Bài tập Tính độ dài, diện tích, góc liên quan đến tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau lớp 9 (có lời giải)
25 câu hỏi
Cho hai tiếp tuyến tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây.
Khoảng cách từ điểm đó đến hai tiếp tuyến là bằng nhau.
Tia nối điểm đó tới tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính.
Tia nối từ tâm tới điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính.
Tia nối từ điểm đó tới tâm là tia phân giác của góc tạo bởi tiếp tuyến.
Đáp án đúng là: B
Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của các góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.
“Cho hai tiếp tuyến của một đường trong cắt nhau tại một điểm. Tia nối từ điểm đó tới tia phân giác của góc tạo bởi…… Tia nối từ tâm tới điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi …..”. Hai cụm từ thích hợp vào chỗ trống lần lượt là:
Hai tiếp tuyến, hai bán kính đi qua tiếp điểm.
Hai bán kính đi qua tiếp điểm, hai tiếp điểm.
Hai tiếp tuyến, hai dây cung.
Hai dây cung, hai bán kính.
Đáp án đúng là: A
Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại A. Khẳng định nào dưới đây là sai?
OA ⊥ BC.
OA là đường trung trực của BC.
AB = AC.
OA ⊥ BC là H trung điểm của OA.
Đáp án đúng là: D
Gọi H là giao điểm của BC với AO.
Xét (O) có hai tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại A nên AB = AC (tính chất).
Lại có OB = OC nên OA là đường trung trực của BC hay AO ⊥ BC tại H là trung điểm của BC.
Chưa thể kết luận H có là trung điểm của AO hay không nên D sai.
Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại A. Biết OB = 3 cm, OA = 5 cm. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?
AC = AB = 4 cm.
\(\widehat {BAO} = \widehat {CAO}\).
sin\(\widehat {OBA} = \frac{4}{5}\).
sin\(\widehat {COA} = \frac{3}{5}\).
Đáp án đúng là: D
Xét (O) có AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A nên AB = AC, \(\widehat {BAO} = \widehat {CAO}\),
\(\widehat {BOA} = \widehat {COA}\).
Xét ∆ABO vuông tại B có OB = 3 cm, OA = 5 cm, theo định lí Pythagore ta có:
AB = \(\sqrt {O{A^2} - O{B^2}} = 4\) cm.
Nên AC = AB = 4 cm hay đáp án A đúng.
Xét tam giác AOB vuông tại B có sin\(\widehat {ABO}\) = \(\frac{{AB}}{{OA}} = \frac{4}{5}\) nên C đúng.
Mà \(\widehat {BOA} = \widehat {COA}\) nên sin\(\widehat {COA}\) = \(\frac{4}{5}\) do đó D sai.
Đáp án cần chọn là D.
Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho góc \(\widehat {AMB} = 120^\circ \). Biết chu vi tam giác MAB là 6(3 + 2\(\sqrt 3 \)) cm, tính độ dài AB.
18 cm.
\(6\sqrt 3 \) cm.
\(12\sqrt 3 \) cm.
15 cm.
Đáp án đúng là: A
Gọi R là bán kính của (O).
Xét (O) có MA = MB, \(\widehat {AMO} = \widehat {BMO}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Nên \(\widehat {AMO} = 60^\circ \).
Xét tam giác vuông AOM có AM = AO.cot\(\widehat {AMO}\) = \(\frac{{R\sqrt 3 }}{3}\).
nên MA = MB = \(\frac{{R\sqrt 3 }}{3}\).
Lại có \(\widehat {AOB} + \widehat {AMB} = 180^\circ \) suy ra \(\widehat {AOB} = 60^\circ \) suy ra tam giác AOB đều
hay AB = OB = OA = R.
Chu vi tam giác MAB là MA + MB + AB = \(\frac{{R\sqrt 3 }}{3} + \frac{{R\sqrt 3 }}{3} + R = R\left( {\frac{{2\sqrt 3 }}{3} + 1} \right)\).
Mà chu vi tam giác MAB bằng 6(3 + 2\(\sqrt 3 \)) nên
\(R\left( {\frac{{2\sqrt 3 }}{3} + 1} \right) = 6(3 + 2\sqrt 3 )\) suy ra R = 18 cm hay AB = 18 cm.
Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho góc \(\widehat {AMB} = 60^\circ \). Biết chu vi tam giác MAB là 24 cm, tính độ dài bán kính của đường tròn.
8 cm.
\(\frac{{8\sqrt 3 }}{3}\) cm.
4 cm.
\(\frac{{4\sqrt 3 }}{3}\) cm.
Đáp án đúng là: B
Gọi R là bán kính của (O).
Xét (O) có MA = MB, \(\widehat {AMO} = \widehat {BMO}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Ta có: \(\widehat {AMB} = 60^\circ \) nên tam giác ABM đều.
Do đó, chu vi tam giác ABM là: MA + MB + AB = 3AB = 24 suy ra AB = 8 cm.
Lại có \(\widehat {AMO} = \widehat {BMO} = \frac{1}{2}\widehat {AMB} = 30^\circ \).
Xét tam giasv AMO vuông tại A có tan\(\widehat {AMO}\) = \(\frac{{OA}}{{MA}}\)
suy ra OA = MA.tan30° = \(\frac{{8\sqrt 3 }}{3}\) cm.
Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại I. Đường thẳng qua I và vuông góc với IA cắt OB tại K. Chọn khẳng định đúng.
Hướng dân giải
OI = OK = KI.
KI = KO.
OI = OK.
ỌI = IK.
Xét (O) có IA, IB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại I nên \(\widehat {AOI} = \widehat {KOI}\).
Mà OA ∕∕ KI (vì cùng vuông góc với AI) nên \(\widehat {AIO} = \widehat {KIO}\) (so le trong)
Từ đó \(\widehat {KIO} = \widehat {KOI}\) suy ra ∆KOI cân tại K suy ra KI = KO.
Sử dụng dữ kiện của bài toán dưới đây để trả lời Bài 8, 9, 10.
Cho nửa đường tròn O, đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn cùng phía đối với AB. Từ điểm M trên nửa đường tròn (M khác A, B) vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax và By lần lượt lượt tại C và D.
Cho OD = BA = 2R. Tính AC và BD theo R.
BD = \(R\sqrt 2 \); AC = \(\frac{{R\sqrt 2 }}{2}\).
BD = \(R\sqrt 3 \); AC = \(R\sqrt 2 \).
BD = 2R; AC = R.
BD = \(R\sqrt 3 \); AC = \(\frac{{R\sqrt 3 }}{3}\).
Đáp án đúng là: D
Xét nửa đường tròn (O) có MC và AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C nên OC là tia phân giác của \(\widehat {MOA}\) do đó \(\widehat {AOC} = \widehat {COM}\).
Lại có MD và BD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D nên OD là tia phân giác của \(\widehat {MOB}\) do đó \(\widehat {DOB} = \widehat {DOM}\).
Từ đó \(\widehat {AOC} + \widehat {BOD} = \widehat {COM} + \widehat {MOD} = \frac{{\widehat {AOC} + \widehat {BOD} + \widehat {COM} + \widehat {MOD}}}{2} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \).
Nên \(\widehat {COD} = 90^\circ \) hay tam giác COD vuông tại O và \(\widehat {MDO} = \widehat {MOC}\).
Xét ∆CMO và ∆OMD có \(\widehat {MDO} = \widehat {MOC}\) và \(\widehat {DMO} = \widehat {OMC} = 90^\circ \).
Do đó ∆CMO ∽ ∆OMD (g.g) suy ra \(\frac{{MC}}{{MO}} = \frac{{MO}}{{MD}}\) hay MO2 = MC.MD.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BDO ta có:
BD = \(\sqrt {O{D^2} - O{B^2}} = R\sqrt 3 \).
Mà MD = BD; MC = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên MD = \(R\sqrt 3 \).
MÀ MO2 = MC.MD (cmt) nên MC = \(\frac{{O{M^2}}}{{MD}} = \frac{{{R^2}}}{{R\sqrt 3 }} = \frac{{R\sqrt 3 }}{3}\) nên AC = \(\frac{{R\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy BD = \(R\sqrt 3 \) và AC = \(\frac{{R\sqrt 3 }}{3}\).
Cho AB = 10 cm. Khi đó, MC.MD bằng
25 cm2.
16 cm2.
100 cm2.
5 cm2.
Đáp án đúng là: A
Có AB = 2R = 10 cm suy ra R = 5 cm.
Từ câu 9, có MC.MD = OM2 = R2 = 25 cm2.
Cho OD = 8 cm, OB = 5 cm. Tính AC và BD được
BD = \(\frac{{25\sqrt {39} }}{{39}}\); AC = \(\sqrt {39} \).
BD = \(\sqrt {39} \); AC = \(\frac{{25\sqrt {39} }}{{39}}\).
BD = 7; AC = \(\frac{{25}}{7}\).
BD = \(\sqrt {39} \); AC = \(\frac{{25}}{9}\).
Đáp án đúng là: B
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BOD, ta có:
BD = \(\sqrt {O{D^2} - O{B^2}} = \sqrt {{8^2} - {5^2}} = \sqrt {39} \) cm.
Mà MD = BD, MC = AC (tính chất hia tiếp tuyến cắt nhau) nên MD = \(\sqrt {39} \) cm.
Ta có: MC.MD = OM2 = OB2 = 25 suy ra MC = \(\frac{{25}}{{MD}} = \frac{{25}}{{\sqrt {39} }} = \frac{{25\sqrt {39} }}{{39}}\).
Do đó, AC = MC = \(\frac{{25\sqrt {39} }}{{39}}\).
Vậy BD = \(\sqrt {39} \) và AC = \(\frac{{25\sqrt {39} }}{{39}}\).
AB = 6 cm.
AB = 4 cm.
AB = 8 cm.
AB = 2 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Vì AB và AC là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O; OC) cắt nhau tại A nên AB = AC = 6 cm.
Cho đường tròn (O) có hai tiếp tuyến AB và AC (B, C là các tiếp điểm). Biết rằng \(\widehat {{\rm{BAC}}} = 56^\circ .\) Khi đó:
\(\widehat {{\rm{CAO}}} > 30^\circ .\)
\(\widehat {{\rm{CAO}}} < 30^\circ .\)
\(\widehat {{\rm{BAO}}} > 30^\circ .\)
\(\widehat {{\rm{CAO}}} > \widehat {{\rm{BAO}}}.\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Vì AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O; OB) cắt nhau tại A nên AO là tia phân giác của \(\widehat {{\rm{BAC}}}\). Suy ra \(\widehat {{\rm{CAO}}} = \widehat {{\rm{BAO}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{BAC}}} = 28^\circ .\) Vậy \(\widehat {{\rm{CAO}}} < 30^\circ .\)
sđnhỏ = 124o.
sđnhỏ = 120o.
sđnhỏ = 62o.
sđnhỏ = 60o.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Vì AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O; OB) cắt nhau tại A nên OA là tia phân giác của \(\widehat {{\rm{BOC}}}\). Suy ra \(\widehat {{\rm{AOB}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{BOC}}} = 62^\circ .\)
Vậy sđnhỏ \( = \widehat {{\rm{AOB}}} = 62^\circ \) (góc ở tâm chắn cung BD nhỏ của đường tròn (O; OB)).
Cho hình vẽ:
Khi đó:
x = 4 cm.
x = 5 cm.
x = 8 cm.
x = 10 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Vì DC và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O; OA) cắt nhau tại C nên DC = AC = 7 cm. Suy ra 2x – 3 = 7. Vậy x = 5 (cm).
\(\widehat {{\rm{BOC}}} = 150^\circ .\)
\(\widehat {{\rm{BOC}}} = 130^\circ .\)
\(\widehat {{\rm{BOC}}} = 100^\circ .\)
\(\widehat {{\rm{BOC}}} = 120^\circ .\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Vì OB = OD nên DOBD cân tại O. Mà \(\widehat {{\rm{OBD}}} = 60^\circ \) nên DOBD đều. Suy ra \(\widehat {{\rm{BOD}}} = 60^\circ \)
Vì AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại A nên OA là tia phân giác của \(\widehat {{\rm{BOC}}} = 2\widehat {{\rm{OBD}}} = 120^\circ .\) Vậy \(\widehat {{\rm{BOC}}} = 120^\circ .\)
\(\widehat {{\rm{COA}}} < 60^\circ \).
Tam giác AOE đều.
OE ^ AD.
\(\widehat {{\rm{DAE}}} = 40^\circ .\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai.
Vì AC là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; OA) nên AC ^ OA tại A.
Do đó, DAOC vuông tại A.
Suy ra \(\widehat {{\rm{COA}}} = 90^\circ - \widehat {{\rm{OCA}}} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).
Vậy \(\widehat {{\rm{COA}}} = 60^\circ \).
b) Đúng.
Vì OA = OE nên DAOE cân tại O.
Lại có \(\widehat {{\rm{COA}}} = 60^\circ \).
Vậy DAOE đều.
c) Đúng.
Vì AC và CD là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O; OA) cắt nhau tại C nên AC = CD.
Do đó, C thuộc đường trung trực của AD.
Lại có OA = OD nên O thuộc đường trung trực của AD.
Do đó, OC là đường trung trực của AD.
Vậy OE ^ AD.
d) Sai.
Vì DAOE đều nên \(\widehat {{\rm{OAE}}} = 60^\circ .\)
Vì DAOE đều nên AD là đường cao đồng thời là đường phân giác của tam giác đó.
Suy ra \(\widehat {{\rm{DAE}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{OAE}}} = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ .\)
Vậy \(\widehat {{\rm{DAE}}} = 30^\circ .\)
Cho hình vẽ:
Biết rằng \(\widehat {{\rm{BFA}}} = 2\widehat {{\rm{BFO}}}\), khi đó:
\(\widehat {{\rm{BFO}}} > 50^\circ .\)
\(\widehat {{\rm{BOF}}} = 60^\circ \).
\(\widehat {{\rm{BAC}}} > 60^\circ \).
GA = 3GF.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Ta có: \(\widehat {{\rm{BFA}}} + \widehat {{\rm{BFO}}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {{\rm{BFO}}} + {\rm{2}}\widehat {{\rm{BFO}}} = 180^\circ \) nên \(\widehat {{\rm{BFO}}} = 60^\circ \). Vậy \(\widehat {{\rm{BFO}}} > 50^\circ .\)
b) Đúng.
Vì OB = OF nên DBOF cân tại O.
Mà \(\widehat {{\rm{BFO}}} = 60^\circ \)nên DBOF đều.
Vậy \(\widehat {{\rm{BOF}}} = 60^\circ \).
c) Sai.
Vì DBOF đều nên \(\widehat {{\rm{OBF}}} = 60^\circ \).
DBOA vuông tại B nên \(\widehat {{\rm{BOF}}} + \widehat {{\rm{BAO}}} = 90^\circ \), suy ra \(\widehat {{\rm{BAO}}} = 30^\circ \).
Vì AB và AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A của đường tròn (O; OB) nên AB = AC và AO là tia phân giác của góc BAC.
Suy ra \(\widehat {{\rm{BAC}}} = 2\widehat {{\rm{BAO}}} = 60^\circ .\)
Vậy \(\widehat {{\rm{BAC}}} = 60^\circ .\)
d) Đúng.
Vì AB = AC nên DABC cân tại A.
Mà \(\widehat {{\rm{BAC}}} = 60^\circ \) nên DABC đều.
Suy ra \(\widehat {{\rm{ABC}}} = 60^\circ \).
Ta có: \(\widehat {{\rm{FBA}}} = 90^\circ - \widehat {{\rm{OBF}}} = 30\).
Do đó, \(\widehat {{\rm{FBA}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{ABC}}}\) nên BF là tia phân giác của \(\widehat {{\rm{ABC}}}\)
Vì DABC đều có F là giao điểm của hai đường phân giác AF và BF nên F là trọng tâm của tam giác đó (1).
Vì DABC đều nên AG là đường phân giác đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó (2).
Từ (1) và (2) ta có: AG = 3GF.
Vậy AG = 3GF.
Cho đường tròn (O) và dây BC không đi qua tâm. Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn đó cắt nhau tại A. Gọi I là giao điểm của BC và OA. Kẻ đường kính CD của đường tròn (O; OB). Biết rằng BD = 2 cm, khi đó:
AB > AC.
I là trung điểm của BC.
\(\widehat {{\rm{BDO}}} > \widehat {{\rm{AOC}}}\).
OI = 1 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai.
Vì AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O; OB) cắt nhau tại A nên AB = AC. Vậy AB = AC.
b) Đúng.
Vì AC = AB nên A thuộc đường trung trực của BC.
Lại có OB = OC nên O thuộc đường trung trực của BC.
Do đó, OA là đường trung trực của BD.
Lại có I là giao điểm của OA và BC.
Vậy I là trung điểm của BC.
c) Sai.
Vì OA là đường trung trực của BD nên OA ^ BC (1).
DBDC có OB là đường trung tuyến và OB \( = \frac{1}{2}\)DC nên DBDC vuông tại B.
Suy ra: DB ^ BC (2).
Từ (1) và (2) suy ra OA // BD nên \(\widehat {{\rm{BDO}}} = \widehat {{\rm{AOC}}}\) (2 góc ở vị trí đồng vị).
Vậy \(\widehat {{\rm{BDO}}} = \widehat {{\rm{AOC}}}.\)
d) Đúng.
Tam giác DBC có: OI // BD nên theo hệ quả của định lý Thalès ta có:
\(\frac{{{\rm{OI}}}}{{{\rm{BD}}}} = \frac{{{\rm{OC}}}}{{{\rm{DC}}}} = \frac{1}{2}\) nên OI = \(\frac{1}{2}{\rm{BD}} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Vậy OI = 1 cm.
Từ điểm P nằm ngoài nửa đường tròn (O) đường kính BC vẽ hai tiếp tuyến PA, PB (A, B là các tiếp điểm). Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Gọi I là giao điểm của PC và AH. Khi đó:
AH // BD.
\(\frac{{{\rm{IH}}}}{{{\rm{BP}}}} = \frac{{{\rm{IC}}}}{{{\rm{PI}}}}\).
BP > PD.
IH > IA.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
Vì PB là tiếp tuyến tại B của nửa đường tròn (O; OA) nên PB ^ BC.
Lại có AH ^ BC. Vậy AH // BD.
b) Sai.
DPCB có IH // PB nên theo hệ quả của định lý Thalès ta có: \(\frac{{{\rm{IH}}}}{{{\rm{BP}}}} = \frac{{{\rm{IC}}}}{{{\rm{PC}}}}.\)
c) Sai.
Vì PA và PB là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O; OA) cắt nhau tại A nên PA = PB.
Do đó, DPAB cân tại P.
Suy ra \(\widehat {{\rm{PAB}}} = \widehat {{\rm{PBA}}}\).
DABC có AO là đường trung tuyến và \({\rm{AO}} = \frac{1}{2}{\rm{BC}}\) nên DABC vuông tại A.
Suy ra AB ^ AC. Suy ra \(\widehat {{\rm{BAD}}} = 90^\circ .\)
Suy ra \(\widehat {{\rm{PAB}}} + \widehat {{\rm{PAD}}} = 90^\circ .\)
Mà \(\widehat {{\rm{PBA}}} + \widehat {\rm{D}} = 90^\circ ,\;\,\widehat {{\rm{PAB}}} = \widehat {{\rm{PBA}}}\)nên \(\widehat {{\rm{PAD}}} = \widehat {\rm{D}}\).
Do đó, DPAD cân tại P.
Vậy BP = PD.
d) Sai.
DPDC có AI // PD nên theo hệ quả của định lý Thalès ta có: \(\frac{{{\rm{IA}}}}{{{\rm{DP}}}} = \frac{{{\rm{IC}}}}{{{\rm{PC}}}}.\)
Theo b) ta có: \(\frac{{{\rm{IH}}}}{{{\rm{BP}}}} = \frac{{{\rm{IC}}}}{{{\rm{PC}}}}\) nên \(\frac{{{\rm{IH}}}}{{{\rm{BP}}}} = \frac{{{\rm{IA}}}}{{{\rm{DP}}}}.\)
Mà PB = DP (= PA) nên IH = IA. Vậy IH = IA.
Cho đường tròn (O; 4 cm) và hai điểm A, B thuộc đường tròn sao cho OA vuông góc với OB. Các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O; 4 cm) cắt nhau tại M. Gọi C là điểm thuộc cung nhỏ AB. Qua C kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O; 4 cm) cắt MA, MB lần lượt tại D, E. Khi đó:
Tứ giác AOBM là hình vuông.
Diện tích tứ giác AOBM bằng 16 cm2.
\(\widehat {{\rm{DOE}}} > 50^\circ .\)
Chu vi tam giác DEM lớn hơn 10 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
c) Đúng.
Vì MB, MA là các tiếp tuyến của (O; OA) nên OA ^ AM, OB ^ BM.
Suy ra \(\widehat {{\rm{OAM}}} = \widehat {{\rm{OBM}}} = 90^\circ .\)
Vì OB ^ OA nên \(\widehat {{\rm{AOB}}} = 90^\circ .\)
Tứ giác AOBM có: \(\widehat {{\rm{AOB}}} = \widehat {{\rm{OAM}}} = \widehat {{\rm{OBM}}} = 90^\circ \) nên tứ giác AOBM là hình chữ nhật. Lại có OA = OB.
Vậy tứ giác AOBM là hình vuông.
b) Đúng.
Diện tích hình vuông AOBM là: 42 = 16 (cm2).
Vậy diện tích tứ giác AOBM bằng 16 cm2.
c) Sai.
Vì DA, DC là các tiếp tuyến của (O; OA) cắt nhau tại D nên OD là tia phân giác của góc AOC.
Suy ra \(\widehat {{\rm{DOC}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{AOC}}}\).
Vì EB, EC là các tiếp tuyến của (O; OA) cắt nhau tại E nên OE là tia phân giác của góc BOC.
Suy ra \(\widehat {{\rm{EOC}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{BOC}}}\).
Ta có: \(\widehat {{\rm{DOE}}} = \widehat {{\rm{DOC}}} + \widehat {{\rm{EOC}}} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {{\rm{BOC}}} + \widehat {{\rm{AOC}}}} \right) = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{AOB}}} = 45^\circ .\)
Vậy \(\widehat {{\rm{DOE}}} < 50^\circ .\)
d) Sai.
Vì tứ giác AOBM là hình vuông nên AM = MB = AO = 4 cm.
Vì DA, DC là các tiếp tuyến của (O; OA) cắt nhau tại D nên AD = DC.
Vì EB, EC là các tiếp tuyến của (O; OA) cắt nhau tại E nên BE = EC.
Chu vi tam giác DEM là:
DM + ME + DE = DM + ME + DC + CE
= DM + ME + AD + BE
= AM + MB = 8 (cm).
Vậy chu vi tam giác DEM nhỏ hơn 10 cm.
Cho tam giác ABC có đường tròn (O) tiếp xúc với ba cạnh AB, AC, BC lần lượt tại M, E, P. Biết rằng AE = 12 cm, PC = 16 cm, MB = 6 cm. Hỏi chu vi tam giác ABC bằng bao nhiêu cm?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 68
Vì AM và AE là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại A nên ta có:
AE = AM = 12 cm.
Vì BM và BP là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại B nên BM = BP = 6 cm.
Vì EC và PC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại C nên EC = PC = 16 cm.
Chu vi tam giác ABC là:
AB + BC + AC = AM + MB + BP + PC + EC + AE
= 12 + 6 + 6 + 16 + 16 + 12 = 68 (cm)
Vậy chu vi tam giác ABC bằng 68 cm.
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn đó. Từ M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) vẽ tiếp tuyến với đường tròn đó cắt Ax, By lần lượt là C và D. Khi đó AC. BD = … AB2. Tìm số thích hợp để điền vào “…”.
(Kết quả để dưới dạng số thập phân)
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0,25
Vì CA và CM là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; OA) cắt nhau tại C nên CA = CM và OC là tia phân giác của góc AOM nên \(\widehat {{\rm{COM}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{AOM}}}\).
Vì BD và DM là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; OA) cắt nhau tại D nên DM = DB và OD là tia phân giác của góc BOM nên \(\widehat {{\rm{DOM}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{BOM}}}\).
Ta có: \(\widehat {{\rm{COD}}} = \widehat {{\rm{COM}}} + \widehat {{\rm{DOM}}} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {{\rm{BOM}}} + \widehat {{\rm{AOM}}}} \right) = 90^\circ \).
Do đó, \(\widehat {{\rm{OCM}}} + \widehat {{\rm{ODM}}} = 90^\circ .\)
Vì CD là tiếp tuyến của đường tròn (O; OA) nên OM ^ CD.
Suy ra \(\widehat {{\rm{CMO}}} = \widehat {{\rm{OMD}}} = 90^\circ .\)
Vì \(\widehat {{\rm{OCM}}} + \widehat {{\rm{ODM}}} = 90^\circ ,\;\,\widehat {{\rm{COM}}} + \widehat {{\rm{OCM}}} = 90^\circ \) nên \(\widehat {{\rm{ODM}}} = \widehat {{\rm{COM}}}\).
DCOM và DODM có: \(\widehat {{\rm{CMO}}} = \widehat {{\rm{OMD}}} = 90^\circ ,\;\,\widehat {{\rm{COM}}} = \widehat {{\rm{ODM}}}\).
Suy ra .
Suy ra \(\frac{{{\rm{CM}}}}{{{\rm{OM}}}} = \frac{{{\rm{OM}}}}{{{\rm{DM}}}}\) nên CM.DM = OM2.
Mà CA = CM, DM = DB nên AC.BD = 0,25AB2.
Vậy số thích hợp điền vào “…” là 0,25.
Cho hình vẽ:
Hỏi chu vi tam giác AOM bằng bao nhiêu cm?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 9
Vì CM và CA là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O; OA) cắt nhau tại A nên CM = CA.
Do đó, DCAM cân tại C. Suy ra \(\widehat {{\rm{CAM}}} = \widehat {{\rm{CMA}}}\).
DABM có MO là đường trung tuyến và \({\rm{MO}} = \frac{1}{2}{\rm{BA}}\) nên DABM vuông tại M.
Suy ra AM ^ MB. Suy ra \(\widehat {{\rm{AMD}}} = 90^\circ .\)
Suy ra \(\widehat {{\rm{DMC}}} + \widehat {{\rm{CMA}}} = 90^\circ .\)
Lại có: \(\widehat {{\rm{DAM}}} + \widehat {\rm{D}} = 90^\circ ,\;\widehat {{\rm{CAM}}} = \widehat {{\rm{CMA}}}\).
Suy ra \(\widehat {{\rm{DMC}}} = \widehat {\rm{D}}\). Do đó, DCMD cân tại C.
Suy ra CD = CM. Mà CD = DM nên CD = DM = CM.
Do đó, DCMD đều.
Suy ra \(\widehat {\rm{D}} = 60^\circ \).
Do đó, \(\widehat {{\rm{MAO}}} = \widehat {\rm{D}} = 60^\circ \) (cùng phụ với góc CAM).
Vì AO = OM nên DAOM cân tại O.
Mà \(\widehat {{\rm{MAO}}} = 60^\circ \) nên DAOM đều.
Chu vi tam giác AOM là: 3OA = 3.3 = 9 (cm).
Vậy chu vi tam giác AOM bằng 9 cm.
Cho đường tròn (O; 2 cm) và điểm A sao cho OA = 4 cm. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn đó (B, C là các tiếp điểm). Qua M thuộc cung nhỏ BC vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O; 2 cm) cắt AB, AC lần lượt ở D và E. Hỏi chu vi tam giác ADE bằng bao nhiêu cm? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 7
Vì AC là tiếp tuyến của đường tròn (O; OC) nên OC ^ CA tại C.
Suy ra, DOAC vuông tại C.
Do đó OC2 + AC2 = OA2 (định lý Pythagore)
Suy ra \({\rm{AC}} = \sqrt {{\rm{O}}{{\rm{A}}^2} - {\rm{O}}{{\rm{C}}^2}} = \sqrt {{4^2} - {2^2}} = 2\sqrt 3 \;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Vì AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) nên AB = AC = \(2\sqrt 3 \) cm.
Vì DB, DM là các tiếp tuyến của (O; OC) cắt nhau tại D nên DB = DM.
Vì EM, EC là các tiếp tuyến của (O; OC) cắt nhau tại E nên EM = EC.
Chu vi tam giác ADE là: AE + AD + DE
= AE + AD + DM + ME
= BD + CE + AE + AD
= AC + AB = \(4\sqrt 3 \approx 7\) (cm).
Vậy chu vi tam giác ADE bằng khoảng 7 cm.
Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O; 3 cm) vẽ hai tiếp tuyến AM, AN (M, N là các tiếp điểm). Kẻ đường kính NB. Biết rằng OA = 5 cm, hỏi chu vi tứ giác BMAN bằng bao nhiêu cm? (Kết quả viết dưới dạng số thập phân).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 17,6
Vì AM là tiếp tuyến của đường tròn (O; ON) nên OM ^ MA.
Suy ra, DOMA vuông tại M nên OM2 + AM2 = OA2 (định lý Pythagore) nên \({\rm{MA}} = \sqrt {{\rm{O}}{{\rm{A}}^2} - {\rm{O}}{{\rm{M}}^2}} = 4\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)
Vì AM và AN là các tiếp tuyến của đường tròn (O; ON) nên AM = AN = 4 cm.
Xét tam giác OAN vuông tại N có: \(\sin \widehat {{\rm{NAO}}} = \frac{{{\rm{ON}}}}{{{\rm{OA}}}} = \frac{3}{5}\).
Lại có: \(\widehat {{\rm{NAO}}} = \widehat {{\rm{MNB}}}\) (cùng phụ với góc MNA) nên \(\sin \widehat {{\rm{MNB}}} = \frac{3}{5}.\)
DBMN có MO là đường trung tuyến và MO \( = \frac{1}{2}\)BN nên DBMN vuông tại M.
Suy ra BM = BN.\(\sin \widehat {{\rm{MNB}}} = 6 \cdot \frac{3}{5} = \frac{{18}}{5}\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Chu vi tứ giác BMAN là: AM + AN + BN + BM = 4 + 4 + 6 + \(\frac{{18}}{5} = \)17,6 (cm).
Vậy chu vi tứ giác BMAN bằng 17,6 cm.
