Bài tập Tổ hợp-Xác suất ôn thi Đại học có lời giải (P4)

Đáp án A

Số cách chọn ngẫu nhiên 4 học sinh là $C_{12}^4=495$

Gọi p là biến cố: 4 học sinh được chọn thuộc không quá 2 khối thì

$\overline{p}$: 4 học sinh được chọn thuộc 3 khối

$\Rightarrow \overline{p}=270$

$\Rightarrow p=1-\frac{270}{495}=\frac{5}{11}$

Đáp án B

Số cách xếp 10 học sinh vào 10 ghế là: 10!

4 bạn nữ chỉ có thể xếp vào các vị trí N1,N2,N3,N4

Nếu Huyền ở vị trí N1 thì có 3! cách xếp 3 bạn nữ còn lại

Quang có 5 cách chọn chỗ ngồi và có 5! cách xếp 5 bạn nam còn lại

Vậy có 3!.5.5! = 3600 cách xếp

Tương tự nếu Huyền ở vị trí N4 cũng có 3600 cách xếp

Nếu Huyền ở vị trí N2 thì có 3! cách xếp 3 bạn nữ còn lại

Quang có 4 cách chọn chỗ ngồi và có 5! cách xếp 5 bạn nam còn lại

Vậy có 3!.4.5! = 2880 cách xếp

Tương tự nếu Huyền ở vị trí N3 cũng có 2880 cách xếp

Vậy có 2(3600+2880) = 12960 cách xếp thỏa mãn đề bài

$\Rightarrow p=\frac{12960}{10!}=\frac{1}{280}$

Đáp án A

Số cách lập số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau từ 6 chữ số là $A_6^3=120$

Đáp án B

Số cách chọn 3 cuốn sách trong 10 cuốn để phát ngẫu nhiên cho 3 bạn là $A_{10}^3$

Đáp án C

Đáp án D

Số cách xếp 6 người thành hàng ngang là: 6!

Coi 2 người đàn bà là 1 thì số cách sắp xếp người lớn là:4!=24

Hai người đàn bà đổi chỗ cho nhau ta được một trường hợp riêng nên số cách xếp người lớn là

2.4!=48

ứng với mỗi cách xếp người lớn chỉ có một cách xếp trẻ con nên số cách để xếp 1 đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn bà là: 48

$\Rightarrow n=\frac{48}{6!}=\frac{1}{5}$

Đáp án B

Gọi số cần tìm có dạng $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5}$

thỏa mãn $a_1>a_2>a_3>a_4>a_5$

và $a_i\in A\left\{0;1;2;...;9\right\}$

Vì mỗi tập hợp gồm 5 chữ số thuộc tập hợp A chỉ tạo được một số thỏa yêu cầu bài toán

Vậy có $C_{10}^5=252$ số cần tìm

Đáp án C

Bỏ 4 lá thư vào 4 phong bì ta có số cách bỏ là. 4! Cách

Ta xét các trường hợp sau. 

TH1: chỉ có một lá thư bỏ đúng.giải sử ta chọn 1 trong 4 lá để bỏ đúng (có 4 cách)

trong mỗi cách đó chọn một lá để bỏ sai (có 2 cách)

khi đó 2 lá còn lại nhất thiết là sai (1 cách)

vậy trong TH1 này có 4.2.1=8 cách.

TH2: có đúng 2 lá bỏ đúng

Tương tự trên, ta chọn 2 lá bỏ đúng (có $C_4^2=6$ cách)

2 lá còn lại nhất thiết sai (1 cách), vậy trong TH2 này có 6 cách.

TH3: dễ thấy khi 3 lá đã bỏ đúng thì đương nhiên là cả 4 lá đều đúng, vậy có 1 cách.

Suy ra có 8 + 6 +1 = 15 cách bỏ ít nhất có 1 lá thư vào đúng địa chỉ.

Vậy xác suất cần tìm là: $\frac{15}{24}=\frac{5}{8}$

Chọn đáp án B

Số cách xếp là 3!.4!=144

Đáp án D

+ Nếu các thẻ vàng nằm ở vị trí lẻ thì các thẻ đỏ nằm ở vị trí chẵn

ta có. 7!.7! cách xếp khác nhau

+ Nếu các thẻ vàng nằm ở vị trí chẵn thì các thẻ đỏ nằm ở vị trí lẻ

ta có. 7!.7! cách xếp khác nhau

Vậy có tất cả:

7!.7!+7!.7! = 50803200 cách

Đáp án C

Xét 2 khả năng:

+) Trường hợp ở giữa có 3 ghế  có thể xếp nam  ở bên phải hoặc trái nên số cách xếp là

2.4!.2!=96

+) Trường hợp ở giữa có 2 ghế thì ghế ngoài cùng bên phải hoặc bên trái sẽ trống

Tương ứng số cách sắp xếp là 2.2.4!.2!=192

Vậy số cách sắp xếp là 192 + 96 = 288

Đáp án A

Lấy ngẫu nhiên từ ngân hàng đề thi 4 câu hỏi để lập một đề thi

có $C_{20}^4=4845$ đề thi.

Thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 2 câu đã thuộc

có $C_{10}^2.C_{10}^2=2025$ trường hợp.

Thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 3 câu đã thuộc

có $C_{10}^3.C_{10}^1=1200$ trường hợp.

Thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 4 câu đã thuộc

có $C_{10}^4=210$ trường hợp.

Do đó, thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có ít nhất 2 câu đã thuộc

có $2025+1200+210=3435$ trường hợp.

Vậy xác suất để thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có ít nhất 2 câu đã thuộc là

$\frac{3435}{4845}=\frac{229}{323}$

Đáp án A

Số cách chọn ra 7 câu, trong đó có đủ 3 loại dễ, trung bình và khó trong tổng số 20 câu là 6407

Đáp án D

Viết dãy 111...111 (21 chữ số 1)

ta thấy, với mỗi cách điền hai số 0 vào dãy trên

ta được 1 cặp nghiệm nguyên dương của phương trình x + y + z = 21.

Do đó, có $C_{20}^2=190$ cách điền ứng với 190 cặp nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho

Đáp án B

Đáp án A

Gọi số cần lập là $A=\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5}$ với $1\le a_1\le 2$

TH1: $a_1=1$

Có 4 cách chọn $a_5$ và $A_5^3$ cách chọn các chữ số còn lại nên có 4$A_5^3$ số

TH2: $a_1=2,a_2\in \left\{1;3\right\}$

Có 3 cách chọn $a_5$ và $A_4^2$ cách chọn các chữ số còn lại nên có 2.3.$A_4^2$ số.

TH3:$a_1=2,a_2=0$

Có 2 cách chọn $a_5$ và $A_4^2$ cách chọn các chữ số còn lại nên có 2.$A_4^2$ số

Vậy có 336 số

Đáp án D

Ta chia số phần thưởng đó thành 3 bộ Toán Lý, 4 bộ Toán Hóa và 5 bộ Hóa Lý.

Như vậy, có $C_{12}^2$cách chọn giải thưởng cho An và Bình

Trong đó, cách chọn số bộ Toán Lý là $C_3^2$, cách chọn số bộ Toán Hóa là $C_3^2$, cách chọn số bộ Hóa Lý là $C_4^2$

Do đó, xác suất là

Đáp án A

Bước 1. Tính số cách lấy ra 8 viên bi bất kì. có $C_{16}^8$ cách.

Bước 2. Tính số cách lấy ra 8 viên bi không có màu vàng mà chỉ có hai màu xanh và đỏ

Bước 3. Tính số cách lấy ra 8 viên bi không có màu đỏ mà có hai màu xanh và vàng. 

Bước 4. Tính số cách lấy ra 8 viên bi không có màu xanh mà chỉ có hai màu đỏ và vàng.

 Vậy có tất cả $C_{16}^8-(495+165+9)=12201$ cách

Đáp án A

Ta xét 2 trường hợp

TH1:

Đề thi có 9 câu hỏi nằm trong 25 câu mà học sinh nắm được

TH2:

Đề thi có 10 câu hỏi nằm trong 25 câu mà học sinh nắm được

Vậy xác suất cần tính là

Đáp án D

Chọn 5 vị trí cho số 2, có 2 cách là

Vậy 5 vị trí trống còn lại có thể là số 1 hoặc số 3

$\Rightarrow có 2^5 cách$

Vậy có tất cả $2.2^5=65$ số cần tìm

Đáp án D

Chọn ngẫu nhiên 2 người có

Gọi A là biến cố: 2 người được chọn đều là nữ

Do đó sác xuất cần tìm là

Đáp án C

Gọi số có 3 chữ số cần tìm là $\overline{abc}$ 

trong đó $a,b,c\in \left\{2;3;4;5;6;7\right\}$

Chọn a có 6 cách, chọn b có 6 cách, chọn c có 6 cách

Số các số có 3 chữ số được lập thành là 6.6.6=216(số)

Đáp án D

Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu trong 5 quả cầu có

$C_5^2$ cách

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là

Gọi X là biến cố “lấy được cả hai quả cầu trắng”

Lấy 2 quả cầu trắng trong 3 quả cầu trắng có $C_3^2$ cách

$\Rightarrow n\left(X\right)=C_3^2=3$

Vậy xác suất cần tính là

Đáp án C

Số cách đi từ A đến B là 4, số cách đi từ B đến C là 2

số cách đi từ C đến D là 3.

Số cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần là:

4.2.3 = 24(cách)

Đáp án A

Các phát biểu B, C và D là đúng; phát biểu A là sai