Bài tập Tính tuổi của thiên thể, mẫu cổ vật lớp 12 (có lời giải)
30 câu hỏi
238U phân rã thành 206Pb với chu kì bán rã 4,47.109 năm. Một khối đá được phát hiện chứa 46,97 mg 238U và 23,15 mg 206Pb. Giả sử khối đá khi mới hình thành không chứa nguyên tố chì và tất cả lượng chì có mặt trong đó đều là sản phẩm phân rã của 238U. Tuổi của khối đá đó hiện nay là bao nhiêu?
Số hạt nhân U đã bị phân rã bằng số hạt nhân Pb tạo thành:
\(\Delta {\rm{N}} = \frac{{{{\rm{m}}_{{\rm{Pb}}}}}}{{{{\rm{A}}_{{\rm{Pb}}}}}} \cdot {{\rm{N}}_{\rm{A}}} = \frac{{23,{{15.10}^{ - 3}}}}{{206}}.6,{02.10^{23}} = 6,{76.10^{19}}\)(hạt)
Số hạt nhân U còn lại là: \({\rm{N}} = \frac{{{{\rm{m}}_U}}}{{{{\rm{A}}_U}}} \cdot {{\rm{N}}_{\rm{A}}} = \frac{{46,{{97.10}^{ - 3}}}}{{238}}.6,{02.10^{23}} = 11,{9.10^{19}}\)(hạt)
Tại thời điểm hiện phát hiện: \[\frac{{\Delta {\rm{N}}}}{{\rm{N}}} = \frac{{{N_0}\left( {1 - {2^{ - \frac{{\rm{t}}}{{\rm{T}}}}}} \right)}}{{{N_0}{2^{ - \frac{{\rm{t}}}{{\rm{T}}}}}}} \Rightarrow {2^{\frac{{\rm{t}}}{{4,{{47.10}^9}}}}} - 1 = 0,568 \Rightarrow t = 2,{9.10^9}\] năm.
Khi cây còn sống, tỉ lệ hai đồng vị 12C và 14C trong nó và trong khí quyển là như nhau. Khi chết, 14C có trong cây bị phân rã. Chu kì bán rã của 14C là 5 730 năm. So sánh sự phóng xạ - của một mẫu gỗ cổ với một mẫu gỗ tương tự còn sống, cả hai cùng chứa một lượng 14C người ta thấy số hạt 14C có trong mẫu gỗ cổ ít hơn 3 lần so với mẫu gỗ tương đương còn đang sống. Xác định tuổi của mẫu gỗ cổ.
Cả hai có cùng lượng \(_6^{12}{\rm{C}}\) nên lượng \(_6^{14}{\rm{C}}\) ban đầu là như nhau.
Định luật phóng xạ: \({N_t} = {N_0} \cdot {2^{ - \frac{t}{T}}} \Rightarrow {2^{ - \frac{t}{T}}} = \frac{{{N_t}}}{{{N_0}}} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow t = 9081,8\) năm
Hạt nhân urani \(_{92}^{238}U\) sau một chuỗi phân rã, biến đổi thành hạt nhân chì \(_{82}^{206}Pb\) . Trong quá trình đó, chu kỉ bán rã của \(_{92}^{238}U\) biến đổi thành hạt nhân chì là 4,47.109 năm. Một khối đá được phát hiện có chứa 1,188.1020 hạt nhân \(_{92}^{238}U\) và 6,239.1018 hạt nhân \(_{82}^{206}Pb\). Giả sử khối đá lúc mới hình thành không chứa chì và tất cả lượng chì có mặt trong đó đều là sản phẩm phân rã của \(_{92}^{238}U\). Tuổi của khối đá khi được phát hiện là bao nhiêu năm?
\[\frac{{{N_{con}}}}{{{N_{me}}}} = \left( {{e^{\frac{{\ln 2}}{T}t}} - 1} \right) \Rightarrow \frac{{6,{{239.10}^{18}}}}{{1,{{88.10}^{20}}}} = {e^{\frac{{\ln 2}}{{4,{{47.10}^9}}}t}} - 1 \Rightarrow t = 3,{3.10^8}\] (năm).
Một mẫu quặng Uran tự nhiên gồm U235 với hàm lượng 0,72% và phần còn lại là U238. Hãy xác định hàm lượng của U235 và thời kì Trái Đất được tạo thành cách đây 4,5 (tỉ năm). Cho biết chu kì bán rã của các đồng vị U235 và U238 lần lượt là 0,704 (tỉ năm) và 4,46 (tỉ năm).
22%.
24%.
23%.
25%.
Đáp án đúng là C
\(\left\{ \begin{array}{l}{m_1} = {m_{10}}{e^{ - \frac{{\ln 2}}{{{T_1}}}t}}\\{m_2} = {m_{20}}{e^{ - \frac{{\ln 2}}{{{T_2}}}t}}\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{{m_1}}}{{{m_2}}} = \frac{{{m_{10}}}}{{{m_{20}}}}{e^{t\ln 2\left( {\frac{1}{{{T_2}}} - \frac{1}{{{T_1}}}} \right)}} \Rightarrow \frac{{{m_{10}}}}{{{m_{20}}}} = \frac{{{m_1}}}{{{m_2}}}{e^{ - t\ln 2\left( {\frac{1}{{{T_2}}} - \frac{1}{{{T_1}}}} \right)}}\)
\( \Rightarrow \frac{{{m_{10}}}}{{{m_{20}}}} = \frac{{0,72}}{{99,28}}{e^{ - 4,5\ln 2\left( {\frac{1}{{4,46}} - \frac{1}{{0,704}}} \right)}} \approx 0,333 \Rightarrow \% {m_{10}} = \frac{{0,303}}{{1,303}} = 23\% .\)
Hạt nhân urani \(_{92}^{238}U\) sau một chuỗi phân rã, biến đổi thành hạt nhân chì \(_{82}^{206}Pb\) . Trong quá trình đó, chu kỉ bán rã của \(_{92}^{238}U\) biến đổi thành hạt nhân chì là 4,47.109 năm. Một khối đá được phát hiện có chứa 1,188.1020 hạt nhân \(_{92}^{238}U\) và 6,239.1018 hạt nhân \(_{82}^{206}Pb\). Giả sử khối đá lúc mới hình thành không chứa chì và tất cả lượng chì có mặt trong đó đều là sản phẩm phân rã của \(_{92}^{238}U\). Tuổi của khối đá khi được phát hiện là
3,3.108 năm.
6,3.109 năm.
3,5.107 năm.
2,5.106 năm.
Đáp án đúng là A
\[\frac{{{N_{con}}}}{{{N_{me}}}} = \left( {{e^{\frac{{\ln 2}}{T}t}} - 1} \right) \Rightarrow \frac{{6,{{239.10}^{18}}}}{{1,{{88.10}^{20}}}} = {e^{\frac{{\ln 2}}{{4,{{47.10}^9}}}t}} - 1 \Rightarrow t = 3,{3.10^8}\] (năm).
Đồng vị U238 sau một loạt phóng xạ α và β biến thành chì theo phương trình sau:\(U238 \to 8\alpha + 6{\beta ^ - } + Pb206\). Chu kì bán rã của quá trình đó là 4,6 (tỉ năm). Giả sử có một loại đá chỉ chứa U238, không chứa chì. Nếu hiện nay tỉ lệ các khối lượng của Uran và chì trong đá ấy là 37 thì tuổi của đá ấy là bao nhiêu?
0,1 tỉ năm.
0,2 tỉ năm.
0,3 tỉ năm.
0,4 tỉ năm.
Đáp án đúng là B
\[\frac{{{m_{con}}}}{{{m_{me}}}} = \frac{{{A_{con}}}}{{{A_{me}}}}\left( {{e^{\frac{{\ln 2}}{T}}} - 1} \right) \Rightarrow \frac{1}{{37}} = \frac{{206}}{{238}}\left( {{e^{\frac{{\ln 2}}{{4,6}}}} - 1} \right) \Rightarrow t \approx 0,2\] (tỉ năm).
Trong một mẫu đá được các nhà du hành mang về Trái Đất từ Mặt Trăng, các nhà khoa học phát hiện có 75% potassium \(_{19}^{40}\;{\rm{K}}\) ban đầu đã biến thành argon \(_{18}^{40}{\rm{Ar}}.\) Biết rằng, khi được hình thành, mẫu đá không chứa argon; toàn bộ argon được tạo ra có nguồn gốc từ potassium và không hề bị thất thoát vào môi trường. Cho chu kì bán rã của \(_{19}^{40}\;{\rm{K}}\) là 1,25.109 năm.
a) Xác định tuổi của mẫu đá đó.
b) Sau bao nhiêu lâu nữa thì lượng potassium \(_{19}^{40}\;{\rm{K}}\) còn lại bằng 6,25% lượng potassium \(_{19}^{40}\;{\rm{K}}\) ban đầu?
a) \(\frac{{\Delta N}}{{{N_0}}} = 1 - {2^{ - \frac{t}{T}}} = 0,75 \Rightarrow t = 2T = 2,{5.10^9}\) năm
Niên đại của mẫu đá là cách đây 2,50 tỉ năm.
b) \(\frac{N}{{{N_0}}} = {2^{ - \frac{t}{T}}} = 6,25\% \Rightarrow t = 4T = {10.10^9}\)
Sau 7,50.109 năm, kể từ hiện tại, lượng potassium \(_{19}^{40}\;{\rm{K}}\) còn lại trong mẫu đá bằng 6,25% lượng ban đầu.
Hạt nhân \(_{92}^{238}{\rm{U}}\) sau một chuỗi các quá trình phóng xạ \(\alpha \) và \({\beta ^ - }\) liên tiếp biến đổi thành hạt nhân \(_{82}^{206}\;{\rm{Pb}}\) bền theo phương trình chuỗi phản ứng:
\(_{92}^{238}{\rm{U}} \to _{82}^{206}\;{\rm{Pb}} + {\rm{x}}_2^4{\rm{He}} + {\rm{y}}_{ - 1}^0{\rm{e}}\)
Trong đó, x và y lần lượt là số lần phóng xạ \(\alpha \) và \(\beta \) trong chuỗi phóng xạ.
Trong một mẫu quặng uranium, người ta thấy có lẫn chì \(_{82}^{206}\;{\rm{Pb}}\) cùng với \(_{92}^{238}{\rm{U}}.\) Biết rằng toàn bộ chì được tạo ra có nguồn gốc từ uranium và không hề bị thất thoát vào môi trường. Cho chu kì bán rã của \(_{92}^{238}{\rm{U}}\) là 4,47 tỉ năm. Tính tuổi của mẫu quặng trong hai trường hợp:
i) Tỉ lệ nguyên tử tìm thấy là cứ 1 nguyên tử \(_{82}^{206}\;{\rm{Pb}}\) thì có 5 nguyên tử \(_{92}^{238}{\rm{U}}.\)
ii) Tỉ lệ khối lượng tìm thấy là cứ \(1\;{\rm{g}}_{82}^{206}\;{\rm{Pb}}\) thì có \(5\;{\rm{g}}_{92}^{238}{\rm{U}}.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}238 = 206 + 4x + 0y\\92 = 82 + 2x - y\end{array} \right. \Rightarrow x = 8;\,y = 6\).
i. Gọi số hạt \(_{92}^{238}{\rm{U}}\) ban đầu là \({N_0}\), số hạt \(_{92}^{238}{\rm{U}}\) còn lại là \(N \Rightarrow \) số hạt \(_{92}^{238}{\rm{U}}\) bị phân rã cũng chính là số hạt \(_{82}^{206}\;{\rm{Pb}}\) được tạo thành là: \(\Delta N = {N_0} - N = {N_0}\left( {1 - {2^{ - \frac{t}{T}}}} \right)\)
Theo đề bài: \(\frac{{\Delta N}}{N} = \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{{{N_0}\left( {1 - {2^{ - \frac{t}{T}}}} \right)}}{{{N_0}{2^{ - \frac{t}{T}}}}} = \frac{1}{5}\)\( \Rightarrow {2^{ - \frac{t}{T}}} = \frac{5}{6} \Rightarrow t = - T{\log _2}\left( {\frac{5}{6}} \right) = 1,{18.10^9}\) năm
Vậy niên đại của mẫu quặng là 1,18 tỉ năm.
ii. Mối liên hệ giữa khối lượng và số nguyên tử trong một mẫu chất là: \(m = \frac{N}{{{N_{\rm{A}}}}}A\)
Do đó, tỉ lệ khối lượng giữa \(_{82}^{206}\;{\rm{Pb}}\) và \(_{92}^{238}{\rm{U}}\) là: \(\frac{{{m_{{\rm{Pb}}}}}}{{{m_{\rm{U}}}}} = \frac{{206\frac{{{N_{{\rm{Pb}}}}}}{{{N_{\rm{A}}}}}}}{{238\frac{{{N_{\rm{U}}}}}{{{N_{\rm{A}}}}}}} = \frac{{206{N_{{\rm{Pb}}}}}}{{238{N_{\rm{U}}}}} = \frac{1}{5}\)
\( \Rightarrow \frac{{\Delta N}}{N} = \frac{{238}}{{5.206}} \Rightarrow \frac{{{N_0}\left( {1 - {2^{ - \frac{t}{T}}}} \right)}}{{{N_0}{2^{ - \frac{t}{T}}}}} = \frac{{238}}{{5.206}} = \frac{{119}}{{515}}\)
\( \Rightarrow {2^{ - \frac{t}{T}}} = \frac{{515}}{{634}} \Rightarrow t = - T{\log _2}\left( {\frac{{515}}{{634}}} \right) = 1,{34.10^9}\) năm.
Một tượng cổ bằng gỗ có độ phóng xạ H. Một mảnh gỗ của cây vừa mới chặt, nếu có khối lượng tương đương sẽ có độ phóng xạ là 1,5H. Chu kì bán rã của 14C là 5 600 năm. Tính tuổi của tượng gỗ cổ này.
Ta có \({\rm{H}} = {{\rm{H}}_0}{.2^{ - \frac{t}{T}}} \Rightarrow H = 1,5H{.2^{ - \frac{t}{{5600}}}} \Rightarrow t = 3276\) năm.
Vậy tuổi của tượng gỗ là 3276 năm.
Các nhà khoa học đã xác định được độ phóng xạ của 1g mẫu carbon trong cơ thể sinh vật sống là \(0,231\;{\rm{Bq}}.\) Biết rằng, trong số các đồng vị của carbon có trong mẫu, chỉ có \(_6^{14}{\rm{C}}\) là đồng vị phóng xạ với chu kì bán rã là 5730 năm.
(a) Xác định số nguyên tử \(_6^{14}{\rm{C}}\) có trong 1 g mẫu carbon đó.
(b) Vào ngày 19/9/1991, trong khi đang tìm đường vượt qua dãy Otztal Alps, hai nhà leo núi người Đức đã phát hiện thấy xác ướp người cổ được bảo quản hầu như nguyên vẹn trong băng tuyết tại Hauslabjoch, khu vực giữa biên giới Áo và Italia. Xác ướp đó được đặt tên là người băng Otzi. Tại thời điểm này, các nhà khoa học đã đo được độ phóng xạ của 1 g mẫu carbon trong cơ thể người băng Otzi là \(0,121\;{\rm{Bq}}.\) Xác định niên đại của người băng đó.
a) \(N = \frac{H}{\lambda } = \frac{H}{{\frac{{\ln 2}}{T}}} = \frac{{0,231}}{{\frac{{\ln 2}}{{5730.365.86400}}}} = 6,{02.10^{10}}\) nguyên tử.
b) \(H = {H_0}{.2^{ - \frac{t}{T}}} \Rightarrow 0,121 = 0,{231.2^{ - \frac{t}{{5730}}}} \Rightarrow t \approx 5345\)năm.
PHẦN II. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Một mẫu gỗ cổ được xác định có độ phóng xạ của \(^{14}{\rm{C}}\) bằng \(37,5\% \) độ phóng xạ của một mẫu gỗ mới cùng khối lượng. Biết chu kì bán rã của \(^{14}{\rm{C}}\) là \(5730\) năm. Xét các phát biểu sau:
Tuổi của mẫu gỗ lớn hơn \(5730\) năm.
Tuổi của mẫu gỗ nhỏ hơn \(11460\) năm.
Nếu coi tuổi mẫu gỗ bằng \(8000\) năm thì kết quả đo trên là phù hợp.
Sau thêm \(5730\) năm nữa, độ phóng xạ của mẫu gỗ còn \(18,75\% \) so với mẫu gỗ mới.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Lời giải chi tiết:
a) Đúng. Vì \(37,5\% \) nhỏ hơn \(50\% \), nên mẫu gỗ đã trải qua hơn một chu kì bán rã.
b) Đúng. Vì \(37,5\% \) lớn hơn \(25\% \), nên mẫu gỗ chưa trải qua hai chu kì bán rã.
c) Đúng. Với \(t = 8000\) năm, ta có \(\frac{H}{{{H_0}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{8000/5730}} \approx 0,38\), phù hợp với giá trị đo \(37,5\% \).
d) Đúng. Sau thêm một chu kì bán rã, độ phóng xạ giảm một nửa nên còn \(37,5\% :2 = 18,75\% \).
Một thiên thạch chứa đồng vị phóng xạ X có chu kì bán rã \(2,0 \times {10^8}\) năm. Hiện nay độ phóng xạ của đồng vị X còn bằng \(\frac{1}{{16}}\) giá trị ban đầu. Xét các phát biểu sau:
Thiên thạch đã tồn tại khoảng \(8,0 \times {10^8}\) năm.
Số hạt nhân chưa phân rã còn bằng \(\frac{1}{{16}}\) số hạt nhân ban đầu.
Có \(93,75\% \) số hạt nhân ban đầu đã phân rã.
Sau thêm \(2,0 \times {10^8}\) năm nữa, độ phóng xạ còn \(\frac{1}{{64}}\) giá trị ban đầu.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Lời giải chi tiết:
a) Đúng. Vì \(\frac{1}{{16}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4}\), thiên thạch đã trải qua \(4\) chu kì bán rã nên tuổi bằng \(8,0 \times {10^8}\) năm.
b) Đúng. Do \(H = \lambda N\), với cùng đồng vị thì độ phóng xạ và số hạt nhân còn lại giảm theo cùng tỉ lệ.
c) Đúng. Tỉ lệ hạt nhân đã phân rã là \(1 - \frac{1}{{16}} = \frac{{15}}{{16}} = 93,75\% \).
d) Sai. Sau thêm một chu kì bán rã, độ phóng xạ còn \(\frac{1}{{32}}\), không phải \(\frac{1}{{64}}\).
Một phòng thí nghiệm khảo cổ đo độ phóng xạ của hai mẫu gỗ A và B. Kết quả cho thấy độ phóng xạ của A bằng \(50\% \), còn của B bằng \(12,5\% \) so với mẫu gỗ mới cùng loại. Biết chu kì bán rã của \(^{14}{\rm{C}}\) là \(5730\) năm. Xét các phát biểu sau:
Mẫu B trẻ hơn mẫu A \(11460\) năm.
Tuổi của mẫu A bằng một phần ba tuổi của mẫu B.
Độ phóng xạ của mẫu A lớn gấp \(4\) lần mẫu B.
Nếu lấy mẫu B làm mốc thì sau \(5730\) năm nữa độ phóng xạ của mẫu B còn \(6,25\% \) so với mẫu gỗ mới.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Lời giải chi tiết:
a) Sai. Mẫu A có tuổi \(5730\) năm, mẫu B có tuổi \(17190\) năm nên chênh lệch \(11460\) năm.
b) Đúng. \(\frac{{5730}}{{17190}} = \frac{1}{3}\).
c) Đúng. \(\frac{{50\% }}{{12,5\% }} = 4\).
d) Đúng. Sau thêm một chu kì bán rã, độ phóng xạ giảm một nửa nên còn \(6,25\% \).
Một nguồn phóng xạ dùng trong điều trị ung thư có chu kì bán rã \(5\) ngày. Bệnh viện quy định phải thay nguồn khi độ phóng xạ giảm xuống dưới \(30\% \) giá trị ban đầu. Xét các phát biểu sau:
Sau \(5\) ngày, nguồn vẫn đủ điều kiện sử dụng.
Sau \(10\) ngày, nguồn vẫn đủ điều kiện sử dụng.
Sau \(15\) ngày, nguồn không còn đủ điều kiện sử dụng.
Thời điểm phải thay nguồn nằm trong khoảng từ ngày thứ \(8\) đến ngày thứ \(9\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Lời giải chi tiết:
a) Đúng. Sau \(5\) ngày, độ phóng xạ còn \(50\% \), lớn hơn \(30\% \).
b) Sai. Sau \(10\) ngày, độ phóng xạ còn \(25\% \), nhỏ hơn \(30\% \).
c) Đúng. Sau \(15\) ngày, độ phóng xạ còn \(12,5\% \), không đáp ứng yêu cầu.
d) Đúng. Từ \(0,30 = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{t/5}}\) suy ra \(t \approx 8,7\) ngày.
Một nhóm học sinh nghiên cứu tuổi của một mẫu hóa thạch bằng phương pháp \(^{14}{\rm{C}}\). Các em đo được độ phóng xạ của mẫu bằng \(28\% \) độ phóng xạ của mẫu sinh vật sống cùng khối lượng. Biết chu kì bán rã của \(^{14}{\rm{C}}\) là \(5730\) năm. Xét các phát biểu sau:
Tuổi của mẫu hóa thạch lớn hơn \(10000\) năm.
Tuổi của mẫu hóa thạch nhỏ hơn \(12000\) năm.
Nếu làm tròn đến nghìn năm thì có thể kết luận mẫu hóa thạch khoảng \(1100\) năm tuổi.
Nếu sau \(5730\) năm nữa mới tiến hành đo thì độ phóng xạ của mẫu còn khoảng \(14\% \) so với mẫu sinh vật sống.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Lời giải chi tiết:
a) Đúng. Ta có \(0,28 = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{t/5730}}\), suy ra \(t \approx 10580\) năm.
b) Đúng. Giá trị \(10580\) năm nhỏ hơn \(12000\) năm.
c) Sai. Làm tròn đến nghìn năm được khoảng \(11000\) năm.
d) Đúng. Sau thêm một chu kì bán rã, độ phóng xạ giảm một nửa nên còn khoảng \(14\% \) so với mẫu sinh vật sống.
Một nhà địa chất xác định tuổi của một mẫu đá bằng đồng vị phóng xạ có chu kì bán rã \(1,5 \times {10^9}\) năm. Kết quả cho thấy độ phóng xạ hiện tại của mẫu còn \(62,5\% \) giá trị ban đầu. Xét các phát biểu sau:
Tuổi của mẫu đá nhỏ hơn một chu kì bán rã.
Tuổi của mẫu đá xấp xỉ \(1,0 \times {10^9}\) năm.
Nếu sau thêm \(1,5 \times {10^9}\) năm thì độ phóng xạ của mẫu còn \(31,25\% \) giá trị ban đầu.
Độ phóng xạ của mẫu giảm \(37,5\% \) so với ban đầu.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Lời giải chi tiết:
a) Đúng. Vì \(62,5\% \) lớn hơn \(50\% \), mẫu đá chưa trải qua một chu kì bán rã.
b) Đúng. Từ \(0,625 = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{t/T}}\) suy ra \(t \approx 1,02 \times {10^9}\) năm.
c) Đúng. Sau thêm một chu kì bán rã, độ phóng xạ giảm một nửa nên còn \(31,25\% \).
d) Đúng. Mức giảm là \(100\% - 62,5\% = 37,5\% \).
Một nguồn phóng xạ được sử dụng để hiệu chuẩn thiết bị đo có chu kì bán rã \(20\) năm. Sau \(60\) năm sử dụng, xét các phát biểu sau:
Độ phóng xạ của nguồn còn bằng \(\frac{1}{8}\) giá trị ban đầu.
Có \(87,5\% \) số hạt nhân ban đầu đã phân rã.
Muốn độ phóng xạ giảm còn \(\frac{1}{{16}}\) giá trị ban đầu thì cần thêm \(20\) năm nữa.
Sau \(100\) năm, độ phóng xạ còn \(\frac{1}{{64}}\) giá trị ban đầu.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Lời giải chi tiết:
a) Đúng. Sau \(60\) năm là \(3\) chu kì bán rã nên độ phóng xạ còn \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} = \frac{1}{8}\).
b) Đúng. Tỉ lệ hạt nhân đã phân rã là \(1 - \frac{1}{8} = 87,5\% \).
c) Đúng. Sau thêm \(20\) năm là \(4\) chu kì bán rã nên độ phóng xạ còn \(\frac{1}{{16}}\).
d) Sai. Sau \(100\) năm là \(5\) chu kì bán rã nên độ phóng xạ còn \(\frac{1}{{32}}\), không phải \(\frac{1}{{64}}\).
Một mẫu thiên thạch A và một mẫu thiên thạch B chứa cùng một đồng vị phóng xạ có chu kì bán rã \(500\) triệu năm. Độ phóng xạ của A hiện bằng \(50\% \), còn của B bằng \(6,25\% \) giá trị ban đầu. Xét các phát biểu sau:
Mẫu B già hơn mẫu A \(1500\) triệu năm.
Tuổi của mẫu B gấp \(4\) lần tuổi của mẫu A.
Độ phóng xạ của A lớn gấp 6 lần độ phóng xạ của B.
Nếu sau thêm \(500\) triệu năm thì độ phóng xạ của B còn \(31,25\% \) giá trị ban đầu.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Lời giải chi tiết:
a) Đúng. Tuổi của A là \(500\) triệu năm, tuổi của B là \(2000\) triệu năm nên chênh lệch \(1500\) triệu năm.
b) Đúng. \(2000:500 = 4\).
c) Sai. \(\frac{{50\% }}{{6,25\% }} = 8\).
d) Sai. Sau thêm một chu kì bán rã, độ phóng xạ giảm còn một nửa, tức \(3,125\% \).
Một mẫu gỗ cổ có độ phóng xạ của \(^{14}{\rm{C}}\) bằng \(\frac{1}{5}\) độ phóng xạ của mẫu gỗ mới. Biết chu kì bán rã của \(^{14}{\rm{C}}\) là \(5730\) năm. Xét các phát biểu sau:
Tuổi của mẫu gỗ lớn hơn \(12000\) năm.
Tuổi của mẫu gỗ nhỏ hơn \(15000\) năm.
Nếu coi tuổi mẫu gỗ khoảng \(13300\) năm thì phù hợp với kết quả đo.
Sau thêm \(5730\) năm, độ phóng xạ của mẫu còn \(10\% \) so với mẫu gỗ mới.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Lời giải chi tiết:
a) Đúng. Từ \(\frac{1}{5} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{t/5730}}\) suy ra \(t \approx 13300\) năm.
b) Đúng. \(13300 < 15000\).
c) Đúng. Giá trị \(13300\) năm phù hợp với phép tính.
d) Đúng. Sau thêm một chu kì bán rã, độ phóng xạ giảm còn một nửa, tức từ \(20\% \)xuống \(10\% \).
Một mẫu đá Mặt Trăng được xác định có tuổi \(3,6 \times {10^9}\) năm bằng phương pháp đồng vị phóng xạ. Đồng vị sử dụng có chu kì bán rã \(9,0 \times {10^8}\) năm. Xét các phát biểu sau:
Mẫu đá đã trải qua \(4\) chu kì bán rã.
Độ phóng xạ hiện tại còn \(\frac{1}{{16}}\) giá trị ban đầu.
Có \(93,75\% \) số hạt nhân ban đầu đã phân rã.
Sau thêm \(9,0 \times {10^8}\) năm nữa, độ phóng xạ của mẫu còn \(\frac{1}{{64}}\) giá trị ban đầu.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Lời giải chi tiết:
a) Đúng. \(\frac{{3,6 \times {{10}^9}}}{{9,0 \times {{10}^8}}} = 4\).
b) Đúng. Sau \(4\) chu kì bán rã, độ phóng xạ còn \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} = \frac{1}{{16}}\).
c) Đúng. Tỉ lệ hạt nhân đã phân rã là \(1 - \frac{1}{{16}} = 93,75\% \).
d) Sai. Sau thêm một chu kì bán rã, độ phóng xạ còn \(\frac{1}{{32}}\), không phải \(\frac{1}{{64}}\).
PHẦN III. CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN
Một mẫu gỗ lấy từ một ngôi mộ cổ có độ phóng xạ của đồng vị \(^{14}{\rm{C}}\) chỉ còn bằng \(25\% \) so với một mẫu gỗ tươi cùng khối lượng. Biết chu kì bán rã của \(^{14}{\rm{C}}\) là \(5730\) năm. Hãy xác định tuổi của ngôi mộ.
Đáp án: \(11460\) năm.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\frac{H}{{{H_0}}} = 25\% = 0,25 = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\).
Vậy mẫu gỗ đã trải qua \(2\) chu kì bán rã.
Tuổi của ngôi mộ là \(t = 2 \times 5730 = 11460\;\) năm.
Một hóa thạch xương động vật được xác định có độ phóng xạ của \(^{14}{\rm{C}}\) bằng \(18,0\% \) độ phóng xạ của sinh vật còn sống. Biết chu kì bán rã của \(^{14}{\rm{C}}\) là \(5730\) năm. Tuổi của hóa thạch gần đúng bằng bao nhiêu năm? (Làm tròn đến hàng chục năm).
Đáp án: \(14270\;\) năm.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(0,18 = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{t/5730}}\).
Suy ra \(t = 5730 \times \frac{{\ln 0,18}}{{\ln 0,5}} \approx 14270\) năm
Một mảnh than gỗ lấy từ di chỉ khảo cổ có độ phóng xạ của \(^{14}{\rm{C}}\) nhỏ hơn mẫu than mới \(8\) lần. Biết chu kì bán rã của \(^{14}{\rm{C}}\) là \(5730\) năm. Hãy xác định niên đại của di chỉ khảo cổ.
Đáp án: \(17190\) năm.
Lời giải chi tiết:
Độ phóng xạ giảm \(8\) lần nên \(\frac{H}{{{H_0}}} = \frac{1}{8} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}\).
Mẫu đã trải qua \(3\) chu kì bán rã.
Tuổi của di chỉ là \(3 \times 5730 = 17190\) năm.
Các nhà thiên văn xác định một thiên thạch chứa đồng vị phóng xạ X có chu kì bán rã \(1,25 \times {10^9}\) năm. Hiện nay độ phóng xạ của đồng vị này còn \(12,5\% \) giá trị ban đầu. Tuổi của thiên thạch bằng bao nhiêu tỉ năm?
Đáp án: \(3,75\;\) tỉ năm.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(12,5\% = \frac{1}{8} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}\).
Thiên thạch đã trải qua \(3\) chu kì bán rã.
Tuổi thiên thạch là \(3 \times 1,25 = 3,75\) tỉ năm.
Trong y học hạt nhân, một nguồn \(^{99m}{\rm{Tc}}\) có chu kì bán rã \(6\) giờ được điều chế lúc \(6\) giờ sáng với độ phóng xạ \(9,60\,{\rm{GBq}}\). Đến \(21\) giờ cùng ngày, độ phóng xạ của nguồn còn khoảng bao nhiêu GBq? (Làm tròn đến hai chữ số thập phân).
Đáp án: \(1,69\,{\rm{GBq}}\).
Lời giải chi tiết:
Khoảng thời gian từ \(6\) giờ đến \(21\) giờ là \(15\) giờ.
Áp dụng công thức \(H = {H_0}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{t/T}}\).
Ta có \(H = 9,60{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{15/6}} = 9,60{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2,5}} \approx 1,69\,{\rm{GBq}}\).
Một cổ vật bằng gỗ được xác định có tuổi \(8600\) năm. Biết chu kì bán rã của \(^{14}{\rm{C}}\) là \(5730\) năm. Độ phóng xạ của \(^{14}{\rm{C}}\) trong cổ vật còn khoảng bao nhiêu phần trăm so với gỗ mới? (Làm tròn đến một chữ số thập phân).
Đáp án: \(35,3\% \).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\frac{H}{{{H_0}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{8600/5730}} \approx 0,353.\)
Suy ra độ phóng xạ còn khoảng \(35,3\% \;\) so với ban đầu.
Một phòng thí nghiệm chỉ có thể sử dụng nguồn phóng xạ khi độ phóng xạ của nguồn không nhỏ hơn \(20\% \) giá trị ban đầu. Biết nguồn sử dụng đồng vị có chu kì bán rã \(30\) ngày. Sau tối đa bao nhiêu ngày kể từ khi điều chế thì nguồn phải được thay mới? (Làm tròn đến \(0,1\) ngày).
Đáp án: \(69,7\;\) ngày.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện thay nguồn là \(0,20 = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{t/30}}.\)
Suy ra \(t = 30 \times \frac{{\ln 0,20}}{{\ln 0,50}} \approx 69,7{\rm{\;}}\) ngày
Một mẫu đá Mặt Trăng chứa đồng vị phóng xạ có chu kì bán rã \(2,50 \times {10^8}\) năm. Hiện nay độ phóng xạ của mẫu chỉ còn bằng \(\frac{1}{{32}}\) giá trị ban đầu. Hãy xác định tuổi của mẫu đá.
Đáp án: \(1,25 \times {10^9}\) năm.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\frac{1}{{32}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5}.\)
Mẫu đá đã trải qua \(5\) chu kì bán rã.
Tuổi mẫu đá là \(t = 5 \times 2,50 \times {10^8} = 1,25 \times {10^9}\) năm
Một nhà khảo cổ đo được độ phóng xạ của hai mẫu gỗ A và B cùng lấy từ hai di tích khác nhau. Mẫu A có độ phóng xạ bằng \(50\% \) mẫu gỗ mới, còn mẫu B bằng \(12,5\% \) mẫu gỗ mới. Biết chu kì bán rã của \(^{14}{\rm{C}}\) là \(5730\) năm. Hai di tích chênh lệch tuổi bao nhiêu năm?
Đáp án: \(11460\;\) năm.
Lời giải chi tiết:
Mẫu A đã trải qua \(1\) chu kì bán rã nên có tuổi \(5730\;\) năm.
Mẫu B đã trải qua \(3\) chu kì bán rã nên có tuổi \(17190\;\) năm.
Độ chênh lệch tuổi là \(17190 - 5730 = 11460\) năm
Một thiên thạch được xác định có tuổi \(4,50 \times {10^9}\) năm nhờ phương pháp đồng vị phóng xạ. Đồng vị dùng để xác định tuổi có chu kì bán rã \(9,00 \times {10^8}\) năm. Hiện nay độ phóng xạ của đồng vị này còn bằng bao nhiêu phần trăm giá trị ban đầu?
Đáp án: \(3,125\% \).
Lời giải chi tiết:
Số chu kì bán rã đã trải qua là \(n = \frac{{4,50 \times {{10}^9}}}{{9,00 \times {{10}^8}}} = 5.\)
Do đó \(\frac{H}{{{H_0}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5} = \frac{1}{{32}} = 0,03125.\)
Vậy độ phóng xạ hiện nay còn \(3,125\% \) so với ban đầu.
