Bài tập Toán 9 Bài 8 (có đáp án): Rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai

Ta biến đổi:

$\begin{array}{l}3\sqrt{8}-\sqrt{18}-5\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{50}\\ =3.\sqrt{4.2}-\sqrt{9.2}-5\sqrt{\frac{2}{2^2}}+\sqrt{25.2}\\ =6\sqrt{2}-3\sqrt{2}-\frac{5}{2}\sqrt{2}+5\sqrt{2}\\ =\left(6-3-\frac{5}{2}+5\right)\sqrt{2}\\ =\frac{11\sqrt{2}}{2}\end{array}$

Ta biến đổi:

$\begin{array}{l}\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{3}-1}\\ =\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}+\frac{2\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\\ =\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}+\frac{2\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\\ =\sqrt{2}-\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{3}+1\right)\\ =\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{3}+1\\ =1\end{array}$

$\begin{array}{l}A=15\left(\sqrt{\frac{3}{5}}+\sqrt{\frac{5}{3}}\right)\\ =15\left(\frac{1}{5}\sqrt{15}+\frac{1}{3}\sqrt{15}\right)\\ =15.\frac{8}{15}\sqrt{15}\\ =8\sqrt{15}\end{array}$

Ta có thể làm theo hai cách:

Cách 1: Sử dụng phương pháp quy đồng mẫu, ta có:

$\begin{array}{l}B=\sqrt{\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}}-\sqrt{\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}}\\ =\frac{\sqrt{\sqrt{7}-\sqrt{6}}}{\sqrt{\sqrt{7}+\sqrt{6}}}-\frac{\sqrt{\sqrt{7}+\sqrt{6}}}{\sqrt{\sqrt{7}-\sqrt{6}}}\\ =\frac{{\left(\sqrt{\sqrt{7}-\sqrt{6}}\right)}^2-{\left(\sqrt{\sqrt{7}+\sqrt{6}}\right)}^2}{\sqrt{\sqrt{7}+\sqrt{6}}.\sqrt{\sqrt{7}-\sqrt{6}}}\\ =-2\sqrt{6}\end{array}$

Cách 2: Sử dụng phương pháp trục căn thức ở mẫu, ta có:

$\begin{array}{l}B=\sqrt{\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}}-\sqrt{\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}}\\ =\sqrt{\frac{{\left(\sqrt{7}+\sqrt{6}\right)}^2}{\left(\sqrt{7}+\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{6}\right)}}\\ =\sqrt{{\left(\sqrt{7}-\sqrt{6}\right)}^2}-\sqrt{{\left(\sqrt{7}+\sqrt{6}\right)}^2}\\ =\sqrt{7}-\sqrt{6}-\sqrt{7}-\sqrt{6}=-2\sqrt{6}\end{array}$

Ta biến đổi:

$\begin{array}{l}A=2\sqrt{3x}+\sqrt{27x}-\sqrt{8x}+\sqrt{50x}+\sqrt{x}\\ =\left(2+3\right)\sqrt{3x}+(-2+5)\sqrt{2x}+\sqrt{x}\\ =5\sqrt{3x}+3\sqrt{2x}+\sqrt{x}\\ =\left(5\sqrt{3}+3\sqrt{2}+1\right)\sqrt{x}\end{array}$

Với x,y>0, ta biến đổi:

$\begin{array}{l}B=\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{xy}+\frac{x}{y}\sqrt{\frac{y}{x}}\\ =\frac{1}{\left|y\right|}\sqrt{xy}+\sqrt{xy}+\frac{x}{\left|x\right|y}\sqrt{xy}\\ =\frac{1}{y}\sqrt{xy}+\sqrt{xy}+\frac{x}{xy}\sqrt{xy}\\ =\left(\frac{1}{y}+1+\frac{1}{y}\right)\sqrt{xy}\\ =\frac{(y+2)\sqrt{xy}}{y}\end{array}$

Nhận xét rằng:

$\begin{array}{l}5+2\sqrt{6}={\left(\sqrt{3}\right)}^2+2\sqrt{3}\sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2={\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}^2\\ 5-2\sqrt{6}={\left(\sqrt{3}\right)}^2-2\sqrt{3}\sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2={\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^2\end{array}$

Suy ra:

${\left(\frac{5+2\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\right)}^2={\left(\frac{{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}^2}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\right)}^2={\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}^2=5+2\sqrt{6}$

${\left(\frac{5-2\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\right)}^2={\left(\frac{{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\right)}^2={\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^2=5-2\sqrt{6}$

Do đó:

$VT=5+2\sqrt{6}-(5-2\sqrt{6})=4\sqrt{6}$

Đặt $t=\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}$, suy ra: $\left\{\begin{array}{l}a=At\\ b=Bt\\ c=Ct\\ d=Dt\end{array}\right.$

Khi đó đẳng thức được viết lại dưới dạng:

$\sqrt{A^{2}t}+\sqrt{B^{2}t}+\sqrt{C^{2}t}+\sqrt{D^{2}t}=\sqrt{\left(At+Bt+Ct+Dt\right)\left(A+B+C+D\right)}$

$\iff \left(A+B+C+D\right)\sqrt{t}=(A+B+C+D)\sqrt{t}$ (luôn đúng)

Đặt $a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}$

Ta được đẳng thức điều kiện là:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{a}{abc}\iff bc+ca+ab=1\left(1\right)$

Và khi đó đẳng thức cần chứng minh có dạng:

$\begin{array}{l}\sqrt{\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}+\sqrt{\left(1+c^2\right)\left(1+a^2\right)}+\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\\ =(b+c)\sqrt{1+a^2}+(c+a)\sqrt{1+b^2}+(a+b)\sqrt{1+c^2}\end{array}$

Nhận xét rằng:

$\begin{array}{l}1+a^2=bc+ca+a^2=(a+b)(a+c)\\ 1+b^2=bc+ca+ab+b^2=\left(b+c\right)\left(b+a\right)\\ 1+c^2=bc+ca+ab+c^2=\left(c+b\right)\left(c+a\right)\end{array}$

Từ đó suy ra:

$\begin{array}{l}\sqrt{\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}\\ =(b+c)\sqrt{(b+a)(c+a)}\\ =(b+c)\sqrt{1+a^2}\left(2\right)\end{array}$

Tương tự, ta có:

$\begin{array}{l}\sqrt{\left(1+c^2\right)\left(1+a^2\right)}=(c+a)\sqrt{1+b^2}\left(3\right)\\ \sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}=(a+b)\sqrt{1+c^2}\left(4\right)\end{array}$

Cộng theo vế (2), (3),(4) ta nhận được đẳng thức cần chứng minh.

1. Điều kiện: $0\le x\ne 9$

Ta có:

$\begin{array}{l}P=\frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)-3x-3}{x-9}:\frac{2\sqrt{x}-2-\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}\\ =\frac{2x-6\sqrt{x}+x+3\sqrt{x}-3x-3}{x-9}:\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\\ =\frac{-3\sqrt{x}-3}{x-9}:\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\\ =\frac{-3\left(\sqrt{x}+1\right)}{x-9}.\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}\\ =\frac{-3}{\sqrt{x}+3}\end{array}$

2. Ta có:

$\begin{array}{l}P<-\frac{1}{2}\iff \frac{-3}{\sqrt{x}+3}<-\frac{1}{2}\\ \iff \frac{-3}{\sqrt{x}+3}+\frac{1}{2}<0\\ \iff \frac{-6+\sqrt{x}+3}{2\left(\sqrt{x}+3\right)}<0\\ \iff \sqrt{x}-3<0\\ \iff \sqrt{x}<3\\ \iff 0\le x<9\end{array}$

Vậy $0\le x<9$ thì $P<-\frac{1}{2}$

3. Ta có: $P=\frac{-3}{\sqrt{x}+3}$

Nhận xét

$\begin{array}{l}x\ge 0\iff \sqrt{x}\ge 0\\ \iff \sqrt{x}+3\ge 3\\ \iff \frac{1}{\sqrt{x}+3}\le \frac{1}{3}\\ \iff \frac{-3}{\sqrt{x}+3}\ge -1\\ \iff P\ge -1\end{array}$

Vậy $P_{\min }=-1$ đạt được khi x=0

1. Điều kiện : $0\le x\ne 1$

Ta có:

$\begin{array}{l}P=\left(\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right).\left(\frac{1+a\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}-\sqrt{a}\right)\\ =\left(\frac{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}+a\right)}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right).\left(\frac{\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1-\sqrt{a}+a\right)}{1+\sqrt{a}}\sqrt{a}\right)\\ =\left(a+\sqrt{a}+a+\sqrt{a}\right)\left(1-\sqrt{a}+a-\sqrt{a}\right)\\ =\left(1+2\sqrt{a}+a\right)\left(1-2\sqrt{a}+a\right)\\ ={\left(1+\sqrt{a}\right)}^2{\left(1-\sqrt{a}\right)}^2\\ ={\left(1-a\right)}^2\end{array}$

2. Ta có:

$\begin{array}{l}P<7-4\sqrt{3}\\ \iff {\left(1-a\right)}^2<\mathrm{4.2.2}\sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2\\ \iff {\left(1-a\right)}^2<{\left(2-\sqrt{3}\right)}^2\\ \iff -2+\sqrt{3}<1-a<2-\sqrt{3}\\ \iff -3+\sqrt{3}<-a<1-\sqrt{3}\\ \iff \sqrt{3}-1<a<3-\sqrt{3}\end{array}$

Vậy với $\sqrt{3}-1<a<3-\sqrt{3}$ thì $P<7-4\sqrt{3}$

1. Điều kiện để biểu thức A có nghĩa: $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x\sqrt{x}-1\ne 0\\ x-1\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x\ne 1\end{array}\right.$

2. Ta có:

$\begin{array}{l}A=1:\left(\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+1}{x-1}\right)\\ =1:\left[\frac{x+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}-1\right)}+\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right]\\ =1:\left[\frac{x+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}-1\right)}+\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right]\\ =1:\left[\frac{x+2+\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)-\left(x+\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}-1\right)}\right]\\ =1:\left[\frac{x+2+x-1-x-\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}-1\right)}\right]\\ =1:\left[\frac{x-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}-1\right)}\right]\\ =1:\left[\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}-1\right)}\right]\\ =\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\end{array}$

3. Xét hiệu

$A-3=\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-3=\frac{x+\sqrt{x}+1-3\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\frac{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}{\sqrt{x}}$

Nhận thấy: $\left\{\begin{array}{l}{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2\ge 0\\ \sqrt{x}\ge 0\\ 0<x\ne 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2\ge 0\\ \sqrt{x}\ge 0\end{array}\right.\iff \frac{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}{\sqrt{x}}\ge 0$

Do đó: $A-3\ge 0\iff A\ge 3$

Sử dụng (2) bằng cách thay a, b , c bởi bộ ba số $\left(a-b\right),\left(b-c\right),\left(c-a\right)$ ta sẽ nhận được $S=\left|\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right|$

Vậy S là số hữu tỉ do giả thiết a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau.

1. Tính $S_{2016}$

Sử dụng (2) bằng cách thay a, b, c bởi ba bộ số 1, (n – 1), - n, ta sẽ nhận được:

$\sqrt{1+\frac{1}{{\left(n-1\right)}^2}+\frac{1}{n^2}}=\left|1+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right|=1+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$

Từ đó suy ra:

$\begin{array}{l}{S}_n=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\mathrm{...}+\left(1+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}\right)\\ =1+1+\mathrm{...}+1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}\\ =(n-2).1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}\\ =n-\frac{1}{n}-\frac{3}{2}\end{array}$

Suy ra $S_{2016}=2016-\frac{1}{2016}-\frac{3}{2}=\frac{2010513}{1003}$

2. Chứng minh rằng với mọi $n\ge 3$ thì ” $S_n$ là số hưu tỉ nhưng không thể là số nguyên

Dễ thấy ngay được khẳng định “ $S_n$ là ố hưu tỉ nhưng không thể là số nguyên”

1. Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x\ne 1\end{array}\right.$

Ta có

$\begin{array}{l}A=\frac{15\sqrt{x}-11}{x+2\sqrt{x}-3}+\frac{3\sqrt{x}-2}{1-\sqrt{x}}-\frac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}\\ =\frac{15\sqrt{x}-11-\left(3\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)-\left(2\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\\ =\frac{-5x+7\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\\ =\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(-5\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\\ =\frac{-5\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+3}\end{array}$

1. Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}a>0\\ a\ne 1\end{array}\right.$

Ta có

$\begin{array}{l}A={\left(\frac{\sqrt{a}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{a}}\right)}^2\left(\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}-\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\right)\\ ={\left(\frac{a-1}{2\sqrt{a}}\right)}^2.\left(\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)-\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\right)\\ =\frac{{\left(a-1\right)}^2}{4a}.\left(\frac{a-2\sqrt{a}+1-a-2\sqrt{a}-1}{a-1}\right)\\ =-\frac{a-1}{\sqrt{a}}\end{array}$

$\begin{array}{l}P=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}-y}-\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}-y}\right).\frac{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}^2}\\ =\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}-\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{y}-\sqrt{x}\right)}\right).\frac{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}^2}\\ =\left(\frac{x}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}+\frac{2\sqrt{xy}+y}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}\right).\frac{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}^2}\\ =\frac{x+2\sqrt{xy}+y}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}.\frac{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}^2}\\ =\frac{x+2\sqrt{xy}+y}{{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}^2}\\ =\frac{{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}^2}{{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}^2}\\ =1\end{array}$

Vậy giá trị biểu thức P là hằng số với mọi giá trị của của x và y.