4} \right)\).
Đường thẳng d2 đi qua điểm B(3; 5; 7) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {4;6;8} \right)\).
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_2}} = 2\overrightarrow {{u_1}} \\A \in {d_2}\end{array} \right.\) nên d1 ≡ d2.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{3}\) và \({d_2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{1}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
d1 ≡ d2;
d1 và d2 chéo nhau;
d1 // d2;
d1 và d2 cắt nhau.
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng d1 đi qua M(1; 2; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;2;3} \right)\).
Đường thẳng d2 đi qua N(1; 3; 1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 2;1} \right)\).
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {8;4;0} \right) \ne \overrightarrow 0 ,\overrightarrow {MN} = \left( {0;1;1} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {MN} = 4 \ne 0\).
Nên suy ra d1 và d2 chéo nhau.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{4} = \frac{{z - 7}}{1}\) và \({d_2}:\frac{{x - 6}}{3} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
d1 vuông góc d2;
d1 và d2 chéo nhau;
d1 // d2;
d1 và d2 cắt nhau.
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng d1 đi qua A(1; 3; 7) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;4;1} \right)\).
Đường thẳng d2 đi qua B(6; −2; −1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3;1; - 2} \right)\).
Dễ thấy \(\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương
Có \(\overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,{u_2}} \right] = 0\) nên d1 và d2 cùng nằm trên một mặt phẳng.
Mà \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 8 \ne 0\). Do đó d1 và d2 cắt nhau.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 7 + 4t}\\{y = 3 - 2t}\\{z = 2 - 2t}\end{array}} \right.\) và d2: \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 5}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
d1 // d2.
d1 ≡ d2.
d1 cắt d2.
d1 chéo d2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {4; - 2; - 2} \right) = 2 \cdot \left( {2; - 1; - 1} \right)\) và đi qua A(7; 3; 2).
Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u'} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\) và đi qua B(3; 5; 4).
Ta có \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow {u'} \) và A ∈ d2
Vậy d1 ≡ d2
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5 - t}\\{y = - 3 + 2t}\\{z = 4t}\end{array}} \right.\) và d’: \(\frac{{x - 9}}{2} = \frac{{y - 13}}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
d // d’.
d ≡ d’.
d cắt d’.
d \( \bot \) d’.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng d và d’ lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( { - 1;2;4} \right)\) và \(\overrightarrow {a'} = \left( {2;3; - 1} \right)\)
Ta có \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow {a'} = \left( { - 1} \right) \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 4 \cdot \left( { - 1} \right) = 0\).
Nên \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow {a'} \).
Vậy d \( \bot \) d’
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = 1 - t}\\{z = 2 - 3t}\end{array}} \right.\) và d’: \(\frac{{x - 2}}{4} = \frac{y}{7} = \frac{{z + 1}}{{11}}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
d // d’.
d ≡ d’.
d cắt d’.
d \( \bot \) d’.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng d lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( {2; - 1; - 3} \right)\) và đi qua A(0; 1; 2).
Đường thẳng d’ lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {a'} = \left( {4;7;11} \right)\) và đi qua B(2; 0; −1).
\(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 1; - 3} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right] = \left( {10; - 34;18} \right)\).
\(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right] \cdot \overrightarrow {AB} = 10 \cdot 2 + \left( { - 34} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + 18 \cdot \left( { - 3} \right) = 0\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right] \cdot \overrightarrow {AB} = 0}\\{\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right] = \left( {10; - 34;18} \right) \ne \overrightarrow 0 }\end{array}} \right.\)
Vậy d cắt d’.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - t}\\{y = 3t}\\{z = - 1 - 2t}\end{array}} \right.\) và d’: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 9}\\{z = 5t}\end{array}} \right..\)
Khằng định nào dưới đây đúng?
d // d’.
d ≡ d’.
d cắt d’.
d chéo d’.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - 1;3; - 2} \right)\) và đi qua A(0; 0; −1).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {0;0;5} \right)\) và đi qua B(0; 9; 0).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;9;1} \right)\) và \(\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = \left( {15;5;0} \right) \ne 0\).
\(\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] \cdot \overrightarrow {AB} = 15 \cdot 0 + 5 \cdot 9 + 0 \cdot 1 = 45 \ne 0\).
Vậy d và d’ chéo nhau.
Cho hai đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4 + t}\\{y = mt}\\{z = 2 - t}\end{array}} \right.\) và d’: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 2t}\\{y = 2 - t}\\{z = 5 - 2t}\end{array}} \right.\). Tìm m để đường thẳng d vuông góc với đường thẳng d’.
4.
3.
2.
1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( {1;m; - 1} \right)\).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow b = \left( {2; - 1; - 2} \right)\).
Để d \( \bot \) d’ \( \Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 1 \cdot 2 + m \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow - m + 4 = 0 \Leftrightarrow m = 4\).
Trong không gian Oxyz cho d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 3 + t}\\{z = 4 - 5t}\end{array}} \right.\).
Khi đó:
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow u = \left( {1;3;4} \right)\).
Điểm A(5; 5; −6) thuộc đường thẳng d.
Đường thẳng d1: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 3t}\\{y = 4t}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right.\) (t ∈ ℝ) vuông góc với đường thẳng d.
Đường thẳng d cắt mặt phẳng (Oxz) tại điểm M(−5; 0; 19).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai. Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 5} \right)\).
b) Đúng.Thay A(5; 5; −6) vào phương trình tham số của đường thằng d ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 = 1 + 2t}\\{5 = 3 + t}\\{ - 6 = 4 - 5 \cdot t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2}\\{t = 2}\\{t = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t = 2\).
Vậy A thuộc đường thẳng d.
c) Đúng. Vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3;4;2} \right)\).
\(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow {u{}_1} = 2 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + \left( { - 5} \right) \cdot 2 = 0\).
Vậy đường thẳng d vuông góc với đường thẳng d1.
d) Đúng. Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (Oxz).
Vì M thuộc d nên M(1 + 2t; 3 + t; 4 – 5t). Do M ∈ (Oxz) nên ta có 3 + t = 0 hay t = − 3.
Vậy M(−5; 0; 19).
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = - 1 + t}\\{z = 3}\end{array}} \right.\) và d’: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 5 - 2t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\)
Khi đó:
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d’ là \(\overrightarrow {u'} = \left( {1; - 2;1} \right)\)
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow u = \left( {1;1;0} \right)\).
Đường thẳng d và đường thẳng d’chéo nhau.
Đường thẳng d vuông góc với đường thằng d’.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Vectơ chỉ phương của đường thẳng d’ là \(\overrightarrow {u'} = \left( {1; - 2;1} \right)\).
b) Đúng. Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow u = \left( {1;1;0} \right)\).
c) Đúng. Ta có: \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {1; - 1; - 3} \right)\).
Điểm A ∈ đường thẳng d nên A(1; −1; 3)
Điểm B ∈ đường thẳng d’ nên B(0; 5; 1).
Do đó \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;6; - 2} \right)\).
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \cdot \overrightarrow {AB} = 1 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot 6 + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 2} \right) = - 1 \ne 0\).
Vậy d và d’ chéo nhau
d) Sai. Ta có \(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow {u'} = 1 \cdot 1 + \left( { - 2} \right) \cdot 1 + 1 \cdot 0 = - 1\).
Vậy đường thẳng d và đường thẳng d’ không vuông góc với nhau.
Trong không gian Oxyz cho d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 2t}\\{y = 1 - t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\).
Khi đó:
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( {2;1;1} \right)\).
Điểm B(4; 0; 3) thuộc đường thẳng d.
Khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P): x + 2y – 3 = 0 bằng 1.
Đường thẳng d và đường thẳng d’: \(\frac{x}{4} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{4}\) trùng nhau.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( {2; - 1;2} \right)\).
b) Đúng. Thay B(4; 0; 3) vào đường thẳng d có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 = 2 + 2t}\\{0 = 1 - t}\\{3 = 1 + 2t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = 1}\\{t = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t = 1\).
Vậy B thuộc đường thẳng d.
c) Sai. M ∈ đường thẳng d nên M(2; 1; 1), và d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( {2; - 1;2} \right)\)
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;2;0} \right)\).
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow n = 2 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot 2 + 2 \cdot 0 = 0\) nên \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow n \).
Mà M \( \notin \)(P) do đó (d) // (P) ⇒ d(d, (P)) = d(M, (P)) = \(\frac{{\left| {2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\).
d) Đúng. Đường thẳng d’ có vetơ chỉ phương là \(\overrightarrow b = \left( {4; - 2;4} \right) = 2 \cdot \left( {2; - 1;2} \right)\).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( {2; - 1;2} \right)\) và M(2; 1; 1) ∈ d.
Do đó \(\overrightarrow b = 2\overrightarrow a \) và M ∈ d’
Vậy đường thẳng d trùng với đường thẳng d’.
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
d: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 7}}{1} = \frac{{z - 3}}{4}\) và d’: \(\frac{{x - 6}}{3} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 2}}{1}\).
Khi đó:
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1;4} \right)\).
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u'} = \left( {3;2;1} \right)\).
Hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau.
Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1;4} \right)\).
b) Sai. Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u'} = \left( {3; - 2;1} \right)\).
c) Sai. Ta có: \(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow {u'} = 2 \cdot 3 + 1 \cdot \left( { - 2} \right) + 4 \cdot 1 = 8\).
Vậy hai đường thẳng d và d’ không vuông góc với nhau.
d) Đúng. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1;4} \right)\) và đi qua A(1; 7; 3).
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u'} = \left( {3; - 2;1} \right)\) và đi qua B(6; −1; −2).
\(\overrightarrow {AB} = \left( {5; - 8; - 5} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {9;10; - 7} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = 5 \cdot 9 + \left( { - 8} \right) \cdot 10 + \left( { - 5} \right) \cdot \left( { - 7} \right) = 0\).
Vậy d và d’ cắt nhau.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - mt}\\{y = 2 - 3t}\\{z = 1 + \left( {2m + 1} \right)t}\end{array}} \right.\) và d’: \(\frac{{x + 3}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{{2m}} = \frac{{z - 2}}{3}\) với m ∈ ℝ∖{0}.
Khi đó:
Đường thẳng d đi qua điểm A(0; 2; 1).
Đường thẳng d’ đi qua điểm B(−3; 1; 2).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {m;3;2m + 1} \right)\).
Với m = −3 thì d \( \bot \) d’.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Dựa vào phương trình chính tắc của đường thẳng d, ta có đường thẳng d đi qua điểm A(0; 2; 1).
b) Đúng. Thay B(−3; 1; 2) vào đường thẳng d’ ta có:
\(\frac{{ - 3 + 3}}{{ - 1}} = \frac{{1 - 1}}{{2m}} = \frac{{2 - 2}}{3} = 0\).
Vậy B thuộc đường thẳng d’.
c) Sai. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - m; - 3;2m + 1} \right)\).
d) Đúng. Với m = − 3 thay vào đường thẳng d:
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3t}\\{y = 2 - 3t}\\{z = 1 + \left( { - 3 \cdot 2 + 1} \right)t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3t}\\{y = 2 - 3t}\\{z = 1 - 5t}\end{array}} \right.\).
Phương trình tham số của đường thẳng d’: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - t - 3}\\{y = 2mt + 1}\\{z = 3t + 2}\end{array}} \right.\)
Với m = − 3 thay vào đường thẳng d’ có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - t - 3}\\{y = \left( { - 3} \right) \cdot 2t + 1}\\{z = 3t + 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - t - 3}\\{y = - 6t + 1}\\{z = 3t + 2}\end{array}} \right.\).
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3; - 3; - 5} \right)\).
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d’ là \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( { - 1; - 6;3} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_d}} \cdot \overrightarrow {{u_{d'}}} = 3 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 6} \right) + \left( { - 5} \right) \cdot 3 = 0\).
Vậy hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 11 - 3t}\\{y = - 5 + 4t}\\{z = mt}\end{array}} \right.\) và d2: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 4 + 5s}\\{y = 2 + 3s}\\{z = 2s}\end{array}} \right.\) với m là tham số thực; s, t là tham số của đường thẳng. Tìm m để hai đường thẳng đó vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1,5
Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( { - 3;4;m} \right)\).
Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow b = \left( {5;3;2} \right)\).
Để d1 vuông góc với d2 thì
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow \left( { - 3} \right) \cdot 5 + 4 \cdot 3 + 2 \cdot m = 0 \Leftrightarrow - 3 + 2m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}\).
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\] và d2: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - m}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\) với m là tham số. Tìm giá trị của m để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 5
Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( {1; - 1;2} \right)\) và đi M(1; 2; 3).
Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow b = \left( {2;1; - 1} \right)\) và đi qua N(1; m; −2).
\(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( { - 1;5;3} \right)\) và \(\overrightarrow {MN} = \left( {0;m - 2; - 5} \right)\).
Để d1 và d2 cắt nhau khi và chỉ khi
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] \ne \overrightarrow 0 }\\{\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] \cdot \overrightarrow {MN} = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] \ne \overrightarrow 0 }\\{0 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( {m - 2} \right) \cdot 5 + \left( { - 5} \right) \cdot 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] \ne \overrightarrow 0 }\\{m = 5}\end{array}} \right.} \right.\).
Vậy m = 5 thì d1 cắt d2.
Tìm m để hai đường thẳng sau đây song song d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5 + t}\\{y = mt}\\{z = 2 - t}\end{array}} \right.\); d’: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t'}\\{y = m + 4t'}\\{z = 2 - 2t'}\end{array}} \right.\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Đường thẳng d và d’ có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;m; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {2;4; - 2} \right)\).
Để d // d’ thì \(\frac{1}{2} = \frac{m}{4} = \frac{{ - 1}}{{ - 2}} \Leftrightarrow m = 2\).
Khi đó đường thẳng d’ đi qua điểm N(1; 2; 2) và điểm N không thuộc đường thẳng d.
Vậy d // d’ khi và chỉ khi m = 2.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 9t}\\{y = mt}\\{z = - 3 + t}\end{array}} \right.\)và d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng: (P): 2x – 3y – 3z – 9 – 0 và (Q): x – 2y + z + 3 = 0. Tìm m để đường thẳng d trùng với đường thẳng d’.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 5
Gọi M(x; y; z) thuộc d’có toạ độ thoả mãn hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 3y - 3z - 9 = 0}\\{x - 2y + z + 3 = 0}\end{array}} \right.\).
Chọn z = 0 nên M’(27; 15; 0) thuộc d’.
\(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( { - 9; - 5; - 1} \right)\).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {9;m;1} \right)\).
Để d trùng với d’ thì \(\frac{{ - 9}}{9} = \frac{{ - 5}}{m} = \frac{{ - 1}}{1} = - 1 \Leftrightarrow m = 5\).
Khi đó đường thẳng d’ đi qua điểm M’(27; 15; 0) và điểm M’(27; 15; 0) cũng thuộc đường thẳng d.
Vậy m = 5 thì d trùng với d’.
Cho hai đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = m - 2t}\\{z = - 1 - 2t}\end{array}} \right.\) và d’: \(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{y}{4} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}\). Tìm m để hai đường thẳng đã cho cắt nhau.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −15
Đường thẳng d đi qua A(0; m; −1) và có vec to chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2; - 2; - 2} \right)\).
Đường thẳng d’ đi qua B(1; 0; 2) và có vec tơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u'} = \left( {4;4; - 2} \right)\).
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {12; - 4;16} \right)\), \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - m;3} \right)\).
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \cdot \overrightarrow {AB} = 12 \cdot 1 + \left( { - 4} \right) \cdot \left( { - m} \right) + 16 \cdot 3 = 4m + 60\).
Để hai đường thẳng d và d’ cắt nhau thì: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \ne \overrightarrow 0 }\\{\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \cdot \overrightarrow {AB} = 0 \Leftrightarrow 4m + 60 = 0 \Leftrightarrow m = - 15}\end{array}} \right.\)
Vậy m = − 15.
