Bài tập Tổng và hiệu của hai vecto có đáp án

Sau bài học này ta sẽ giải quyết bài toán này như sau:

Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song d₁, d₂ (H.4.17). Giả sử tàu xuất phát từ A∈d1 và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc α. Gọi  và  lần lượt là vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước. Gọi M, N là các điểm sao cho vr→=AM→,vn→=MN→.

Khi đó tàu chuyển động với vectơvận tốc thực tế là v→=vr→+vn→=AM→+MN→=AN→.

Gọi B, C tương ứng là giao điểm của AN, AM với d₂. Tàu chuyển động thẳng từ A đến B với vận tốc thực tế là AN→, do đó thời gian cần thiết để tàu sang được bờ d₂ là ABAN=ACAM. Mặt khác, AM=vr→ không đổi nên ACAM nhỏ nhất ⇔ AC nhỏ nhất ⇔AC⊥d2⇔AM⊥d2.

Vậy để tàu sang được bờ bên kia nhanh nhất, ta giữ bánh lái để tàu luôn vuông góc với bờ.

Ta có: AB→=a→

⇒AB→ cùng hướng với a→ và độ dài AB→ bằng độ dài a→.

Ta lại có: A'B'→=a→

⇒A'B'→ cùng hướng với a→ và độ dài A'B'→ bằng độ dài a→.

⇒AB→ cùng hướng với A'B'→ và độ dài AB→ bằng độ dài A'B'→.

⇒AB→=A'B'→⇔ABB’A’ là hình bình hành  (1)

Ta có: BC→=b→

⇒BC→ cùng hướng với b→ và độ dài BC→ bằng độ dài b→.

Ta lại có:

⇒B'C'→ cùng hướng với b→ và độ dài B'C'→ bằng độ dài .

⇒BC→ cùng hướng với B'C'→ và độ dài BC→ bằng độ dài B'C'→.

⇒BC→=B'C'→⇔ BB’C’C là hình bình hành ⇔CC'→=BB'→ (2)

Từ (1) và (2) suy ra AA'→=CC'→⇔AA’C’C là hình bình hành

⇒AC→=A'C'→

Vậy AC→=A'C'→.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: AD→=BC→

⇒AB→+AD→=AB→+BC→=AC→

 

Vậy AB→+AD→=AC→.

Trong Hình 4.14a:

Ta có: a→+b→=AB→+BC→=AC→

 

b→+a→=AD→+DC→=AC→

⇒a→+b→=b→+a→

Trong Hình 4.14b: 

Ta có: a→+b→+c→=AC→+CD→=AD→

a→+b→+c→=AB→+BD→=AD→

⇒a→+b→+c→=a→+b→+c→

+ Tứ giác ABCD là hình thoi nên ABCD cũng là hình bình hành

Do đó  CB→+CD→=CA→(quy tắc hình bình hành)

⇒CB→+CD→=CA→=CA

Vì ABCD là hình thoi nên AB= BC và  AC là tia phân giác BAD^ ( tính chất hình thoi)

⇒BAC^=CAD^=BAD^2=12002=600

Xét ΔABC có AB = BC và BAC^=600

⇒ ΔABC đều

⇒ AC = AB = BC = 1

Suy ra CB→+CD→=1.

Ta có: DB→+CD→+BA→=CD→+DB→+BA→=CB→+BA→=CA→ (quy tắc ba điểm).

⇒DB→+CD→+BA→=CA→=CA=1

Vậy độ dài của các vectơ CB→+CD→ và DB→+CD→+BA→ đều bằng 1.

Nếu chỉ có hai lực tác dụng vào cùng một vật mà vật vẫn đứng yên thì hai lực đó là hai lực cân bằng.

Ví dụ: Hai đội kéo co cùng kéo sợi dây. Nếu hai đội mạnh ngang nhau thì họ sẽ tác dụng lên dây hai lực cân bằng. Sợi dây chịu tác dụng của hai lực cân bằng thì sẽ đứng yên. 

Hai vecto u→và v→ biểu diễn cho hai vecto cân bằng thì hai vecto này có chung gốc, ngược hướng và có độ lớn (hay độ dài) bằng nhau.

Gọi E và F lần lượt là điểm đối xứng với O qua M và N.

Suy ra M là trung điểm của AB và EO; N là trung điểm của DC và OF.

Khi đó các tứ giác OAEB và OCFD là các hình bình hành

⇒OA→+OB→=OE→ (quy tắc hình bình hành trong hình bình hành OAEB)

Và OD→+OC→=OF→ (quy tắc hình bình hành trong hình bình hành OCFD).

 ⇒OA→+OB→+OC→+OD→=OE→+OF→

Vì O là trung điểm của MN nên OM = ON, mà OM = ME, ON = NF.

Do đó OE = OF.

Suy ra hai vectơ  và  có cùng độ dài và ngược hướng nên chúng là hai vectơ đối nhau, do đó OE→+OF→=0→

⇒OA→+OB→+OC→+OD→=0→

Ta có khẩu pháo chịu tác động của ba lực: trọng lực P→, phản lực W→ và lực kéo F→. Đề kéo được khẩu pháo đi lên ta cần lực F→ có độ lớn lớn hơn độ lớn của tổng hai lực P→ và Q→, tức làF→>W→+P→

Xét ΔOBC vuông tại O, có:

OC=sin30.BC=Psin300.

Mặt khác W→+P→=OC→⇔W→+P→=OC→=Psin300=22148.sin300=11074N

⇒F→>11074N

Ta có: 11 074 : 100 = 110,74

Nếu lực kéo của mỗi người bằng 100N thì cần tối thiểu số người để kéo pháo là 111 người.

Vậy ta cần một lực kéo lớn hơn 11 074N để kéo khẩu pháo đi lên và nếu lực kéo của mỗi người bằng 100N thì cần tối thiểu 111 người để kéo pháo lên.

a) Ta có: AB→+BC→+CD→+DA→=AB→+BC→+CD→+DA→=AC→+CA→=AA→=0→

b) Ta có:  AC→−AD→=DC→ (quy tắc hiệu)

 BC→−BD→=DC→ (quy tắc hiệu)

⇒AC→−AD→=BC→−BD→.

Ta có: AB→+AD→=AC→ (quy tắc hình bình hành)

Ta cần tìm điểm M thỏa mãn AC→=BM→

⇔ ACMB là hình bình hành

Vậy điểm M cần tìm là đỉnh thứ tư của hình bình hành dựng trên hai cạnh AB, AC.

Do tứ giác ACMB là hình bình hành

⇒CM→=AB→

Mà DC→=AB→

⇒CM→=DC→ hay CM→=−CD→

Suy ra CD→ và CM→ là hai vecto đối nhau.

Ta có: AB→−AC→=CB→ (quy tắc hiệu)

⇒AB→−AC→=CB→=a

Ta lại có: AB→+AC→=AD→ (với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành)

Gọi M là giao điểm của AD và BC

⇒ M là trung điểm của BC và AD (tính chất hình bình hành)

Xét ΔABC, có:

AB² = AM² + BM² (định lí Pythagore)

⇒ AM² = AB² – BM² = AB2−BC22=a2−a22=3a24

⇒AM=a32

⇒AD=2AM=2.a32=a3

⇒AB→+AC→=AD→=a3

Vậy AB→−AC→=a,AB→+AC→=a3.

Ta có hình vẽ sau:

 

Vẽ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành trong đó AB→ biểu diễn F1→; AD→ biểu diễn F2→ và BAD⏜=120^o (như hình vẽ trên).

Suy ra F1→+F2→=AB→+AD→=AC→ (quy tắc hình bình hành)

Do đó F1→+F2→=AC→=AC

Xét tam giác ABC, áp dụng định lí côsin ta có:

AC² = AB² + BC² – 2.AB.BC.cos ABC^

+)  AB=AB→=F1→ mà F1→=3  nên AB = 3.

+) Vì ABCD là hình bình hành nên BC = AD (tính chất hình bình hành)

Mà AD =  AD→=F2→=2

Do đó BC = 2.

+) Vì ABCD là hình bình hành nên AD // BC do đó ABC^+BAD^=1800 (hai góc trong cùng phía)

Suy ra  ABC^=180°−BAD^=180°−120°=60°

+) Ta có AC² = AB² + BC² – 2.AB.BC.cos ABC^

Þ AC² = 3² + 2² – 2.3.2.cos 60°

Þ AC² = 7

⇒AC=7

⇒F1→+F2→=7

Vậy độ lớn của hợp lực F1→+F2→ là 7 (N).

Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song d₁, d₂ .

Giả sử tàu 1 xuất phát từ A'∈d1đến M (hướng xuống hạ lưu) và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc α.

Giả sử tàu 2 xuất phát từ A' đến M' (hướng lên thượng nguồn) và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc α.

Gọi vr1→,vr2→ và vn→ lần lượt biểu diễn vận tốc riêng của tàu 1, tàu 2 và vận tốc dòng nước.

+ Gọi B, C là các điểm sao cho vr1→=AB→,vn→=BC→.

Khi đó tàu 1 chuyển động với vectơ vận tốc thực tế là v1→=vr1→+vn→=AB→+BC→=AC→.

Vậy tàu 1 chuyển động theo hướng AC→ với đích đến là điểm N trên bờ d₂ và đi với độ lớn .

Thời gian để tàu 1 di chuyển sang bờ d₂ là t₁ = ANAC.

+ Gọi B', C' là các điểm sao cho vr2→=A'B'→,vn→=B'C'→

Khi đó tàu 2 chuyển động với vectơ vận tốc thực tế là v→2=vr2→+vn→=A'B'→+B'C'→=A'C'→.

Vậy tàu 2 chuyển động theo hướng A'C'→ với đích đến là điểm N' trên bờ d₂ và đi với độ lớn .

Thời gian để tàu 2 di chuyển sang bờ d₂ là t₂ = A'N'A'C'.

+ Vì  nên B, B', C, C' thẳng hàng và nằm trên đường thẳng song song với hai đường thẳng d₁ và d₂.

Khi đó theo định lý Thales, ta có: ANAC=A'N'A'C' hay t₁ = t₂.

Suy ra hai tàu cần thời gian như nhau để sang được đến bờ bên kia.

Vậy hai tàu sang đến bờ bên kia cùng một lúc.