Bài tập Tính xác suất của biến cố hợp của hai biến cố xung khắc bằng cách sử dụng công thức cộng xác suất lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Dễ thấy A và B là hai biến cố xung khắc và \(P\left( A \right) = \frac{{C_4^2}}{{C_9^2}} = \frac{1}{6}\), \(P\left( B \right) = \frac{{C_4^1C_5^1}}{{C_9^2}} = \frac{5}{9}\).

Ta có: \(P\left( C \right) = P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) = \frac{1}{6} + \frac{5}{9} = \frac{{13}}{{18}}\).

Đáp án đúng là: A

Theo công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc, P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Đáp án đúng là: A

Vì A và B là hai biến cố xung khắc, áp dụng công thức cộng xác suất ta có:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Thay các giá trị P(A) = \(\frac{1}{3}\) và P(B) = \(\frac{1}{4}\) vào công thức: P(A ∪ B) = \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{{12}} + \frac{3}{{12}} = \frac{7}{{12}}\)

Đáp án đúng là: A

Không gian mẫu của phép thử là Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Biến cố A: A = {1; 2}

Biến cố B: B = {4; 5; 6}

Biến cố C: C = {1; 3; 5}

Cặp (A, B): Ta có A ∩ B = ∅ nên A và B là hai biến cố xung khắc

Cặp (A, C): Ta có A ∩ C = {1} ≠ ∅ nên A và C không xung khắc

Cặp (B, C): Ta có B ∩ C = {5} ≠ ∅ nên B và C không xung khắc

Vậy chỉ có 1 cặp biến cố xung khắc là (A, B).

Đáp án đúng là: C

Tổng số quả cầu trong hộp là 5 + 4 = 9 quả

Gọi A là biến cố: "Chọn được quả cầu màu đỏ". Xác suất của A là P(A) = \(\frac{5}{9}\)

Gọi B là biến cố: "Chọn được quả cầu màu xanh". Xác suất của B là P(B) = \(\frac{4}{9}\)

Vì một quả cầu không thể vừa có màu đỏ vừa có màu xanh nên A và B là hai biến cố xung khắc

Xác suất để chọn được quả cầu màu đỏ hoặc màu xanh là:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = \(\frac{5}{9}\) + \(\frac{4}{9}\) = \(\frac{9}{9}\) = 1.

Đáp án đúng là: B

Không gian mẫu của phép thử gieo một con xúc xắc là:

Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ⇒ n(Ω) = 6

Biến cố A: "Mặt xuất hiện có số chấm chia hết cho 5" ⇒ A = {5}, do đó n(A) = 1

Biến cố B: "Mặt xuất hiện có số chấm là số chẵn nhỏ hơn 4" ⇒ B = {2}, do đó n(B) = 1

Nhận thấy A ∩ B = ∅, nên A và B là hai biến cố xung khắc

Xác suất của các biến cố lần lượt là: P(A) = \(\frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{6}\), P(B) = \(\frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{6}\)

Xác suất để biến cố A hoặc B xảy ra là: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = \(\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Vì A và B là hai biến cố xung khắc nên theo định nghĩa, hai biến cố không đồng thời xảy ra, tức là A ∩ B = ∅.

b) Đúng. Vì A và B là hai biến cố xung khắc, áp dụng công thức cộng xác suất ta có:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0,25 + 0,45 = 0,7.

c) Sai. Theo định nghĩa, hai biến cố xung khắc là hai biến cố không thể cùng xảy ra.

d) Đúng. Biến cố "không có biến cố nào trong hai biến cố A và B xảy ra" chính là biến cố đối của biến cố A ∪ B, là \(\overline {A \cup B} \)

Do đó, xác suất cần tìm là: \(P\left( {\overline {A \cup B} } \right)\) = 1 – P(A ∪ B) = 1 – 0,7 = 0,3.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Không gian mẫu của phép thử có số phần tử là n(Ω) = 52

Bộ bài tây 52 lá gồm có 4 lá Át (Át Cơ, Át Rô, Át tép, Át Bích). Do đó, n(A) = 4.

b) Đúng. Vì một lá bài rút ra không thể vừa là lá Át vừa là lá Hình (J, Q, K)

⇒ A ∩ B = ∅

Vậy A và B là hai biến cố xung khắc.

c) Sai. Bộ bài tây có 12 lá Hình (4 lá J, 4 lá Q, 4 lá K), do đó n(B) = 12

Xác suất của biến cố B là: P(B) = \(\frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{12}}{{52}} = \frac{3}{{13}}\) ≠ \(\frac{6}{{13}}\).

d) Đúng. Biến cố "Rút được lá bài là lá Át hoặc lá Hình" là biến cố A ∪ B

Vì A và B xung khắc nên áp dụng công thức cộng xác suất:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = \(\frac{4}{{52}} + \frac{{12}}{{52}} = \frac{{16}}{{52}} = \frac{4}{{13}}\).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Không gian mẫu của phép thử là Ω = {1; 2; 3;…; 20} ⇒ n(Ω) = 20

Các số tự nhiên từ 1 đến 20 chia hết cho 5 bao gồm 5, 10, 15, 20

Do đó, biến cố A gồm các kết quả là A = {5; 10; 15; 20} ⇒ n(A) = 4.

b) Đúng. Các số nguyên tố lớn hơn 10 và nhỏ hơn hoặc bằng 20 bao gồm 11, 13, 17, 19

Do đó, biến cố B gồm các kết quả là B = {11; 13; 17; 19} ⇒ n(B) = 4.

c) Đúng. Ta thấy A ∩ B = ∅ (không có số nào vừa chia hết cho 5 vừa là số nguyên tố lớn hơn 10)

Vậy hai biến cố A và B xung khắc với nhau.

d) Đúng. Biến cố "Số chọn được chia hết cho 5 hoặc là số nguyên tố lớn hơn 10" là biến cố A ∪ B

Vì A và B là hai biến cố xung khắc nên áp dụng công thức cộng xác suất:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = \(\frac{4}{{20}} + \frac{4}{{20}} = \frac{8}{{20}} = \frac{2}{5}\).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Biến cố đối của biến cố A: "Xạ thủ bắn trúng mục tiêu" là biến cố "Xạ thủ bắn không trúng mục tiêu", ký hiệu là \(\overline A \).

b) Đúng. Xạ thủ chỉ bắn một viên đạn nên không thể có trường hợp vừa bắn trúng vừa không trúng mục tiêu. Do đó A ∩ \(\overline A \) = ∅, tức là A và \(\overline A \) là hai biến cố xung khắc.

c) Sai. Theo công thức xác suất của biến cố đối:

P(\(\overline A \)) = 1 – P(A) = 1 – 0,85 = 0,15 ≠ 0,25.

d) Đúng. Vì A và \(\overline A \) là hai biến cố xung khắc nên áp dụng công thức cộng xác suất:

P(A ∪ \(\overline A \)) = P(A) + P(\(\overline A \)) = 0,85 + 0,15 = 1.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Tổng số cuốn sách trên kệ là 10 + 8 = 18 cuốn

Vì chọn ngẫu nhiên 1 cuốn sách trong số 18 cuốn sách trên kệ nên số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 18.

b) Đúng. Vì một cuốn sách lấy ra không thể vừa là sách Toán vừa là sách Văn nên

M ∩ N = ∅

Vậy M và N là hai biến cố xung khắc.

c) Đúng. Số kết quả của biến cố A là n(M) = 10

Xác suất của biến cố M là: P(M) = \(\frac{{n\left( M \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{10}}{{18}} = \frac{5}{9}\).

d) Sai.

Biến cố "Chọn được cuốn sách là sách Toán hoặc sách Văn" là biến cố M ∪ N

Vì M và N là hai biến cố xung khắc nên áp dụng công thức cộng xác suất:

P(M ∪ N) = P(M) + P(N) = \(\frac{{10}}{{18}} + \frac{8}{{18}} = \frac{{18}}{{18}} = 1\) ≠ \(\frac{4}{9}\).

Đáp án: 0,4

Không gian mẫu của phép thử chọn ngẫu nhiên 1 tấm thẻ từ 20 tấm thẻ là:

Ω = {1; 2; 3;…; 20} ⇒ n(Ω) = 20

Xét hai biến cố:

A: "Tấm thẻ được chọn ghi số chia hết cho 3"

B: "Tấm thẻ được chọn ghi số chia hết cho 8"

Tập hợp các kết quả cho mỗi biến cố lần lượt là:

A = {3; 6; 9; 12; 15; 18} ⇒ n(A) = 6

Do đó, xác suất của biến cố A là P(A) = \(\frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{6}{{20}}\)

B = {8; 16} ⇒ n(B) = 2

Do đó, xác suất của biến cố B là P(B) = \(\frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{2}{{20}}\)

Ta thấy A ∩ B = ∅ (không có số nào từ 1 đến 20 vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 8), nên A và B là hai biến cố xung khắc

Xác suất để tấm thẻ được chọn ghi số chia hết cho 3 hoặc ghi số chia hết cho 8 là:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = \(\frac{6}{{20}} + \frac{2}{{20}} = \frac{8}{{20}} = \frac{2}{5}\) = 0,4.

Đáp án: 0,45

Vì A và B là hai biến cố xung khắc, áp dụng công thức cộng xác suất ta có:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

⇒ Xác suất của biến cố B là: P(B) = P(A ∪ B) – P(A)

Thay P(A) = 0,35 và P(A ∪ B) = 0,8, ta được: P(B) = 0,8 – 0,35 = 0,45.

Đáp án: 0,6

Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 40

Xét hai biến cố:

A: "Chọn được học sinh giỏi Toán"

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là n(A) = 15

⇒ Xác suất của biến cố A là P(A) = \(\frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{15}}{{40}}\)

B: "Chọn được học sinh giỏi Tiếng Anh"

Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là n(B) = 10

⇒ Xác suất của biến cố B là P(B) = \(\frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{10}}{{40}}\)

Vì không có học sinh nào giỏi cả hai môn nên A ∩ B = ∅, tức là A và B là hai biến cố xung khắc

Xác suất để chọn được học sinh giỏi Toán hoặc giỏi Tiếng Anh là:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = \(\frac{{15}}{{40}} + \frac{{10}}{{40}} = \frac{{25}}{{40}}\) ≈ 0,6.

Đáp án: 0,75

Vì A và B là hai biến cố xung khắc tạo thành một hệ biến cố đầy đủ (A ∪ B = Ω) nên: P(A ∪ B) = P(Ω) = 1

Mặt khác, do A và B xung khắc, áp dụng công thức cộng xác suất ta có:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 1

Theo giả thiết P(A) = 3P(B) ⇒ P(B) = \(\frac{1}{3}\)P(A), thay vào biểu thức trên ta được:

P(A) + \(\frac{1}{3}\)P(A) = 1 ⇔ \(\frac{4}{3}\)P(A) = 1 ⇔ P(A) = \(\frac{3}{4}\) = 0,75.

Đáp án: 0,3

Gọi A, B, C lần lượt là các biến cố:

A: "Kim dừng ở ô màu Đỏ". Theo đề bài, P(A) = \(\frac{1}{4}\)

B: "Kim dừng ở ô màu Xanh". Theo đề bài, P(B) = \(\frac{5}{{12}}\)

C: "Kim dừng ở ô màu Vàng"

Vì đĩa quay chỉ gồm 3 màu Đỏ, Xanh, Vàng nên các biến cố A, B, C đôi một xung khắc và tạo thành một hệ biến cố đầy đủ

Do đó, tổng xác suất của ba biến cố bằng 1: P(A) + P(B) + P(C) = 1

⇒ Xác suất để kim dừng ở ô màu Vàng là:

P(C) = 1 – P(A) – P(B) ⇒ P(C) = 1 – \(\frac{1}{4} - \frac{5}{{12}} = \frac{4}{{12}} = \frac{1}{3}\) ≈ 0,3.