Bài tập So sánh hai căn bậc ba lớp 9 (có lời giải)

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng.              b) Đúng.                c) Sai.                 d) Đúng.

a) Đúng.

Ta có: \(5\sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{{{5^3}.6}} = \sqrt[3]{{125.6}} = \sqrt[3]{{750}}\).

b) Đúng.

Ta có: \(4\sqrt[3]{7} = \sqrt[3]{{{4^3}.7}} = \sqrt[3]{{64.7}} = \sqrt[3]{{448}}\).

Vì 448 < 750 nên \(\sqrt[3]{{448}} < \sqrt[3]{{750}}\).

Do đó, \(4\sqrt[3]{7} < 5\sqrt[3]{6}\).

c) Sai.

Ta có: \(2\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{{{2^3}.3}} = \sqrt[3]{{24}} > \sqrt[3]{{23}}\).

Lại có \(2\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{{{2^3}.3}} = \sqrt[3]{{24}} < \sqrt[3]{{448}}\left( { = 4\sqrt[3]{7} < 5\sqrt[3]{6}} \right)\)

Do đó, số nhỏ nhất là \(\sqrt[3]{{23}}\).

d) Đúng.

Ta có: \(\sqrt[3]{{23}} < 2\sqrt[3]{3} < 4\sqrt[3]{7} < 5\sqrt[3]{6}\).

Do đó, thứ tự giảm dần của các số đã cho là: \(5\sqrt[3]{6};\,\,4\sqrt[3]{7};\,\,2\sqrt[3]{3};\,\,\sqrt[3]{{23}}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng.              b) Đúng.                c) Đúng.             d) Sai.

a) Đúng.

Ta có: \(A = \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} = \sqrt[3]{{1 + {{3.1}^2}.\sqrt 2 + 3.2.1 + 2\sqrt 2 }} = \sqrt[3]{{{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^3}}} = 1 + \sqrt 2 \).

Vậy \(A = 1 + \sqrt 2 \).

b) Đúng.

Ta có: \(B = \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }} = \sqrt[3]{{{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}^3}}} = 1 - \sqrt 2 < 1\).

Do đó, B < 1.

c) Đúng.

Ta có: \(A = 1 + \sqrt 2 \) > 1 và B < 1 nên A > B.

d) Sai.

Ta có : A + B = \(1 + \sqrt 2 + 1 - \sqrt 2 = 2\).

Vậy A + B = 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.        b) Sai.         c) Đúng.      d) Đúng.

a) Đúng.

Ta có: \(M = \sqrt[3]{{26 + 15\sqrt 3 }} = \sqrt[3]{{8 + 12\sqrt 3 + 18 + 3\sqrt 3 }} = \sqrt[3]{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^3}}} = 2 + \sqrt 3 \).

b) Sai.

Ta có: \(N = \sqrt[3]{{26 - 15\sqrt 3 }} = \sqrt[3]{{8 - 12\sqrt 3 + 18 - 3\sqrt 3 }} = \sqrt[3]{{{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^3}}} = 2 - \sqrt 3 \).

Vì \(N = 2 - \sqrt 3 = \sqrt 4 - \sqrt 3 > 0\) nên N có giá trị dương.

c) Đúng.

Ta có: M.N = \(\sqrt[3]{{26 + 15\sqrt 3 }}.\sqrt[3]{{26 - 15\sqrt 3 }} = \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right) = 1\).

d) Đúng.

Ta có: M² + N² = \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2} = 4 + 4\sqrt 3 + 3 + 4 - 4\sqrt 3 + 3 = 14\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.        b) Sai.         c) Đúng.      d) Sai.

a) Đúng.

Ta có: \(3\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{{{3^3} \cdot 4}} = \sqrt[3]{{108}}\).

b) Sai.

Ta có: \(2\sqrt[3]{{15}} = \sqrt[3]{{{2^3} \cdot 15}} = \sqrt[3]{{120}} > \sqrt[3]{{110}}\). Do đó, \(2\sqrt[3]{{15}} > \sqrt[3]{{110}}\).

c) Đúng.

Ta có: \(4\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{{{4^3} \cdot 2}} = \sqrt[3]{{128}}\).

Vì 108 < 110 < 120 < 128 nên \(\sqrt[3]{{108}} < \sqrt[3]{{110}} < \sqrt[3]{{120}} < \sqrt[3]{{128}}\).

Do đó, số lớn nhất là \(4\sqrt[3]{2}\).

d) Sai.

Vì \(\sqrt[3]{{108}} < \sqrt[3]{{110}} < \sqrt[3]{{120}} < \sqrt[3]{{128}}\) nên \(3\sqrt[3]{4} < \,\sqrt[3]{{110}} < 2\sqrt[3]{{15}} < \,\,4\sqrt[3]{2}\).

Do đó, thứ tự tăng dần là \(3\sqrt[3]{4};\,\sqrt[3]{{110}};2\sqrt[3]{{15}};\,\,4\sqrt[3]{2}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.        b) Sai.         c) Đúng.      d) Đúng.

a) Đúng.

Ta có: \(P = \sqrt[3]{{10 + 6\sqrt 3 }} = \sqrt[3]{{3\sqrt 3 + 9 + 3\sqrt 3 + 1}} = \sqrt[3]{{{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^3}}} = 1 + \sqrt 3 \).

b) Sai.

Ta có: \(Q = \sqrt[3]{{10 - 6\sqrt 3 }} = \sqrt[3]{{1 - 3\sqrt 3 + 9 - 3\sqrt 3 }} = \sqrt[3]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^3}}} = 1 - \sqrt 3 \).

Do đó, Q < 0.

c) Đúng.

Có \(P - Q = 1 + \sqrt 3 - 1 + \sqrt 3 = 2\sqrt 3 \).

d) Đúng.

Có \(P + Q = 1 + \sqrt 3 + 1 - \sqrt 3 = 2\).

Hướng dẫn giải

Đáp án: 110

Ta có: \(6\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{{{{5.6}^3}}} = \sqrt[3]{{1080}}\)

Nhận thấy 1000 < 1080 hay \(\sqrt[3]{{1000}} < \sqrt[3]{{1080}}\) hay 10 < \(\sqrt[3]{{1080}}\).

Có 1080 < 1331 hay \(\sqrt[3]{{1080}} < \sqrt[3]{{1331}}\) hay \(\sqrt[3]{{1080}}\) < 11.

Suy ra m = 10 và m = 11.

Vậy A = 10.11 = 110.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 15

Ta có: \(\sqrt[3]{{125}} < \sqrt[3]{{133}} < \sqrt[3]{{216}}\) hay 5 < \(\sqrt[3]{{133}}\) < 6.

Suy ra \(3\sqrt[3]{{133}} < 18\) < 33.

Do đó, \(3\sqrt[3]{{133}} < 33\) hay b < a.

Vậy các số nguyên giữa a và b là: {18; 19; 20; 21;…; 30; 31; 32}.

Do đó, có tất cả 15 số.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 105

Ta có: \(\sqrt[3]{{122}} < \sqrt[3]{{125}}\) hay \(\sqrt[3]{{122}} < 5\) suy ra \(3\sqrt[3]{{122}} < 15 < 22\).

Do đó, d < c.

Các số nằm giữa c và d là: {15; 16; 17; 18; 19; 20; 21}.

Vậy tổng các số nằm giữa c và d là: 15 + 16 + 17+ 18 + 19 + 20 = 105.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0

Ta có: \(12 = \sqrt[3]{{{{12}^3}}} = \sqrt[3]{{1\,\,728}}\);

            \(5\sqrt[3]{{13}} = \sqrt[3]{{{5^3} \cdot 13}} = \sqrt[3]{{1\,\,625}}\).

Vì 1728 > 1625 nên \(\sqrt[3]{{1\,\,728}} > \sqrt[3]{{1\,\,625}}\).

Do đó, \(12 > 5\sqrt[3]{{13}}\).

Nhận thấy \(11 = \sqrt[3]{{{{11}^3}}} = \sqrt[3]{{1\,\,331}} < \sqrt[3]{{1\,\,625}}\) hay \(11 < 5\sqrt[3]{{13}}\).

Do đó, \(11 < 5\sqrt[3]{{13}} < 12\).

Do đó, không có số nguyên nào nằm giữa m và n.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 35

Ta có: \(a = 2\sqrt[3]{{10}} = \sqrt[3]{{8.10}} = \sqrt[3]{{80}} < \sqrt[3]{{1000}} = b\).

Do đó, a < b.

Nhận thấy \(\sqrt[3]{{64}} < 2\sqrt[3]{{10}} < \sqrt[3]{{125}}\) hay 4 < a < 5.

Do đó, các số nguyên nằm giữa a và b là 5; 6; 7; 8; 9.

Vậy tổng các số nguyên nằm giữa a và b là: 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35.