Bài tập Tứ giác nội tiếp có đáp án
20 câu hỏi
Chứng minh rằng hình chữ nhật ABCD nội tiếp được.
Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD, ta có ngay
OA = OB = OC = OD => ABCD nội tiếp trong (O; OA)
Cho tam giác ABC đều. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho DB = DC và DCB^=12ACB^
a) Chứng minh ABDC là tứ giác nội tiếp.
b) Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D.
Vậy tứ giác ABDC nội tiếp.
b) Do đường tròn ngoại tiếp ABC cũng đồng thời là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD nên để xác định tâm đường tròn đi qua A, B, C, D chỉ cần tìm giao điểm O của AD với đường cao BB’ của tam giác ABC.
Đường tròn (O; OA) đi qua A, B, C, D.
Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA
a) Chứng minh rằng AMNC là một tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh rằng MNPQ là một tứ giác nội tiếp.
Vậy tứ giác AMNC nội tiếp được một đường tròn.
b) Vì OM, ON, OP, OQ theo thứ tự là đường trung tuyến của các tam giác vuông ∆AOB, ∆OBC, ∆OCD, ∆ODAnên
<=> MNPQ nội tiếp đường tròn (O;a2)
Tứ giác ABCD có ABC^+ADC^=1800. Chứng minh rằng các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua một điểm.
Tứ giác ABCD có tổng hai góc đối ABC^+ADC^=1800 nên nó là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O.
Đường tròn (O) cũng là đường tròn ngoại tiếp nên O là giao điểm các đường trung trực của AB và AC.
Tương tự, (O) là đường tròn ngoại tiếp ∆BCD nên O nằm trên đường trung trực của BD.
Vậy các trung trực của AB, BD, AC cùng đi qua điểm O.
Tìm điều kiện để hình thang ABCD (AB // CD) nội tiếp được
Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn tâm M, biết DAB^=1800, DAM^=300,BMC^=300. Hãy tính số đo các góc MAB^, BCM^, AMB^, DMC^, AMD^, MCD^, BCD^.
Cho nửa đường tròn đường kính AB và một dây CD. Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với CD, cắt AB tại I. các tiếp tuyến tại A và B của nửa đường tròn cắt đường thẳng CD theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác AECI và BFCI nội tiếp được.
b) ∆IEF~∆CAB từ đó suy ra ∆IEF vuông.
Cho ∆ABC, các đường phân giác của các góc trong B^,C^ gặp nhau tại S, các đường phân giác của các góc ngoài B^ và C^ gặp nhau tại E. Chứng minh rằng:
a) BSCE là tứ giác nội tiếp.
b) Ba điểm A, S, E thẳng hàng.
c) Trung điểm M của SE thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ABC
a) Ta có:
- Vì BS, BE là các tia phân giác của hai góc kề bù nên BS⊥BE
- Vì CS, CE là các tia phân giác của hai góc kề bù nên CS⊥CE
Do đó, tứ giác BSCE nội tiếp (cụ thể nội tiếp đường tròn đường kính SE)
b) Vì AS và AE đều là tia phâ giác của góc BAC^ nên A, S, E thẳng hàng.
c) Vì M là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BSCE nên
Do đó tứ giác ABMC nội tiếp.
Vậy điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. vẽ một đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) tại C và cắt đường tròn (O’) tại D. Vẽ một đường thẳng qua B cắt đường tròn (O) tại E và đường tròn (O’) tại F. hai đường thẳng CD và EF không cắt nhau ở bên trong hai đường tròn. Chứng minh rằng CE // DF.
Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp được, biết
a) ABCD là hình thang cân
b) ABCD là hình chữ nhật
a) Vì ABCD là hình thang cân nên ta có
(tổng hai góc trong cùng phía)
Vậy hình thang cân ABCD nội tiếp được.
b) Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD.
Ta có OA = OB = OC = OD <=> ABCD nội tiếp trong (O; OA)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và tia tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn. Trên tia Bx lấy hai điểm C và D (C nằm giữa B và D). Các tia AC và AD lần lượt cắt đường tròn tại E và F. Hai dây AE và BF cắt nhau tại M. Hai tia AF và BE cắt nhau tại N. Chứng minh rằng
a) MN // Bx.
b) Tứ giác CDFE nội tiếp được.
a) Trong tam giác ABN ta có:
Từ (1) và (2) suy ra M là trực tâm tam giác ABN
Suy ra MN // Bx
b) Nhận xét rằng
Cho tam giác ABC, các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi D là điểm đối xứng của H qua trung điểm M của BC.
a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp được trong một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó.
b) Đường thẳng DH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là I. Chứng minh rằng 5 điểm A, I, F, H, E cùng nằm trên một đường tròn.
a) Nhận xét rằng, tứ giác CDBH có hai đường chéo CB và DH cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên nó là hình bình hành, suy ra
b) Nhận xét
Vậy các điểm E, F, I cùng nhìn AH dưới một góc vuông, do đó 5 điểm A, I, F, H, E cùng nằm trên một đường tròn đường kính AH.
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Tia OA cắt đường tròn (O’) tại C, tia O’A cắt đường tròn (O) tại D. Chứng minh rằng
a) Tứ giác OO’CD nội tiếp
b) Tứ giác OBO’C nội tiếp
c) Năm điểm O, O’, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
Vậy các điểm C,D nằm cùng phía đối với OO’ và thỏa mãn ODO'^=OCO'^nên bốn điểm O, O’, C, D thuộc cùng một đường tròn, tức là tứ giác OO’CD nội tiếp.
b) Xét hai tam giác và ta có
OO’ chung
OA = O’B vì cùng bằng bán kính đường tròn (O)
O’A = O’B vì cùng bằng bán kính đường tròn (O’)
c) Nhận thấy rằng:
- Từ kết quả câu a, suy ra D thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác COO’
- Từ kết quả câu b, ta suy ra B thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác COO’
Vậy năm điểm O, O’, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn ngoại tiếp tam giác COO’.
Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Vẽ EF⊥AD. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng.
a) Tứ giác ABE F, DCEF nội tiếp được.
b) Tia CA là tia phân giác của góc
Tứ giác BCMF nội tiếp được.
Chứng minh rằng trong một đường tròn hai dây không đi qua tâm không thể cắt nhau tại trung điểm mỗi dây.
Ta đi chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử trái lại có hai dây cung AC và BD cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường và không đi qua tâm O.
Khi đó tứ giác ABCD là hình bình hành.
Do đó, ABCD là hình chữ nhật => BAD^=900
Vậy BD là đường kính.
⇒O∈BD, mâu thuẫn.
Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. trên đường tròn (O’) lấy một điểm M. các đường thẳng MA, MB cắt đường tròn (O) tại C và D. Từ M vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn (O’). Chứng minh rằng xy // CD.
Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) và (O’) tại C và D. Vẽ dây CE của đường tròn (O) và dây DF của đường tròn (O’) song song với nhau. Chứng minh rằng ba điểm B, E, F thẳng hàng.
Vẽ dây chung AB, ta lần lượt thấy
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M. Đường thẳng qua C vuông góc với CM cắt các tia AB, AD lần lượt tại E và F. Tia CM cắt đường thẳng AD tại N. Chứng minh rằng
a) Tứ giác AMCF nội tiếp được.
b) Tứ giác ANEC nội tiếp được.
c) CM + CN = EF
a) Ta lần lượt thấy
Do đó, tứ giác AMCF nội tiếp đường tròn đường kính MF.
b) Ta lần lượt thấy
Do đó, tứ giác ANEC nội tiếp đường tròn đường kính NE.
c) Ta lần lượt xét
Cho hình bình hành ABCD. Đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C cắt đường thẳng CD tại P khác C. Chứng minh AP = AD.
Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn trên cung nhỏ AB lấy điểm C. Vẽ CD⊥AB, CE⊥MA, CF⊥MB. Gọi I là giao điểm của AC và DE, K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng
a) Tứ giác AECD nội tiếp được.
b) Tứ giác BFCD nội tiếp được
c) CD2 = CE.CF
d) IK // AB
