Đề kiểm tra Tổng và hiệu của hai vectơ lớp 10 (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Cho các điểm phân biệt \[M,N,P,Q,R\]. Xác định vectơ tổng \[\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RP} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} \].
\(\overrightarrow {MP} \).
\(\overrightarrow {MN} \).
\(\overrightarrow {MQ} \).
\(\overrightarrow {MR} \).
Chọn A
\[\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RP} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QR} + \overrightarrow {RP} = \overrightarrow {MP} \].
Cho hình bình hành \(ABCD\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} \].
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \].
\[\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CB} \].
\[\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DB} \].
Chọn C
\[\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \].
Cho tam giác \(ABC\) và \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(BC,CA,AB\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \).
\(\overrightarrow {AP} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {CN} = \overrightarrow 0 \).
\[\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PM} = \overrightarrow 0 \].
\[\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MP} \].
Chọn D
\[\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {PM} \].
Cho hình vuông ABCD, tâm O. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
\[\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CA} \].
\(\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {AO} = \overrightarrow {CA} \).
\[\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {CA} \].
\[\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CA} \].
Chọn A
\[\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {CA} \].
Cho\(ABCD\)là hình bình hành tâm \(O\), \(M\) là điểm thỏa \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {BC} \). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(M\) trùng \(D\).
\(M\) trùng \(A\).
\(M\)trùng \(B\).
\(M\) trùng \(C\).
Chọn A
\(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} \), suy ra \(M\) trùng \(D\).
Cho\(ABCD\)là hình bình hành tâm \(O\), \(M\) là điểm thỏa \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(M\) trùng \(O\).
\(M\) trùng \(A\).
\(M\) trùng \(B\).
\(M\) trùng \(C\).
Chọn B
\(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow O \).
Cho tứ giác \(PQRN\)có \(O\) là giao điểm 2 đường chéo, \(M\) là điểm thỏa \[\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} = \overrightarrow {ON} \]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(M\) trùng \(P\).
\(M\) trùng \(Q\).
\(M\) trùng \(O\).
\(M\) trùng \(R\).
Chọn C
\[\overrightarrow {ON} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} \]\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {NM} = \overrightarrow {NO} \].
Cho\[\Delta ABC\], tìm điểm \(M\) thỏa \[\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {CM} - \overrightarrow {CA} \]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(M\) là trung điểm \(AB\).
\(M\) là trung điểm \(BC\).
\(M\) là trung điểm \(CA\).
\(M\) là trọng tâm \[\Delta ABC\].
Chọn D
\[\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {CM} - \overrightarrow {CA} \]\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AM} \]\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow O \]
Suy ra \(M\) là trọng tâm \[\Delta ABC\].
Cho tam giác ABC đều cạnh a, trọng tâm G. Tính độ dài vectơ \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {GC} } \right|\).
\(\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)
\(\frac{a}{3}\)
\(\frac{{2a}}{3}\)
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Chọn A
Gọi K là điểm đối xứng với G qua AC thì \(\overrightarrow {AK} = \overrightarrow {GC} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {GC} } \right|\)
\( = \left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AK} } \right| = \left| {\overrightarrow {KB} } \right| = 2BG = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)
Cho hình vuông ABCD có cạnh là 3. Tính độ dài \(\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right|\):
6
\(6\sqrt 2 \)
12
0
Chọn A
\(\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AO} + 2\overrightarrow {OD} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AD} } \right| = 6\)
Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O và M là trung điểm AB. Tính độ dài \(\left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right|\).
a
3a
\[\frac{a}{2}\]
2a
Chọn A
![Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O và M là trung điểm AB. Tính độ dài \(\left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right|\). A. a B. 3a C. \[\frac{a}{2}\] D. 2a (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/14-1760183729.png)
Ta có: \[AC = a\sqrt 2 \] và\(OA = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Rightarrow OM = \frac{a}{2}\). Gọi E là điểm sao cho OBEA là hình bình hành\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OE} } \right| = AB = a\)
Cho \(\Delta ABC\) vuông cân tại A có \(BC = a\sqrt 2 \), M là trung điểm BC. Tính độ dài vectơ \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} } \right|\).
\(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)
\(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\(\frac{{a\sqrt {10} }}{2}\)
Chọn D
Dựng hình bình hành ABMN\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BM} } \right| = \left| {\overrightarrow {BN} } \right| = BN\)
Ta có: \(NC = AM = \frac{1}{2}BC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)\( \Rightarrow BN = \sqrt {B{C^2} + N{C^2}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}\)
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(O\) là giao điểm của hai đường chéo. Khi đó:
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \)
b) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AD} \)
c) \(|\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} | = AC\)
d) Nếu \(|\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} | = |\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CD} |\) thì \(ABCD\) là hình thoi.
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
a) Ta có: \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} \) (vì \(ABCD\) là hình bình hành).
Ta có \(:|\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} | = |\overrightarrow {AC} | = AC\) (vì \(ABCD\) là hình bình hành).
b) Ta có: \(|\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} | = |\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CD} | \Leftrightarrow |\overrightarrow {AC} | = |\overrightarrow {DB} | \Leftrightarrow AC = BD\).
Vì \(ABCD\) là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau nên \(ABCD\) là hình chữ nhật.
Cho lục giác đều ABCDEF tâm \(O\). Khi đó:
a) \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \)
b) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {AC} \)
c) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {FC} \)
d) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {FD} = \overrightarrow {AF} \)
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \) (do \(BCDO\) là hình bình hành).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {FD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DF} = \overrightarrow {AF} \) (do \(ABDE\) là hình bình hành).
Cho hình bình hành \(ABCD\). Hai điểm \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AD\). Khi đó:
a) \(\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AN} \)
b) \(\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AN} \)
c) \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BM} \)
d) \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Dễ thấy tứ giác \(ABCD,AMCN\) là hình bình hành
+ Vì \(\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AN} \) nên ta có: \(\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {AC} \)
\( + \) Vì \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \) nên ta có: \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {BM} \)
+ Vì \(\overrightarrow {NC} = \overrightarrow {AM} \) nên ta có: \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AE} \), \(E\) là đỉnh của hình bình hành AMED.
Vậy \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \)
Cho tam giác \(ABC\). Các điểm \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AC,BC\). Khi đó:
a) \(\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {NM} \)
b) \(\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {MP} \)
c) \(\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {PN} = \overrightarrow {MP} \)
d) \(\overrightarrow {BP} - \overrightarrow {CP} = \overrightarrow {PC} \)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Dễ thấy tứ giác \(AMPN,MNCP\) là hình bình hành
\(\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {NM} \)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {MN} - \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {PN} (\overrightarrow {NC} = \overrightarrow {MP} )\\\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {PN} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MP} \\\overrightarrow {BP} - \overrightarrow {CP} = \overrightarrow {BP} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow {BC} \end{array}\)
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6
Cho hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MB} \) cùng tác động vào một vật tại điểm \(M\). Cường độ hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \)lần lượt là 300N và 400N, \(\widehat {AMB} = 90^\circ \). Tìm cường độ của lực tác động lên vật?
- Ta có tổng lực tác dụng lên vật: \({\vec F_1} + {\vec F_2} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} \) (Với \(C\) là điểm sao cho \(AMBC\) là hình bình)
- Khi đó cường độ lực tác dụng lên vật: \(\left| {{{\vec F}_1} + {{\vec F}_2}} \right| = |\overrightarrow {MC} | = MC\)
- Ta có: \(MA = |\overrightarrow {MA} | = \left| {{{\vec F}_1}} \right| = 400\;N\), \(MB = |\overrightarrow {MB} | = \left| {{{\vec F}_2}} \right| = 300\;N\)
- Mặt khác, do AMB^=90° nên \(AMBC\) là hình chữ nhật.
Khi đó: \(MC = \sqrt {M{A^2} + M{B^2}} = \sqrt {{{400}^2} + {{300}^2}} = 500(N)\)
Cho ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {MC} \) cùng tác động vào một ô tô tại điểm \(M\) và ô tô đứng yên. Cho biết cường độ hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \)đều bằng \(25N\) và góc \(\widehat {AMB} = 60^\circ \). Khi đó tính cường độ \(\overrightarrow {{F_3}} \).
- Ta có: \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MD} \)(với \(D\) là điểm sao cho \(AMBD\) là hình bình hành)
- Ta có: \(MA = |\overrightarrow {MA} | = \left| {{{\vec F}_1}} \right| = 25N\) và \(MB = |\overrightarrow {MB} | = \left| {{{\vec F}_2}} \right| = 25N\)
- Do AMB^=60° nên \(\Delta MAB\) là tam giác đều. Khi đó: \(MD = 2 \cdot \frac{{25\sqrt 3 }}{2} = 25\sqrt 3 (N)\)
- Do ô tô đứng yên nên cường độ lực tác dụng lên ô tô bằng 0 hay \({\vec F_1} + {\vec F_2} + {\vec F_3} = \vec 0\)
Suy ra: \({\vec F_3} = - \left( {{{\vec F}_1} + {{\vec F}_2}} \right) \Rightarrow \left| {{{\vec F}_3}} \right| = \left| { - \left( {{{\vec F}_1} + {{\vec F}_2}} \right)} \right| = |\overrightarrow {DM} | = MD = 25\sqrt 3 (N)\)
Vậy cường độ của \({\vec F_3}\) là \(25\sqrt 3 (N)\)
Cho hai lực \({\vec F_1},{\vec F_2}\) đều có cường độ bẳng \(100\;N\) và có cùng điểm đặt tại một điểm. Góc hợp bởi \({\vec F_1}\) và \({\vec F_2}\) bằng 900. Khi đó tính cường độ lực tổng hợp của \({\vec F_1}\) và \({\vec F_2}\)
Vẽ \(\overrightarrow {IA} = {\vec F_1},\overrightarrow {IB} = {\vec F_2}\), Vẽ hình vuông \(IAJB\).
\(\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = {\vec F_1} + \overrightarrow {{F_2}} \), có \(IJ = \sqrt {I{A^2} + I{B^2}} = 100\sqrt 2 (\;N)\).
Vậy cường độ lực tổng hợp của \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) bằng \(100\sqrt 2 (\;N)\).
Cho ba lực \({\vec F_1} = \overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {MC} \) cùng tác động vào một vật tại điểm \(M\) và vật đứng yên. Cho biết cường độ của \({\vec F_1},{\vec F_2}\) đều bằng \(100\;N\) và góc AMB^=90°. Khi đó tính cường độ của lực \({\vec F_3}\).
Vẽ hình vuông \(ADBM\), cạnh \(MA = 100\) thì \(MD = 100\sqrt 2 \). Theo qui tắc hình bình hành có \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MD} \). Vật đứng yên khi \(\overrightarrow {{F_3}} = - \overrightarrow {MD} \). Suy ra cường độ của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) là: \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 100\sqrt 2 N\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), biết \(AB = a\) và B^=60°. Tính \(|\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} |\) và \(|\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} |\).
|AB→+BC→|=|AC→|=AC=AB⋅tan60°=a3
|AB→−AC→|=|CB→|=CB=acos60°=2a;
Cho hình thang ABCD có hai đáy \(AB = a,CD = 2a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm \(AD\) và \(BC\). Tính \(|\overrightarrow {DM} - \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {CN} |\)
Ta có: \(|\overrightarrow {DM} - \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {CN} | = |\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {NC} | = \)\(|\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} | = |\overrightarrow {MN} | = MN = \frac{{AB + CD}}{2} = \frac{{3a}}{2}.\)
