Bài tập Tính độ dài đoạn thẳng, góc liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn lớp 9 (có lời giải)
25 câu hỏi
Cho đường tròn tâm O bán kính 5 cm và một điểm A cách O một khoảng là 13 cm. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài AB.
AB = 8 cm.
AB = 12 cm.
AB = 23 cm.
AB = 6 cm.
Đáp án đúng là: B
Vì AB là tiếp tuyến và B là tiếp điểm nên OB = R = 5 cm; AB ⊥ OB tại B.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABO vuông tại B, ta được:
AB = \(\sqrt {O{A^2} - O{B^2}} = \sqrt {{{13}^2} - {5^2}} = 12\) cm.
Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Vẽ đường tròn (B; BA). Để AC là tiếp tuyến của đường tròn (B) thì độ dài của cạnh BC là:
14 cm.
10 cm.
12 cm.
7 cm.
Đáp án đúng là: B
Để AC là tiếp tuyến của đường tròn (B) thì AC ⊥ BA tại A.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta có:
BC = \(\sqrt {C{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10\) cm.
Sử dụng bảng dữ liệu dưới đây để trả lời Bài 3, 4.
Có R là bán kính đường tròn, d là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng.
Từ thích hợp điền vào vị trí số (1) là:
Cắt nhau.
Tiếp xúc.
Không cắt nhau.
Không xác định.
Đáp án đúng là: A
Do R > d (5 cm > 4 cm) nên đường thẳng cắt đường tròn.
8 cm.
4 cm.
16 cm.
6 cm.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Để đường thẳng với đường tròn tiếp xúc nhau thì d = R.
Do đó, d = 8 cm.
Cho đường tròn tâm O bán kính 6 cm và một điểm A cách O là 10 cm. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài AB.
AB = 12 cm.
AB = 4 cm.
AB = 6 cm.
AB = 8 cm.
Đáp án đúng là: D
Vì AB là tiếp tuyến và B là tiếp điểm nên OB = R = 6 cm; AB ⊥ OB tại B.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABO vuông tại B, ta được:
AB = \(\sqrt {O{A^2} - O{B^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}} = 8\) cm.
Cho đường tròn (O; R) và dây AB = 1,2R. Vẽ một tiếp tuyến song song với AB, cắt các tia OA, OB lần lượt tại E và F. Tính diện tích tam giác OEF theo R.
SOEF = 0,75R2.
SOEF = 1,5R2.
SOEF = 0,8R2.
SOEF = 1,75R2.
Đáp án đúng là: A
Kẻ OH ⊥ EF tại H và cắt AB tại I suy ra OI ⊥ AB (vì AB ∕∕ EF)
Xét (O) có OI ⊥ AB tại I nên I là trung điểm của AB.
Suy ra IA = IB = \(\frac{{AB}}{2} = 0,6R\). Lại có OA = R.
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác OAI ta có: OI = \(\sqrt {O{A^2} - I{A^2}} = 0,8R\).
Mà AI ∕∕ EH nên \(\frac{{AI}}{{EH}} = \frac{{OI}}{{OH}} = \frac{{0,8R}}{R}\) nên EH = \(\frac{{0,6R}}{{0,8}} = 0,75R\).
∆OEF cân tại O (vì \(\widehat E = \widehat F = \widehat {BAO} = \widehat {ABO}\)) có OH ⊥ EF nên H là trung điểm của EF.
Vì EF = 2EH = 1,5R nên diện tích tam giác EOF là \(\frac{1}{2}OH.EF = 0,75{R^2}\).
Cho đường tròn (O; 6 cm) và dây AB = 9,6 cm. Vẽ một tiếp tuyến song song với AB, cắt các tia OA, OB lần lượt tại E và F. Tính diện tích tam giác OEF theo R.
SOEF= 36 cm2.
SOEF= 24 cm2.
SOEF= 48 cm2.
SOEF= 96 cm2.
Đáp án đúng là: C
Kẻ OH ⊥ EF tại H và cắt AB tại I suy ra OI ⊥ AB (vì AB ∕∕ EF)
Xét (O) có OI ⊥ AB tại I nên I là trung điểm của AB.
Suy ra IA = IB = \(\frac{{AB}}{2}\) = 4,8 cm. Lại có OA = 6 cm.
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác OAI ta có: OI = \(\sqrt {O{A^2} - I{A^2}} \) = 3,6 cm.
Mà AI ∕∕ EH nên \(\frac{{AI}}{{EH}} = \frac{{OI}}{{OH}} = \frac{{3,6}}{6} = \frac{3}{5}\) nên EH = \(\frac{{4,8.5}}{3}\) = 8 cm.
∆OEF cân tại O (vì \(\widehat E = \widehat F = \widehat {BAO} = \widehat {ABO}\)) có OH ⊥ EF nên H là trung điểm của EF.
Vì EF = 2EH = 16 cm nên diện tích tam giác EOF là
\(\frac{1}{2}\)OH.EF = \(\frac{1}{2}\).6.16 = 48 cm2.
Cho (O; R). Từ điểm M ở ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn. Đường trung trực của đường kinh BC cắt đường thẳng AC tại K. Tính độ dài đoạn thẳng MK.
\(MK = R\sqrt 3 \).
MK = 2R.
MK = R.
\(MK = R\sqrt 2 \).
Đáp án đúng là: C
Xét đường tròn (O; R) có MA, MB là tiếp tuyến.
Suy ra \(\widehat {BOM} = \widehat {AOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOB}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (1).
∆OAC có OA = OC suy ra \(\widehat {OAC} = \widehat {OCA}\) (tính chất tam giác cân)
Ta có: \(\widehat {OAC} + \widehat {OCA} = \widehat {AOB}\) (tính chất góc ngoài của tam giác)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {OCA} = \widehat {BOM}\).
Mà \(\widehat {OCA},\widehat {BOM}\) ở vị trí đồng vị.
Nên CK ∕∕ OM suy ra \(\widehat {MOK} = \widehat {CKO}\) (so le trong).
Chứng minh ∆OAM = ∆OCK (c.g.c) suy ra CK = OM (hai cạnh tương ứng).
Chứng minh ∆KMO = ∆OCK (c.g.c) suy ra \(\widehat {COK} = \widehat {OKM}\) (hai góc .
tương ứng).
Mà \(\widehat {COK}\) = 90° (KO là trung trực của BC) suy ra \(\widehat {OKM}\) = 90°.
Xét tứ giác OBMK có:
\(\widehat {OBM}\) = 90° (MB là tiếp tuyến của (O; R)).
\(\widehat {BOK}\) = 90° (KO là trung trực của BC).
\(\widehat {OKM}\) = 90° (cmt)
Do đó OBMK là hình chữ nhật suy ra MK = OB = R.
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 8 cm, AC = 15 cm. Vẽ đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ đường tròn đường kính CD cắt AC ở E. Độ dài HE là:
\(\frac{{120}}{{17}}\) cm.
20 cm.
17 cm.
\(\frac{{120}}{7}\) cm.
Đáp án đúng là: A
Ta có: E thuộc đường tròn (O) suy ra \(\widehat {DEC} = 90^\circ \) suy ra DE ∕∕ AB.
Gọi F là trung điểm của AE suy ra HF là đường trung bình của hình thang ABDE suy ra HF ⊥ AE suy ra ∆HAE cân tại H nên \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{A_1}}\).
Ta có: ∆OEC cân tại O suy ra \(\widehat {{E_1}} = \widehat C\) suy ra \(\widehat {{E_1}} + \widehat {{E_2}} = \widehat C + \widehat {{A_1}} = 90^\circ \)
suy ra HE ⊥ OE (đpcm).
Xét ∆ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pyhthagore
suy ra BC = \(\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 17\) cm.
Ta có SABC = \(\frac{1}{2}\)AB.AC = \(\frac{1}{2}\)AH.BC suy ra AH = \(\frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{8.15}}{{17}} = \frac{{120}}{{17}}\) cm.
Có AH = HE nên HE = \(\frac{{120}}{{17}}\) cm.
Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, AB = 8 cm, BC = 16 cm. Dọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ đường tròn đường kính CD cắt AC ở E. Tính độ dài đoạn thẳng HE.
\(4\sqrt 3 \) cm.
4 cm.
12 cm.
\(2\sqrt 3 \) cm.
Đáp án đúng là: D
Xét tam giác ABC vuông tại A, có: cosB = \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{1}{2}\) suy ra \(\widehat B = 60^\circ \).
Xét tam giác ABD có AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên tam giác ABD cân tại A, có \(\widehat B = 60^\circ \) suy ra ∆ABD đều.
Ta có: OD = OE suy ra ∆ODE cân tại O.
Có AB ∕∕DE suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {EDC} = 60^\circ \) suy ra ∆ODE đều.
Do đó DE = DH = DO = \(\frac{{BC}}{4}\) suy ra \(\widehat {HEO} = 90^\circ \).
Suy ra HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
Xét tam giác HEO vuông tại E, áp dụng định lí Pythagore, ta có:
HO2 = HE2 + EO2 suy ra HE2 = 82 – 42 = 12. Suy ra HE = \(2\sqrt 3 \) cm.
Cho đường tròn (O) và điểm A thuộc đường tròn đó. Kẻ d là tiếp tuyến của (O) tại A. Lấy B thuộc đường tròn (O; OA) (B khác A), qua B kẻ đường thẳng song song với d cắt OA tại C, khi đó:
\(\widehat {{\rm{OCB}}} = 60^\circ .\)
\(\widehat {{\rm{OCB}}} = 90^\circ .\)
\(\widehat {{\rm{OCB}}} = 80^\circ .\)
\(\widehat {{\rm{OCB}}} = 70^\circ .\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Vì d là tiếp tuyến của đường tròn (O; OA) nên d ^ OA tại A. Mà BC // d nên CB ^ OA tại C. Vậy \(\widehat {{\rm{OCB}}} = 90^\circ .\)
4 cm.
6 cm.
8 cm.
10 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Vì d là tiếp tuyến của đường tròn (O; OA) nên d ^ AB tại B. Do đó DABE vuông tại B. Mà \(\widehat {{\rm{CAB}}} = 45^\circ \) nên DABE vuông cân tại B. Suy ra BE = AB = 8 cm. Vậy BE = 8 cm.
\(\widehat {{\rm{CAB}}} = 30^\circ \).
\(\widehat {{\rm{CAB}}} = 45^\circ \).
\(\widehat {{\rm{CAB}}} = 50^\circ \).
\(\widehat {{\rm{CAB}}} = 60^\circ \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Vì Bx là tiếp tuyến của nửa đường tròn đường kính AB nên Bx ^ AB tại B. Do đó DABC vuông tại B. Suy ra: \(\tan \widehat {{\rm{CAB}}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{{\sqrt 3 {\rm{BC}}}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\). Vậy \(\widehat {{\rm{CAB}}} = 30^\circ \).
Cho đường tròn (O) và dây AB không đi qua O. Kẻ d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A. Qua B kẻ đường thẳng song song với d cắt OA tại C. Gọi I là hình chiếu vuông góc của B trên d. Biết rằng AB = 3 cm, độ dài đoạn thẳng IC bằng
6 cm.
5 cm.
4 cm.
3 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Vì d là tiếp tuyến của đường tròn (O; OA) nên d ^ OA tại A.
Mà BC // d nên CB ^ OA tại C. Suy ra \(\widehat {{\rm{ACB}}} = 90^\circ .\)
Vì I là chiếu vuông góc của B trên d nên BI ^ IA tại I. Suy ra \(\widehat {{\rm{BIA}}} = 90^\circ .\)
Tứ giác ACBI có: \(\widehat {{\rm{ACB}}} = \widehat {{\rm{BIA}}} = \widehat {{\rm{CAI}}} = 90^\circ \) nên tứ giác ACBI là hình chữ nhật.
Suy ra IC = AB = 3 cm. Vậy độ dài đoạn thẳng IC bằng 3 cm.
Cho đường tròn (O; 4 cm) và điểm A thuộc đường tròn đó. Từ A vẽ tiếp tuyến d. Trên d lấy M sao cho AM = \(4\sqrt 3 \) cm. Khi đó, điểm M thuộc đường tròn tâm O có bán kính bằng
4 cm.
6 cm.
8 cm.
10 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Vì d là tiếp tuyến của đường tròn (O; 4 cm) tại A nên AM ^ OA. Do đó, DAMO vuông tại A. Suy ra MO2 = AO2 + AM2 = \({4^2} + {\left( {4\sqrt 3 } \right)^2} = 64\) (định lý Pythagore) nên MO = 8 cm. Vậy M thuộc đường tròn tâm O có bán kính bằng 8 cm.
\(\widehat {\rm{C}} > 50^\circ .\)
BC = 3 cm.
AC = 6\(\sqrt 3 \) cm.
Diện tích tam giác ABC lớn hơn 30 cm2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Vì Bx là tiếp tuyến của (O; OA) nên AB ^ Bx tại B.
Do đó, DABC vuông tại B.
Suy ra \(\widehat {\rm{C}} = 90^\circ - \widehat {{\rm{EAB}}} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ .\) Vậy \(\widehat {\rm{C}} > 50^\circ .\)
b) Sai.
Xét DABC vuông tại B ta có: BC = AB. tan\(\widehat {{\rm{CAB}}} = \)9.tan 30o = 3\(\sqrt 3 \) cm.
Vậy BC = 3\(\sqrt 3 \) cm.
c) Đúng.
Xét DABC vuông tại B có:
AB = BC. cos\(\widehat {{\rm{CAB}}}\), suy ra AC \( = \frac{{{\rm{AB}}}}{{\cos \widehat {{\rm{CAB}}}}} = \frac{9}{{\cos 30}} = 6\sqrt 3 \) (cm).
Vậy AC = 6\(\sqrt 3 \) cm.
d) Sai.
Diện tích DABC vuông tại B là: \({\rm{S}} = \frac{1}{2}{\rm{AB}} \cdot {\rm{BC}} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3\sqrt 3 = \frac{{27\sqrt 3 }}{2}\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)
Vậy tích tam giác ABC nhỏ hơn 30 cm2.
Cho đường tròn nửa (O) đường kính AB = 6\(\sqrt 2 \) cm và Bx là tiếp tuyến của đường tròn đó. Qua O kẻ đường thẳng song song với Bx cắt nửa đường tròn (O; OA) tại C. Gọi E là giao điểm của Bx và AC, khi đó:
OC ^ AB.
\(\widehat {{\rm{CAO}}} = 45^\circ .\)
Tam giác ABE vuông cân tại B.
Chu vi tam giác ABE lớn hơn 30 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Vì Bx là tiếp tuyến của (O; OA) nên AB ^ Bx tại B, mà OC // Bx nên OC ^ AB.
b) Đúng.
Vì OC ^ AB nên \(\widehat {{\rm{COA}}} = 90^\circ \) nên DAOC vuông tại O, lại có OA = OC nên DAOC vuông cân tại O.
Vậy \(\widehat {{\rm{CAO}}} = 45^\circ .\)
c) Đúng.
Vì AB ^ BE tại B nên DABE vuông tại B. Lại có \(\widehat {{\rm{EAB}}} = 45^\circ \).
Vậy DABE vuông cân tại B.
d) Sai.
Vì tam giác ABE vuông cân tại B nên BE = AB = 6\(\sqrt 2 \) cm.
AB = AE. cos\(\widehat {{\rm{EAB}}}\) nên \({\rm{AE}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{{\cos \widehat {{\rm{EAB}}}}} = \frac{{6\sqrt 2 }}{{\cos 45^\circ }} = 12\;\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Chu vi tam giác ABE là: AB + BE + AE = 6\(\sqrt 2 \) + 6\(\sqrt 2 \) + 12 = 12\(\sqrt 2 \) + 12 (cm).
Vậy chu vi tam giác ABE nhỏ hơn 30 cm.
MN // AB.
OH = 3 cm.
NK < 6 cm.
Diện tích tam giác KON lớn hơn 50 cm2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
Vì OA = OB nên DAOB cân tại O.
Suy ra OH là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác đó.
Suy ra OH ^ AB tại H.
Vì d là tiếp tuyến của (O; OA) tại K nên d ^ OK tại K hay OH ^ MN tại K.
Vì OH ^ AB, OH ^ MN nên MN // AB.
Vậy MN // AB.
b) Đúng.
Xét DOHB vuông tại H có: OH = OB.sin\(\widehat {{\rm{HBO}}}\) = 3 (cm).
Vậy OH = 3 cm.
c) Sai.
Xét DOHB vuông tại H có: HB = OB.cos\(\widehat {{\rm{HBO}}} = \) 3\(\sqrt 3 \) (cm).
Tam giác NOK có: NK // HB nên theo hệ quả định lý Thalès ta có: \(\frac{{{\rm{NK}}}}{{{\rm{HB}}}} = \frac{{{\rm{KO}}}}{{{\rm{OH}}}} = \frac{6}{3} = 2\)
Suy ra NK = 2HB = 2.3\(\sqrt 3 \) = 6\(\sqrt 3 \) (cm).
Vậy NK > 6 cm.
d) Sai.
Diện tích tam giác KON là: \({\rm{S}} = \frac{1}{2} \cdot {\rm{KO}} \cdot {\rm{NK}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt 3 = 18\sqrt 3 \;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Vậy diện tích tam giác KON nhỏ hơn 50 cm2.
Cho đường tròn (O; 4 cm), bán kính OA, CD là trung trực của OA. Kẻ tiếp tuyến với đường tròn đó tại C, tiếp tuyến này cắt đường thẳng OA tại I.
AC = 4 cm.
Tứ giác OCAD là hình thoi.
CI = 8 cm.
Chu vi tứ giác OCID lớn hơn 20 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Vì CD là đường trung trực của OA nên CA = CO.
Mà OA = OC = R nên OA = OC = AC = 4 cm.
Vậy AC = 4 cm.
b) Đúng.
Chứng minh tương tự ta có AD = 4 cm.
Tứ giác OCAD có: OC = CA = AD = OD = 4 cm.
Suy ra tứ giác OCAD là hình thoi.
c) Sai.
Vì DOAC đều nên \(\widehat {{\rm{COA}}} = 60^\circ \).
Vì CI là tiếp tuyến của đường tròn (O; 4 cm) nên OC ^ CI tại C.
Suy ra DOCI vuông tại C.
Suy ra: CI = OC.tan\(\widehat {{\rm{COA}}}\)= 4.tan 60o = 4\(\sqrt 3 \)(cm).
Vậy CI = 4\(\sqrt 3 \) cm.
d) Đúng.
Tương tự câu c ta tính được DI = 4\(\sqrt 3 \) cm.
Chu vi tứ giác OCID là: OC + OD + CI + DI = 4 + 4 + 4\(\sqrt 3 \) + 4\(\sqrt 3 \) = 8 + 8\(\sqrt 3 \) (cm).
Vậy chu vi tứ giác OCID lớn hơn 20 cm.
Điểm F thuộc đường tròn (O; OE).
EM = 6 cm.
DEOM = DFMO.
Chu vi tam giác EMF lớn hơn 20 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
c) Đúng.
Vì OM là đường trung trực của EF nên OE = OF = \(2\sqrt 3 \) cm.
Vậy điểm F thuộc đường tròn (O; OE).
b) Đúng.
Vì a là tiếp tuyến của đường tròn (O; OE) nên OE ^ a tại E.
Suy ra DOEM vuông tại E.
Do đó, EM = OE. cot\(\widehat {{\rm{EMO}}}\) = \(2\sqrt 3 \).cot 30o = 6 (cm).
Vậy EM = 6 cm.
c) Sai.
Vì OM là đường trung trực của EF nên ME = MF = 6 cm.
Xét DEOM và DFOM có: OE = OF, ME = MF, OM chung.
Vậy DEOM = DFOM (c.c.c).
d) Sai.
Vì DEOM = DFOM nên \(\widehat {{\rm{EMO}}} = \widehat {{\rm{OMF}}} = 30^\circ .\)
Suy ra \(\widehat {{\rm{EMF}}} = \widehat {{\rm{EMO}}} + \widehat {{\rm{OMF}}} = 60^\circ .\)
Vì EM = MF nên DMEF cân tại E.
Lại có: \(\widehat {{\rm{EMF}}} = 60^\circ \) nên DMEF đều.
Chu vi tam giác MEF là: 3EM = 3.6 = 18 (cm).
Vậy chu vi tam giác EMF nhỏ hơn 20 cm.
Cho đường tròn đường kính BC = 3 cm. Vẽ tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC tại B. Trên tiếp tuyến đó lấy điểm A. Biết rằng diện tích tam giác ABC bằng 6 cm2. Hỏi chu vi tam giác ABC bằng bao nhiêu cm?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 12
Vì AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC nên AB ^ BC. Suy raDABC vuông tại B.
Vì diện tích DABC bằng 6 cm2 nên \(\frac{1}{2}{\rm{AB}} \cdot {\rm{BC}} = 6\), suy ra AB = 4 (cm).
Áp dụng định lý Pythagore vào DABC vuông tại B ta có:
AC2 = AB2 + BC2 = 32 + 42 = 25 nên AC = 5 cm.
Chu vi tam giác ABC là: AB + BC + AC = 3 + 4 + 5 = 12 (cm).
Vậy chu vi tam giác ABC bằng 12 cm.
Cho đường tròn (O; 12 cm) và điểm A thuộc đường tròn đó. Từ A vẽ tiếp tuyến d. Trên d lấy M sao cho AM = \(12\sqrt 3 \) cm. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với OM tại C. Hỏi độ dài đoạn thẳng AC bằng bao nhiêu cm? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 10
Vì d là tiếp tuyến của đường tròn (O; 12 cm) tại A nên OA ^ AM.
Do đó, DAOM vuông tại A.
Suy ra \(\cot {\rm{O}} = \frac{{{\rm{AO}}}}{{{\rm{AM}}}} = \frac{{12}}{{12\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) nên \(\widehat {\rm{O}} = 60^\circ .\)
Vì AC ^ MO tại C nên DAOC vuông tại C.
Suy ra AC = AO.sinO = 12.sin 60o ≈ 10 (cm).
Vậy độ dài đoạn thẳng AC bằng khoảng 10 cm.
Cho nửa đường tròn (O) và điểm D thuộc nửa đường tròn đó sao cho sđ = 45o. Gọi d là tiếp tuyến của nửa đường tròn đó tại D, d cắt tia AB tại E. Qua A kẻ đường thẳng song song với OD cắt d tại C. Hỏi góc CAE bằng bao nhiêu độ?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 45
Vì \(\widehat {{\rm{DOB}}}\) là góc ở tâm chắn cung BD của nửa đường tròn (O; OA) nên ta có:
\(\widehat {{\rm{DOB}}}\)= sđ = 45o.
Vì d là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O; OA) tại D nên d ^ OD tại D.
Do đó, DDOE vuông tại D.
Mà \(\widehat {{\rm{DOB}}}\)= 45o nên DDOE vuông cân tại D, suy ra \(\widehat {{\rm{DEO}}} = 45^\circ .\)
Vì AC // OD, d ^ OD nên AC ^ d.
Do đó, DACE vuông tại C, mà \(\widehat {{\rm{DEO}}} = 45^\circ \) nên DACE vuông cân tại C.
Vậy \(\widehat {{\rm{CAE}}} = 45^\circ .\)
Cho đường tròn (O; 50 cm) và dây AB = 80 cm. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; 50 cm) tại C. Hỏi dài đoạn thẳng AC bằng bao nhiêu cm? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 67
Gọi H là giao điểm của OC và AB.
Vì OA = OB nên DAOB cân tại O.
Suy ra OH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó.
Suy ra AH = \(\frac{1}{2}\)AB = 40 cm.
Vì DOHA vuông tại H nên OH2 + AH2 = OA2 (định lý Pythagore),
suy ra \({\rm{OH}} = \sqrt {{\rm{O}}{{\rm{A}}^2} - {\rm{A}}{{\rm{H}}^2}} = \sqrt {{{50}^2} - {{40}^2}} = 30\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Vì DOHA vuông tại H nên \(\tan {\rm{O}} = \frac{{{\rm{AH}}}}{{{\rm{OH}}}} = \frac{4}{3}.\)
Vì AC là tiếp tuyến của đường tròn (O; OA) nên OA ^ AC tại A.
Suy ra, DAOC vuông tại A.
Do đó, AC = AO.tan O ≈ 67 (cm).
Vậy độ dài đoạn thẳng AC bằng khoảng 67 cm.
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2 cm lấy điểm E thuộc nửa đường tròn đó (E khác A và B). Vẽ tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn, tia AE cắt Bx tại C. Khi 2AE + AC đạt giá trị nhỏ nhất thì \(\widehat {{\rm{ACB}}}\) bằng bao nhiêu độ?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 45
Vì E thuộc nửa đường tròn tâm O đường kính AB nên OE = OA = OB.
DABE có EO là đường trung tuyến và EO = \(\frac{1}{2}\)AB nên DABE vuông tại E.
Suy ra \(\widehat {{\rm{AEB}}} = 90^\circ \).
Vì Bx là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O đường kính AB nên AB ^ BC tại B.
Suy ra \(\widehat {{\rm{ABC}}} = 90^\circ \).
DAEB và DABC có: \(\widehat {{\rm{AEB}}} = \widehat {{\rm{ABC}}} = 90^\circ ,\;\,\widehat {\rm{A}}\) nên .
Suy ra \(\frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}}\) nên AE. AC = AB2 = 4.
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: \(2{\rm{AE}} + {\rm{AC}} \ge 2\sqrt {2{\rm{AE}} \cdot {\rm{AC}}} = 2\sqrt {2 \cdot {\rm{4}}} = 4\sqrt 2 \) (cm).
Dấu “=” xảy ra khi 2AE = AC hay E là trung điểm của AC.
Mà BE là đường cao của DABC.
Khi đó, DABC vuông cân tại B. Suy ra \(\widehat {{\rm{ACB}}} = 45^\circ .\)
Vậy \(\widehat {{\rm{ACB}}} = 45^\circ \) thì 2AE + AC đạt giá trị nhỏ nhất.
