Bài tập ôn tập Toán 8 Chương 2 (có đáp án)

Chọn A.

\({\left( {\frac{1}{2}x - 1} \right)^3} = {\left( {\frac{1}{2}x} \right)^3} - 3{\left( {\frac{1}{2}x} \right)^2} \cdot 1 + 3\left( {\frac{1}{2}x} \right) \cdot {1^2} - {1^3} = \frac{1}{8}{x^3} - \frac{3}{4}{x^2} + \frac{3}{2}x - 1\).

Chọn A.

\(\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right) - {x^3} = \left( {{x^3} + 27} \right) - {x^3} = 27\).

Chọn B.

\({x^3} + 1 = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)\).

Chọn B.

\({\left( {x + y} \right)^3} - {\left( {x - y} \right)^3} = \left( {{x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3}} \right) - \left( {{x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3}} \right) = 6{x^2}y + 2{y^3}\).

Chọn A.

\({\left( {x + 2} \right)^3} - x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) - 6{x^2} = {\left( {x + 2} \right)^3} - x\left( {{x^2} - 1} \right) - 6{x^2}\)

\( = {x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 - {x^3} + x - 6{x^2} = 13x + 8\).

Chọn B.

Vì \({x^3} - {y^3} = \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\) nên \({x^3} - {y^3}\) chia hết cho \(x - y.\)

Chọn C.

\({x^3} - {y^3} = \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\).

Chọn A.

\({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\)

       \(20 = 2\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\)

Suy ra \({a^2} - ab + {b^2} = 10\).

Chọn A.

\(3{x^2} - 6x = 3x\left( {x - 2} \right)\).

Chọn A.

\(5x\left( {x - y} \right) - 10\left( {y - x} \right)\)\( = 5x\left( {x - y} \right) + 10\left( {x - y} \right) = \left( {x - y} \right)\left( {5x + 10} \right) = 5\left( {x - y} \right)\left( {x + 2} \right)\).

Chọn A.

\(125 + {y^3} = {5^3} + {y^3} = \left( {5 + y} \right)\left( {25 - 5y + {y^2}} \right)\).

Chọn A.

\({x^2} - 4x + 4 - {y^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} - {y^2} = \left( {x - 2 - y} \right)\left( {x - 2 + y} \right) = \left( {x - y - 2} \right)\left( {x + y - 2} \right).\)

Chọn C.

\({x^3} - x = x\left( {{x^2} - 1} \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\).

Chọn A.

\(ax + by + ay + bx = \left( {ax + ay} \right) + \left( {by + bx} \right) = a\left( {x + y} \right) + b\left( {y + x} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {a + b} \right)\).

Chọn B.

\({x^2} - 2x + 1 = 0\)

\({\left( {x - 1} \right)^2} = 0\)

\(x - 1 = 0\)

\(x = 1\).

Chọn B.

\({x^2} - 5x = 0.\)

\(x\left( {x - 5} \right) = 0\)

\(x = 0\) hoặc \(x = 5\).

Chọn A.

\({x^3} - 2{x^2} + x\)\[ = x\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}\].

Chọn B.

\({x^4} - 16 = \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 4} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)\).

Chọn A.

\[{x^4} + {x^2} + 1 = \left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right) - {x^2} = {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} - {x^2}\]

\[ = \left( {{x^2} + 1 - x} \right)\left( {{x^2} + 1 + x} \right) = \left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\].

Chọn A.

\({x^2} + 5x + 6\)\( = {x^2} + 2x + 3x + 6\)\( = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\).

a) Sai. Khai triển đúng là \({\left( {2x} \right)^2} + 2 \cdot 2x \cdot 3 + {3^2} = 4{x^2} + 12x + 9.\)

b) Đúng. \(A = {\left( {2 \cdot 0 + 3} \right)^2} = {3^2} = 9.\)

c) Sai. Nếu \(A = {\left( {2x + 3} \right)^2} = 25\) thì \(2x + 3 = 5\) hoặc \(2x + 3 =  - 5\), suy ra \(x = 1\) hoặc \(x =  - 4\).

d) Sai. Vì \(A = {\left( {2x + 3} \right)^2} \ge 0\) nên \(A\) không âm với mọi \(x \in \mathbb{R}.\)

a) Đúng. Ta có \(P = {x^2} - 6x + 9 = {x^2} - 2 \cdot x \cdot 3 + {3^2} = {\left( {x - 3} \right)^2}.\)

b) Đúng. \(P = {\left( {x - 3} \right)^2}.\)

c) Sai. \(P = {\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

d) Đúng. Vì \(P\) luôn không âm nên giá trị nhỏ nhất là 0. Giá trị này xảy ra khi và chỉ khi\({\left( {x - 3} \right)^2} = 0\) nghĩa là \(x = 3.\)

a) Đúng. Ta có \(M = {x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 6\)

\( = \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} + 4y + 4} \right) + 1\)

\( = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + 1.\)

b) Đúng. Vì \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\) và \({\left( {y + 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x,\,\,y \in \mathbb{R}\) nên:

\(M = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + 1 > 0\) với mọi \(x,\,\,y \in \mathbb{R}.\)

c) Đúng. \(M = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + 1 \ge 1\) với mọi \(x,\,\,y \in \mathbb{R}.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất đạt được khi các bình phương bằng 0, tức là \(M = 1.\)

d) Sai. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {x - 1} \right)^2} = 0\) và \({\left( {y + 2} \right)^2} = 0\), tức là \(x = 1\) và \(y =  - 2.\)

a) Đúng. Ta có \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + 2ab = 26 + 2 \cdot 5 = 36.\)

b) Đúng. Ta có \({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab = 26 - 2 \cdot 5 = 16.\)

c) Sai. Từ kết quả câu a) và b), vì \(a,b > 0\) nên \(a + b = \sqrt {36}  = 6\). Vì \(a > b\) nên \(a - b = \sqrt {16}  = 4.\)

d) Sai. Ta có \({a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = 4 \cdot 6 = 24\).

a) Đúng. Ta có \(x + y = 2\) suy ra \({\left( {x + y} \right)^2} = 4\).

b) Sai. Ta có \({\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + 2xy.\)

Thay số vào ta được \(4 = 10 + 2xy,\) suy ra \(2xy =  - 6,\) nên \(xy =  - 3.\)

c) Đúng. Ta có \({\left( {x - y} \right)^2} = {x^2} + {y^2} - 2xy = 10 - 2 \cdot \left( { - 3} \right) = 10 + 6 = 16.\)

d) Sai. Vì \({\left( {x - y} \right)^2} = 16\) nên \(x - y =  - 4\) hoặc \(x - y =  - 4.\)

Mà \(x < y\) nên \(x - y =  - 4\), vì vậy \(x - y =  - 4.\)

a) Đúng. \(D = {x^3} - 8 = {x^3} - {2^3}.\)

b) Đúng. \(D = {x^3} - 8 = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right).\)

c) Sai. \[{x^2} + 2x + 4 = \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 3 = {\left( {x + 1} \right)^2} + 3 > 0\] với mọi \(x \in \mathbb{R}.\)

d) Đúng. Với \(x > 2\) thì \[x - 2 > 0\].

Mà \({x^2} + 2x + 4 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}.\) nên \(D = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) > 0\) với mọi \(x > 2\).

a) Sai. Biểu thức có dạng chuẩn \({\left( {a + b} \right)^3}\) với các thành phần tương ứng là \(a = 2x\) và \(b = 1.\)

\(M = 8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1 = {\left( {2x} \right)^3} + 3 \cdot {\left( {2x} \right)^2} \cdot 1 + 3 \cdot \left( {2x} \right) \cdot {1^2} + {1^3} = {\left( {2x + 1} \right)^3}.\)

b) Đúng. \(M = {\left( {2x + 1} \right)^3}.\)

c) Sai. Thay \(x = 1\) vào biểu thức ở ý b), ta được:

\(M = {\left( {2 \cdot 1 + 1} \right)^3} = {3^3} = 37.\)

d) Đúng. Theo ý c), ta có \(8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1 = 27\) khi \(x = 1.\)

Suy ra \(8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1 - 27 = 0\) khi \(x = 1.\)

Hay \(8{x^3} + 12{x^2} + 6x - 26 = 0\) khi \(x = 1.\)

Do đó \(x = 1\) hoàn toàn thỏa mãn \(8{x^3} + 12{x^2} + 6x - 26 = 0\).

a) Sai. Đây là dạng khai triển của lập phương một tổng, không phải một hiệu.

b) Đúng. Thay \(y = x - 2\) vào biểu thức ban đầu ta thu được kết quả \(M = {y^3} + 6{y^2} + 12y + 8.\)

c) Đúng. Từ ý b, ta viết lại \(M = {\left( {y + 2} \right)^3}.\)

Thay ngược \(y = x - 2\) vào ta được \(M = {\left( {x - 2 + 2} \right)^3} = {x^3}.\)

d) Sai. Thay \(x =  - 2\) vào \(M = {x^3},\) ta có \(M = {\left( { - 2} \right)^3} =  - 8.\)

a) Đúng. Đặt nhân tử chung là \(n,\) ta có \(A = {n^3} - n = n\left( {{n^2} - 1} \right).\)

b) Đúng. Áp dụng hiệu hai bình phương cho \({n^2} - 1,\) ta có

\(A = n\left( {{n^2} - 1} \right) = n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right) = \left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right).\)

c) Đúng. Trong ba số nguyên liên tiếp, luôn có ít nhất một số chẵn (chia hết cho 2).

Do đó \(A\) chắc chắn chia hết cho 2.

d) Sai. Trong ba số nguyên liên tiếp, luôn có một số chia hết cho \(3.\)

Vì \(A\) chia hết cho cả \(2\) và \(3,\) mà \(2\) và \(3\) là hai số nguyên tố cùng nhau, nên \(A\) luôn chia hết cho tích của chúng là \(2 \cdot 3 = 6.\)

a) Đúng. Ta thêm và bớt hạng tử \(4{x^2}{y^2}\) để nhóm thành hằng đẳng thức bình phương của một tổng, từ đó thu được biểu thức:

\(N = {x^4} + 4{x^2}{y^2} + 4{y^4} - 4{x^2}{y^2} = {\left( {{x^2} + 2{y^2}} \right)^2} - {\left( {2xy} \right)^2}.\)

b) Đúng. Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương cho kết quả vừa tìm được ở ý a, ta thu được biểu thức tích là

\(N = {\left( {{x^2} + 2{y^2}} \right)^2} - {\left( {2xy} \right)^2} = \left( {{x^2} + 2{y^2} - 2xy} \right)\left( {{x^2} + 2{y^2} + 2xy} \right)\)

                                         \( = \left( {{x^2} - 2xy + 2{y^2}} \right)\left( {{x^2} + 2xy + 2{y^2}} \right).\)

c) Sai. Ta có \({x^2} - 2xy + 2{y^2} = {\left( {x - y} \right)^2} + {y^2} \ge 0\) với mọi số thực \(x\) và \(y.\)

Do đó \({x^2} - 2xy + 2{y^2}\) luôn nhận giá trị không âm (gồm các giá trị dương và bằng 0) với mọi số thực \(x\) và \(y.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = 0.\)

d) Sai. Tương tự ý c, nhân tử thứ hai cũng biến đổi thành \({x^2} + 2xy + 2{y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} + {y^2} \ge 0.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = 0.\)

Khi hai số \(x\) và \(y\) không đồng thời bằng 0 thì \({\left( {x - y} \right)^2} + {y^2} > 0\) và \({\left( {x + y} \right)^2} + {y^2} > 0\).

Vậy khi đó tích của chúng \(N = \left( {{x^2} - 2xy + 2{y^2}} \right)\left( {{x^2} + 2xy + 2{y^2}} \right)\) luôn là một số dương.

Ta có \({\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2}\)

Suy ra \({x^2} + {y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = {4^2} - 2 \cdot 3 = 16 - 6 = 10.\)

Đáp án: 10.

\({\left( {x - 2} \right)^3} = {x^3} - 6{x^2} + 12x - 8\). Hệ số của \({x^2}\) là \[ - 6\].

Đáp án: –6.

\({\left( {x + \frac{1}{2}y} \right)^3} = {x^3} + 3 \cdot {x^2} \cdot \frac{1}{2}y + 3 \cdot x \cdot {\left( {\frac{1}{2}y} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}y} \right)^3}\)

                 \( = {x^3} + \frac{3}{2}{x^2}y + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{4}{y^2} + \frac{1}{8}{y^3}\)

                 \( = {x^3} + \frac{3}{2}{x^2}y + \frac{3}{4}x{y^2} + \frac{1}{8}{y^3}.\)

Hệ số của hạng tử chứa \(x{y^2}\) là \(\frac{3}{4}\) hay \(0,75.\)

Đáp án: 0,75.

\(A = {x^2} - 12x + 40 = {x^2} - 12x + 36 + 4 = {\left( {x - 6} \right)^2} + 4.\)

Vì \({\left( {x - 6} \right)^2} \ge 0\) nên giá trị nhỏ nhất của \(A\) bằng 4.

Đáp án: 4.

\({\left( {x - y} \right)^3} = {x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3} = {x^3} - {y^3} - 3xy\left( {x - y} \right)\).

Suy ra \({x^3} - {y^3} = {\left( {x - y} \right)^3} + 3xy\left( {x - y} \right) = {2^3} + 3 \cdot 3 \cdot 2 = 8 + 18 = 26\).

Đáp án: 26.

\({x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = 7\)

\({x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}} = 9\)

\({x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + {\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} = 9\)

\({\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} = {3^2}\)

Vì \(x > 0\) nên \(x + \frac{1}{x} = 3.\)

Ta có \({\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^3} = {x^3} + 3 \cdot {x^2} \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot x \cdot {\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{x}} \right)^3} = {x^3} + \frac{1}{{{x^3}}} + 3\left( {x + \frac{1}{x}} \right)\).

Suy ra \({x^3} + \frac{1}{{{x^3}}} = {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^3} - 3\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = {3^3} - 3 \cdot 3 = 27 - 9 = 18.\)

Đáp án: 18.

\({x^2} + 7x + 10 = {x^2} + 2x + 5x + 10 = x\left( {x + 2} \right) + 5\left( {x + 2} \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 5} \right).\)

Vậy \(a + b = 2 + 5 = 7.\)

Đáp án: 7.

\({x^3} - 4x = 0\)

\(x\left( {{x^2} - 4} \right) = 0\)

\(x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\)

\(x = 0\) hoặc \(x - 2 = 0\) hoặc \(x + 2 = 0\)

\(x = 0\) hoặc \[x = 2\] hoặc \(x =  - 2\)

Vì \(x > 0\) nên ta chỉ nhận \(x = 2.\)

Đáp án: 2.

\({\left( {a + b + c} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2} + 2\left( {a + b} \right)c + {c^2}\)

                  \( = {a^2} + 2ab + {b^2} + 2ac + 2bc + {c^2}\)

                  \( = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right).\)

Suy ra \({10^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2 \cdot 15.\)

Do đó \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 100 - 30 = 70.\)

Đáp án: 70.

Từ giả thiết \(a + b + c = 0\), ta có \(a + b =  - c\).

Suy ra \({\left( {a + b} \right)^3} = {\left( { - c} \right)^3}\)

            \({a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} =  - {c^3}\)

            \({a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right) =  - {c^3}\)

            \({a^3} + {b^3} + 3ab\left( { - c} \right) =  - {c^3}\)

            \({a^3} + {b^3} - 3abc =  - {c^3}\)

            \({a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc.\)

Khi đó, \(P = \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{abc}} = \frac{{3abc}}{{abc}} = 3.\)

Đáp án: 3.