Bài tập Tổ hợp - Xác suất cơ bản, nâng cao có lời giải chi tiết (P3)

Đáp án C

Phương pháp.

Sử dụng định nghĩa của xác suất.

Lời giải chi tiết.

Tổng số sách là 4 + 3 + 2 = 9. Số cách lấy 3 quyển sách là $C_9^3 = 84$ (cách).

Số quyển sách không phải là sách toán là 3 + 2 = 5

Số cách lấy 3 quyển sách không phải là sách toán là $C_5^3 = 10$ (cách).

Do đó số cách lấy được ít nhất một quyển sách toán là 84 - 10 = 74 (cách).

Vậy xác suất để lấy đượcc ít nhất một quyển là toán là $\frac{74}{ 84} = \frac{37}{42}$

Đáp án B

Phương pháp.

Chia ra các khả năng có thể có của học sinh các lớp. Tính số cách chọn có thể có của mỗi trường hợp này. Lấy tổng kết quả các khả năng ở trên lại.

Lời giải chi tiết.

Cách 1:

Ta xét các trường hợp sau. 

Có 1 học sinh lớp 12C có 2 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12A khi đó ta có $2C_3^2{C}_4^2 = 36$ 

 cách chọn.

Có 1 học sinh lớp 12C có 3 học sinh lớp 12B và 1 học sinh lớp 12A khi đó ta có $2C_3^3{C}_4^1 = 8$ cách chọn.

Có 1 học sinh lớp 12C có 1  học sinh lớp 12B và 3 học sinh lớp 12A khi đó ta có $2C_3^1{C}_4^3 = 24$ cách chọn.

Có 2 học sinh lớp 12C có 1 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12A khi đó ta có $C_3^1{C}_4^2 = 18$ cách chọn.

Có 2 học sinh lớp 12C có 2 học sinh lớp 12B và 1 học sinh lớp 12A khi đó ta có $C_3^2{C}_4^1 = 12$ cách chọn.

Vậy tổng số cách chọn là 36 + 8 + 24 + 18 + 12 = 98

Cách 2:

Số cách chọn 5 bạn từ đội văn nghệ là: \(C_9^5\)

Số cách chọn 5 bạn chỉ từ hai lớp 12A và 12B: \(C_7^5\)

Số cách chọn 5 bạn chỉ từ hai lớp 12B và 12C: \(C_5^5\)

Số cách chọn 5 bạn chỉ từ hai lớp 12C và 12A: \(C_6^2\)

Vậy số cách để chọn 5 bạn từ đội văn nghệ sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn là:

\(C_9^5 - C_7^5 - C_5^5 - C_6^5 = 98\)

Chọn B

Đáp án D

Giả sử số chẵn có 4 chữ số đôi một phân biệt cần tìm có dạng

Với d = 0 thì a có 9 cách chọn, b có 8 cách chọn, c có 7 cách chọn. Do đó số các số chẵn cần tìm trong trường hợp này là 9.8.7 = 504

Với $d \ne 0$ => $d \in \left\{2; 4; 6; 8\right\}$.Có 4 cách chọn d. Thì a có 8 cách chọn, b có 8 cách chọn, c có 7 cách chọn. Do đó số các số chẵn cần tìm trong trường hợp này là 4.8.8.7 = 1792

Số các số chẵn thỏa mãn yêu cầu bài toán là 504 + 1792 = 2296

Đáp án B

Phương pháp: Công thức tính xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right) = \frac{n_A}{n_{\Omega }}$

Cách giải:

Chọn 3 đoàn viên trong 25 đoàn viên nên $n_{\Omega } = C_{25}^3 = 2300$

Gọi biến cố A: “Chọn 3 đoàn viên trong đó có 2 nam và 1 nữ”.

Khi đó ta có: $n_A = C_{25}^1.C_{10}^2 = 675$

Vậy xác suất cần tìm là:

Đáp án D

Phương pháp:

A, B là các biến cố độc lập thì P(A.B) = P(A).P(B)

Chia bài toán thành các trường hợp:

- Một người bắn trúng và một người bắn không trúng,

- Cả hai người cùng bắn không trúng.

Sau đó áp dụng quy tắc cộng.

Cách giải:

Xác suất để xạ thủ thứ nhất bắn không trúng bia là: $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Xác suất để xạ thủ thứ nhất bắn không trúng bia là: $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Gọi biến cố A:”Có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia ”.

Khi đó biến cố A có 3 khả năng xảy ra:

+) Xác suất người thứ nhất bắn trúng bia, người thứ hai không bắn trúng bia: $\frac{1}{2}.\frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

+) Xác suất người thứ nhất không bắn trúng bia, người thứ hai bắn trúng bia: $\frac{1}{2}.\frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

+) Xác suất cả hai người đều bắn không trúng bia:

Khi đó

Đáp án B

Phương pháp: Xét từng trường hợp a = 3; b = 3; c = 3 rồi cộng các kết quả ta được số các số cần tìm.

Cách giải: Gọi số có ba chữ số là $\overline{abc}$.

- TH1: a = 3.

Có 4 cách chọn b và 3 cách chọn c nên có 4.3 = 12 số.

- TH2: b = 3

Có 4 cách chọn a và 3 cách chọn c nên có 4.3 = 12 số.

- TH3: c = 3.

Có 4 cách chọn a và 3 cách chọn b nên có 4.3 = 12 số.

Vậy có tất cả 12 + 12 + 12 = 36 số.

Đáp án C

Giả sử có n máy thì chi phí cố định là 50n ($n = \left\{1; 2; 3;....;8\right\}$)

Để tin 50000 tờ cần $\frac{5000}{3600n} = \frac{125}{9n}$ (giờ in)

Chi phí cho n máy chạy trong một giờ là: 10(6n + 10) nghìn đồng

Khi đó, tổng chi phí để in 50000 tờ quảng cáo là :

(thay 4 giá trị xem giá trị nào cho kết quả nhỏ nhất)

Lại có f(5) < f(6) nên ta sử dụng 5 máy để chi phí nhỏ nhất

Đáp án B

Đa giác đều 2n đỉnh có n đường chéo qua tâm. Cứ 2 đường chéo qua tâm tương ứng với 1 hình chữ nhật $\Rightarrow C_n^2 = 45 \iff n = 10$

Đáp án D

Số a không thể bằng 0 do đó $a, b, c \in \left\{0;1;2;3;4;5;6\right\}$

Với mỗi cách chọn ra 3 số bất kì trong tập $\left\{0;1;2;3;4;5;6\right\}$ ta được 1 số thỏa mãn a < b < c

Do đó $C_6^3 = 20$ số

Đáp án B

chọn 6 học sinh đi lao động, trong đó 2 học sinh nam (và có 4 học sinh nữ) có $C_6^2.C_9^4$ cách

Đáp án B

Gọi số cần lập là $\overline{abcd}$ 

TH1: d = 0 suy ra có 5.4.3 = 60 số

TH2: $d = \left\{2; 4\right\}$ suy ra có 2.4.4.3 = 96 số

Theo quy tắc cộng có: 60 + 96 = 156 số

Đáp án C

Lấy ngẫu nhiên 4 mẫu có: $\left|\Omega \right|= C_{15}^4$ 

Gọi X là biến cố:”mẫu thịt của cả 3 quầy A,B,C đều được chọn”

TH1: 2 mẫu quầy A,1 mẫu quầy B và 1 mẫu quầy C có: $C_4^2.C_5^1.C_6^1$ cách.

TH2: 1 mẫu quầy A,2 mẫu quầy B và 1 mẫu quầy C có: $C_4^1.C_5^2.C_5^1$ cách

TH3: 1 mẫu quầy A, 1 mẫu quầy B và 2 mẫu quầy C có: $C_4^1.C_5^1.C_6^2$ cách

Vậy xác suất cần tìm là:

Đáp án A

Gọi $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4}$ là số lẻ có 4 chữ số khác nhau, với $a_1, a_2, a_3, a_4\in \{0, 1, 2, 3, 5, 8\}$ => a₄ có 3 cách chọn, a₁ có 4 cách chọn, a₂ có 4 cách chọn và a₃ có 3 cách chọn. Khi đó, có 3.4.4.3 = 144 số thỏa mãn yêu cầu trên.

Gọi $\overline{b_1{b}_2{b}_3{b}_4}$ là số lẻ có 4 chữ số khác nhau, với $b_1, b_2, b_3, b_4\in \left\{0; 1; 2; 5; 8\right\}$ => b₄có 2 cách chọn, b₁ có 3 cách chọn, b₂ có 3 cách chọn và b₃ có 2 cách chọn. Do đó, có 2.3.3.2 = 36 số thỏa mãn yêu cầu trên.

Vậy có tất cả 144 - 36 = 108 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án D

Ta có:

Đáp án A

Để con châu chấu đáp xuống các điểm M(x; y) có x + y < 2 thì con châu chấu sẽ nhảy trong khu vực hình thang BEIA

Để M(x; y) có tọa độ nguyên thì $x\in \left\{-2; -1; 0; 1; 2\right\}, y\in \{0; 1; 2\}$ 

Nếu $x\in \left\{-2; -1\right\}$ thì $y\in \{0; 1; 2\}$ có 2.3 = 6 điểm

Nếu x = 0 thì $y\in \{0; 1\}$ có 2 điểm

Nếu x =1 => y = 0 => có 1 điểm

=> có tất cả 6 + 2 + 1 = 9 điểm. Để con châu chấu nhảy trong hình chữ nhật mà đáp xuống các điểm có tọa độ nguyên thì $x\in \left\{-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4\right\}, y\in \{0; 1; 2\}$. Số các điểm M(x; y) có tọa độ nguyên là: 7.3 = 21 điểm. Xác suất cần tìm là: $P=\frac{9}{21}=\frac{3}{7}.$

Đáp án D

Gọi ô chứa hạt thóc thỏa mãn đề bài là ô thứ $n (n\in N, n > 1)$. Khi đó

Đáp án D

Không gian mẫu là: $\left|\Omega \right| = 6^4$ 

TH1: Môn Toán trùng mã đề thi môn Tiếng Anh không trùng có:

Bạn Hùng chọn 1 mã toán có 6 cách và 6 cách chọn mã môn Tiếng Anh khi đó Vương có 1 cách là phải giống Hùng mã Toán và 5 cách chọn mã Tiếng Anh có 6.1.6.5 = 180 cách.

TH2: Môn Tiếng Anh trùng mã đề thi môn Toán không trùng có: 6.1.6.5 = 180 cách.

Vậy $P = \frac{180+180}{6^4} = \frac{5}{18}$

Đáp án A

Phương pháp: Liệt kê các phần tử của tập A

Cách giải:

=> A có 7 phần tử

Đáp án D

Phương pháp: Sử dụng phương pháp buộc : Buộc 2 người đàn ông và 1 đứa trẻ thành 1 buộc, sao cho đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông.

Cách giải: Buộc 2 người đàn ông và 1 đứa trẻ thành 1 buộc, sao cho đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông.

Chọn 2 người đàn ông có $C_3^2 = 3$ cách chọn, 2 người đàn ông có thể đổi  chỗ cho nhau nên có 2! = 2 cách xếp.

Khi đó ta coi bài toán thành xếp 4 người vào một bàn tròn.

Cố định 1 người, số cách xếp 3 người còn lại là 3! = 6 cách.

Vậy có 3.2.6 = 36 cách.

Đáp án A

Phương pháp:

+) Biểu diễn không gian mẫu dưới dạng tập hợp 

tìm $\left|\Omega \right|$

+) Gọi A là biến cố: “Tập hợp các điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng 2”, biểu diễn A dưới dạng tập hợp và tìm số phần tử của A.

+) Tính xác suất của biến cố A: P(A) = $\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}$ 

Cách giải:

Không gian mẫu

Có 9 cách chọn x, 9 cách chọn y, do đó  $\left|\Omega \right|$ = 9.9 = 81

Tập hợp các điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng 2 là hình tròn tâm O bán kính 2.

Gọi  A  là  biến  cố:  “ Tập  hợp  các  điểm  mà  khoảng  cách  đến  gốc  tọa  độ  nhỏ  hơn  hoặc  bằng  2”

Đáp án A

Phương pháp :

+) Chọn vị trí cho các bạn nam (hoặc nữ).

+) Hoán đổi các vị trí.

+) Sử dụng quy tắc nhân.

Cách giải : Chọn 1 vị trí trong 2 vị trí đối xứng có $C_2^1$ cách chọn, như vậy có ${\left(C21\right)}^4 = 2^4$ cách chọn ghế cho 4 bạn nam.

4 bạn nam này có thể đổi chỗ cho nhau nên có 4! cách xếp

Vậy có 4!4!2⁴ cách xếp để mỗi bạn nam ngồi đối diện với một bạn nữ.

Đáp án B

Phương pháp giải:  Áp dụng các quy tắm đếm cơ bản

Lời giải:

Một người có 6 cách chọn quầy khác nhau => Số phần tử của không gian mẫu là $n\left(\Omega \right) = 6^5$ 

Chọn 3 học sinh trong 5 học sinh có $C_5^3$ cách, chọn 1 quầy trong 6 quầy có $C_6^1$ cách.

Suy ra có $C_5^3.C_6^1$ cách chọn 3 học sinh vào 1 quầy bất kì.

Khi đó, 2 học sinh còn lại sẽ chọn 5 quầy còn lại => có $C_5^1$ cách.

Do đó, số kết quả thuận lợi cho biến cố là $n\left(X\right) = C_5^1.C_6^1.C_5^1$ 

Vậy $P = \frac{n\left(X\right)}{n\left(\Omega \right) } = \frac{C_5^3.C_6^1.C_5^1}{6^5}$

Đáp án A

Phương pháp giải:

Tìm không gian mẫu khi gieo súc sắc và áp dụng quy tắc đếm tìm biến cố

Lời giải:

Tung 1 con súc sắc hai lần liên tiếp => Số phần tử của không gian mẫu là $n\left(\Omega \right) = 6.6 = 36$ 

Gọi  x, y lần lượt là số chấm xuất hiện khi tung con súc sắc trong 2 lần liên tiếp.

Theo bài ra, ta có

Do đó, số kết quả thuận lợi cho biến cố là n = 5.

Vậy $P = \frac{n\left(X\right)}{n\left(\Omega \right)} = \frac{5}{36}$

Đáp án D

Phương pháp:

Số tập con gồm 5 phần tử của 1 tập hợp gồm 20 phần tử là một tổ hợp chập 5 của 20.

Cách giải: Số tập con gồm 5 phần tử của M là $C_{20}^5$.

Đáp án B.

Đáp án A.

Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcd}$ vì chia hết cho 6

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}d=\{2,4,6,8\}\\ a+b+c+d:3\end{array}\right.$

Khi đó, chọn d có 4 cách chọn, b và c đều có 9 cách chọn (từ 1 → 9).

 +) Nếu a + b + c + d : 3 thì a = {3,6,9} => có 3 cách chọn a.

+) Nếu a + b + c + d : 3 dư 1 thì a = {2,5,8} => có 3 cách chọn a.

+) Nếu a + b + c + d : 3 dư 2 thì a = {1,4,7} => có 3 cách chọn a.

Suy ra a chỉ có 3 cách chọn => có 4.9.9.3 = 972 số chia hết cho 6.

Vậy xác suất cần tính là P = $\frac{972}{9^4}=\frac{4}{27}$.

Đáp án C

Phương pháp: Sử dụng các công thức

Đáp án B

Phương pháp: Xét các trường hợp:

TH1: a₁ + a₂ = a₃ + a₄ = a₅ + a₆ = 5

TH2: a₁ + a₂ = a₃ + a₄ = a₅ + a₆ = 6

TH3: a₁ + a₂ = a₃ + a₄ = a₅ + a₆ = 7

Cách giải:

TH1: a₁ + a₂ = a₃ + a₄ = a₅ + a₆ = 5, ta có 0 + 5 = 1 + 4 = 2 + 3

- Nếu (a₁;a₂) = (0;5) => có 1 cách chọn (a₁a₂)

Có 2 cách chọn (a₃a₄), 2 số này có thể đổi vị trí cho nhau nên có 4 cách chọn.

Tương tự (a₅a₆) có 2 cách chọn.

=> Có 8 số thỏa mãn.

- Nếu (a₁;a₂) ↓ (0;5) => có 2 cách chọn (a₁a₂), 2 số này có thể đổi vị trí cho nhau nên có 4 cách chọn.

Có 2 cách chọn (a₃a₄), 2 số này có thể đổi vị trí cho nhau nên có 4 cách chọn.

Tương tự (a₅a₆) có 2 cách chọn.

=> Có 32 số thỏa mãn.

Vậy TH1 có: 8 + 32 = 40 số thỏa mãn.

TH2: a₁ + a₂ = a₃ + a₄ = a₅ + a₆ = 6, ta có 0 + 6 = 1 + 5 = 2 + 4 = 6.

Tương tự như TH1 có 40 số thỏa mãn.

TH3: a₁ + a₂ = a₃ + a₄ = a₅ + a₆ = 7, ta có 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4 = 7

Có 3 cách chọn (a₁a₂), hai số này có thể đổi chỗ cho nhau nên có 6 cách chọn.

Tương tự có 4 cách chọn (a₃a₄) và 2 cách chọn (a₅a₆).

Vậy TH3 có 6.4.2 = 48 số thỏa mãn.

Vậy có tất cả 40 + 40 + 48 = 128 số có 6 chữ số khác nhau thỏa mãn a₁ + a₂ = a₃ + a₄ = a₅ + a₆

Để viết một số có 6 chữ số khác nhau bất kì có 6.6.5.4.3.2 = 4320 số.

Vậy P = $\frac{128}{4320}=\frac{4}{135}.$

Đáp án A.

Phương pháp: Số tập con có 2 phần tử của tập A là chỉnh hợp chập 2 của 4.

Cách giải: Số tập con có 2 phần tử của tập A là $C_4^2=6.$

Đáp án C.

Phương pháp:

+) Chọn 2 học sinh nam.

+) Chọn 3 học sinh nữ.

+) Sử dụng quy tắc nhân.

Cách giải:

Số cách chọn 2 học sinh nam $C_6^2$ 

Số cách chọn 3 học sinh nữ $C_9^3$ 

Vậy số cách chọn 5 học sinh đi lao động trong đó có 2 học sinh nam là $C_6^2.C_9^3$.