Bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến bất đẳng thức lớp 9 (có lời giải)
20 câu hỏi
Một tấm bìa cứng hình chữ nhật có chiều dài là 50 cm và chiều rộng là 30 cm. Bạn Linh cắt ở mỗi góc một tấm bìa hình vuông cạnh x (cm) và xếp phần còn lại thành một hình hộp không nắp. Tìm x để diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật sau khi cắt là lớn nhất.
x = 800.
x = 100.
x = 10.
x = 8.
Đáp án đúng là: C
Diện tích tấm bìa hình chữ nhật này là: 50.30 = 1500 (cm2).
Chiều dài sau khi cắt tấm bìa là: 50 – 2x (cm).
Chiều rộng sau khi cắt tấm bìa là: 30 – 2x (cm).
Diện tích xung quanh của hộp là: 2x (50 – 2x + 30 – 2x) = 2x(80 – 4x) = −8x2 + 160x (cm2).
Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật sau khi cắt là lớn nhất thì −8x2 + 160x đạt giá trị lớn nhất.
Ta có: −8x2 + 160x = −8(x2 – 20x + 100) + 800 = −8(x – 10)2 + 800.
Nhận thấy −8(x – 10)2 ≤ 0 nên −8(x – 10)2 + 800 ≤ 800.
Dấu “=” xảy ra khi x – 10 = 0 hay x = 10.
Vậy diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật là 800 cm2 khi x = 10 cm.
21 triệu đồng.
17 triệu đồng.
19 triệu đồng.
20 triệu đồng.
Đáp án đúng là: A
Gọi x là giá mà cửa hàng phải bán để sau khi giảm giá thu được lợi nhuận cao nhất (x > 0, triệu đồng).
Theo đề, số tiền mà của hàng sẽ giảm là 22 – x (triệu đồng) mỗi chiếc.
Khi đó, số lượng máy tính tăng lên là: 50(22 – x) : 0,2 = 250(22 – x) chiếc.
Do đó, số lượng máy tính mà doanh nghiệp bán được là:
500 + 250(22 – x) = 6000 – 250x (chiếc)
Doanh thu mà cửa hàng sẽ đạt được là: (6000 – 250x)x (triệu đồng).
Tiền mà cửa hàng bỏ ra để nhập máy tính sẽ là:
18(6000 – 250x) = 108000 – 4500x (triệu đồng)
Lợi nhuận mà cửa hàng thu được sau khi bán giá mới là:
(6000 – 250x)x – 108000 + 4500x = −250x2 + 10500x – 108000 (triệu đồng).
Ta có: −250x2 + 10500x – 108000 = −250(x – 21)2 + 2250 ≤ 2250.
Dấu “=” xảy ra khi −250(x – 21)2 = 0 suy ra x – 21 = 0 khi x = 21.
Vậy cửa hàng bán với giá 21 triệu đồng thì doanh thu nhận được là lớn nhất.
Một sợi dây thép AC có chiều dài 8 m được chia thành hai phần AB, AC (như hình vẽ minh họa dưới đây).
Mỗi phần đều được uốn thành một hình vuông. Hỏi phải chia sợi dây ban đầu như thế nào để tổng diện tích hai hình vuông thu được sau khi uốn là nhỏ nhất?
AB = BC = 4 m.
AB = 2 m, BC = 6 m.
AB = 3 m, BC = 5 m.
AB = 5 m, BC = 4 m.
Đáp án đúng là: A
Gọi cạnh hình vuông được uốn từ đoạn AB là x (0 < x < 8, m).
Lúc này, độ dài đoạn AB chính là chu vi hình vuông đó và bằng 4x (m).
Do đó, độ dài đoạn BC là 8 – 4x (m).
Suy ra độ dài cạnh hình vuông được uốn bởi đoạn BC là \[\frac{{8 - 4x}}{4}\] = 2 – x (m).
Tổng diện tích hai hình vuông lúc này là x2 + (2 – x)2 (m2).
Ta có: x2 + (2 – x)2 = 2x2 – 4x + 4 = 2(x2 – 2x + 1) + 2 = 2(x – 1)2 + 2 ≥ 2.
Tổng diện tích hai hình vuông đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 m2 khi x – 1 = 0 hay x = 1.
Khi đó, độ dài đoạn thẳng AB = 4 m và độ dài đoạn thẳng BC = 8 – 4 = 4 m hay B là trung điểm của đoạn AC.
Vậy để tổng diện tích hai hình vuông đạt giá trị lớn nhất thì ta chia đoạn dây thép thành hai phần bằng nhau AB = BC = 4 m.
Căng thành hình vuông với độ dài cạnh là 75 m.
Căng thành hình vuông với độ dài cạnh là 50 m.
Căng thành hình vuông với độ dài cạnh là 100 m.
Căng thành hình vuông với độ dài cạnh là 25 m.
Đáp án đúng là: A
• Gọi kích thước hình chữ nhật mà tể tướng sẽ căng là x và y (0 < x, y < 150).
Khi đó, ta có chu vi mảnh đất hình chữ nhật đó là 300 m,
suy ra x + y = 300 : 2 = 150 (m).
Diện tích của mảnh đất là S = xy (m2).
• Chứng minh bổ đề: \[\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \ge xy\] với mọi x, y > 0.
Thật vậy, với mọi x, y > 0, ta có:
(x – y)2 ≥ 0
x2 – 2xy + y2 ≥ 0
(x + y)2 – 4xy ≥ 0
\[\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \ge xy\].
Đẳng thức xảy ra khi x = y.
Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có: \[S = xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\]
Suy ra S ≤ \[\frac{{{{150}^2}}}{4}\] = 5 625.
Dấu “=” xảy ra khi x = y = \[\frac{{150}}{4}\] = 75 m.
Vậy tể tướng đó cần căng sợi dây bao quanh mảnh đất hình vuông có cạnh 75 m để mảnh đất nhận được có diện tích lớn nhất.
>
Bạn Nam làm một căn nhà đồ chơi bằng gỗ có phần mái là một chóp tứ giác đều. Biết các cạnh bên của mái nhà bạn Nam dùng các thanh gỗ có chiều dài 16 cm. Bạn Nam dự định dùng giấy màu để phủ kín phần mái nhà. Gọi độ dài cạnh đáy của phần mái là 2x (cm). Hỏi diện tích giấy màu cần sử dụng nhiều nhất là bao nhiêu?
512 cm2.
256 cm2.
128 cm2.
1048 cm2.
Đáp án đúng là: A
Diện tích giấy màu cần sử dụng chỉnh bằng tổng diện tích bốn mặt bên là các tam giác cân có cạnh bên bằng 16 cm và cạnh đáy bằng 2x cm.
Xét tam giác SBC, kẻ đường cao SH vuông với BC tại H.
Do tam giác SBC cân tại S nên SH vừa là đường cao, vừa là đường trung trực.
Suy ra H là trung điểm của BC.
Suy ra BH = HC = \[\frac{{BC}}{2}\] = x cm (0 < x < 16).
Áp dụng định li Pythagore vào tam giác SHC, ta có:
SH2 + HC2 = SC2
SH2 = 162 – x2
SH2 = 256 – x2
SH = \(\sqrt {256 - {x^2}} \)
Diện tích tam giác SBC là \(\frac{1}{2}.2x.\sqrt {256 - {x^2}} = x\sqrt {256 - {x^2}} {\rm{ }}\)(cm2).
Diện tích giấy màu cần sử dụng là 4\(x\sqrt {256 - {x^2}} \)(cm2).
Thực hiện tính giá trị lớn nhất của S = 4\(x\sqrt {256 - {x^2}} \) với 0 < x < 16.
Ta có: \(4x\sqrt {256 - {x^2}} = 4\sqrt {256{x^2} - {x^4}} \)
\( = 4\sqrt { - \left( {{x^4} - 2.128{x^2} + {{128}^2}} \right) + {{128}^2}} \)
\( = 4\sqrt { - {{\left( {{x^2} - 128} \right)}^2} + {{128}^2}} \le 4\sqrt {{{128}^2}} = 512\).
Do đó, S ≤ 512.
Dấu “=” xảy ra khi x2 – 128 = 0 hay x = \(8\sqrt 2 \) (0 < x < 16).
Vậy diện tích giấy màu cần sử dụng nhiều nhất là 512 cm2.
>>>
Bác Sơn muốn xây một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 72 m3. Đáy bể có dạng hình chữ nhật với chiều rộng là x (m), chiều dài gấp đôi chiều rộng. Bác Sơn muốn phần diện tích cần xây (bao gồm diện tích xung quanh và diện tích đáy bể) là nhỏ nhất để tiết kiệm chi phí thì x phải bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
x = 3,78 m.
x = 3,8 m.
x = 4,7 m.
x = 3,77 m.
Đáp án đúng là: A
Chiều dài của đáy bể là 2x (m).
Diện tích đáy của bể là 2x2 (m2).
Chiều cao của bể là: \[\frac{{72}}{{2{x^2}}} = \frac{{36}}{{{x^2}}}\] (m2).
Diện tích xung quanh của bể là 2. \[\frac{{36}}{{{x^2}}}\].(x + 2x) = \[\frac{{216}}{x}\] (m2).
Diện tích cần xây bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của bể và bằng: \[\frac{{216}}{x}\] + 2x2 (m2).
Do x là chiều rộng của bể nên x > 0, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(2{x^2} + \frac{{216}}{x} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x} + \frac{{108}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2} \cdot \frac{{108}}{x} \cdot \frac{{108}}{x}}}{\rm{ }}\)
Suy ra 2x2 + \[\frac{{216}}{x}\] ≥ 3\(\sqrt[3]{{23328}}\) ≈ 3,78 m.
Vậy muốn diện tích cần xây là tiết kiệm chi phí nhất thì x ≈ 3,78 m.
Nam làm một chiếc hộp không nắp dạng hình hộp chữ nhật bằng bìa carton có thể tích 3 dm3. Biết tỉ số giữa chiều cao h và chiều rộng đáy y bằng 4. Xác định chiều dài x để lượng bìa cần sử dụng là ít nhất.
\(\frac{{27}}{2}\) dm.
\(\frac{4}{3}\) dm.
\(\frac{3}{4}\) dm.
\(\frac{1}{2}\) dm.
Đáp án đúng là: B
Theo đề bài, tỉ số giữa chiều cao h và chiều rộng đáy y bằng 4, suy ra h = 4y.
Thể tích khối hộp 3 dm3 nên xyh = 3 (dm3) hay 4xy2 = 3 (dm3), suy ra x = \[\frac{3}{{4{y^2}}}\].
Do chiếc hộp không nắp, nên diện tích bìa cần dùng là tổng diện tích đáy hộp và diện tích xung của hộp.
Ta có:
\(S = xy + 2h\left( {x + y} \right) = \frac{3}{{4{y^2}}}.y + 2.4y.\left( {\frac{3}{{4{y^2}}} + y} \right)\)
\( = \frac{3}{{4y}} + \frac{6}{y} + 8{y^2} = \frac{{27}}{{4y}} + 8{y^2} = \frac{{27}}{{8y}} + \frac{{27}}{{8y}} + 8{y^2}\).
Do y là chiều rộng của hộp nên y > 0.
Do đó, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cả ba đều số không âm, ta được:
\(\frac{{27}}{{8y}} + \frac{{27}}{{8y}} + 8{y^2} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{27}}{{8y}}.\frac{{27}}{{8y}}.8{y^2}}}\) suy ra S ≥ \(\frac{{27}}{2}\).
Dấu “=” xảy ra khi \(\frac{{27}}{{8y}} = 8{y^2}\), suy ra y = \(\frac{3}{4}\) (dm).
Do đó, \(x = \frac{3}{{4{y^2}}} = \frac{3}{{4.{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2}}} = \frac{4}{3}{\rm{ }}\left( {{\rm{dm}}} \right)\)
Vậy lượng bìa cần dùng ít nhất có diện tích là \(\frac{{27}}{2}\) (dm2) khi chiều dài
x = \(\frac{4}{3}\) (dm).
Cho một mảnh giấy hình vuông ABCD cạnh 6 cm. Gọi E, F lần lượt là hai điểm nằm trên cạnh AD và BC sao choAE = 2cm; BF = 3 cm. Bạn Nam muốn cắt một hình thang EFGH (như hình bên) sao cho hình thang đó có diện tích nhỏ nhất. Xác định vị trí của H trên cạnh AD để bạn Nam có thể thực hiện mong muốn của mình?
AH = \[\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\] cm.
AH = \[\frac{{3\sqrt 2 }}{4}\] cm.
AH = \[\frac{{\sqrt 2 }}{2}\] cm.
AH = \[\frac{3}{2}\] cm.
Đáp án đúng là: A
Diện tích hình vuông ABCD là 62 = 36 (cm2).
Diện tích tam giác BEF là \[\frac{1}{2}\].3.(6 – 2) = 6 (cm2).
Diện tích hình thang EFGH là:
SABCD − SBEF – SAHE – SDHG – SCGF = 30 – (SAHE + SDHG + SCGF).
Để diện tích hình thang EFGH nhỏ nhất thì SAHE + SHDG + SCGF có diện tích lớn nhất.
Ta có: SAHE + SHDG + SCGF = \[\frac{1}{2}\].2x + \[\frac{1}{2}\](6 – x)(6 – y) + \[\frac{1}{2}\].3y
= 2x + (6 – x)(6 – y) + 3y
= 2x + 36 – 6y – 6x + xy + 3y
= 36 + xy – 4x – 3y.
Xét ∆AEH và ∆CGF, có: \[\widehat {EAH} = \widehat {GCF}\] = 90° và \[\widehat {AEH} = \widehat {CGF}\] (do EFGH là hình thang).
Suy ra ∆AEH ᔕ ∆CGF (g-g) nên \[\frac{{AH}}{{CF}} = \frac{{AE}}{{CG}}\] hay \[\frac{2}{y} = \frac{x}{3}\] do đó xy = 6 hay y = \[\frac{6}{x}.\]
Từ đó, ta có: 2(SAHE + SHDG + SCGF) = 21 – \[\left( {2x + \frac{9}{x}} \right)\].
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì 2x + \[\frac{9}{x}\] đạt giá trị nhỏ nhất.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: \(2x + \frac{9}{x} \ge 2\sqrt {2x.\frac{9}{x}} = 6\sqrt 2 \)
Dấu “=” xảy ra khi 2x = \[\frac{9}{x}\] hay 2x2 = 9 khi x = \[\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\].
Do đó, SAHE + SHDG + SCGF = 21 – 6\[\sqrt 2 \] và
SEFGH = 30 – 21 + 6\[\sqrt 2 \] = 9 + 6\[\sqrt 2 \] (cm2).
Vậy AH = x = \[\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\] (cm2) thì diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ nhất.
Bác An có mảnh vườn hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 m. Ở bốn góc vườn, bác An muốn trồng hoa vào các phần đất hình tam giác vuông bằng nhau (hình vẽ). Hãy tính khoảng cách từ góc vườn A đến vị trí E sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.
\[8\sqrt 2 \] m.
2 m.
3 m.
4 m.
Đáp án đúng là: B
Gọi độ dài của đoạn AE = x (0 < x < 4) (m) suy ra độ dài của đoạn
EB = 4 – x (m).
Theo đề, các phần đất hình tam giác bằng nhau, nên ta có:
AE = BH = GC = DF = x (m) và BE = CH = GD = AF = 4 – x (m).
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AEF vuông tại A, ta có:
AE2 + AF2 = EF2
2x2 – 8x + 16 = EF2
Suy ra EF = \[\sqrt {2{x^2} - 8x + 16} {\rm{ }} = {\rm{ }}\sqrt {2\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + 8} = \sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \] (m).
Do các phần hình tam giác có diện tích bằng nhau nên ta có:
FG = GH = HE = EF = \[\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \] (m).
Suy ra, chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất khi \[\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \] nhỏ nhất.
Với mọi 0 < x < 4, ta có:
2(x – 2)2 ≥ 0
2(x – 2)2 + 8 ≥ 8
\[\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \] ≥ \[\sqrt 8 \]
\[4\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \] ≥ \[4\sqrt 8 \]
\[4\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \] ≥ \[8\sqrt 2 \].
Do đó, chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất bằng \[8\sqrt 2 \] (m) khi x – 2 = 0 hay x = 2 (m).
Vậy khoảng cách từ A đến E bằng 2 m thì tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 20 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
Một khu đất có dạng nửa hình tròn với bán kính là 14 m Người ta muốn xây dựng một khu vui chơi hình chữ nhật nội tiếp nửa đường tròn (như hình vẽ). Biết rằng một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của nửa đường tròn. Tính diện tích lớn nhất của khu vui chơi có thể xây dựng.
169 m2.
196 m2.
144 m2.
225 m2.
Đáp án đúng là: B
Gọi x là độ dài c
ạnh hình chữ nhật không nằm dọc theo đường kính đường tròn (0 < x < 14).
Khi đó, độ dài cạnh của hình chữ nhật không nằm dọc trên đường tròn là: \[2\sqrt {{{14}^2} - {x^2}} {\rm{ }}\](m).
Diện tích hình chữ nhật là S = 2x\[\sqrt {{{14}^2} - {x^2}} {\rm{ }}\](m2).
Ta có: S2 = 4x2(196 – x2) = −4x4 + 4x2.196 – 1962 + 1962 = −(2x2 – 196)2 + 1962
Nhận thấy –(2x2 – 196)2 ≤ 0, do đó –(2x2 – 196)2 + 1962 ≤ 1962.
Suy ra S2 ≤ 1962, do đó S ≤ \[\sqrt {{{196}^2}} \] hay S ≤ 196 m2.
Dấu “=” xảy ra khi –(2x2 – 196)2 = 0 hay x = \[7\sqrt 2 \] (m).
Vậy diện tích lớn nhất của khu vui chơi đó là 196 m2.
>
Số lượng iphone bán ra trong một năm là 6 000 – 200x (chiếc).
Lợi nhuận mà cửa hàng thu được khi bán giá mới là −200x2 + 10 600x + 13 800 (triệu đồng)
Lợi nhuận mà cửa hàng thu được cao nhất là 2 450 (triệu đồng).
Cửa hàng bán một chiếc điện thoại với giá 26 triệu thì lợi nhuận cửa hàng là cao nhất.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Số lượng iphone bán ra được trong một năm là \[600 + 20\left( {\frac{{27 - x}}{{0,1}}} \right) = 6\,\,000 - 200x\] (chiếc).
b) Sai.
Lợi nhuận mà cửa hàng thu được khi bán giá mới là:
(6 000 – 200x)(x – 23) = −200x2 + 10 600x – 138 000 (triệu đồng).
c) Đúng.
Ta có: −200x2 + 10 600x – 138 000
= −2(100x2 – 5 300x + 2652) + 2 450
= −2(10x – 265)2 + 2 450 ≤ 2 450.
Do đó, lợi nhuận thu được cao nhất của cửa hàng là 2 450 (triệu đồng).
d) Sai.
Lợi nhuận thu được của cửa hàng đạt được khi 10x – 265 = 0 hay x = 26,5 (tm).
Vậy giá bán mới của một chiếc điện thoại iphone 16 promax là 26,5 triệu đồng.
Số tiền phòng sau khi tăng là 480 + 4,8x (nghìn đồng).
Số tiền thu được khi cho thuê phòng với giá mới là \[ - \frac{{96}}{{25}}{x^2} + 96x + 48\,\,000\] (nghìn đồng).
Doanh thu cao nhất trong một ngày là hơn 50 triệu đồng.
Khách sạn đạt doanh thu cao nhất khi tăng giá phòng lên 540 nghìn đồng.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Số tiền phòng mới là 480 + 480.x% = 280 + 4,8x (nghìn đồng)
b) Đúng.
Số phòng cho thuê sau khi tăng giá là: \[100 - \frac{{4x}}{5}\] (phòng)
Số tiền thu được là: (480 + 4,8x)\[\left( {100 - \frac{{4x}}{5}} \right) = - \frac{{96}}{{25}}{x^2} + 96x + 48\,\,000\] (nghìn đồng).
c) Sai.
Ta có \[ - \frac{{96}}{{25}}{x^2} + 96x + 48\,\,000 = - \frac{{96}}{{25}}{\left( {x - \frac{{25}}{2}} \right)^2} + 48\,\,600 \le 48\,\,600\].
Do đó, doanh thu cao nhất trong một ngày của khách sạn là 48 600 (nghìn đồng) hay 48, 6 triệu đồng < 50 triệu đồng.
d) Đúng.
Khách sạn đạt doanh thu cao nhất khi và chỉ khi \[x - \frac{{25}}{2} = 0\] hay \[x = \frac{{25}}{2} = 12,5\% \]
Do đó, khách sạn đạt doanh thu cao nhất khi tăng giá phòng lên:
480 + 480.12,5% = 540 (nghìn đồng)
Số lượng xoài bán ra đã tăng thêm là 625 – 0,0125x (kg).
Doanh thu của cửa hàng hàng là (650 – 0,0125x)x (đồng).
Lợi nhuận của cửa hàng là −0,0125x2 + 1025x + 19 500 000 (đồng).
Lợi nhuận của cửa hàng đạt được lớn nhất khi x = 41 000 đồng.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là:a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Giá xoài sau khi giảm là: 50 000 – x (đồng).
Số lượng xoài bán ra đã tăng thêm \[\frac{{50\left( {50\,\,000 - x} \right)}}{{4\,\,000}} = 625 - 0,0125x\] (kg)
b) Đúng.
Tổng số xoài bán được là 25 + 625 – 0,0125x = 650 – 0,0125x (kg)
Doanh thu của cửa hàng là: (650 – 0,0125x)x (đồng)
c) Sai.
Số tiền vốn ban đầu để mua xoài là: (650 – 0,0125x).30 000 (đồng)
Vậy lợi nhuận của cửa hàng là:
T = (650 – 0,0125x)x – (650 – 0,0125x).30 000
= −0,0125x2 + 1025x – 19 500 000
d) Đúng.
Ta có: T = (650 – 0,0125x)x – (650 – 0,0125x). 30 000
= −0,0125x2 + 1025x – 19 500 000
= −0,0125(x – 41 000)2 + 1 512 500 ≤ 1 512 500 với mọi x.
Suy ra lợi nhuận lớn nhất của cửa hàng là T = 1 512 500 khi x = 41 000 đồng.
Vậy giá bán mỗi cân xoài là 41 000 đồng thì cửa hàng thu được lợi nhuận là lớn nhất.
Số tiền cho thuê một gian hàng sau mỗi lần tăng là 2 000 000 + 50 000x (đồng).
Tổng số tiền cho thuê gian hàng một tháng khi tăng giá là 50 000(x2 + 10x + 200) (đồng).
Thu nhập cao nhất của trung tâm thương mai Center có thể đạt được trong 1 tháng là hơn 11 triệu đồng.
Trung tâm thương mại Center đạt thu nhập cao nhất khi 5 lần tăng giá gian hàng.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng.
Mỗi lần tăng giá thì số gian hàng cho thuê là 50 – x (căn).
Số tiền cho thuê một gian hàng sau mỗi lần tăng là 2 000 000 + 50 000x (đồng).
b) Sai.
Khi đó, tổng số tiền cho thuê gian hàng một tháng sau khi tăng giá là:
T = (50 – x)(2 000 000 + 50 000x) = 50 000(−x2 + 10x + 200) (đồng)
c) Đúng.
Ta có: T = 50 000(−x2 + 10x + 200)
= 50 000[(−x2 + 10x – 25) + 225]
= 50 000[−(x – 5)2 + 225]
= −50 000(x – 5)2 + 11 250 000 ≤ 11 250 000
Suy ra, giá trị lớn nhất của T = 11 250 000 khi x = 5
d) Đúng.
Do đó, thu nhập cao nhất của trung tâm thương mại Center có thể đạt được trong 1 tháng là 11 250 000 đồng sau 5 lần tăng giá.
\[h = \frac{{32}}{{{x^2}}}\].
Phần mạ vàng của chiếc hộp \[S = 2{x^2} + \frac{{256}}{x}\].
Lượng vàng trên hộp nhỏ nhất khoảng 45 (đvdt).
Để lượng vàng trên hộp là nhỏ nhất thì x = 2h.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Ta có V = x2h = 32 (x, h > 0) nên \[h = \frac{{32}}{{{x^2}}}\].
b) Đúng.
Vì mạ vàng trên mọi điểm của chiếc hộp nên mạ cả mặt trong và mặt ngoài, do đó
Phần mạ vàng của chiếc hộp là: S = 2(x2 + 4xh) = 2x2 + 8x.\[\frac{{32}}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{{256}}{x}\].
c) Sai.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, thấy :
\[2{x^2} + \frac{{256}}{x} = 2{x^2} + \frac{{128}}{x} + \frac{{128}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2} \cdot \frac{{128}}{x} \cdot \frac{{128}}{x}}} = 96\]
Vậy lượng vàng trên chiếc hộp nhỏ nhất khoảng 96 (đtdt)
d) Đúng.
Vậy phần mạ vàng của hộp đó S = 96 khi \[2{x^2} = \frac{{128}}{x}\] hay x = 4 suy ra h = 2.
Do đó, x = 2h.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 9
Vận tốc của anh Hoàng khi chạy ngược chiều gió là v – 6 (km/h) (v > 6)
Thời gian để anh Hoàng chạy hết quãng đường s km là: \[t = \frac{s}{{v - 6}}\] (giờ).
Năng lượng tiêu hao là: E(v) = cv3t = \[s.c.\frac{{{v^3}}}{{v - 6}}\].
Ta có: \[E\left( v \right) = s.c.\frac{{{v^3}}}{{v - 6}} = sc.\left( {{v^2} + 6v + 36 + \frac{{216}}{{v - 6}}} \right)\]
\[ = sc.\left[ {{{\left( {v - 6} \right)}^2} + 18\left( {v - 6} \right) + 108 + \frac{{216}}{{v - 6}}} \right]\]
\[ = sc.\left[ {{{\left( {v - 6} \right)}^2} + \frac{{27}}{{v - 6}} + \frac{{27}}{{v - 6}} + 18\left( {v - 6} \right) + \frac{{162}}{{v - 6}} + 108} \right]\] \[ \ge sc.\left[ {\sqrt[3]{{{{\left( {v - 6} \right)}^2} \cdot \frac{{27}}{{v - 6}} \cdot \frac{{27}}{{v - 6}}}} + 2\sqrt {18\left( {v - 6} \right) \cdot \frac{{162}}{{v - 6}}} + 108} \right]\] (Bất đẳng thức Cauchy)
Do đó, E(v) ≥ 243cs.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {v - 6} \right)^2} = \frac{{27}}{{v - 6}}\\18\left( {v - 6} \right) = \frac{{162}}{{v - 6}}\end{array} \right.\], tức là v = 9 (km/h).
Vậy để năng lượng tiêu hao ít nhất thì anh Hoàng cần chạy với vận tốc 9 km/h.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 15
Ta có: \[h\left( t \right) = 24t + 5{t^2} - \frac{{{t^3}}}{3}\, = - \left( {\frac{t}{3} + 3} \right){\left( {t - 12} \right)^2} + 432 \le 432\] (với mọi t ≥ 0).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t – 12 = 0 hay t = 12.
Sau 12 giờ kể từ thời điểm 8 giờ sáng tức là 20 giờ thì mực nước của hồ sẽ lên cao nhất.
Mà ta cần thông báo trước 5 giờ nên cần thông báo cho các hộ dân di rời trước 15 giờ.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 1
Xét \[c\left( t \right) = \frac{{2t}}{{{t^2} + 1}}\] nên \[\frac{1}{{c\left( t \right)}} = \frac{{{t^2} + 1}}{{2t}} = \frac{t}{2} + \frac{1}{{2t}} \ge 2\sqrt {\frac{t}{2}.\frac{1}{{2t}}} = 1\] (với t > 0)
Do đó, c(t) ≤ 1 (mg/l).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t > 0 và \[\frac{t}{2} = \frac{1}{{2t}}\] suy ra t = 1.
Vậy sau khi tiêm thuốc 1 giờ thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân là cao nhất.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 625
Gọi x (m) (0 < x < 50) là chiều rộng của hình chữ nhật.
Khi đó, chiều dài của hình chữ nhật là \[\frac{{100 - 2x}}{2} = 50 - x\,\,\left( m \right)\].
Diện tích của hình chữ nhật là:
S = x(50 – x) = −x2 + 50x = −(x2 – 50x + 252 – 252) = −(x – 25)2 + 625 ≥ 625
Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là 625 m2 khi x = 25 (m).
Hướng dẫn giải
Đáp án: 95
Gọi x (x > 0) là số lần giảm giá vé.
Khi đó giá vé sau khi giảm là 100 – 10x (nghìn đồng)
Sau mỗi lần giảm giá thì có thêm 3000x khán giả.
Do đó, tổng số khán giả đến xem là: 27 000 + 3 000x (nghìn đồng)
Vì sân vận động có sức chứa 55 000 khán giá nên 27 000 + 3 000x ≤ 55 000
Do đó, x ≤ \[\frac{{28}}{3}\].
Doanh thu từ tiền bán vé là:
T = (27 000 + 3 000x)(100 – 10x)
= −30 000x2 + 30 000x + 2 700 000
= −30 000 \[{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2}\] + 2 707 500 ≤ 2 707 500
Giá trị lớn nhất là T = 2 707 500 khi x = \[\frac{1}{2}\].
Khi đó, giá vé sau khi giảm là 100 – 10.\[\frac{1}{2}\] = 95 (nghìn đồng)
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
