Bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn bậc ba lớp 9 (có lời giải)

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng.              b) Sai.                    c) Đúng.            d) Đúng.

a) Đúng.

Ta có:

\(a = \sqrt[3]{{20 + 14\sqrt 2 }} = \sqrt[3]{{8 + 3.4.\sqrt 2 + 3.2.{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}^3}}} = 2 + \sqrt 2 \).

b) Sai.

Ta có:

\(b = \sqrt[3]{{20 - 14\sqrt 2 }} = \sqrt[3]{{8 - 3.4.\sqrt 2 + 3.2.{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}^3}}} = 2 - \sqrt 2 \).

c) Đúng.

Ta có: x₀ = a + b = \(2 + \sqrt 2 + 2 - \sqrt 2 = 4\).

d) Đúng.

Thay x = 4 vào phương trình, ta có:

x³ – 3x² + x – 20 = 4³ – 3.4² + 4 – 20 = 64 – 48 + 4 – 20 = 0.

Vậy x = 4 là nghiệm của phương trình x³ – 3x² + x – 20 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng.              b) Đúng.                c) Đúng.            d) Sai.

a) Đúng.

Ta có: c.d = \(\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }}.\sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}\)

                \( = \sqrt[3]{{\left( {9 + 4\sqrt 5 } \right)\left( {9 - 4\sqrt 5 } \right)}}\)

                \( = \sqrt[3]{{{9^2} - {{\left( {4\sqrt 5 } \right)}^2}}}\)

                = \(\sqrt[3]{{81 - 80}} = \sqrt[3]{1} = 1\).

b) Đúng.

c³ + d³ = \({\left( {\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }}} \right)^3} + {\left( {\sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}} \right)^3} = 9 + 4\sqrt 5 + 9 - 4\sqrt 5 = 18\).

c) Đúng.

\({\left( {c + d} \right)^3} = {\left( {\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}} \right)^3}\)

\( = {\left( {\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }}} \right)^3} + {\left( {\sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}} \right)^3} + 3.\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }}.\sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}.\left( {\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}} \right)\)

\( = 9 + 4\sqrt 5 + 9 - 4\sqrt 5 + 3.\sqrt[3]{{\left( {9 + 4\sqrt 5 } \right).\left( {9 - 4\sqrt 5 } \right)}}.\left( {\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}} \right)\)

\( = 18 + 3.\sqrt[3]{{{9^2} - {{\left( {4\sqrt 5 } \right)}^2}}}.\left( {\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}} \right)\)

\( = 18 + 3.\left( {\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}} \right)\)

\( = 18 + 3.\left( {c + d} \right)\).

Vậy \({\left( {c + d} \right)^3} = 18 + 3\left( {c + d} \right)\).

d) Sai.

Thay x = c + d, ta có:

(c + d)³ – 3(c + d) – 18 = 0.

Mà từ phần c, có \({\left( {c + d} \right)^3} = 18 + 3\left( {c + d} \right)\) nên thay vào ta được:

18 + 3(c + d) – 3(c + d) – 18 = 0.

Vậy giá trị của biểu thức x = c + d là nghiệm của phương trình x³ – 3x – 18 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai.             b) Đúng.         c) Đúng.            d) Đúng.

a) Sai.

Ta có: \(a = \sqrt[3]{{20 + 14\sqrt 2 }} = \sqrt[3]{{8 + 12\sqrt 2 + 12 + 2\sqrt 2 }} = \sqrt[3]{{{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}^3}}} = 2 + \sqrt 2 \).

b) Đúng.

Ta có:

\(ab = \sqrt[3]{{20 + 14\sqrt 2 }} \cdot \sqrt[3]{{20 - 14\sqrt 2 }} = \sqrt[3]{{\left( {20 + 14\sqrt 2 } \right)\left( {20 - 14\sqrt 2 } \right)}} = \sqrt[3]{{{{20}^2} - {{\left( {14\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \sqrt[3]{8} = 2\)c) Đúng.

Có T = a + b

        \( = \sqrt[3]{{20 + 14\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{20 - 14\sqrt 2 }}\)

        \( = \sqrt[3]{{{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}^3}}} + \sqrt[3]{{{{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}^3}}}\)

        \( = 2 + \sqrt 2 + 2 - \sqrt 2 = 4\).

d) Đúng.

Có T = 4.

Thay T = 4 vào x³ – 6x – 40 = 0 được: 4³ – 6.4 – 40 = 64 – 24 – 40 = 0 (đúng)

Do đó, giá trị của T là nghiệm của phương trình x³ – 6x – 40 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.       b) Sai.              c) Đúng.            d) Sai.

a) Đúng.

\(u = \sqrt[3]{{10 + 6\sqrt 3 }} = \sqrt[3]{{1 + 3\sqrt 3 + 9 + 3\sqrt 3 }} = \sqrt[3]{{{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^3}}} = 1 + \sqrt 3 \).

b) Sai.

Ta có:

\(u.v = \sqrt[3]{{10 + 6\sqrt 3 }} \cdot \sqrt[3]{{10 - 6\sqrt 3 }} = \sqrt[3]{{\left( {10 + 6\sqrt 3 } \right)\left( {10 - 6\sqrt 3 } \right)}} = \sqrt[3]{{{{10}^2} - {{\left( {6\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \sqrt[3]{{ - 8}} = - 2\).

c) Đúng.

Ta có: S = u + v

             \( = \sqrt[3]{{10 + 6\sqrt 3 }} + \sqrt[3]{{10 - 6\sqrt 3 }}\)

             \( = \sqrt[3]{{{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^3}}} + \sqrt[3]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^3}}}\)

             \( = 1 + \sqrt 3 + 1 - \sqrt 3 = 2\).

d) Sai.

Thay S = 2 vào x³ − 6x – 20 = 0 được 2³ − 6.2 – 20 = 8 – 12 – 20 = −24 ≠ 0.

Vậy giá trị của S không là nghiệm của phương trình x³ − 6x – 20 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.     b) Sai.                c) Đúng.            d) Đúng.

a) Đúng.

Ta có: \(x = \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} = \sqrt[3]{{1 + 3\sqrt 2 + 6 + 2\sqrt 2 }} = \sqrt[3]{{{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^3}}} = 1 + \sqrt 2 \).

b) Sai.

Ta có: \(x.y = \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} \cdot \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }} = \sqrt[3]{{\left( {7 + 5\sqrt 2 } \right)\left( {7 - 5\sqrt 2 } \right)}} = \sqrt[3]{{{7^2} - {{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2}}} = - 1\).

c) Đúng.

Ta có:

S = x + y

\( = \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}\)

\( = \sqrt[3]{{{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^3}}} + \sqrt[3]{{{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}^3}}}\)

\( = 1 + \sqrt 2 + 1 - \sqrt 2 = 2\).

d) Đúng.

Thay vào phương trình a³ + 3a – 14 = 0, ta có: 2³ + 3.2 – 14 = 8 +6 – 14 = 0 (đúng).

Do đó, giá trị của biểu thức S là nghiệm của phương trình a³ + 3a – 14 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án: −7,5

Ta có:

\(a = \frac{2}{{2\sqrt[3]{2} + 2 + \sqrt[3]{4}}} = \frac{{2\left( {\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2}} \right)}}{{\left( {\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2}} \right)\left( {2\sqrt[3]{2} + 2 + \sqrt[3]{4}} \right)}} = \frac{{2\left( {\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2}} \right)}}{{{{\left( {\sqrt[3]{4}} \right)}^3} - {{\left( {\sqrt[3]{2}} \right)}^3}}} = \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2}\).

\(\,b = \frac{6}{{2\sqrt[3]{2} - 2 + \sqrt[3]{4}}} = \frac{{6\left( {\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} \right)}}{{\left( {\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} \right)\left( {2\sqrt[3]{2} - 2 + \sqrt[3]{4}} \right)}} = \frac{{6\left( {\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} \right)}}{{{{\left( {\sqrt[3]{2}} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt[3]{4}} \right)}^2}}} = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}\).

Ta có: A = ab³ – a³b = ab(a² – b²).

= \(\left( {\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2}} \right)\left( {\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2}} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2}} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2}} \right)}^2}} \right]\)

= \(\left( {\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2}} \right)\left( {\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2}} \right)\left[ {\left( {\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2}} \right) - \left( {\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2}} \right)} \right].\left[ {\left( {\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2}} \right) + \left( {\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2}} \right)} \right]\)

= \(\left( {\sqrt[3]{{{4^2}}} - \sqrt[3]{{{2^2}}}} \right)\left( { - 4\sqrt[3]{8}} \right)\)

= −8\(\left( {\sqrt[3]{{16}} - \sqrt[3]{4}} \right)\)

≈ −7,5.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 4

Với x ≠ ±8, x ≠ 0, ta có:

\(A = \frac{{8 - x}}{{2 + \sqrt[3]{x}}}:\left( {2 + \frac{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{{2 + \sqrt[3]{x}}}} \right) + \sqrt[3]{x} + \frac{{2\sqrt[3]{x}}}{{\sqrt[3]{x} - 2}}.\frac{{\sqrt[3]{{{x^2}}} - 4}}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} + 2\sqrt[3]{x}}}\)

    \( = \frac{{8 - x}}{{2 + \sqrt[3]{x}}}:\left[ {\frac{{2.\left( {2 + \sqrt[3]{x}} \right) + \sqrt[3]{{{x^2}}}}}{{2 + \sqrt[3]{x}}}} \right] + \sqrt[3]{x} + \frac{{2\sqrt[3]{x}}}{{\sqrt[3]{x} - 2}}.\frac{{\left( {\sqrt[3]{x} - 2} \right)\left( {\sqrt[3]{x} + 2} \right)}}{{\sqrt[3]{x}\left( {2 + \sqrt[3]{x}} \right)}}\)

   \( = \frac{{8 - x}}{{2 + \sqrt[3]{x}}}:\left[ {\frac{{4 + 2\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{{{x^2}}}}}{{2 + \sqrt[3]{x}}}} \right] + \sqrt[3]{x} + 2\)

   \( = \frac{{\left( {2 - \sqrt[3]{x}} \right)\left( {4 + 2\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{{{x^2}}}} \right)}}{{2 + \sqrt[3]{x}}}.\frac{{\sqrt[3]{x} + 2}}{{4 + 2\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{{{x^2}}}}} + \sqrt[3]{x} + 2\)

   \( = 2 - \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} + 2\)

    = 4.

Vậy n = 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0

Ta có: \(\sqrt[3]{{61 + 46\sqrt 5 }} = \sqrt[3]{{{{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^3} + 3.{{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2}.1 + {{3.1}^2}.2\sqrt 5 + {1^3}}}\)

                               \( = \sqrt[3]{{{{\left( {2\sqrt 5 + 1} \right)}^3}}} = 2\sqrt 5 + 1\)

Do đó, ta có: a = \(\sqrt 2 + \sqrt {7 - 2\sqrt 5 - 1} + 1 = \sqrt 2 + \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } + 1\)

                        = \(\sqrt 2 + \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } + 1\)

                        \( = \sqrt 2 + \sqrt 5 - 1 + 1\)

                        \( = \sqrt 2 + \sqrt 5 \)

Ta có: a² = \({\left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right)^2} = 2 + 5 + 2\sqrt {10} = 7 + 2\sqrt {10} \).

Suy ra a⁴ = \({\left[ {{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right)}^2}} \right]^2} = {\left( {7 + 2\sqrt {10} } \right)^2} = 49 + 28\sqrt {10} + 40 = 89 + 28\sqrt {10} \).

Thay vào T = a⁴ – 14a² + 9, ta có:

T = a⁴ – 14a² + 9 = 89 + \(28\sqrt {10} \) − 14\(\left( {7 + 2\sqrt {10} } \right)\) + 9

                            = \(89 + 28\sqrt {10} - 98 - 28\sqrt {10} + 9 = 0\).

Vậy T = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 2029

Ta có: \(x = \sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{2 - \sqrt 5 }}\)

           \({x^3} = {\left( {\sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{2 - \sqrt 5 }}} \right)^3}\)

           \({x^3} = 2 + \sqrt 5 + 2 - \sqrt 5 + 3\sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }}.\sqrt[3]{{2 - \sqrt 5 }}.\left( {\sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{2 - \sqrt 5 }}} \right)\)

          \({x^3} = 4 - 3.x\)

Do đó, x³ + 3x = 4

Vậy P = x³ + 3x + 2025 = 4 + 2025 = 2029.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0

Ta có: \(x = \sqrt[3]{{26 + 15\sqrt 3 }} + \sqrt[3]{{26 - 15\sqrt 3 }}\)

           \({x^3} = {\left( {\sqrt[3]{{26 + 15\sqrt 3 }} + \sqrt[3]{{26 - 15\sqrt 3 }}} \right)^3}\)\({x^3} = 26 + 15\sqrt 3 + 26 - 15\sqrt 3 + 3\sqrt[3]{{26 + 15\sqrt 3 }} + \sqrt[3]{{26 - 15\sqrt 3 }}\left( {\sqrt[3]{{26 + 15\sqrt 3 }} + \sqrt[3]{{26 - 15\sqrt 3 }}} \right)\)

\[{x^3} = 52 + 3\sqrt[3]{{{{26}^2} - {{\left( {15\sqrt 3 } \right)}^2}}}\left( {\sqrt[3]{{26 + 15\sqrt 3 }} + \sqrt[3]{{26 - 15\sqrt 3 }}} \right)\]

\[{x^3} = 52 + 3x\]

Do đó, x³ – 3x + 52 = 0 hay P = 0.