Bài tập Nguyên hàm của hàm số lũy thừa lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
\(\int {{x^2}dx} \) bằng
2x + C;
\(\frac{1}{3}{x^3} + C\);
x3 + C;
3x3 + C.
Đáp án đúng là: B
\(\int {{x^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + C\).
Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x2 + 1 là
6x + C;
\(\frac{1}{3}{x^3} + x + C\);
x3 + C;
x3 + x + C.
Đáp án đúng là: D
\(\int {\left( {3{x^2} + 1} \right)dx} = {x^3} + x + C\).
Nguyên hàm của hàm số f(x) = x3 + x là
3x2 + 1 + C;
\(\frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{2}{x^2} + C\);
x3 + x + C;
x4 + x2 + C.
Đáp án đúng là: B
\(\int {\left( {{x^3} + {x^2}} \right)dx} = \frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{2}{x^2} + C\).
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 5x4 – 8x3 – 6x là
F(x) = x5 – 2x4 – 3x2 + C;
F(x) = x5 – x4 – x2 + C;
F(x) = x5 – 4x4 – 2x2 + C;
F(x) = x5 + 2x4 – 3x2 + C.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(F\left( x \right) = \int {\left( {5{x^4} - 8{x^3} - 6x} \right)dx} = {x^5} - 2{x^4} - 3{x^2} + C\).
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x + 1)(x + 2).
\(F\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} + 2x + C\);
\(F\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + \frac{2}{3}{x^2} + 2x + C\);
F(x) = 2x + 3 + C;
\(F\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{2}{3}{x^2} + 2x + C\).
Đáp án đúng là: A
\(\int {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)dx} = \int {\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)dx} = \frac{1}{3}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} + 2x + C\).
Hàm số \(F\left( x \right) = \sqrt[3]{x} + 2\sqrt x + x\sqrt x \) là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
\({f_1}\left( x \right) = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{3}{2}\sqrt x \);
\({f_2}\left( x \right) = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{3}{{2\sqrt x }}\);
\({f_3}\left( x \right) = \frac{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{3} + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{3}{2}\sqrt x \);
\({f_4}\left( x \right) = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + \frac{1}{2}\sqrt x + \frac{3}{{2\sqrt x }}\).
Đáp án đúng là: A
\(F'\left( x \right) = {\left( {\sqrt[3]{x} + 2\sqrt x + x\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{3}{2}\sqrt x \).
Nguyên hàm của \(\int {\frac{1}{{x + 2}}dx} \) là
−ln|x + 2| + C;
ln|x + 2| + C;
(x + 2) + C;
\(\frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} + C\).
Đáp án đúng là: B
\(\int {\frac{1}{{x + 2}}dx} = \ln \left| {x + 2} \right| + C\).
Nguyên hàm của \(\int {\frac{1}{{3x + 1}}dx} \) là
\( - \frac{1}{3}\ln \left| {3x + 1} \right| + C\);
\(\frac{1}{3}\ln \left| {3x + 1} \right| + C\);
\(\frac{1}{3}\ln \left| {3x - 1} \right| + C\);
\( - \frac{1}{3}{\left( {3x + 1} \right)^{\frac{2}{3}}} + C\).
Đáp án đúng là: B
\(\int {\frac{1}{{3x + 1}}dx} = \frac{1}{3}\ln \left| {3x + 1} \right| + C\).
Nguyên hàm của \(\int {\left( {{x^2} - 3x + \frac{1}{x}} \right)} dx\) là
\(\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C\);
\(\frac{{{x^3}}}{2} - \frac{2}{3}{x^2} + \ln \left| x \right| + C\);
\(\frac{{{x^3}}}{2} - \frac{C}{3}{x^2} + \ln \left| x \right|\);
\(\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{C}{3}{x^2} + \ln \left| x \right|\).
Đáp án đúng là: A
\(\int {\left( {{x^2} - 3x + \frac{1}{x}} \right)} dx = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C\).
Nguyên hàm của \(\int {\frac{{2{x^4} + 3}}{{{x^2}}}} dx\) là
\(\frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{3}{x} + C\);
\(\frac{{2{x^3}}}{3} + \frac{3}{x} + C\);
\(2{x^3} + \frac{3}{x} + C\);
\(2{x^3} + \frac{3}{{{x^2}}} + C\).
Đáp án đúng là: A
\(\int {\frac{{2{x^4} + 3}}{{{x^2}}}} dx = \int {\left( {2{x^2} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)dx} = \frac{2}{3}{x^3} - \frac{3}{x} + C\).
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x⁴.
\(\int f (x)dx = \frac{{{x^5}}}{5} + C\).
\(\int f (x)dx = 4{x^3} + C\).
\(\int f (x)dx = {x^5} + C\).
\(\int f (x)dx = \frac{{{x^3}}}{3} + C\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa \(\int {{x^\alpha }} dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\) với α ≠ −1.
Với α = 4, ta có \(\int {{x^4}} dx = \frac{{{x^{4 + 1}}}}{{4 + 1}} + C = \frac{{{x^5}}}{5} + C\).
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \(\frac{1}{{{x^3}}}\) trên khoảng (0; +∞).
\(\int f (x)dx = \frac{1}{{{x^2}}} + C\).
\(\int f (x)dx = - \frac{1}{{2{x^2}}} + C\).
\(\int f (x)dx = \frac{1}{{4{x^4}}} + C\).
\(\int f (x)dx = \ln {x^3} + C\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Viết lại hàm số dưới dạng lũy thừa: f(x) = x⁻³.
Áp dụng công thức nguyên hàm: \(\int {{x^{ - 3}}} dx = \frac{{{x^{ - 3 + 1}}}}{{ - 3 + 1}} + C = \frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} + C = - \frac{1}{{2{x^2}}} + C\).
Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \(\sqrt x \) trên khoảng (0; +∞) là:
\(\int f (x)dx = \frac{2}{3}\sqrt x + C\).
\(\int f (x)dx = \frac{3}{2}x\sqrt x + C\).
\(\int f (x)dx = \frac{1}{{2\sqrt x }} + C\).
\(\int f (x)dx = \frac{2}{3}x\sqrt x + C\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có f(x) = \(\sqrt x \) = \({x^{\frac{1}{2}}}\).
Áp dụng công thức nguyên hàm: \(\int {{x^{\frac{1}{2}}}} dx = \frac{{{x^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} + C = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C = \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + C = \frac{2}{3}x\sqrt x + C\).
Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 3x² biết F(1) = 5.
F(x) = x³ + 5.
F(x) = x3 + 4.
F(x) = 6x + 4..
F(x) = 3x³ + 2
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\int 3 {x^2}dx = 3 \cdot \frac{{{x^3}}}{3} + C = {x^3} + C\).
Vì F(1) = 5 nên 1³ + C = 5, suy ra C = 4.
Vậy F(x) = x³ + 4.
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = (x − 1)².
\(\int f (x)dx = 2(x - 1) + C\).
\(\int f (x)dx = \frac{{{{(x - 1)}^3}}}{2} + C\).
\(\int f (x)dx = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + x + C\).
\(\int f (x)dx = {x^3} - 2{x^2} + x + C\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Khai triển biểu thức: f(x) = x² − 2x + 1.
Nguyên hàm của hàm số là: \(\int {({x^2} - 2x + 1)} dx = \frac{{{x^3}}}{3} - 2 \cdot \frac{{{x^2}}}{2} + x + C = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + x + C\).
Cho hàm số f(x) = xⁿ với n là số nguyên. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Với n = 2, họ nguyên hàm của f(x) là \(\frac{{{x^3}}}{3} + C\).
Với n = 0, họ nguyên hàm của f(x) là C.
Với n = −1, có thể áp dụng công thức \(\int {{x^n}} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).
Với n = −2, họ nguyên hàm của f(x) là \( - \frac{1}{x} + C\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. \(\int {{x^2}} dx = \frac{{{x^{2 + 1}}}}{{2 + 1}} + C = \frac{{{x^3}}}{3} + C\).
b) Sai. Với n = 0 thì f(x) = x⁰ = 1. Khi đó \(\int 1 dx = x + C\).
c) Sai. Công thức \(\int {{x^n}} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\) chỉ áp dụng cho n ≠ −1.
d) Đúng. \(\int {{x^{ - 2}}} dx = \frac{{{x^{ - 2 + 1}}}}{{ - 2 + 1}} + C = \frac{{{x^{ - 1}}}}{{ - 1}} + C = - \frac{1}{x} + C\).
Cho hàm số f(x) = 4x³ + 2x. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Đạo hàm của hàm số f(x) là f'(x) = 12x² + 2.
Hàm số F(x) = x⁴ + x² + 2026 là một nguyên hàm của f(x).
\(\int f (x)dx = \frac{{4{x^4}}}{3} + {x^2} + C\).
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) và F(0) = 1 thì F(1) = 3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. f'(x) = (4x³ + 2x)' = 12x² + 2.
b) Đúng. Vì F'(x) = (x⁴ + x² + 2026)' = 4x³ + 2x = f(x).
c) Sai. \(\int {(4{x^3} + 2x)} dx = 4 \cdot \frac{{{x^4}}}{4} + 2 \cdot \frac{{{x^2}}}{2} + C = {x^4} + {x^2} + C\).
d) Đúng. F(x) = x⁴ + x² + C. F(0) = 1 suy ra 0⁴ + 0² + C = 1 nên C = 1.
Khi đó F(1) = 1⁴ + 1² + 1 = 3.
Xét hàm số f(x) = \(\frac{1}{{\sqrt x }}\) trên khoảng (0; +∞). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Ta có thể viết \(f\left( x \right) = {x^{ - \frac{1}{2}}}\).
Họ nguyên hàm của f(x) là \(\sqrt x + C\).
Hàm số F(x) = 2\(\sqrt x \) là một nguyên hàm của f(x).
\(\int f (x)dx = \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + C\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. \(\frac{1}{{\sqrt x }} = \frac{1}{{{x^{\frac{1}{2}}}}} = {x^{ - \frac{1}{2}}}\).
b) Sai. \(\int {{x^{ - \frac{1}{2}}}} dx = \frac{{{x^{ - \frac{1}{2} + 1}}}}{{ - \frac{1}{2} + 1}} + C = \frac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}}} + C = 2\sqrt x + C\).
c) Đúng. Vì \({\left( {2\sqrt x } \right)^\prime } = 2 \cdot \frac{1}{{2\sqrt x }} = \frac{1}{{\sqrt x }} = f(x)\).
d) Sai. Đây là kết quả của nguyên hàm hàm số \(\sqrt x \).
Cho hàm số f(x) = x²(x + 1). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Hàm số f(x) có thể viết lại là f(x) = x³ + x².
\(\int f (x)dx = \frac{{{x^3}}}{3} \cdot \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right) + C\).
Một nguyên hàm của f(x) là F(x) = \(\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^3}}}{3}\).
Tại x = 1, giá trị của f(1) bằng 2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. f(x) = x²×x + x²×1 = x³ + x².
b) Sai. Nguyên hàm của một tích không bằng tích các nguyên hàm.
c) Đúng. \(\int {({x^3} + {x^2})} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^3}}}{3} + C\). Chọn C = 0 ta được F(x).
d) Đúng. f(1) = 12×(1 + 1) = 2.
Xét nguyên hàm I = \(\int {\frac{{x + 1}}{{{x^3}}}} dx\) trên khoảng (0; +∞). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\(\frac{{x + 1}}{{{x^3}}} = \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}\).
\(\int {\frac{1}{{{x^2}}}} dx = - \frac{1}{x} + C\).
\(\int {\frac{1}{{{x^3}}}} dx = - \frac{1}{{2{x^2}}} + C\).
Kết quả của I là I = \( - \frac{1}{x} - \frac{1}{{2{x^2}}} + C\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Chia tử cho mẫu: \(\frac{x}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^3}}} = \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}\).
b) Đúng. \(\int {{x^{ - 2}}} dx = - {x^{ - 1}} + C = - \frac{1}{x} + C\).
c) Đúng. \(\int {{x^{ - 3}}} dx = \frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} + C = - \frac{1}{{2{x^2}}} + C\).
d) Đúng. Kết hợp kết quả câu b và c.
Cho hàm số f(x) = \(\frac{1}{{\sqrt x }}\) trên khoảng (0; +∞). Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) thỏa mãn F(1) = 3. Tính giá trị của F(4).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 5
Ta có F(x) = \(\int {\frac{1}{{\sqrt x }}} dx = \int {{x^{ - \frac{1}{2}}}} dx = 2\sqrt x + C\).
Vì F(1) = 3 nên \(2\sqrt 1 + C = 3\), suy ra C = 1.
Khi đó \(F\left( x \right) = 2\sqrt x + 1\). Vậy \(F\left( 4 \right) = 2\sqrt 4 + 1 = 5\).
Tìm số nguyên dương n sao cho \(\int {{x^n}} dx = \frac{{{x^7}}}{7} + C\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 6
Áp dụng công thức nguyên hàm: \(\int {{x^n}} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).
Đồng nhất hệ số với đề bài, ta có n + 1 = 7, suy ra n = 6.
Cho hàm số f(x) = 4x³ + 1. Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên tập số thực. Tính giá trị của hiệu số F(1) − F(0).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Ta có F(x) = \(\int {(4{x^3} + 1)} dx = {x^4} + x + C\).
Khi đó F(1) = 1⁴ + 1 + C = 2 + C và F(0) = 0⁴ + 0 + C = C.
Vậy F(1) − F(0) = (2 + C) − C = 2.
Tìm giá trị của hằng số a sao cho hàm số F(x) = ax³ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 6x² trên tập số thực.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Theo định nghĩa nguyên hàm, ta có F'(x) = f(x).
Suy ra (ax³)' = 6x² hay 3ax² = 6x².
Đồng nhất hai vế ta được 3a = 6, suy ra a = 2.
Cho hàm số f(x) = x − 1. Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên tập số thực thỏa mãn F(0) = 1,5. Tính giá trị của F(1).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1
Ta có F(x) = \(\int {(x - 1)} dx = \frac{{{x^2}}}{2} - x + C\).
Vì F(0) = 1,5 nên \(\frac{{{0^2}}}{2}\)− 0 + C = 1,5, suy ra C = 1,5.
Khi đó F(x) = \(\frac{{{x^2}}}{2} - x + 1,5\).
Vậy F(1) = \(\frac{{{1^2}}}{2}\)− 1 + 1,5 = 0,5 − 1 + 1,5 = 1.
Bạn có thích hoạt động này không?
