Bài tập Nhận biết, chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật lớp 8 (có lời giải)
25 câu hỏi
Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào là sai?
Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.;
Hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật;
Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật;
Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
Đáp án đúng là: B
Hình thang cân luôn có hai đường chéo bằng nhau nhưng không phải là hình chữ nhật.
Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật khi
AB = AD;
AD = AC;
AC = BD;
BD = BC.
Đáp án đúng là: C
Hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD bằng nhau thì ABCD là hình chữ nhật.
Tứ giác ABCD là hình chữ nhật khi
AB = DC, AD = BC;
AB = DC = AD = BC;
AB = AD, \[\widehat {\rm{A}}{\rm{ = 90}}^\circ \];
AB // DC, AB = DC, \[\widehat {\rm{A}}{\rm{ = 90}}^\circ \].
Đáp án đúng là: D
Tứ giác ABCD có AB = DC, AD = BC (các cặp cạnh đối bằng nhau) nên ABCD là hình bình hành.
Tứ giác ABCD có AB = DC = AD = BC (các cạnh bằng nhau) chưa chắc là hình chữ nhật).
Tứ giác ABCD có AB = DC, \[\widehat {\rm{A}}{\rm{ = 90}}^\circ \] không là hình chữ nhật.
Tứ giác ABCD AB // DC, AB = DC (cặp cạnh đối song song và bằng nhau) nên ABCD là hình bình hành.
Mà \[\widehat {\rm{A}}{\rm{ = 90}}^\circ \] nên ABCD là hình chữ nhật.
Hình thang ABCD (AB // DC) là hình chữ nhật khi
AB = DC;
AC = BD;
\[\widehat {\rm{A}}{\rm{ = 90}}^\circ \];
AD // BC và \[\widehat {\rm{A}}{\rm{ = 90}}^\circ \].
Đáp án đúng là: D
• Hình thang ABCD (AB // DC) có AB = DC (cặp cạnh đối song song và bằng nhau) nên ABCD là hình bình hành.
• Hình thang ABCD (AB // DC) có AC = BD (hai đường chéo bằng nhau) nên ABCD là hình thang cân.
• Hình thang ABCD (AB // DC) có \[\widehat {\rm{A}}{\rm{ = 90}}^\circ \] nên ABCD là hình thang vuông.
• Hình thang ABCD (AB // DC) có AD // BC (các cặp cạnh đối song song) nên ABCD là hình bình hành. Mà \[\widehat {\rm{A}}{\rm{ = 90}}^\circ \] nên ABCD là hình chữ nhật.
Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào là sai?
Hình thang có một góc vuông là hình chữ nhật;
Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật;
Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật;
Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
Đáp án đúng là: A
Hình thang có một góc vuông là hình thang vuông.
Cho các hình vẽ sau.
 |  |  |
| Hình 1 | Hình 2 | Hình 3 |
Kết luận nào dưới đây là đúng?
Hình 1 và Hình 2 là hình chữ nhật, Hình 3 là hình bình hành;
Hình 1 là hình chữ nhật, Hình 2 là hình thang, Hình 3 là hình bình hành;
Hình 1 và Hình 3 là hình bình hành, Hình 2 là hình thang vuông;
Hình 1 là hình chữ nhật, Hình 2 là hình thang vuông, Hình 3 là hình bình hành.
Đáp án đúng là: D
Dùng eke kiểm tra các góc vuông và các cặp cạnh song song ta thấy:
• Hình 1: Tứ giác ABCD có \(\widehat A = \widehat C = \widehat D = 90^\circ \) nên Hình 1 là hình chữ nhật.
• Hình 2: Tứ giác MNPQ có \(MN \bot MQ\,;\,\,PQ \bot MQ\) nên MN // PQ và \(\widehat M = \widehat Q = 90^\circ \).
Do đó, tứ giác MNPQ là hình thang vuông.
• Hình 3: Tứ giác EFGH có EF = GH, EH = GF nên Hình 3 là hình bình hành.
Vậy đáp án D là đúng.
Cho tam giác ABC vuông tại A có\[{\rm{AM}} \bot {\rm{BC}}\]. Từ M, kẻ \[{\rm{MH}} \bot {\rm{AB}}\], \[{\rm{MK}} \bot {\rm{AC}}\]. Tứ giác AHMK là hình gì?
Hình thang;
Hình thang vuông;
Hình bình hành;
Hình chữ nhật.
Đáp án đúng là: D
Tứ giác AHMK có \[\widehat {\rm{A}}{\rm{ = }}\widehat {\rm{H}}{\rm{ = }}\widehat {\rm{K}}{\rm{ = 90}}^\circ \] nên AHMK là hình chữ nhật.
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của AC, đường cao AH. Lấy điểm N sao cho M là trung điểm của NH. Tứ giác ANCH là hình gì?
Hình thang;
Hình thang vuông;
Hình bình hành;
Hình chữ nhật.
Đáp án đúng là: D
Tứ giác ANCH có hai đường chéo AC và HN cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường nên ANCH là hình bình hành.
Mà \[\widehat {\rm{H}}{\rm{ = 90}}^\circ \] nên ANCH là hình chữ nhật.
Hình thang cân MNPQ là hình chữ nhật khi
MN = NP;
MP = NQ;
\[\widehat {MNP} = 90^\circ \];
\[\widehat {MPQ} = 90^\circ \].
Đáp án đúng là: C
Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật nên hình thang cân MNPQ là hình chữ nhật khi \[\widehat {MNP} = 90^\circ \].
Tam giác DEF vuông cân tại E có EI = \[\sqrt {10} \] cm, \[IH \bot DE\], \[IK \bot EF\]. Biết DE2 + EF2 = DF2, chu vi tứ giác HEKI là:
\[{\rm{2}}\sqrt 5 \] cm;
\[4\sqrt 5 \] cm;
5 cm;
\[5\sqrt 5 \] cm.
Đáp án đúng là: B
Tam giác DEF vuông cân tại E có EI là đường trung tuyến nên EI = \[\frac{1}{2}\]DF = DI = IF.
Suy ra: DF = 2DI = \[{\rm{2}}\sqrt {10} \] cm.
Theo đề bài, ta có: DE2 + EF2 = DF2
Mà tam giác DEF vuông cân tại E nên DE = EF.
Suy ra: 2DE2 = DF2
\[{\rm{D}}{{\rm{E}}^2} = \frac{1}{2}{\rm{D}}{{\rm{F}}^2}{\rm{ = }}\frac{1}{2}.{\left( {2\sqrt {10} } \right)^2}{\rm{ = 20}}\]
DE = \[{\rm{2}}\sqrt 5 \] cm
Do đó, EF = \[{\rm{2}}\sqrt 5 \] cm.
Tam giác DEI có DI = EI nên tam giác DEI cân tại I. Mặt khác, IH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên H là trung điểm của DE.
Suy ra: HE = \[\frac{1}{2}\]DE = \[\frac{1}{2}\].\[{\rm{2}}\sqrt 5 \] = \[\sqrt 5 \] (cm).
Tam giác EIF có EI = IF nên tam giác EIF cân tại I.
Mặt khác, IK là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên K là trung điểm của EF.
Suy ra: EK = \[\frac{1}{2}\]EF = \[\frac{1}{2}\].\[{\rm{2}}\sqrt 5 \] = \[\sqrt 5 \] (cm).
Tứ giác HEKI có \[\widehat E = \widehat {IHE} = \widehat {IKE} = 90^\circ \] (vì \[IH \bot DE\], \[IK \bot EF\]) nên tứ giác HEKI là hình chữ nhật.
Suy ra: HE = IK = \[\sqrt 5 \] cm, EK = HI = \[\sqrt 5 \] cm.
Chu vi hình chữ nhật HEKI là: (HE + EK).2 = \[\left( {\sqrt 5 + \sqrt 5 } \right) \cdot 2 = 4\sqrt 5 \] (cm).
Dựa vào định nghĩa, tứ giác có ba góc vuông là hình gì?
Hình bình hành.
Hình chữ nhật.
Hình thoi.
Hình thang cân.
Đáp án đúng là: B
Nếu một tứ giác có ba góc vuông thì tổng ba góc là 3 ∙ 90° = 270°.
Mà một tứ giác có tổng bốn góc bằng 360° nên góc còn lại bằng 360° – 270° = 90°.
Tứ giác có bốn góc vuông là hình chữ nhật.
Hình bình hành ABCD cần thêm điều kiện gì về đường chéo để chắc chắn trở thành hình chữ nhật?
Hai đường chéo vuông góc với nhau.
Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Hai đường chéo bằng nhau.
Một đường chéo là đường phân giác của góc ở đỉnh.
Đáp án đúng là: C
Theo định lí về dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật, hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
Trong các khẳng định về dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật sau đây, khẳng định nào là sai?
Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
Hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
Đáp án đúng là: C
Hình thang cân luôn có tính chất hai đường chéo bằng nhau.
Việc hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau không đủ dữ kiện để khẳng định nó là hình chữ nhật (nó chỉ là hình chữ nhật khi có thêm một góc vuông).
Cho hình bình hành MNPQ có \(\widehat M = 90^\circ \). Khẳng định nào sau đây là sai?
Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Hai đường chéo MP và NQ bằng nhau.
Các góc N, P, Q đều có số đo bằng 90°.
Bốn cạnh MN, NP, PQ, QM luôn có độ dài bằng nhau.
Đáp án đúng là: D
Theo định lí, hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật nên MNPQ là hình chữ nhật (khẳng định A đúng).
Từ tính chất hình chữ nhật suy ra hai đường chéo bằng nhau (khẳng định B đúng) và bốn góc đều vuông (khẳng định C đúng).
Hình chữ nhật có các cạnh đối bằng nhau, không bắt buộc bốn cạnh đều bằng nhau, do đó khẳng định D sai.
Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình gì?
Hình thang cân.
Hình bình hành.
Hình chữ nhật.
Hình thoi.
Đáp án đúng là: C
Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
Cho tứ giác MNPQ có MN // PQ và MN = PQ. Biết góc M có số đo bằng 90°. Hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại O. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
Tứ giác MNPQ khi chỉ xét đến dữ kiện một cặp cạnh đối song song và bằng nhau thì nó là hình bình hành.
Hai đường chéo MP và NQ luôn vuông góc với nhau tại điểm O.
\(\widehat N = \widehat P = \widehat Q = 90^\circ \).
Kẻ MH ⊥ NQ (H ∈ NQ) thì H là trung điểm NQ.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Tứ giác MNPQ có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau MN // PQ và MN = PQ nên nó là hình bình hành.
b) Sai. Hình bình hành MNPQ có \(\widehat M = 90^\circ \) nên là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau nhưng không có tính chất hai đường chéo vuông góc.
c) Đúng. Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật nên 4 góc đều là góc vuông.
d) Sai. Trong tam giác vuông MNQ, đường cao MH từ đỉnh M không đi qua trung điểm cạnh huyền, đường cao đồng thời là đường trung tuyến khi chỉ khi ∆MNQ vuông cân tại M, điều này chưa có đủ cơ sở để khẳng định.
Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O và \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA}\). Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
Tam giác OAB là tam giác cân tại đỉnh O.
Hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.
Tứ giác ABCD là hình thoi.
\(\widehat A = 90^\circ \)
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Tam giác OAB có hai góc ở đáy bằng nhau \(\left( {\widehat {OAB} = \widehat {OBA}} \right)\) nên là tam giác cân tại O.
b) Sai. Tam giác OAB cân tại O nên OA = OB.
Mà AC = 2OA và BD = 2OB nên AC = BD.
Điều này không chứng minh được AC và BD vuông góc với nhau.
c) Sai. Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật, không phải hình thoi.
d) Đúng. Theo chứng minh ở ý c), ABCD là hình chữ nhật suy ra \(\widehat A = 90^\circ \).
Cho hình bình hành MNPQ có \(\widehat M = 90^\circ \), hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại O. Biết \(\widehat {MON} = 120^\circ \). Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
\(\widehat {NOP} = 60^\circ \).
Tam giác ONP chỉ là tam giác cân.
Trên tia đối của tia NQ, lấy điểm H sao cho N là trung điểm của OH. Khi đó tam giác OPH là tam giác vuông.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Hình bình hành MNPQ có \(\widehat M = 90^\circ \) nên MNPQ là hình chữ nhật.
b) Đúng. Ta có: \(\widehat {MON} + \widehat {NOP} = 180^\circ \) nên \(\widehat {NOP} = 180^\circ - \widehat {MON} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
c) Sai. Vì MNPQ là hình chữ nhật nên O là trung điểm MP và NQ, suy ra ON = OP.
Do đó ∆ONP là tam giác cân tại O, lại có \(\widehat {NOP} = 60^\circ \) nên ∆ONP là tam giác đều.
d) Đúng. Theo d) có ∆ONP đều nên NP = ON.
Vì N là trung điểm OH nên \(ON = \frac{1}{2}OH\)
Xét ∆OHP có NP là đường trung tuyến, mà \(PN = ON = \frac{1}{2}OH\).
Vậy ∆OHP là tam giác vuông tại P.
Cho tứ giác ABCD có \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = 90^\circ \). Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
\(\widehat D = 90^\circ \).
Tứ giác ABCD chỉ là một hình thang vuông, không thể là hình chữ nhật.
Hai đường chéo AC và BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Nếu kẻ AH vuông góc với BD tại H, thì điểm H là trung điểm của đoạn thẳng BD.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Tổng bốn góc của một tứ giác bằng 360°.
Suy ra \(\widehat D = 360^\circ - \left( {90^\circ + 90^\circ + 90^\circ } \right) = 90^\circ \).
b) Sai. Tứ giác có bốn góc vuông theo định nghĩa chính là hình chữ nhật.
c) Đúng. ABCD là hình chữ nhật nên có đầy đủ tính chất của hình chữ nhật: hai đường chéo bằng nhau và giao nhau tại trung điểm mỗi đường.
d) Sai. ∆ABD vuông tại A, AH là đường cao, gọi O là trung điểm BD thì AO là trung tuyến. H và O chỉ trùng nhau khi ∆ABD vuông cân tại A.
Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD bằng nhau và cắt nhau tại O. Trên cạnh AB lấy điểm M, qua M kẻ đường thẳng song song với AC, cắt BC tại N. Qua N kẻ đường thẳng song song với BD, cắt CD tại P. Qua P, kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD tại Q. Biết MQ // BD. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
Tứ giác ABCD là hình chữ nhật.
Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
MQ = NP.
AC, BD, MP, NQ đồng quy.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Do ABCD là hình bình hành có 2 đường chéo AC và BD bằng nhau nên ABCD là hình chữ nhật.
b) Sai. Ta có MN // AC; PQ // AC suy ra MN // PQ.
NP // BD; BD // MQ suy ra NP // MQ.
Do đó MNPQ là hình hình hành.
Gọi K là giao điểm của DB và MN, L là giao điểm NP và AC.
Ta có NP // BD nên \(\widehat {PNK} = \widehat {BKN}\) (so le trong);
MN // AC nên \(\widehat {BKN} = \widehat {KOL}\) (đồng vị)
Suy ra \(\widehat {PNK} = \widehat {KOL}\).
ABCD là hình chữ nhật nên AC không vuông góc với BD, suy ra \(\widehat {KOL} \ne 90^\circ \).
Vậy \(\widehat {PNK} \ne 90^\circ \).
Để hình bình hành MNPQ là hình chữ nhật cần có góc vuông, mà \(\widehat {PNK} \ne 90^\circ \) nên MPNQ không phải hình chữ nhật.
c) Đúng. Vì MNPQ là hình bình hành nên MQ = NP.
d) Đúng. Vì ABCD là hình chữ nhật nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.
Ta có \(\widehat {AMQ} = \widehat {ABD} = \widehat {BDC} = \widehat {NPC}\).
Xét ∆AMQ vuông tại A và ∆CNP vuông tại C có:
MQ = NP và \(\widehat {AMQ} = \widehat {NPC}\)
Do đó ∆AMQ = ∆CNP (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra AQ = CN.
Xét tứ giác AQCN có AQ // CN và AQ = CN nên AQCN là hình bình hành.
Khi đó hai đường chéo AC và NQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, mà O là trung điểm của AC nên O là trung điểm của NQ.
Theo c) có MNPQ là hình bình hành nên MP và NQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, mà O là trung điểm của NQ nên O là trung điểm của MP.
Như vậy bốn đường AC, BD, MP và NQ cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường hay bốn đường này đồng quy.
Cho hình bình hành ABCD có chu vi bằng 28 cm. Biết \(\widehat B = 90^\circ \) và chu vi của tam giác ABC bằng 24 cm. Tính độ dài đường chéo AC (đơn vị: cm).
Đáp án: 10.
Do hình hình hành ABCD có \(\widehat B = 90^\circ \) nên ABCD là hình chữ nhật.
Nửa chu vi của hình chữ nhật ABCD là: AB + BC = 28 : 2 = 14 (cm).
Theo giả thiết, chu vi ∆ABC bằng 24 cm nên: AB + BC + AC = 24 (cm).
Suy ra độ dài đường chéo AC là: AC = 24 – (AB + BC) = 24 – 14 = 10 (cm).
Cho tam giác MNP vuông tại M, có đường trung tuyến MI. Lấy điểm K trên tia đối của tia IM sao cho I là trung điểm của MK. Biết chu vi của tam giác MNP bằng 24 cm, chu vi của tứ giác MNKP bằng 28 cm. Tính độ dài đoạn thẳng NP (đơn vị: cm).
Đáp án: 10.
Tứ giác MNKP có hai đường chéo NP và MK cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường (do I là trung điểm NP và I là trung điểm MK theo giả thiết) nên tứ giác MNKP là hình bình hành.
Hình bình hành MNKP có \(\widehat {NMP} = 90^\circ \) (do tam giác MNP vuông tại M) nên MNKP là hình chữ nhật.
Theo tính chất hình chữ nhật, các cạnh đối bằng nhau: MN = PK, MP = NK.
Chu vi tứ giác MNKP là MN + NK + PK + MP = 2(MN + MP) = 28 (cm).
Suy ra MN + MP = 14 (cm).
Chu vi tam giác MNP là MN + MP + NP = 24 (cm).
Thay MN + MP = 14 cm vào biểu thức trên, ta được:
14 + NP = 24, suy ra NP = 10 (cm).
Cho hình bình hành EFGH có hai đường chéo EG và FH bằng nhau và cắt nhau tại O. Biết \(\widehat {EOH} = 60^\circ \). Tính số đo góc OEF (đơn vị: độ).
Đáp án: 30.
Hình bình hành EFGH có hai đường chéo EG và FH bằng nhau nên EFGH là hình chữ nhật.
Vì EFGH là hình chữ nhật nên các đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, suy ra OE = OF = OG = OH.
\(\widehat {EOF}\) kề bù với \(\widehat {EOH}\) nên \(\widehat {EOF} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
Xét ∆OEF có OE = OF nên là tam giác cân tại đỉnh O.
Tổng ba góc trong ∆OEF bằng 180°.
Suy ra \(\widehat {OEF} = \frac{{180^\circ - \widehat {EOF}}}{2} = \frac{{180^\circ - 120^\circ }}{2} = 30^\circ \).
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm D sao cho M là trung điểm của AD. Biết AD = 10 cm. Tính độ dài đoạn thẳng BC.
Đáp án: 10.
Xét tứ giác ABCD có M là trung điểm của hai đường chéo BC và AD nên ABCD là hình bình hành.
Lại có \(\widehat A = 90^\circ \) nên ABCD là hình chữ nhật.
Hai đường chéo của hình chữ nhật có độ dài bằng nhau, suy ra BC = AD = 10 cm.
Cho hình bình hành ABCD có một góc vuông. Biết BD = 13 cm và AD = 5 cm. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Tính chu vi của tam giác OAD (đơn vị: cm).
Đáp án: 18
Hình bình hành ABCD có một góc vuông nên ABCD là hình chữ nhật.
Vì ABCD là hình chữ nhật nên hai đường chéo AC và BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Suy ra \(OA = OD = \frac{{BD}}{2} = \frac{{13}}{2} = 6,5\) (cm).
Chu vi của ∆OAD là:
OA + OD + AD = 6,5 + 6,5 + 5 = 18 (cm).
