Bài tập Tính xác suất của biến cố hợp của hai biến cố bất kì bằng cách sử dụng công thức cộng xác suất và phương pháp tổ hợp lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Với hai biến cố A, B bất kì ta có P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B);

Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Vậy khẳng định B là sai.

Đáp án đúng là: B

Ta có: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Do đó P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B) = 0,4 + 0,5 – 0,6 = 0,3.

Đáp án đúng là: C

Với A và B là hai biến cố bất kì ta luôn có:

\[P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = 1.\]

Vậy A ∪ B là biến cố chắc chắn.

Đáp án đúng là: B

Gọi A là biến cố “học sinh được chọn được tăng điểm”.

Gọi B là biến cố “học sinh được chọn học giỏi ngoại ngữ”.

Gọi C là biến cố “học sinh được chọn học giỏi tin học”.

Khi đó A = B ∪ C và BC là biến cố “học sinh chọn học giỏi cả ngoại ngữ lẫn tin học”.

Ta có: \(P\left( A \right) = P\left( B \right) + P\left( C \right) - P\left( {BC} \right) = \frac{{30}}{{100}} + \frac{{40}}{{100}} - \frac{{20}}{{100}} = \frac{1}{2}.\)

Đáp án đúng là: B

Gọi các biến cố A: "Chọn được hộ nuôi chó", và B: "Chọn được hộ nuôi mèo". Ta có:

\(P\left( A \right) = \frac{{18}}{{50}} = \frac{9}{{25}}\), \(P\left( B \right) = \frac{{16}}{{50}} = \frac{8}{{25}}\), \(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{7}{{50}}\).

Xác suất để chọn được hộ nuôi chó hoặc nuôi mèo là:

\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right) = \frac{9}{{25}} + \frac{8}{{25}} - \frac{7}{{50}} = \frac{{27}}{{50}} = 0,54\).

Đáp án đúng là: C

Gọi A là biến cố: "Rút được thẻ đánh số chia hết cho 2", ta có:

A = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20}, suy ra \(P\left( A \right) = \frac{{10}}{{20}} = \frac{1}{2}\).

Gọi B là biến cố rút được thẻ đánh số chia hết cho 3, ta có:

B = {3; 6; 9; 12; 15; 18}, suy ra \(P\left( B \right) = \frac{6}{{20}} = \frac{3}{{10}}\).

Ta có biến cố giao AB = {6; 12; 18}, suy ra \(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{3}{{20}}\)

Xác suất để rút được thẻ đánh số chia hết cho 2 hoặc 3 là:

\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{2} + \frac{3}{{10}} - \frac{3}{{20}} = \frac{{13}}{{20}}.\)

Đáp án đúng là: D

Gọi A là biến cố: "Lấy được vé không có chữ số 2" và B là biến cố: "Lấy được vé số không có chữ số 7".

Số các dãy gồm 5 chữ số lập được mà không có chữ số 2 là: 9⁵ (số).

Suy ra \(P\left( A \right) = \frac{{{9^5}}}{{1{0^5}}} = 0,{9^5}\).

Số các dãy gồm 5 chữ số lập được mà không có chữ số 7 là 9⁵ (số).

Suy ra \(P\left( B \right) = \frac{{{9^5}}}{{1{0^5}}} = 0,{9^5}\).

Số các dãy gồm 5 chữ số lập được mà không có chũ số 2 và 7 là 8⁵ (số).

Suy ra \(P\left( {AB} \right) = \frac{{{8^5}}}{{1{0^5}}} = 0,{8^5}\).

Vậy xác suất của X là:

P(X) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,9⁵ + 0,9⁵ – 0,8⁵ = 0,8533.

Đáp án đúng là: C

Ta có: n(Ω) = 36.

⦁ A = {(1; 1); (2; 1); (3; 1); (4; 1); (5; 1); (6; 1); (2; 2); (4; 2); (6; 2); (3; 3); (6; 3); (4; 4); (5; 5); (6; 6)}.

Do đó \(P\left( A \right) = \frac{{14}}{{36}} = \frac{7}{8};\)

⦁ B = {(1; 2); (2; 1); (1; 3); (3; 1); (2; 2); …; (1; 7); (7; 1)}.

Do đó \(P\left( B \right) = \frac{{25}}{{36}}.\)

⦁ A ∩ B = {(2; 1); (3; 1); (4; 1); (5; 1); (6; 1); (2; 2); (4; 2); (6; 2); (3; 3); (4; 4)}.

Do đó \(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{10}}{{36}} = \frac{5}{{18}}.\)

Vậy \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = \frac{7}{8} + \frac{{25}}{{36}} - \frac{5}{{18}} = \frac{{29}}{{36}}.\)

Đáp án đúng là: B

Gọi biến cố:

A: “Hai viên bi được lấy ra có cùng màu”.

A₁: “Hai viên bi lấy ra màu trắng”. Do đó \(P\left( {{A_1}} \right) = \frac{{C_4^1}}{{C_{15}^1}} \cdot \frac{{C_7^1}}{{C_{18}^1}}.\)

A₂: “Hai viên bi lấy ra màu đỏ”. Do đó \(P\left( {{A_2}} \right) = \frac{{C_5^1}}{{C_{15}^1}} \cdot \frac{{C_6^1}}{{C_{18}^1}}.\)

A₃: “Hai viên bi lấy ra màu xanh”. Do đó \(P\left( {{A_3}} \right) = \frac{{C_6^1}}{{C_{15}^1}} \cdot \frac{{C_5^1}}{{C_{18}^1}}.\)

Lúc đó: A = A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ và A₁, A₂, A₃ là các biến cố xung khắc nên ta có:

P(A) = P(A₁) + P(A₂) + P(A₃)

Vậy \[P\left( A \right) = \frac{4}{{15}} \cdot \frac{7}{{18}} + \frac{5}{{15}} \cdot \frac{6}{{18}} + \frac{6}{{15}} \cdot \frac{5}{{18}} = \frac{{44}}{{135}}.\]

Đáp án đúng là: B

Gọi A là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết loại giỏi môn Khoa học tự nhiên”.

B là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết loại giỏi môn Ngoại ngữ.”

A ∪ B là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết môn Khoa học tự nhiên học Ngoại ngữ loại giỏi”.

A ∩ B là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết loại giỏi cả hai môn Khoa học tự nhiên và Ngoại ngữ”.

Ta có \(P\left( A \right) = \frac{{12}}{{40}} = \frac{3}{{10}}\) và \(P\left( B \right) = \frac{{13}}{{40}}.\)

Mặt khác, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Suy ra \[P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)-P\left( {A \cup B} \right) = \frac{3}{{10}} + \frac{{13}}{{40}} - 0,5 = \frac{1}{8}.\]

Đáp án đúng là: B

Với hai biến cố A và B bất kỳ, công thức cộng xác suất tổng quát là:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) nên khẳng định A đúng.

Khi A và B xung khắc, hai biến cố không thể đồng thời xảy ra, tức là A ∩ B = ∅

⇒ P(A ∩ B) = 0. Khi đó P(A ∪ B) = P(A) + P(B) nên khẳng định C đúng.

Khẳng định B sai vì P(A ∩ B) = 0 khi A và B xung khắc, không phải P(A ∩ B) = P(A) + P(B).

Đáp án đúng là: B

Áp dụng công thức cộng xác suất đối với hai biến cố A và B bất kỳ:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

⇒ P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B)

Thay các giá trị đã biết vào công thức, ta được: P(A ∩ B) = 0,4 + 0,5 – 0,6 = 0,3.

Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức cộng xác suất đối với hai biến cố A và B bất kỳ:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Thay các giá trị đã biết vào công thức, ta được:

P(A ∪ B) = \(\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{4}{4}\) = 1.

Vì P(A ∪ B) = 1 nên A ∪ B là biến cố chắc chắn.

Đáp án đúng là: B

Gọi A là biến cố "Học sinh được chọn giỏi ngoại ngữ" ⇒ P(A) = \(\frac{{40}}{{100}}\)

Gọi B là biến cố "Học sinh được chọn giỏi tin học" ⇒ P(B) = \(\frac{{30}}{{100}}\)

Khi đó, A ∩ B là biến cố "Học sinh được chọn giỏi cả ngoại ngữ và tin học"

⇒ P(A ∩ B) = \(\frac{{20}}{{100}}\)

Học sinh được tăng điểm là học sinh giỏi ít nhất một trong hai môn, tương ứng với biến cố A ∪ B

Áp dụng công thức cộng xác suất, ta có: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = \(\frac{{40}}{{100}}\) + \(\frac{{30}}{{100}}\) – \(\frac{{20}}{{100}}\) = \(\frac{{50}}{{100}} = \frac{1}{2}\).

Đáp án đúng là: B

Gọi A là biến cố "Hộ gia đình được chọn nuôi chó" ⇒ P(A) = \(\frac{{18}}{{50}}\)

Gọi B là biến cố "Hộ gia đình được chọn nuôi mèo" ⇒ P(B) = \(\frac{{16}}{{50}}\)

Khi đó, A ∩ B là biến cố "Hộ gia đình được chọn nuôi cả chó và mèo"

⇒ P(A ∩ B) = \(\frac{7}{{50}}\)

Biến cố "Hộ gia đình đó nuôi chó hoặc nuôi mèo" là biến cố A ∪ B

Áp dụng công thức cộng xác suất, ta có:

P(A ∪ B) = \(\frac{{18}}{{50}}\) + \(\frac{{16}}{{50}}\) – \(\frac{7}{{50}}\) = \(\frac{{27}}{{50}}\) = 0,54.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Gọi A là biến cố "Người được chọn thích đọc sách"

Xác suất để chọn được người thích đọc sách là: P(A) = \(\frac{{30}}{{50}}\) = 0,6 ≠ 0,4.

b) Đúng. Gọi B là biến cố "Người được chọn thích nghe nhạc"

Xác suất để chọn được người thích nghe nhạc là: P(B) = \(\frac{{25}}{{50}}\) = 0,5.

c) Đúng. Gọi A ∩ B là biến cố "Người được chọn thích cả đọc sách và nghe nhạc"

Xác suất để chọn được người thích cả đọc sách và nghe nhạc là: P(A ∩ B) = \(\frac{{10}}{{50}}\) = 0,2.

d) Đúng. Gọi A ∪ B là biến cố "Người được chọn thích ít nhất một trong hai hoạt động".

Áp dụng công thức cộng xác suất, ta có:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 0,6 + 0,5 – 0,2 = 0,9.

Xác suất để chọn được người không thích cả hai hoạt động là xác suất của biến cố đối của biến cố A ∪ B: P = 1 – P(A ∪ B) = 1 – 0,9 = 0,1.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Số cách chọn ngẫu nhiên 2 viên bi từ 12 viên bi trong hộp là \(C_{12}^2\)= 66.

Do đó, số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 66.

b) Đúng. Số cách chọn 2 viên bi màu đỏ từ 5 viên bi màu đỏ là n(A) = \(C_5^2\) = 10

Xác suất của biến cố A là: P(A) = \(\frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\) =\(\frac{{10}}{{66}} = \frac{5}{{33}}\).

c) Đúng. Số cách chọn 2 viên bi màu xanh từ 7 viên bi màu xanh là n(B) = \(C_7^2\) = 21

Xác suất của biến cố B là: P(B) = \(\frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{21}}{{66}} = \frac{7}{{22}}\).

d) Sai. Biến cố "2 viên bi lấy ra có cùng màu" là biến cố A ∪ B (lấy được 2 bi đỏ hoặc 2 bi xanh).

Vì A và B là hai biến cố xung khắc (A ∩ B = ∅), nên theo công thức cộng xác suất ta có:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = \(\frac{5}{{33}} + \frac{7}{{22}} = \frac{{31}}{{66}}\) ≠ \(\frac{1}{2}\).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Số cách chọn ngẫu nhiên 2 học sinh bất kỳ từ 10 học sinh là \[C_{10}^2\]= 45.

Do đó, số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 45.

b) Đúng. Biến cố đối của A là biến cố \(\overline A \): "Cả 2 học sinh được chọn đều là nữ".

Số cách chọn 2 học sinh nữ từ 4 học sinh nữ là n(\(\overline A \)) = \(C_4^2\) = 6

Xác suất của biến cố \(\overline A \) là P(\(\overline A \)) = \(\frac{6}{{45}} = \frac{2}{{15}}\)

Xác suất của biến cố A là: P(A) = 1 – P(\(\overline A \)) = 1 – \(\frac{2}{{15}}\)= \(\frac{{13}}{{15}}\).

c) Sai. Ta hoàn toàn có thể chọn được 2 học sinh thỏa mãn vừa có ít nhất một học sinh nam, vừa có ít nhất một học sinh giỏi Toán

Do đó, hai biến cố A và B có thể đồng thời xảy ra (A ∩ B ≠ ∅) nên A và B không phải là hai biến cố xung khắc.

d) Đúng. Biến cố A ∪ B là biến cố "Chọn được ít nhất một học sinh nam hoặc ít nhất một học sinh giỏi Toán"

Biến cố đối của A ∪ B là biến cố "Không chọn được học sinh nam nào” và “không chọn được học sinh giỏi Toán nào", tức là "Chọn 2 học sinh đều là nữ” và “đều không giỏi Toán".

Số học sinh nữ không giỏi Toán là 4 – 2 = 2 học sinh.

Số cách chọn 2 học sinh từ 2 học sinh nữ không giỏi Toán là \(C_2^2\) = 1

Xác suất của biến cố đối là: P = \(\frac{1}{{45}}\).

Do đó, xác suất của biến cố A ∪ B là: P(A ∪ B) = 1 – \(\frac{1}{{45}}\) = \(\frac{{44}}{{45}}\).

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Áp dụng công thức cộng xác suất cho hai biến cố A và B bất kỳ:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB)

⇒ P(AB) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B) = 0,4 + 0,7 – 0,8 = 0,3.

b) Sai. Hai biến cố A và B xung khắc khi và chỉ khi P(AB) = 0

Vì P(AB) = 0,3 khác 0 nên A và B không phải là hai biến cố xung khắc

c) Đúng. Xác suất của biến cố đối \(\overline A \) là: P(\(\overline A \)) = 1 – P(A) = 1 – 0,4 = 0,6.

d) Đúng. Xác suất của biến cố đối \(\overline B \) là: P(\(\overline B \)) = 1 – P(B) = 1 – 0,7 = 0,3.

Đáp án: 0,65

Gọi A là biến cố "Rút được thẻ mang số chia hết cho 2"

Các số chia hết cho 2 từ 1 đến 20 là: {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20} ⇒ P(A) = \(\frac{{10}}{{20}}\)

Gọi B là biến cố "Rút được thẻ mang số chia hết cho 3"

Các số chia hết cho 3 từ 1 đến 20 là: {3; 6; 9; 12; 15; 18} ⇒ P(B) = \(\frac{6}{{20}}\)

Khi đó, A ∩ B là biến cố "Rút được thẻ mang số chia hết cho cả 2 và 3" (tức chia hết cho 6)

Các số chia hết cho 6 từ 1 đến 20 là: {6; 12; 18} ⇒ P(A ∩ B) = \(\frac{3}{{20}}\)

Biến cố "Rút được thẻ mang số chia hết cho 2 hoặc 3" là biến cố A ∪ B

Áp dụng công thức cộng xác suất, ta có:

P(A ∪ B) = \(\frac{{10}}{{20}} + \frac{6}{{20}} - \frac{3}{{20}} = \frac{{13}}{{20}}\) = 0,65.

Đáp án: 0,9

Gọi A là biến cố "Đại biểu biết tiếng Anh" ⇒ P(A) = \(\frac{{65}}{{100}}\) = 0,65

Gọi B là biến cố "Đại biểu biết tiếng Pháp" ⇒ P(B) = \(\frac{{45}}{{100}}\) = 0,45

Xác suất đại biểu biết cả hai ngoại ngữ là P(AB) = \(\frac{{20}}{{100}}\) = 0,2

Xác suất chọn được đại biểu biết ít nhất một ngoại ngữ là:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,65 + 0,45 – 0,2 = 0,9.

Đáp án: 0,9

Số phần tử của không gian mẫu (số các vé số có 5 chữ số từ 0 đến 9, các chữ số có thể lặp lại): n(Ω) = 10⁵ = 100000

Gọi A là biến cố "Lấy được vé số không có chữ số 2"

Các chữ số được chọn từ tập {0; 1; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

⇒ n(A) = 9⁵ = 59049 ⇒ P(A) = \(\frac{{59049}}{{100000}}\)

Gọi B là biến cố "Lấy được vé số không có chữ số 7"

Các chữ số được chọn từ tập {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9}

⇒ n(B) = 9⁵ = 59049 ⇒ P(B) = \(\frac{{59049}}{{100000}}\)

Khi đó, A ∩ B là biến cố "Lấy được vé số không có cả chữ số 2 và chữ số 7"

Các chữ số được chọn từ tập {0; 1; 3; 4; 5; 6; 8; 9}

⇒ n(A ∩ B) = 8⁵ = 32768 ⇒ P(A ∩ B) = \(\frac{{32768}}{{100000}}\)

Biến cố X: "Lấy được vé không có chữ số 2 hoặc chữ số 7" chính là biến cố A ∪ B

Áp dụng công thức cộng xác suất, ta có:

P(X) = \(\frac{{59049}}{{100000}} + \frac{{59049}}{{100000}} - \frac{{32768}}{{100000}} = \frac{{85330}}{{100000}}\) = 0,8533 ≈ 0,9.

Đáp án: 0,8

Số phần tử của không gian mẫu khi gieo 2 con xúc xắc: n(Ω) = 6 ⋅ 6 = 36

Các phần tử của biến cố A (x chia hết cho y) là:

y = 1 x ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6} (6 cặp): (1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1)

y = 2 x ∈ {2; 4; 6} (3 cặp): (2, 2), (4, 2), (6, 2)

y = 3 x ∈ {3; 6} (2 cặp): (3, 3), (6, 3)

y = 4 x = 4 (1 cặp): (4, 4)

y = 5 x = 5 (1 cặp): (5, 5)

y = 6 x = 6 (1 cặp): (6, 6)

⇒ n(A) = 6 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 14 ⇒ P(A) = \(\frac{{14}}{{36}}\)

Biến cố B thỏa mãn 3 ≤ x + y ≤ 8 ⇒ Biến cố đối \(\overline B \) là x + y < 3 hoặc x + y > 8

Tổng x + y < 3: (1,1) (1 cặp)

Tổng x + y > 8: (3,6), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) (10 cặp)

⇒ n(\(\overline B \)) = 1 + 10 = 11 cặp n(B) = 36 – 11 = 25 cặp P(B) = \(\frac{{25}}{{36}}\)

Các phần tử thuộc A ∩ B (thỏa mãn vừa x ⋮ y vừa 3 ≤ x + y ≤ 8) là:

Từ các cặp của A, ta loại các cặp có x + y < 3 hoặc x + y > 8:

Loại (1, 1) vì x + y = 2 < 3.

Loại (6, 3), (5, 5), (6, 6) vì tổng x + y bằng 9, 10, 12 > 8.

⇒ Các cặp thỏa mãn còn lại của A ∩ B là: (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1), (2, 2), (4, 2), (6, 2), (3, 3), (4, 4)

⇒ n(A ∩ B) = 10 ⇒ P(A ∩ B) = \(\frac{{10}}{{36}}\)

Áp dụng công thức cộng xác suất, ta có:

P(A ∪ B) = \(\frac{{14}}{{36}} + \frac{{25}}{{36}} - \frac{{10}}{{36}} = \frac{{29}}{{36}}\) ≈ 0,8.

Đáp án: 0,1

Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh từ lớp 40 học sinh ⇒ n(Ω) = 40

Gọi A là biến cố "Học sinh được chọn đạt loại giỏi môn Khoa học tự nhiên"

Xác suất của biến cố A là: P(A) = \(\frac{{12}}{{40}}\) = 0,3

Gọi B là biến cố "Học sinh được chọn đạt loại giỏi môn Ngoại ngữ".

Xác suất của biến cố B là: P(B) = \(\frac{{13}}{{40}}\) = 0,325

Biến cố "Học sinh được chọn đạt loại giỏi môn Khoa học tự nhiên hoặc Ngoại ngữ" là biến cố A ∪ B

Theo đề bài, ta có: P(A ∪ B) = 0,5

Biến cố "Học sinh được chọn đạt loại giỏi cả hai môn" là biến cố A ∩ B.

Áp dụng công thức cộng xác suất, ta có:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

⇒ P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B)

⇒ P(A ∩ B) = 0,3 + 0,325 – 0,5 = 0,125 ≈ 0,1.