Bài tập Tổ hợp - Xác suất cơ bản, nâng cao có lời giải chi tiết (P4)

Đáp án A.

Phương pháp: Tính xác suất để học sinh đúng thêm 3 câu nữa trở lên.

Xác suất mỗi câu trả lời đúng là 0,25 và mỗi câu trả lời sai là 0,75.

Cách giải:

An trả lời chắc chắn đúng 45 câu nên có chắc chắn 9 điểm.

Để điểm thi $\ge$ 9,5 => An phải trả lời đúng từ 3 câu trở lên nữa.

Xác suất để trả lời đúng 1 câu hỏi là 0,25 và trả lời sai là 0,75

TH1: Đúng 3 câu. P₁ = 0,25³.0,75²

TH2: Đúng 49 câu P₂ = 0,25⁴.0,75

TH3: Đúng cả 50 câu P₃ = 0,25⁴

Vậy xác suất để An được trên 9,5 điểm là P = P₁ + P₂ + P₃ = 13/1024.

Đáp án C

Phương pháp giải:

Chia trường hợp của biến cố, áp dụng các quy tắc đếm cơ bản tìm số phần tử của biến cố

Lời giải:

Lấy 6 sản phẩm từ 20 sản phẩm lô hàng có $C_{20}^6$ = 38760 cách $\Rightarrow n\left(\Omega \right) = 38760$

Gọi X là biến cố 6 sản phẩm lấy ra có không quá 1 phế phẩm. Khi đó, ta xét các trường hợp sau:

TH1. 6 sản phẩm lấy ra 0 có phế phẩm  nào => có $C_{16}^6$ = 8008 cách

TH2. 6 sản phẩm lấy ra có duy nhất 1 phế phẩm => có $C_{16}^5.C_4^1 = 17472$cách

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố X là n(X) = 8008 + 17472 = 25480 

Vậy xác suất cần tính là

Đáp án C

Phương pháp giải: Sử dụng biến cố đối và các quy tắc đếm cơ bản.

Lời giải:

Chọn 3 quyển sách trong 15 quyển sách có $C_{15}^3 = 455$ cách $\Rightarrow n\left(\Omega \right) = 455$

Gọi X là biến cố 3 quyển sách được lấy ra có ít nhất một quyển sách là toán.

Và $\overline{X}$ là biến cố 3 quyển sách được lấy ra không có quyển sách toán. Khi đó, ta xét các trường hợp sau:

TH1. Lấy được 2 quyển lý, 1 quyển hóa => có  $C_5^2.C_6^1 = 60$ cách

TH2. Lấy được 1 quyển lý, 2 quyển hóa => có $C_5^1.C_6^2 = 75$ cách

TH3. Lấy được 3 quyển lý, 0 quyển hóa => có $C_5^3.C_6^0=10$ cách

TH4. Lấy được 0 quyển lý, 3 quyển hóa => có $C_5^0.C_6^3 = 20$ cách

Suy ra số phần tử của biến cố $\overline{X}$ là

Vậy xác suất cần tính là

Đáp án C

Phương pháp giải: Sử dụng biến cố đối và các quy tắc đếm cơ bản

Lời giải:

Ta đi làm phần đối của giả thiết, tức là chọn 6 học sinh giỏi chỉ lấy từ một khối hoặc hai khối.

Chọn 6 học sinh giỏi trong 15 học sinh giỏi của 3 khối có $C_{15}^6 = 5005$ cách

Số cách chọn 6 học sinh giỏi bằng cách chỉ lấy từ 1 khối 12 là $C_6^6 = 1$ 

Chọn 6 học sinh giỏi trong 10 học sinh giỏi của 2 khối 12 và 11 có $C_{10}^6 = 210$ cách, tuy nhiên phải trừ đi 1 trường hợp nếu 6 học sinh chỉ ở khối 12 => số cách chọn là 210 - 1 = 209 cách

Chọn 6 học sinh giỏi trong 11 học sinh giỏi của 2 khối 12 và 10 có $C_{11}^6 = 462$ cách, uy nhiên phải trừ đi 1 trường hợp nếu 6 học sinh chỉ ở khối 12  => số cách chọn là 462 - 1 = 461 cách.

Chọn 6 học sinh giỏi trong 9 học sinh giỏi của 2 khối 11 và 10 có $C_9^6 = 84$cách

Suy ra số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là 5005 - 209 - 461 - 84 - 1 = 4250 cách

Đáp án B

Số tam giác tạo thành là $C_8^3 = 56$

Đáp án A

Có 2 trường hợp như sau

+)TH1: có 3 nam, 2 nữ, suy ra có $C_5^3{C}_7^2 = 210$ cách chọn

+) TH2: có 4 nam, 1 nữ, suy ra có $C_5^4{C}_7^1 = 35$ cách chọn

Suy ra xác suất cần tính bằng

Đáp án C

Điều kiện: $n \ge 7$ 

Số tập con có 7 phân tử và 3 phân tử của A là $C_n^7$ và $C_n^3$

Suy ra

Đáp án C

Gọi đường tròn (O) là đường tròn ngoại tiếp đa giác. Xét A là 1 đỉnh bất kỳ của đa giác,kẻ đường kính AA’ thì A’ cũng là 1 đỉnh của đa giác. Đường kính AA’ chia (O) thành 2 nửa đường tròn , với mỗi cách chọn ra 2 điểm B và C là 2 đỉnh của đa giác và cùng thuộc 1 nửa đường tròn, ta đường 1 tam giác tù ABC. Khi đó số cách chọn B và C là: $2C_{49}^2$ 

Đa giác có 100 đỉnh nên số đường chéo là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác là 50

Do đó, số cách chọn ra 3 đỉnh để lập thành 1 tam giác tù là: $50.2C_{49}^2 = 100C_{49}^2$ 

Không gian mẫu:

Đáp án C

Phương pháp: Sử dụng tổ hợp chập 3 của 20 để lấy ra 3 phần tử trong tập 20 phần tử.

Cách giải: Số tập con gồm 3 phần tử của S là $C_{20}^3$

Đáp án B

Phương pháp: Xác suất :$P\left(A\right) = \frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}$ 

Cách giải:

Số phần tử của không gian mẫu : $n\left(\Omega \right) = C_{15+10}^4 = C_{25}^4$

Gọi A là biến cố : “4 học sinh được gọi đó cả nam lẫn nữ”

Khi đó :

Xác suất cần tìm: 

Đáp án A

Đáp án B

Phương pháp: Gọi số tự nhiên có ba chữ số cần tìm là $\overline{abc} (a\ne 0)$, tìm số cách chọn cho các chữ số a, b,c sau đó áp dụng quy tắc nhân.

Cách giải: Gọi số tự nhiên có ba chữ số cần tìm là $\overline{abc} (a\ne 0)$

Có 4 cách chọn c.

Có 6 cách chọn a.

Có 7 cách chọn b.

Vậy có 4.6.7 = 168 số.

Chú ý và sai lầm: Các chữ số a, b, c không yêu cầu khác nhau.

Đáp án B

Số các số có thể lập được bằng 5.4.3 = 60 số.

Đáp án A

Tổng cả 4 tấm thẻ là 1 số lẻ khi

+) Có 1 thẻ là lẻ, 3 thẻ còn lại là chẵn, suy ra có $C_6^1{C}_5^3$ = 60 cách chọn.

+) Có 3 thẻ là lẻ, 1 thẻ là chẵn, suy ra có $C_5^1{C}_6^3 = 100$ cách chọn.

Suy ra

Đáp án C

Phương pháp: Gọi số cần tìm là $\overline{abc} (a,b,c \in \left\{2;3;4;5;6;7\right\}$, chọn lần lượt các chữ số a, b, c sau đó áp dụng quy tắc nhân.

Cách giải: Gọi chữ số lập thành là $\overline{abc} (a,b,c \in \left\{2;3;4;5;6;7\right\}$.

Khi đó : a có 6 sự lựa chọn, b có 6 sự lựa chọn, c có 6 sự lựa chọn. =>Số các số gồm 3 chữ số được lập từ 6 chữ số đó là : 6³ = 216.

Đáp án D

Phương pháp:

$+) P(A) = \frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}$ 

+ P(A) = 1P($\overline{A}$) 

Cách giải: Số phần tử của không gian mẫu: $n\left(\Omega \right) = C_{18}^6$ 

Gọi A: “Mỗi khối có ít nhất 1 học sinh được chọn.”

Đáp án B

Phương pháp: Nhân xác suất.

Cách giải: Gọi số lần Amelia tung đồng xu là $n,(n\in N^{*})$ => Số lần Blaine tung là n - 1

Amelia thắng ở lần tung thứ n của mình nên n - 1 lượt đầu Amelia tung mặt sấp, lần thứ n tung mặt ngửa, còn toàn bộ n - 1 lượt của Blaine đều sấp. Khi đó:

Xác suất Amelia thắng ở lần tung thứ n:

Xác suất Amelia thắng :

Đáp án là C

Phương pháp: Chia đường đi của thỏ thành 2 giai đoạn, tính số phần tử của không gian mẫu và số phần tử của biến cố A « thỏ đến được vị trí B » .

Cách giải :

Từ A đến B nhất định phải đi qua D, ta chia làm 2 giai đoạn $A\to D$ và $D\to B$

Từ $A\to D$ có 9 cách.

Từ $D\to B$ có 6 cách tính cả đi qua C và có 3 cách không đi qua C.

Không gian mẫu $n_{\Omega } = 9.6=54$

Gọi A là biến cố « thỏ đến được vị trí B » thì n_A = 9.3 = 27

Vậy

Đáp án C

Cách giải:

Xét các số x = a; y = b + 1; z = c + 2; t = d + 3. Vì $1\le a\le b\le c\le d\le 9$ => $1\le x<y<z<t\le 12$ (*)

Và mỗi bộ 4 số (x;y;z;t) được chọn từ tập hợp $\left\{1;2;....;12\right\}$ ta đều thu được bộ số thỏa mãn  (*). Do đó, số cách chọn 4 số trong 12 số là $C_{12}^4 = 495$ số suy ra $n\left(X\right) = 495$

Số phần tử của không gian mẫu là  $n\left(\Omega \right) = 9.10.10.10=9000$

Vậy xác suất cần tính là

Có 2 trường hợp sau:

+ Lấy 1 điểm trên d₁ và 2 điểm trên d₂, suy ra cớ $10C_n^2$ tam giác

+ Lấy 2 điểm trên d₁ và 1 điểm trên d₂, suy ra cớ $n{C}_{10}^2$ tam giác

Suy ra có 

Đáp án B

Có các trường hợp sau:

+ 1 nam, 3 nữ, suy ra có $C_{18}^1{C}_{17}^3$ cách gọi

+ 2 nam, 2 nữ, suy ra có $C_{18}^2{C}_{17}^2$ cách gọi

+ 3 nam, 1 nữ, suy ra có $C_{18}^3{C}_{17}^1$ cách gọi

Suy ra xác suất sẽ bằng

Đáp án D

Đáp án D

Có 9.10.10.10 = 9000 số.

Đáp án C.

Xếp vị trí từng môn = 3! = 6

Xếp vị trí trong tập toán : 5!

Xếp vị trí trong tập lý : 4!

Xếp vị trí trong tập hóa : 3!

Có 6.5!.4!.3!

Đáp án C

Phương pháp: Sử dụng công thức tổ hợp chập của phần tử trong khi chọn các tập hợp con có 2,4,6,…,20 phần tử.

Cách giải:

*TH1: A có 2 phần tử  => có $C_{20}^2$ tập hợp con có 2 phần tử.

*TH2: A có 4 phần tử  => có $C_{20}^4$ tập hợp con có 4 phần tử.

….

*TH10: A có 20 phần tử  => có $C_{20}^{20}$ tập hợp con có 20 phần tử.

Suy ra tất cả có $\sum _{i=1}^{10}{C}_{20}^{2i} = 2^{19} - 1$ trường hợp.

Đáp án D

Nếu A = {1;2;…;9} thì chỉ có duy nhất 1 cách là {1;3;5;7;9}, khi đó số cách bằng $C_5^5 = C_{9-4}^5$

Nếu A = {1;2;…;10} thì có {1;3;5;7;9}; {1;4;6;8;10}; {1;3;6;8;10}; {1;3;5;8;10}; {1;3;5;7;10}; {2;4;6;8;10}; có 6 cách bằng $6 = C_6^5$. Như vậy đáp án sẽ là $C_{16}^5$

Đáp án D.

Số các số thỏa mãn đề bài là $A_6^3 = 120$

Đáp án A

$P(A \cup B)$ = P(A) + P(B) = $\frac{7}{12}$

Đáp án A

Số cách sắp xếp 50 câu cho một đề thi là 50!

Số cách chọn 20 câu nhận biết để xếp chúng vào đầu tiên là: 20!

Số cách chọn 10 câu thông hiểu để xếp chúng vào vị trí thứ hai là 10!

Số cách chọn 15 câu  vận dụng để xếp chúng vào vị trí thứ ba là 15!

Số cách chọn 5 câu vận dụng cao xếp chúng vào vị trí cuối cùng là 5!

=>  Xác suất cần tìm được tính bằng: $P = \frac{20!.10!.15!.5!}{50!}$ = 4,56.10^-26

=> Chọn phương án A.