Bài tập Tổ hợp-Xác suất ôn thi Đại học có lời giải (P6)

Đáp án C

Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác có $C_{20}^4=4845 cách$

Đa giác đều 20 đỉnh có 10 đường chéo đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác

Cứ 2 đường chéo bất kì là 2 đường chéo cuiả 1 hình chữ nhật

Do đó số hình chứ nhật là $C_{20}^2=45$

Vậy xác suất cần tìm là

$P=\frac{45}{4845}=\frac{3}{323}$

Đáp án C

Lấy 4 mẫu thịt lợn trong 15 mẫu có $C_5^4=1365$ cách

Gọi A là biến cô “mẫu thịt của cả 3 mẫu A, B, C đều được chọn”

Khi đó $\left|{\Omega }_A\right|=720$ cách

Đáp án B

Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 quả cầu có

$C_{12}^1.C_{10}^1=120$ cách

Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 quả cầu có

$C_7^1.C_6^1=42$ cách

Vậy xác suất cần tính là $P=\frac{42}{120}=\frac{7}{20}$

Đáp án A

Với mỗi câu hỏi, thí sinh có 4 phương án lựa chọn nên số phần tử của không gian mẫu là

$n\left(\Omega \right)=4^{10}$

Gọi X là biến cố “thí sinh đó đạt từ 8,0 điểm trở lên”

TH1. Thí sinh đó làm được 8 câu ( tức là 8,0 điểm):

Chọn 8 câu trong số 10 câu hỏi và 2 câu còn lại mỗi câu có 3 cách lựa chọn

đáp án sai nên có $C_{10}^8.3^2$ cách để thí sinh đúng 8 câu

TH2. Thí sinh đó làm được 9 câu (tức là 9,0 điểm)

Chọn 9 câu trong số 10 câu hỏi

và câu còn lại có 3 cách lựa chọn đáp án sai

nên có $C_{10}^9.3^1$ cách để thí sinh đúng 9 câu

TH3. Thí sinh đó làm được 10 câu (tức là 10,0 điểm)

Chỉ có 1 cách duy nhất.

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố X là

Vậy xác suất cần tìm là

$P=\frac{n\left(X\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{436}{4^{10}}$

Đáp án B

Để tam giác đó là tam giác vuông thì tam giác phải có 1 cạnh là đường kính của đa giác đều.

Khi ta chọn 1 đường kính sẽ còn lại 14 điểm để tọa với đường kính đó thành tam giác vuông.

Mà đa giác đều 16 đỉnh có 8 đường kính nên số tam giác vuông 8.14 = 112.

Đáp án C

Từ 8 số đã cho có thể lập được : số có3 chữ số

Số cần chọn có dạng $\overline{abc}$ trong đó $a\le b\le c$

TH1: a < b < c

Chọn ra 3 số thuộc tập $\left\{1;2;3;4;5;6;7\right\}$

ta được 1 số thỏa mãn

Do đó có $C_7^3=35$ số

TH2:a = b < c có $C_7^2$ số thỏa mãn

TH3: a < b = c có $C_7^2$ số thỏa mãn

TH4: a =b = c có $C_7^1$ số thỏa mãn

Vậy có $C_7^3+2C_7^2+C_7^1=84$

số thỏa mãn chữ số đứng sau luôn lớn hơn bằng chữ số đứng trước

Vậy xác suất cần tìm là: $P=\frac{84}{448}=\frac{3}{16}$

Đáp án A

$C_{20}^1.C_{16}^1=320$ cách

Gọi số cần tìm là: \(\overline {abcd} \)

Vì số cần tìm là số lẻ nên: \(d \in \left\{ {1;3;5;7;9} \right\}\)⇒ d có 5 cách

\(a \ne d,0 \Rightarrow \) a có 8 cách

\(b \ne d \ne a \Rightarrow \)b có 8 cách

\(c \ne a \ne b \ne d \Rightarrow \)c có 7 cách

Vậy có tất cả 5.8.8.7 = 2240 số.

Đáp án A

Đáp án C

Xếp 11 bạn thành một vòng tròn có 10! cách

$\Rightarrow n\left(\Omega \right)=10!$

Gọi X là biến cố “Ba bạn An, Bình, Cường xếp cạnh nhau”

THI. Ba bạn An, Bình_, Cường xếp cạnh nhau

$\Rightarrow có 3!.8! cách$

TH2. Hai trong ba bạn An, Bình_, Cường xếp cạnh nhau

$\Rightarrow có 2.7.C_3^2.8! cách$

Suy ra số phẩn tử cùa biến cố $\overline{X}$ là

Vậy xác suất cần tính là

$P=1-\frac{n\left(\overline{X}\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{7}{15}$

Đáp án B

Số cách chọn thực đơn là 5.5.3 = 75

Đáp án D.

Số cần lập có dạng

Với mỗi cách chọn 2 số từ các số đã cho ta được một số thõa mãn yêu cầu bài toán

Do đó có $C_9^2=36$ số

Đáp án C

Một tam giác được tạo bởi 3 điểm không thẳng hàng

Lấy 2 điểm bất kỳ thuộc $∆$ và 1 điểm không thuộc đường thẳng $∆$ ta được 1 tam giác

Do đó có $C_6^2.1=15$ tam giác

Đáp án D

Sắp xếp cụm số 3,4,5 có 2 cách sắp xếp là 345 và 543

TH1:Cụm 2 số 3,4,5 đứng đầu có:

2.7.6.5 = 240 số thỏa mãn

TH2: Cụm 3 số 3,4,5 không đứng đầu có 3 cách sắp xếp là

x345xx; xx345x; xxx345

3 chữ số còn lại có: 6.6.5 = 180 cách chọn và sắp xếp

Do đó có 2.3.180 = 1080 số thỏa mãn

Theo quy tắc cộng có:

420 + 1080 = 1500 số thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án D

Số phần tử của không gian mẫu tập hợp các điểm có tọa độ nguyên nằm trên hình chữ nhật OMNP là

$n\left(\Omega \right)=101x11$

Khi đó có $91+90+...+81=946$ cặp (x;y) thỏa mãn

Vậy xác suất cần tính là

Đáp án D

Phương trình $x^2+bx+2=0$ có hai nghiệm phân biệt

$\iff ∆=b^2-8>0$

$\Rightarrow b\in \left\{3;4;5;6\right\}$

Xác suất cần tìm là $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

Đáp án C

Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 20 đỉnh có $C_{20}^3$ cách

Gọi X là biến cố “3 đỉnh đó là 3 đỉnh của một tam giác vuông không cân”

Đa giác đều 20 đỉnh có 10 đường chéo xuyên tâm

mà cứ 2 đường chéo được 1 hình chữ nhật và 1 hình chữ nhật được 4 tam giác vuông

$\Rightarrow$số tam giác vuông chọn từ 3 đỉnh trong số 20 đỉnh là

$4.C_{10}^2=180$

Tuy nhiên chỉ có 180 - 20 = 160

tam giác vuông không cân n(X) = 160

Vậy $P=\frac{n\left(X\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{8}{57}$

Đáp án B

Số cần lập có dạng $\overline{abcd}$

trong đó $a; b; c; d\in \left\{0;1;2;3;4;5;6\right\}$

trong đó $d=\left\{0;5\right\}$

TH1: $d=0$ khi đó a,b,c có $A_6^3$ cách chọn và sắp xếp.

TH2: d = 0 khi đó a,b,c có 5.5.4 $(a\#0)$ cách chọn và sắp xếp

Theo quy tắc cộng có

$A_6^3+5.5.4=220$ số thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án C

Chiều dài viên phấn bằng với chiều dài của hộp carton bằng 6cm

Đường kính đáy của viên phấn hình trụ bằng d = 1cm.

TH1:

Chiều cao của đáy hình hộp chữa nhật bằng với 5 lần đường kính đáy bằng 5cm

Khi đó ta sẽ xếp được 4.6 = 24 viên phấn

TH2:

Chiều cao của đáy hình hộp chữ nhật bằng với 6 lần đường kính đáy bằng 6cm.

Khi đó ta cũng sẽ xếp được 6.5 = 30 viên phấn

Vậy hộp phấn cần đẻ xếp 460 viên phấn là 16 hộp

Đáp án A

Chọn 1 đồ vật trong 30 đồ trên có

$C_{30}^1=30 cách chọn$

Đáp án C

Gọi $\overline{X}$ là biến cố

Không một xạ thủ nào bắn trúng

Do A, B, C độc lập với nhau nên $\overline{A};\overline{B}; \overline{C}$ độc lập với nhau

Suy ra $P\left(\overline{X}\right)=0,3.0,4.0,5=0,06$

Đáp án A.

Có 10 đường kính của đường tròn được nối bởi 2 đỉnh của đa giác đều

Một hình chữ nhật có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác được tạo bởi 2 đường kính nói trên

Số cách chọn 4 đỉnh của đa giác là $C_{20}^4$

Số cách chọn 4 đỉnh của hình chữ nhật là $C_{20}^2$

Vậy xác suất cần tính là $P=\frac{C_{10}^2}{C_{20}^4}=\frac{3}{323}$

Đáp án C

Số cách rút 2 con bài từ 52 con bài là $C_{52}^2$

Chọn B

Lời giải. Không gian mẫu là số cách chọn 2 điểm bất kỳ trong 14 điểm đã cho.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $\left|\Omega \right|=C_{14}^2=91$.

Gọi A là biến cố :

Đoạn thẳng nối 2 điểm được chọn cắt hai trục tọa độ.

Để xảy ra biến cố A thì hai đầu đoạn thẳng đó phải ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba hoặc phần tư thứ hai và thứ tư.

● Hai đầu đoạn thẳng ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba, có $C_2^1.C_4^1$ cách.

● Hai đầu đoạn thẳng ở góc phần tư thứ hai và thứ tư, có $C_3^1.C_5^1$ cách.

Suy ra số phần tử của biến cố A là

$\left|{\Omega }_A\right|=$$C_2^1.C_4^1$+$C_3^1.C_5^1$=23

Vậy xác suất cần tính

$P\left(A\right)=\frac{\left|{\Omega }_A\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{23}{91}$

Chọn B

Chọn C

Lời giải. Số các điểm có tọa độ nguyên thuộc hình chữ nhật là 7.3 = 21 điểm vì

Để con châu chấu đáp xuống các điểm M(x,y) có x + y < 2

thì con châu chấu sẽ nhảy trong khu vực hình thang BEIA

Để M(x,y) có tọa độ nguyên thì

= Nếu $x\in \left\{-2;-1\right\}$thì $y\in \left\{0;1;2\right\}$

$\Rightarrow$có 6 điểm

= Nếu x = 0 thì $y\in \left\{0;1\right\}\Rightarrow$ có 2 điểm

= Nếu $x=1\Rightarrow y=0\Rightarrow$có 1 điểm

$\Rightarrow$ có tất cả 6 + 2 +1 = 9 điểm thỏa mãn

Vậy xác suất cần tính $P=\frac{9}{21}=\frac{3}{7}$