Bài tập Nguyên hàm của hàm số mũ lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = e3x là
3ex + C;
\(\frac{1}{3}{e^{3x}} + C\);
\(\frac{1}{3}{e^x} = C\);
3e3x + C.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\int {{e^{3x}}dx} = \frac{1}{3}{e^{3x}} + C\).
Cho hàm số f(x) = ex + 2. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
\(\int {f\left( x \right)dx} = {e^{x - 2}} + C\);
\(\int {f\left( x \right)dx} = {e^x} + 2x + C\);
\(\int {f\left( x \right)dx} = {e^x} + C\);
\(\int {f\left( x \right)dx} = {e^x} - 2x + C\).
Đáp án đúng là: B
\(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{e^x} + 2} \right)dx} = {e^x} + 2x + C\).
Nguyên hàm của hàm số y = 2x là
\(\int {{2^x}dx} = \ln {2.2^x} + C\);
\(\int {{2^x}dx} = {2^x} + C\);
\(\int {{2^x}dx} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\);
\(\int {{2^x}dx} = \frac{{{2^x}}}{{x + 1}} + C\).
Đáp án đúng là: C
\(\int {{2^x}dx} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\).
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x + 2x.
\(\int {\left( {{3^x} + 2x} \right)dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + {x^2} + C\);
\(\int {\left( {{3^x} + 2x} \right)dx} = {3^x}.\ln 3 + {x^2} + C\);
\(\int {\left( {{3^x} + 2x} \right)dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + x + C\);
\(\int {\left( {{3^x} + 2x} \right)dx} = {3^x}.\ln 3 + x + C\).
Đáp án đúng là: A
\(\int {\left( {{3^x} + 2x} \right)dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + {x^2} + C\).
Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = ex(2e2x – 3) là
\(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{2{e^{3x}}}}{3} - 3{e^x} + C\);
\(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{2{e^{3x}}}}{3} + 3{e^x} + C\);
\(\int {f\left( x \right)dx} = {e^x}\left( {{e^{2x}} - 3} \right) + C\);
\(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{e^{3x}}}}{3} + 3{e^x} + C\).
Đáp án đúng là: A
\(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2{e^{3x}} - 3{e^x}} \right)dx} = \frac{{2{e^{3x}}}}{3} - 3{e^x} + C\).
Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x + cos2x là
\(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} - \frac{{\sin 2x}}{2} + C\);
\(\int {f\left( x \right)dx} = {4^x}\ln 4 + \frac{{\sin 2x}}{2} + C\);
\(\int {f\left( x \right)dx} = {4^x}\ln 4 - \frac{{\sin 2x}}{2} + C\);
\(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + \frac{{\sin 2x}}{2} + C\).
Đáp án đúng là: D
\(\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {{4^x} + \cos 2x} \right)dx} } = \frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + \frac{{\sin 2x}}{2} + C\).
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{ - x}}\left( {2 + \frac{{{e^x}}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)\).
\(F\left( x \right) = - \frac{2}{{{e^x}}} + \tan x + C\);
\(F\left( x \right) = 2{e^x} - \tan x + C\);
\(F\left( x \right) = - \frac{2}{{{e^x}}} - \tan x + C\);
\(F\left( x \right) = 2{e^{ - x}} + \tan x + C\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(F\left( x \right) = \int {{e^{ - x}}\left( {2 + \frac{{{e^x}}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx} = \int {\left( {2{e^{ - x}} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx} \)
\( = - 2{e^{ - x}} + \tan x + C = - \frac{2}{{{e^x}}} + \tan x + C\).
Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(y = {x^2} - {3^x} + \frac{1}{x}\).
\(\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} - \frac{1}{{{x^2}}} + C\);
\(\frac{{{x^3}}}{3} - {3^x} + \frac{1}{{{x^2}}} + C\);
\(\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \ln \left| x \right| + C\);
\(\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} - \ln \left| x \right| + C\).
Đáp án đúng là: C
\(\int {\left( {{x^2} - {3^x} + \frac{1}{x}} \right)} dx = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \ln \left| x \right| + C\).
\(\int {\left( {{e^x} + {e^{ - 2x}}} \right)dx} \) bằng
\({e^x} - 2{e^{ - 2x}} + C\);
\({e^x} + 2{e^{ - 2x}} + C\);
\({e^x} - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}} + C\);
\(\frac{{{e^{x + 1}}}}{{x + 1}} + \frac{{{e^{ - 2x + 1}}}}{{ - 2x + 1}} + C\).
Đáp án đúng là: C
\(\int {\left( {{e^x} + {e^{ - 2x}}} \right)dx} = {e^x} - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}} + C\).
\(\int {\left( {x + {e^{2020x}}} \right)dx} \) bằng
\({x^2} + \frac{{{e^{2020x}}}}{{2020}} + C\);
\({x^3} + \frac{{{e^{2020x}}}}{{2020}} + C\);
\(\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{e^{2020x}}}}{{2020}} + C\);
\(x + \frac{{{e^{2020x}}}}{{2020}} + C\).
Đáp án đúng là: C
\(\int {\left( {x + {e^{2020x}}} \right)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{e^{2020x}}}}{{2020}} + C\).
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = e−3x là
−3e−3x + C.
\(\frac{{ - 1}}{3}{e^{ - 3x}} + C\).
\(\frac{1}{3}{e^{ - 3x}} + C\).
−3ex + C.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm hợp bậc nhất đối với hàm số mũ
\(\int {{e^{ax + b}}} dx = \frac{1}{a}{e^{ax + b}} + C\).
Với a = −3 và b = 0, ta có \(\int {{e^{ - 3x}}} dx = \frac{{ - 1}}{3}{e^{ - 3x}} + C\).
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x + 2ex.
\(\int {\left( {{3^x} + 2{e^x}} \right)} dx = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + {e^{2x}} + C\).
\(\int {\left( {{3^x} + 2{e^x}} \right)} dx = {3^x}\ln 3 + 2{e^x} + C\).
\(\int {\left( {{3^x} + 2{e^x}} \right)} dx = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + 2{e^x} + C\).
\(\int {\left( {{3^x} + 2{e^x}} \right)} dx = {3^x}\ln 3 + {e^{2x}} + C\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Áp dụng tính chất nguyên hàm của một tổng và hằng số nhân:
\(\int {\left( {{3^x} + 2{e^x}} \right)} dx = \int {{3^x}} dx + 2\int {{e^x}} dx\).
Sử dụng các công thức cơ bản, ta có \(\int {{3^x}} dx = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + {C_1}\) và \(2\int {{e^x}} dx = 2{e^x} + {C_2}\).
Cộng hai kết quả lại ta thu được \(\int {\left( {{3^x} + 2{e^x}} \right)} dx = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + 2{e^x} + C\).
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = \(\frac{{2{e^x} - 1}}{{{e^x}}}\) là
2x − e−x + C.
2x + e−x + C.
\(2x - \frac{1}{2}{e^{ - x}} + C\).
\(2x + \frac{1}{2}{e^{ - x}} + C\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Thực hiện phép chia tử cho mẫu để biến đổi biểu thức: f(x) = \(\frac{{2{e^x}}}{{{e^x}}} - \frac{1}{{{e^x}}} = 2 - {e^{ - x}}\).
Lấy nguyên hàm hai vế: \(\int {\left( {2 - {e^{ - x}}} \right)} dx = \int 2 dx - \int {{e^{ - x}}} dx\).
Ta có nguyên hàm của 2 là 2x, và nguyên hàm của e−x là −e−x.
Do đó, \(\int f (x)dx = 2x - \left( { - {e^{ - x}}} \right) + C = 2x + {e^{ - x}} + C\).
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = ex(ex − 1)2.
\(\frac{1}{3}{e^{3x}} + {e^{2x}} + {e^x} + C\).
\(\frac{1}{3}{e^{3x}} - {e^{2x}} + {e^x} + C\).
\(3{e^{3x}} - 2{e^{2x}} + {e^x} + C\).
\(\frac{1}{3}{e^{3x}} - 2{e^{2x}} + {e^x} + C\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Trước tiên, khai triển hằng đẳng thức và nhân phân phối để đưa hàm số về dạng tổng các hàm số mũ cơ bản:f(x) = ex ( e2x − 2ex + 1 ) = e3x − 2e2x + ex.
Áp dụng công thức nguyên hàm hàm số mũ:
\(\int {\left( {{e^{3x}} - 2{e^{2x}} + {e^x}} \right)} dx = \frac{1}{3}{e^{3x}} - 2 \cdot \frac{1}{2}{e^{2x}} + {e^x} + C = \frac{1}{3}{e^{3x}} - {e^{2x}} + {e^x} + C\).
Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \(\frac{{{e^{2x}} - 1}}{{{e^x} + 1}}\) và F(0) = 2. Khẳng định nào sau đây đúng?
F(x) = ex − x.
F(x) = ex − x + 2.
F(x) = ex − x + 1.
F(x) = ex + x + 1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Nhận thấy tử số là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, ta biến đổi hàm số:
f(x) = \(\frac{{\left( {{e^x} - 1} \right)\left( {{e^x} + 1} \right)}}{{{e^x} + 1}} = {e^x} - 1\).
Họ nguyên hàm của f(x) là F(x) = \(\int {\left( {{e^x} - 1} \right)} dx = {e^x} - x + C\).
Dựa vào giả thiết F(0) = 2, thay x = 0 vào F(x):e0 − 0 + C = 2 suy ra 1 + C = 2 hay C = 1.
Vậy nguyên hàm cần tìm là F(x) = ex − x + 1.
Cho hàm số f(x) = ex + 2x. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Nguyên hàm của hàm số ex là ex + C.
\(\int f (x)dx = {e^x} + {x^2} + C\).
Hàm số F(x) = ex + x2 + 5 là một nguyên hàm của f(x).
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) thỏa mãn F(0) = 2 thì F(x) = ex + x2 + 2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Đây là công thức nguyên hàm cơ bản.
b) Đúng. \(\int {\left( {{e^x} + 2x} \right)} dx = \int {{e^x}} dx + \int 2 xdx = {e^x} + {x^2} + C\).
c) Đúng. Đạo hàm F'(x) = (ex + x2 + 5)' = ex + 2x = f(x), do đó đây là một nguyên hàm thỏa mãn.
d) Sai. Từ câu b ta có F(x) = ex + x2 + C.
Vì F(0) = 2 nên e0 + 02 + C = 2 suy ra 1 + C = 2 hay C = 1.
Khi đó hàm số phải là F(x) = ex + x2 + 1.
Cho hàm số f(x) = \(\frac{1}{{{2^x}}} + {2^x}\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Ta có thể viết lại hàm số dưới dạng f(x) = 2−x + 2x.
Họ nguyên hàm của hàm số 2x là 2x ln 2 + C.
Một nguyên hàm của f(x) là F(x) = \(\frac{{{2^x} - {2^{ - x}}}}{{\ln 2}}\).
Đạo hàm của hàm số F(x) = \(\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \frac{1}{{{2^x}\ln 2}}\) bằng f(x).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Theo tính chất lũy thừa số mũ âm: \(\frac{1}{{{2^x}}} = {2^{ - x}}\).
b) Sai. Công thức đúng của họ nguyên hàm hàm số 2x là \(\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\).
Biểu thức 2x ln 2 là đạo hàm chứ không phải nguyên hàm.
c) Đúng. Tính nguyên hàm của f(x) = 2−x + 2x, ta có
\(\int {\left( {{2^{ - x}} + {2^x}} \right)} dx = \frac{{{2^{ - x}}}}{{ - \ln 2}} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C = \frac{{{2^x} - {2^{ - x}}}}{{\ln 2}} + C\).
Chọn C = 0 ta được nguyên hàm F(x).
d) Đúng. Biểu thức F(x) chính là \(\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \frac{{{2^{ - x}}}}{{\ln 2}}\), hoàn toàn trùng khớp với họ nguyên hàm tính được ở câu c (ứng với C = 0), do đó đạo hàm của nó chính là f(x).
Cho hàm số f(x) = \(\frac{{{e^{3x}} + 1}}{{{e^x} + 1}}\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Biểu thức có thể được biến đổi rút gọn thành f(x) = e2x − ex + 1.
Họ nguyên hàm của f(x) là \(\frac{1}{2}{e^{2x}} - {e^x} + x + C\).
Nếu gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F'(x) = \(\frac{1}{2}{e^{2x}} - {e^x} + x\).
Nếu nguyên hàm F(x) thỏa mãn F(0) = 1,5 thì F(x) = \(\frac{1}{2}{e^{2x}} - {e^x} + x + 2\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Sử dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương, ta có
f(x) = \(\frac{{\left( {{e^x} + 1} \right)\left( {{e^{2x}} - {e^x} + 1} \right)}}{{{e^x} + 1}} = {e^{2x}} - {e^x} + 1\).
b) Đúng. \(\int {\left( {{e^{2x}} - {e^x} + 1} \right)} dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} - {e^x} + x + C\).
c) Sai. Theo định nghĩa, đạo hàm của nguyên hàm F(x) phải bằng chính hàm số f(x) ban đầu, tức là F'(x) = e2x − ex + 1.
d) Đúng. Với F(x) = \(\frac{1}{2}{e^{2x}} - {e^x} + x + C\).
Do F(0) = 1,5 nên \(\frac{1}{2}{e^0} - {e^0} + 0 + C = 1,5\) suy ra 0,5 − 1 + C = 1,5 hay −0,5 + C = 1,5 nên C = 2.
Cho hàm số f(x) = \({\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)^2}\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Khai triển biểu thức ta được f(x) = e2x + 2 + e−2x.
Họ nguyên hàm của f(x) là \(\frac{1}{2}{e^{2x}} + 2x + \frac{1}{2}{e^{ - 2x}} + C\).
Hàm số F(x) = \(\frac{1}{2}{e^{2x}} + 2x - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}}\) là nguyên hàm duy nhất của f(x).
Nguyên hàm F(x) thỏa mãn F(0) = 0 có giá trị tại x = ln 2 là F(ln 2) = \(\frac{{15}}{8} + 2\ln 2\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Bình phương biểu thức: f(x) = e2x + 2ex e−x + e−2x = e2x + 2 + e−2x.
b) Sai. Lấy nguyên hàm từng số hạng: \(\int {{e^{2x}}} dx = \frac{1}{2}{e^{2x}}\); \(\int 2 dx = 2x\); \(\int {{e^{ - 2x}}} dx = \frac{{ - 1}}{2}{e^{ - 2x}}\).
Tổng hợp lại ta phải được \(\frac{1}{2}{e^{2x}} + 2x - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}} + C\).
c) Sai. Một hàm số có vô số nguyên hàm sai khác nhau một hằng số C, không thể có nguyên hàm duy nhất.
d) Đúng. Gọi F(x) = \(\frac{1}{2}{e^{2x}} + 2x - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}} + C\).
Ta có F(0) = \(\frac{1}{2} + 0 - \frac{1}{2} + C = 0\) suy ra C = 0.
Khi đó F(x) = \(\frac{1}{2}{e^{2x}} + 2x - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}}\).
Thay x =ln 2 vào ta được:
F(ln 2) = \(\frac{1}{2}{e^{2\ln 2}} + 2\ln 2 - \frac{1}{2}{e^{ - 2\ln 2}} = \frac{1}{2} \cdot 4 + 2\ln 2 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = 2 + 2\ln 2 - \frac{1}{8} = \frac{{15}}{8} + 2\ln 2\).
Cho hàm số f(x) = \(\frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 2}}\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
Đạo hàm của hàm số ln(ex + 2) bằng chính f(x).
Họ nguyên hàm của f(x) là \(\frac{1}{{{e^x} + 2}} + C\).
Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) thỏa mãn F(0) = ln 3. Khi đó F(ln 2) = ln 4.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Do ex > 0 với mọi x thực nên mẫu số ex + 2 > 0 với mọi x, do đó hàm số xác định trên \(\mathbb{R}\).
b) Đúng. Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm hợp: \({\left( {\ln ({e^x} + 2)} \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {{e^x} + 2} \right)}^\prime }}}{{{e^x} + 2}} = \frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 2}} = f(x)\).
c) Sai. Từ câu b suy ra họ nguyên hàm của f(x) phải là ln(ex + 2) + C.
d) Đúng. Ta có F(x) = ln(ex + 2) + C.
Từ giả thiết F(0) = ln(e0 + 2) + C = ln 3 + C = ln 3 suy ra C = 0.
Suy ra F(x) = ln(ex + 2).
Giá trị cần tính là F(ln 2) = ln(eln 2 + 2) = ln(2 + 2) = ln 4.
Cho hàm số f(x) = e2x. Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) thỏa mãn điều kiện F(0) = 0,5. Tính giá trị của biểu thức 2F(ln 3).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 9
Họ nguyên hàm của hàm số là F(x) = \(\int {{e^{2x}}} dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C\).
Theo giả thiết F(0) = 0,5 nên \(\frac{1}{2}{e^0} + C = 0,5\) suy ra \(\frac{1}{2} + C = 0,5\) hay C = 0.
Vậy nguyên hàm cần tìm là F(x) = \(\frac{1}{2}{e^{2x}}\).
Ta thay x = ln 3 vào hàm số: F(ln 3) = \(\frac{1}{2}{e^{2\ln 3}} = \frac{1}{2}{e^{\ln 9}} = \frac{1}{2} \cdot 9 = 4,5\).
Khi đó, giá trị biểu thức là 2F(ln 3) = 2 4,5 = 9.
Cho hàm số f(x) = ex − e−x. Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) thỏa mãn điều kiện F(0) = 3. Tính giá trị của F(ln 2).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 3,5
Họ nguyên hàm của hàm số là F(x) = \(\int {\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)} dx = {e^x} + {e^{ - x}} + C\).
Theo giả thiết F(0) = 3 nên e0 + e−0 + C = 3 suy ra 1 + 1 + C = 3 hay C = 1.
Vậy nguyên hàm cần tìm là F(x) = ex + e−x + 1.
Ta thay x = ln 2 vào hàm số: F(ln 2) = \({e^{\ln 2}} + {e^{ - \ln 2}} + 1 = 2 + \frac{1}{2} + 1 = 3,5\).
Biết \(\int {\left( {2{e^x} + 3{e^{ - x}}} \right)} dx = a{e^x} + b{e^{ - x}} + C\) với a, b là các số thực. Tính giá trị của biểu thức S = a + b.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −1
Tính nguyên hàm của hàm số đã cho ở vế trái:
\(\int {\left( {2{e^x} + 3{e^{ - x}}} \right)} dx = 2\int {{e^x}} dx + 3\int {{e^{ - x}}} dx = 2{e^x} - 3{e^{ - x}} + C\).
Đồng nhất hệ số của vế trái với kết quả vế phải là aex + be−x + C, ta thu được:a = 2 và b = −3.
Thay a và b vào biểu thức cần tính: S = a + b = 2 + (−3) = −1.
Cho hàm số f(x) = \(\frac{{{e^{2x}} - 9}}{{{e^x} - 3}}\). Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) sao cho F(0) = 2. Tính giá trị của biểu thức P = F(ln 3) − 3ln 3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 4
Biến đổi hàm số f(x) dựa vào hằng đẳng thức hiệu hai bình phương:
f(x) = \(\frac{{\left( {{e^x} - 3} \right)\left( {{e^x} + 3} \right)}}{{{e^x} - 3}} = {e^x} + 3\).
Họ nguyên hàm là F(x) = \(\int {\left( {{e^x} + 3} \right)} dx = {e^x} + 3x + C\).
Với F(0) = 2, ta có e0 + 3×0 + C = 2 suy ra 1 + C = 2 hay C = 1.
Do đó F(x) = ex + 3x + 1.
Tại x = ln 3, giá trị nguyên hàm là F(ln 3) = eln 3 + 3ln 3 + 1 = 3 + 3ln 3 + 1 = 4 + 3ln 3.
Biểu thức cần tính là P = (4 + 3ln 3) − 3ln 3 = 4.
Cho hàm số f(x) = \({e^{ - x}}{\left( {{e^{2x}} + 1} \right)^2}\). Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) thỏa mãn F(0) = \(\frac{4}{3}\). Tính giá trị của biểu thức 3F(ln 2).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 18,5
Ta tiến hành khai triển biểu thức của hàm số:
f(x) = \({e^{ - x}}\left( {{e^{4x}} + 2{e^{2x}} + 1} \right) = {e^{3x}} + 2{e^x} + {e^{ - x}}\).
Khi đó họ nguyên hàm của f(x) là:
F(x) = \(\int {\left( {{e^{3x}} + 2{e^x} + {e^{ - x}}} \right)} dx = \frac{1}{3}{e^{3x}} + 2{e^x} - {e^{ - x}} + C\).
Thay điều kiện F(0) = \(\frac{4}{3}\) ta được: \(\frac{1}{3}{e^0} + 2{e^0} - {e^0} + C = \frac{4}{3}\) suy ra \(\frac{1}{3} + 2 - 1 + C = \frac{4}{3}\)
Tương đương \(\frac{4}{3} + C = \frac{4}{3}\) hay C = 0.
Nguyên hàm hoàn chỉnh là F(x) = \(\frac{1}{3}{e^{3x}} + 2{e^x} - {e^{ - x}}\).
Tính giá trị tại x = ln 2:
F(ln 2) = \(\frac{1}{3}{e^{3\ln 2}} + 2{e^{\ln 2}} - {e^{ - \ln 2}} = \frac{1}{3}{e^{\ln 8}} + 2 \cdot 2 - \frac{1}{2} = \frac{8}{3} + 4 - 0,5 = \frac{8}{3} + \frac{7}{2} = \frac{{37}}{6}\).
Biểu thức cần tính có giá trị là \(3 \cdot \frac{{37}}{6} = \frac{{37}}{2} = 18,5.\)
Bạn có thích hoạt động này không?
