Bài tập Tổ hợp - Xác suất cơ bản, nâng cao có lời giải (P1)

Đáp án B

Có các trường hợp sau:

+ 1 nam, 3 nữ, suy ra có $C_{18}^1{C}_{17}^3$ cách gọi

+ 2 nam, 2 nữ, suy ra có $C_{18}^2{C}_{17}^2$ cách gọi

+ 3 nam, 1 nữ, suy ra có $C_{18}^3{C}_{17}^1$ cách gọi

Suy ra xác suất sẽ bằng

Đáp án B

Có 2 trường hợp sau:

+ Lấy 1 điểm trên d₁ và 2 điểm trên d₂, suy ra cớ 10$C_n^2$  tam giác

+ Lấy 2 điểm trên d₁ và 1 điểm trên d₂, suy ra cớ n$C_{10}^2$ tam giác

Suy ra có

Đáp án C

Phương pháp: Sử dụng các quy tắc đếm cơ bản.

Cách giải:

Vì có 10 ghế nên bạn thứ nhất có 10 cách xếp.

Bạn thứ hai có 9 cách xếp.

Bạn thứ ba có 8 cách xếp.

Bạn thứ tư có 7 cách xếp.

Bạn thứ năm có 6 cách xếp.

Bạn thứ sáu có 5 cách xếp.

Như vậy có: 10.9.8.7.6.5 = $A_{10}^6$ cách xếp

Đáp án D

Phương pháp:

TH1: An và Cường trả lời đúng, Bình trả lời sai.

TH2: Bình và Cường trả lời đúng, An trả lời sai.

Áp dụng quy tắc cộng.

Cách giải:

TH1: An và Cường trả lời đúng, Bình trả lời sai => P₁ = 0,9.(1 - 0,7).0,8 = 0,216

TH2: Bình và Cường trả lời đúng, An trả lời sai => P₂ = (1 - 0,9).0,7.0,8 = 0,056

Vậy xác suất cô giáo chỉ kiểm tra bài cũ đúng 3 bạn trên là P = P₁ + P₂ = 0,272

Đáp án D

Phương pháp :

Quân vua được di chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng => |$\Omega$| 

Gọi A là biến cố : «  Quân vua sau 3 bước trở về đúng vị trí ban đầu » . Tính |A| .

Cách giải :

Quân vua được di chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng => |$\Omega$| = $8^3$.

Gọi A là biến cố : «  Quân vua sau 3 bước trở về đúng vị trí ban đầu »

TH1: Quân vua di chuyển bước thứ  nhất sang ô đen liền kề (được tô màu đỏ) có 4

cách.

Bước đi thứ 2 quân vua di chuyển sang các ô được tô màu vàng có 4 cách.

Bước đi thứ 3 quay về vị trí ban đầu có 1 cách.

Vậy TH này có 4.4 = 16 cách.

TH2: Quân vua di chuyển bước thứ nhất sang các ô trắng liền kề (được tô màu đỏ) có

4 cách.

Bước đi thứ 2 quân vua di chuyển sang các ô được tô màu vàng có 2 cách.

Bước đi thứ 3 quay về vị trí ban đầu có 1 cách.

Vậy TH này có 4.2 = 8 cách

Đáp án C.

Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc đếm cơ bản

Lời giải:

Chọn 3 học sinh trong 10 học sinh có ${\mathrm{C}}_{10}^3$ cách => $\mathrm{n}\left(\mathrm{\Omega }\right)={\mathrm{C}}_{10}^3=120.$ 

Gọi  X  là biến cố trong 3 học sinh được chọn có ít nhất một học sinh nữ

Ta xét các trường hợp sau:

TH1. Chọn 1 học sinh nữ và 2 học sinh nam => có ${\mathrm{C}}_7^2.{\mathrm{C}}_3^1=63$ cách.

TH2. Chọn 2 học sinh nữ và 1 học sinh nam => có ${\mathrm{C}}_7^1.{\mathrm{C}}_3^2=21$ cách.

TH3. Chọn 3 học sinh nữ và 0 học sinh nam => có ${\mathrm{C}}_3^3=1$ cách.

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố X là n(X) = 63 + 21 + 1 = 85.

Vậy xác suất cần tính là $\mathrm{P}=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{X}\right)}{\mathrm{n}\left(\mathrm{\Omega }\right)}=\frac{85}{120}=\frac{17}{24}.$

Đáp án A.

Phương pháp giải: Hoán vị của n phần tử chính là n giai thừa

Lời giải: Số các hoán vị của 10 phần tử của tập hợp X là 10!.

Đáp án A.

Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc đếm cơ bản trong bài toán sắp xếp đồ vật

Lời giải: Xếp 5 quyển Toán (coi Toán T1 và Toán T2 là một) có 5!.2! = 240 cách.

Khi đó, sẽ tạo ra 4 khoảng trống kí hiệu như sau: _T_T_T_T_T_

Xếp 3 quyển sách Tiếng Anh vào 4 khoảng trống giữa hai quyển toán có $A_4^3$ cách.

Xếp 1 quyển sách Văn vào 3 vị trí còn lại có 3 cách.

Vậy xác suất cần tính là $P=\frac{240.A_4^3.3}{10!}=\frac{1}{210}.$

Đáp án D

Phương pháp giải: Chọn ngẫu nhiên k phần tử trong n phần tử là tổ hợp chập k của n

Lời giải:

Chọn 3 học sinh từ 10 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 10 phần tử => có $C_{10}^3$ cách.

Đáp án B

Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc đếm cơ bản

Lời giải:

Chọn 2 học sinh trong 20 học sinh có $C_{20}^2=190\Rightarrow n\left(\Omega \right)=190.$ 

Gọi X là biến cố 2 học sinh được chọn trong đó có cả nam và nữ

Chọn 1 học sinh nam trong 8 nam có 8 cách, chọn 1 học sinh nữ trong 12 nữ có 12 cách.

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố X là n(X) = 8.12 = 96.

Vậy $P=\frac{n\left(X\right)}{N\left(\Omega \right)}=\frac{48}{95}.$

Đáp án A

Phương pháp giải: Áp dụng nguyên lý bù trừ trong bài toán xác suất

Lời giải:

Ta tính xác suất để xảy ra không một lá thư nào đúng địa chỉ.

Mỗi phong bì có 4 cách bỏ thư vào nên có tất cả 4! cách bỏ thư.

Gọi U là tập hợp các cách bỏ thư và A_m là tính chất lá thư thứ m bỏ đúng địa chỉ.

Khi đó, theo công thức về nguyên lý bù trừ, ta có $\overline{N}=4!-N_1+N_2-...+{(-1)}^4{N}_4$.

Trong đó N_m $(1\le m\le 4)$là số tất cả các cách bỏ thư sao cho có m lá thư đúng địa chỉ.

Nhận xét rằng, N_m là tổng theo mọi cách lấy m lá thư từ 4 lá, với mỗi cách lấy m lá thư, có (4 - m)! cách bỏ m lá thư này đúng địa chỉ, ta nhận được:

Suy ra xác suất cần tìm cho việc không lá thư nào đúng địa chỉ là

Vậy xác suất để có ít nhất 1 lá thư bỏ đúng phong bì của nó là $P=1-\overline{P}=\frac{5}{8}.$

Đáp án A

Phương pháp

+) Tính số phần tử của không gian mẫu  

+) Gọi A là biến cố: “2 người được chọn đều là nữ”, tính A .

+) Tính $P\left(A\right) = \frac{\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}$

Cách giải

Chọn ngẫu nhiên 2 người từ 10 người ta có $\left|\Omega \right| = C_{10}^2$ 

Gọi A là biến cố: “2 người được chọn đều là nữ”, ta có |A| = $C_4^2$

Vậy $P\left(A\right) = \frac{\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}$= $\frac{C_4^2}{C_{10}^2} = \frac{2}{15}$

Đáp án A

Phương pháp

Tìm số cạnh và số đường chéo của đa giác đều n cạnh.

Cách giải

Khi nối hai đỉnh bất kì của đa giác ta được một số đoạn thẳng, trong đó bao gồm cạnh của đa giác và đường chéo của đa giác đó.

Đa giác đều n cạnh có n đỉnh, do đó số đường chéo là $C_n^2 - n$ 

Theo giả thiết bài toán ta có

Đáp án C

Phương pháp

Gọi số lẻ có 7 chữ số chia hết cho 9 cần tìm là x ta có 1000017$\le$ x $\le$9999999  hai số lẻ liền nhau chia hết cho 9 cách nhau 18 đơn vị.

Cách giải

Cho A là tập hợp các số tự nhiên có 7 chữ số => $\left|\Omega \right| = 9.{10}^6$

Số chia hết cho 9 là số có tổng các chữ số chia hết cho 9

Gọi số lẻ có 7 chữ số chia hết cho 9 cần tìm là x ta có 1000017$\le$ x $\le$9999999 có $\frac{9999999 - 1000017}{18}+1 = 500000$ số thỏa mãn

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{500000}{9.{10}^6} = \frac{1}{18}$

Đáp án D

Số cách chọn 3 học sinh trong nhóm làm 3 công việc là $A_{10}^3$

Đáp án D

Tổng số chấm bẳng 2 khi số chấm ở 2 con xúc sắc là (1; 1).

Tổng số chấm bẳng 3 khi số chấm ở 2 con xúc sắc là (1; 2); (2; 1)

Tổng số chấm bẳng 4 khi số chấm ở 2 con xúc sắc là (1; 3); (2; 2); (3; 1)

Tổng số chấm bẳng 5 khi số chấm ở 2 con xúc sắc là (1; 4), (2; 3), (3; 2); (4; 1)

Do đó xác suất là $10.\frac{1}{36} = \frac{5}{18}$

Đáp án A

HD: Số phần tử của không gian mẫu là $n\left(\Omega \right) = C_9^3.C_6^3.C_3^3$ = 1680 

Gọi X là biến cố “ không có phần nào gồm ba viên bi cùng màu”.

Khi đó, ta xét chia thành 3 phần: (2X – 1Đ), (1Đ – 2X), (1Đ – 2X).

Suy ra có $C_4^2.C_5^1.C_2^1.C_4^2.3 = 1080$ cách chọn => n(X) = 1080. Vậy 

Đáp án D

Số cách xếp:

Đáp án D

Từ 1 đến 10 có 5 số lẻ, 5 số chẵn.

Tích 2 số lẻ là một số lẻ do đó:

Đáp án D

Ta đánh số các đỉnh của đa giác từ 1 đến 15, gọi 4 đỉnh của tứ giác là a, b, c, d (theo thứ tự).

Ta xét 2 trường hợp sau:

Trường hợp 1: a = 1. Vì không thể là cạnh kề đa giác nên không thể có 2 cạnh kề nhau. Nên

Trường hợp 2: a > 1. Tương tự:

Từ (1) và (2) ta có tổng số tứ giác thỏa mãn: $C_{10}^3 + C_{11}^4 = 450$.

Tổng quát: Đa giác có n đỉnh số tứ giác lập thành từ 4 đỉnh

Không có cạnh của đa giác là: $\frac{n}{4}.C_{n-5}^3$.

Đáp án D

Áp dụng quy tắc nhân ta được số các số số tự nhiên có 3 chữ số và 3 chữ số đo đôi một khác nhau là: 9 x 9 x 8

Đáp án B

Bình có 2 khả năng thắng cuộc:

+) Thắng cuộc sau lần quay thứ nhất. Nếu Bình quay vào một trong 5 nấc: 80, 85, 90, 95, 100 thì sẽ thắng nên xác suất thắng cuộc của Bình trường hợp này là $P_1 = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$ 

+) Thắng cuộc sau 2 lần quay. Nếu Bình quay lần 1 vào một trong 15 nấc: 5, 10, ..., 75 thì sẽ phải quay thêm lần thứ 2. Ứng với mỗi nấc quay trong lần thứ nhất, Bình cũng có 5 nấc để thắng cuộc trong lần quay thứ 2, vì thế xác suất thắng cuộc của Bình trường hợp này là $P_2 = \frac{15 \times 5}{20 \times 20} = \frac{3}{16}$ 

Từ đó, xác suất thắng cuộc của Bình là

Đáp án C

Số phần tử không gian mẫu là 6³ = 216.

Các bộ ba số lập thành một cấp số cộng là (1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (4,5,6). Bốn trường hợp trên với các hoán vị sẽ có 4.6 .

Xác suất cần tìm là $\frac{24}{216} = \frac{1}{9}$

Đáp án B

Số các số có chín chữ số khác nhau là 9!. Trong 9! số này, số các số mà chữ số 1 đứng trước chữ số 2 hoặc chữ số 1 đứng sau chữ số 2 là bằng nhau. Do đó, số các số mà chữ số 1 đứng trước chữ số 2 là $\frac{9!}{2}$ 

Tương tự, số các số mà chữ số 1 đứng trước chữ số 2 và chữ số 3 đứng trước chữ số 4 là $\frac{9!}{4}$ 

Số các số cần tìm là $\frac{9!}{8}$ = 45360

Đáp án C

Số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $A_{6 }^4= 360$ số

Đáp án A

Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm => để đạt được 6 điểm, thí sinh đó phải trả lời đúng $\frac{6}{0,2} = 30$ câu

Xác suất trả lời đúng một câu là $\frac{1}{4} = 0,25$ xác suất trả lời sai một câu là $\frac{3}{4} = 0,75$

Có $C_{50}^{30}$cách trả lời đúng 30 trong 50 câu, 20 câu còn lại đương nhiên trả lời sai.

Vậy xác suất để thí sinh đó đạt 6 điểm sẽ là:

Đáp án D

Phương pháp:

+) Phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt $\iff ∆ >0$

Cách giải:

Phương trình x² + bx + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt $\iff ∆ = b^2 - 8 > 0$

Vì b là số chấm của con súc sắc nên

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Điểm A(x;y) nằm bên trong (kể cả trên cạnh) của 

Có 101 cách chọn x, 11 cách chọn y. Do đó số phần tử của không gian mẫu tập hợp các điểm có tọa độ nguyên nằm trên hình chữ nhật OMNP là n($\Omega$) = 101 x 11

Gọi X là biến cố: “Các điểm A(x;y) thỏa mãn x + y $\le$ 90”.

Vì

Vậy xác suất cần tính là

Đáp án C.

Số cách lấy ngẫu nhiên 4 quả là: $C_{10}^4$ (cách)

Số cách lấy được 2 quả đỏ, 2 trắng là: $C_4^2.C_7^2$ (cách)

Xác suất để lấy được đúng 2 quả đỏ là:

Đáp án D.

Chọn 2 cây trong 6 cây xoài có $C_6^2 = 15$ cách.

Chọn 2 cây trong 4 cây mít có $C_4^2 = 6$ cách.

Chọn 2 cây trong 2 cây xoài có $C_2^2 = 1$ cách.

Suy ra có tất cả  15 . 6 . 1 = 90 cách chọn 6 cây trồng.

Vậy xác suất cần tính là