Đề kiểm tra Tổng và hiệu của hai vectơ lớp 10 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Cho bốn điểm phân biệt\[A,B,C,D\]. Vectơ tổng \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} \] bằng
\(\overrightarrow 0 \).
\(\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {BD} \).
\(\overrightarrow {BA} \).
Chọn A
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \].
Cho tam giác \[ABC\]. Gọi \[M,N,P\] lần lượt là trung điểm của \[AB,BC,CA\]. Vectơ tổng \[\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {NP} \] bằng
\(\overrightarrow {BP} \).
\(\overrightarrow {MN} \).
\(\overrightarrow {CP} \).
\(\overrightarrow {PA} \).
Chọn A
\[\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {BP} \].
Cho hình bình hành \[ABCD\] và gọi I là giao điểm của hai đường chéo. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
\[\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {IB} \].
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} \].
\(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {IB} \).
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {IA} = \overrightarrow {BI} \].
Chọn A
\[\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {IB} \].
Cho hình bình hành \[ABCD\] và gọi I là giao điểm của hai đường chéo. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\[\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {IB} \].
\[\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BI} = \overrightarrow {DI} \].
\(\overrightarrow {ID} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {IC} \).
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CI} = \overrightarrow {IA} \].
Chọn D
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CI} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CI} = \overrightarrow {AI} \].
Cho tam giác \(ABC\), \(M\) là điểm thỏa \[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow O \]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(M\)là trung điểm \(AB\).
\(M\) là trọng tâm \(\Delta ABC\).
\(M\) trùng \(B\).
\(A\) là trung điểm \(MB\).
Chọn B
\[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow O \] nên \(M\) là trọng tâm \(\Delta ABC\).
Cho tứ giác \(ABCD\), \(M\) là điểm thỏa \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} \). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(M\) trùng \(D\).
\(M\) trùng \(A\).
\(M\)trùng \(B\).
\(M\) trùng \(C\).
Chọn D
\(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AC} \).
Cho\(ABCD\)là hình bình hành, \(M\) là điểm thỏa \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(M\) trùng \(D\).
\(M\) trùng \(A\).
\(M\)trùng \(B\).
\(M\) trùng \(C\).
Chọn D
\(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \).
Cho\(ABCD\)là hình bình hành tâm \(O\), \(M\) là điểm thỏa \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {OC} \). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(M\) trùng \(O\).
\(M\) trùng \(A\).
\(M\)trùng \(B\).
\(M\) trùng \(C\).
Chọn A
\(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {OC} \) suy ra \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AO} \) (\(O\) là trung điểm \(AC\)) nên \(M\) trùng \(O\).
Cho hình thoi ABCD có \(\widehat {BAD} = 60^\circ \) và cạnh là a. Tính độ dài \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right|\).
\(a\sqrt 3 \)
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\(a\sqrt 2 \)
2a
Chọn A
Gọi O là giao của 2 đường chéo\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 2AD = a\sqrt 3 \)
Cho hình vuông ABCD có cạnh là a. O là giao điểm của hai đường chéo. Tính \(\left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {CB} } \right|\)
\(a\sqrt 3 \)
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\(a\sqrt 2 \)
Chọn C
\(\left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {OD} } \right| = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Với \(\forall \overrightarrow a ,\overrightarrow b \) độ dài \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|\):
Bao giờ cũng lớn hơn\(\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\)
Không nhỏ hơn \(\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\)
Bao giờ cũng nhỏ hơn \(\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\)
Không lớn hơn \(\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\)
Chọn D
Theo quy tắc 3 điểm độ dài vectơ tổng bao giờ cũng nhỏ hơn hoặc bằng tổng độ dài 2 vectơ thành phần.
Cho \(\Delta ABC\) đều cạnh a. Khi đó \(\left| {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {AC} } \right|\) bằng:
0
3a
a
\(a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\)
Chọn A
\(\left| {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right| = \left| {\overrightarrow {AA'} } \right| = 0\)
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Khi đó:
a) \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} \)
b) Gọi \(E\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(C\). Khi đó \(ADEC\) là hình thang.
c) \(|\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} | = a\sqrt 2 \)
d) \(|\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} | = a\sqrt 3 \).
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Theo quy tắc hình bình hành ta có \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} \).
Theo định lí Pytago: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\)
\( = {a^2} + {a^2} = 2{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \)
Vậy \(|\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} | = |\overrightarrow {AC} | = AC = a\sqrt 2 \).
Gọi \(E\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(C\).
Do \(CE = AD = a,CE//AD\) nên \(ADEC\) là hình bình hành.
Ta có: \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AE} \). Áp dụng định lí Pytago cho tam giác \(ABE\):
\(A{E^2} = A{B^2} + B{E^2} = {a^2} + {\left( {2a} \right)^2} = 5{a^2} \Rightarrow AE = a\sqrt 5 \)
Vậy \(|\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} | = AE = a\sqrt 5 \)
Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\), có trọng tâm \(G\). Khi đó:
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \)
b) \(|\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CB} | = 2a\);
c) \(|\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} | = a\sqrt 3 \);
d) \(|\overrightarrow {BG} - \overrightarrow {BC} | = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Ta có: \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \Rightarrow |\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CB} | = |\overrightarrow {AC} | = AC = a\).
Vẽ hình bình hành \(ABDC\), gọi \(H\) là giao điểm \(AD\) và \(BC\)
Suy ra \(H\) là trung điểm của cả \(AD\) và \(BC\).
Theo quy tắc hình bình hành: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \). Ta có \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\) nên \(AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Suy ra: \(AD = 2AH = a\sqrt 3 \).
Vậy \(|\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} | = |\overrightarrow {AD} | = AD = a\sqrt 3 {\rm{. }}\)
Ta có: \(\overrightarrow {BG} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BG} = \overrightarrow {CG} \).
Dễ thấy \(CG = AG = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy \(|\overrightarrow {BG} - \overrightarrow {BC} | = |\overrightarrow {CG} | = CG = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}{\rm{. }}\)
Cho \(\Delta ABC\). Khi đó:
a) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \vec O\) khi điểm \(M\) là một đỉnh của hình bình hành \(ABCM\).
b) \(\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {NB} \) khi điểm \(N\) trùng với điểm \(A\).
c) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA} \) khi \(M\) là trung điểm của đoạn \(AC\).
d) \(\overrightarrow {NA} - \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow {CD} \) khi \(N\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(A\).
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
a) Ta có: \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \vec 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MA} } \right) + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CM} \end{array}\)
Vậy điểm \(M\) là một đỉnh của hình bình hành \(ABCM\).
b) Ta có: \(\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {NB} \Leftrightarrow (\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {AB} ) + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {NB} \Leftrightarrow \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {NB} \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {NC} = \vec 0\). Vậy điểm \(N\) trùng với điểm \(C\).
c) Ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + (\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MB} ) = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \vec 0\). Vậy \(M\) là trung điểm của đoạn \(AC\).
d) Ta có: \(\overrightarrow {NA} - \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow (\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {BN} ) + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DN} \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CN} \Leftrightarrow \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CN} \).
Vậy \(N\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(C\).
Cho sáu điểm \(A,B,C,D,E,F\). Khi đó:
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EF} - \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {ED} = \overrightarrow {FA} \).
b) \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {EF} = \overrightarrow {DE} \).
c) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \).
d) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {ED} \).
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
a) Ta có \(:\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EF} - \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {ED} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DE} \) \( = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} ) + (\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE} ) + \overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AF} \).
b) Ta có \(:\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {EF} = \overrightarrow {FB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {EF} = \overrightarrow {FD} + \overrightarrow {EF} = \overrightarrow {ED} \).
c) Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DB} \).
d) Ta có: \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {ED} \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow (\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AF} ) + (\overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BC} ) + (\overrightarrow {EF} - \overrightarrow {ED} ) = \vec 0\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {FC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DF} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {FD} + \overrightarrow {DF} = \vec 0.\end{array}\)
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6
Cho hai tam giác vuông \(ABC\) và \(DBC\) có chung cạnh huyền \(BC\). Gọi \(I\) là trung điểm \(BC\). Biết rằng \(BC = \sqrt 2 \) và AID^=120°. Tính \(|\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {ID} |\).
Ta có \(:|\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} | = |\overrightarrow {CB} | = BC = \sqrt 2 \).
Ta có \(IA,ID\) lần lượt là đường trung tuyến của các tam giác vuông \(ABC\), \(DBC\), nên: \(IA = ID = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Vẽ hình bình hành \(IAED\), mà \(IA = ID\) nên IAED là hình thoi; đồng thời AID^=120°, nên IAE^=60°. Do đó \(\Delta IAE\) đều.
Vậy \(|\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {ID} | = |\overrightarrow {IE} | = IE = IA = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Cho tam giác vuông \(ABC\) có các cạnh góc vuông là \(AB = 1,AC = 2\).
Điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AM} \). Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow {AM} \)?
Ta có: \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AM} \Leftrightarrow \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AM} \).
Vẽ hình bình hành \(ABCM\), ta có điểm \(M\) thỏa mãn.
Ta có: \(|\overrightarrow {AM} | = AM = BC = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 \).
Cho tam giác vuông \(ABC\) có các cạnh góc vuông là \(AB = 1,AC = 2\).
Điểm \(N\) thỏa mãn \(\overrightarrow {CN} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CI} \) với \(I\) là trung điểm \(AB\). Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow {CN} \)?
Vẽ hình bình hành \(ACBD\), ta có: \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CD} \).
Khi đó: \(\overrightarrow {CN} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CI} \Leftrightarrow \overrightarrow {CN} = \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CI} \).
Lấy điểm \(N\) đối xứng với \(I\) qua \(D\), ta có \(\overrightarrow {CI} = \overrightarrow {DN} \).
Do đó: \(\overrightarrow {CN} = \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CI} \Leftrightarrow \overrightarrow {CN} = \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DN} \Leftrightarrow \overrightarrow {CN} = \overrightarrow {CN} \) (thỏa mãn).
Ta có \(:|\overrightarrow {CN} | = CN = 3CI\) với \(CI = \sqrt {A{C^2} + A{I^2}} = \sqrt {{2^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {17} }}{2}\).
Vậy \(|\overrightarrow {CN} | = \frac{{3\sqrt {17} }}{2}\).
Cho hai lực \({\vec F_1},\overrightarrow {{F_2}} \) có điểm đặt \(A\) tạo với nhau góc \({45^^\circ }\), biết rằng cường độ của hai lực \({\vec F_1}\) và \({\vec F_2}\) lần lượt bằng \(60\;N,90\;N\). Tính cường độ tổng hợp của hai lực trên?
Đặt \({\vec F_1} = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {AD} \).
Vẽ hình bình hành \(ABCD\).
Ta có: \({\vec F_1} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \).
Vì BAD^=45°⇒ABC^=135°; \(AD = 90 = BC\)
Theo định lí cosin ta có:
AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cos135°=602+902−2⋅60⋅90⋅−22≈19336,75⇒AC≈139,06.
Vậy vectơ hợp lực của \({\vec F_1},\overrightarrow {{F_2}} \) có độ lớn là: \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| \approx 139,06\;N\).
Cho tam giác vuông cân \(ABC\) tại \(A\) có \(AB = a\). Tính \(|\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} |\).
Gọi \(D\) là điểm thỏa mãn tứ giác \(ABDC\) là hình vuông.
\( \Rightarrow |\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} | = |\overrightarrow {AD} | = AD = AB\sqrt 2 = a\sqrt 2 {\rm{. }}\)
Cho hình chữ nhật \(ABCD,AB = 3,AD = 4\). Tính \(|\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} |\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) \( \Rightarrow |\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} | = |\overrightarrow {AC} | = AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 5\)
