Bài tập Một số bài toán liên quan đến phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 9 (có lời giải)
10 câu hỏi
Cho ba đường thẳng d1: 3x – y – 7 = 0, d2: y = −2x + 3, d3: 3x – 2y – 7 = 0. Khi đó:
d1 và d2 là hai đường thẳng cắt nhau.
Điểm I(2; −1) thuộc cả hai đường thẳng d1 và d2.
Đường thẳng d3 đi qua điểm I(2; −1).
d1, d2 và d3 đồng quy.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
Ta có: d1: 3x – y – 7 = 0 hay y = 3x – 7
Do 3 ≠ −2 nên d1 và d2 là hai đường thẳng cắt nhau.
b) Đúng.
Thay x = 2, y = −1 vào d1, d2 ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}3.2 - \left( { - 1} \right) - 7 = 0\\ - 2.2 + 3 - \left( { - 1} \right) = 0\end{array} \right.\) (đúng).
Do đó, I(2; −1) thuộc cả hai đường thẳng d1 và d2.
c) Sai.
Thay x = 2, y = −1 vào d3 ta được: 3.2 – 2.(−1) – 7 = 1 ≠ 0.
Do đó, đường thẳng d2 không đi qua điểm I(2; −1).
d) Sai.
Vì hai đường thẳng d1 và d2 cùng đi qua điểm I(2; −1) nhưng d3 không đi qua điểm I(2; −1).
Do đó ba đường thẳng d1, d2 và d3 không đồng quy.
Cho 3 đường thẳng (d): y = nx + 2; (d1): y = 5x + 1; (d2): y = x + 2m đồng quy tại một điểm. Biết rằng đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d3): y = 2x + 1. Khi đó:
n > 2.
Giao điểm của đường thẳng (d) và (d1) là điểm A(2; 5).
m = \(\frac{7}{6}.\)
Đường thẳng (d2) cắt trục tung tại điểm B\(\left( {0;\;\,\frac{7}{3}} \right).\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai.
Vì đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d3): y = 2x + 1 nên n = 2.
b) Sai.
Ta có: (d): y = 2x + 2.
Vì A là giao điểm của (d) và (d1) nên ta có: 2x + 2 = 5x + 1, suy ra x \( = \frac{1}{3}.\)
Với x = \(\frac{1}{3}\) thì y = 5.\(\frac{1}{3}\) + 1 = \(\frac{8}{3}.\) Vậy A\(\left( {\frac{1}{3};\;\,\frac{8}{3}} \right).\)
c) Đúng.
Để ba đường thẳng đã cho đồng quy tại một điểm nên điểm A\(\left( {\frac{1}{3};\;\,\frac{8}{3}} \right)\) thuộc đường thẳng (d2). Do đó, \(\frac{8}{3} = \frac{1}{3} + 2{\rm{m}}\), suy ra m = \(\frac{7}{6}.\)
d) Đúng.
Ta có: (d2): y = x + \(\frac{7}{3}\). Với x = 0 thì y = \(\frac{7}{3}\).
Vậy đường thẳng (d2) cắt trục tung tại điểm B\(\left( {0;\;\,\frac{7}{3}} \right).\)
Cho 3 đường thẳng (d): y = x + m; (d1): y = 2x + 1; (d2): y = 3x + 4 – 2m đồng quy tại một điểm. Đường thẳng (d) cắt trục Ox và Oy lần lượt tại hai điểm C và D.
Giao điểm của đường thẳng (d) và (d1) là điểm (m – 1; 2m + 1).
m = 2.
C(–2; 0).
Diện tích tam giác COD bằng 4 (đvdt).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai.
Gọi A là giao điểm của 2 đường thẳng (d) và (d1).
Khi đó: x + m = 2x + 1 nên x = m – 1.
Với x = m – 1 thì y = m – 1 + m = 2m – 1.
Vậy A(m – 1; 2m – 1).
b) Đúng.
Để ba đường thẳng đã cho đồng quy tại một điểm thì điểm A(m – 1; 2m – 1) thuộc đường thẳng (d2).
Suy ra 2m – 1 = 3(m – 1) + 4 – 2m,
2m – 1 = m + 1,
m = 2.
c) Đúng.
Ta có: (d): y = x + 2. Vì C là giao điểm của đường thẳng (d) và trục Ox nên C(–2; 0).
d) Sai.
Vì D là giao điểm của đường thẳng (d) và trục Oy nên D(0; 2). Suy ra OD = 2.
Tam giác COD có: \(\widehat {{\rm{COD}}} = 90^\circ \) và OC = OD nên tam giác COD vuông cân tại O.
Diện tích tam giác COD là: \(\frac{1}{2}\)OC.OD = \(\frac{1}{2}\).2.2 = 2 (đvdt).
Cho ba đường thẳng (d1): y = m2x + 1; (d2): y = x + 5 và (d3): y = 3x – 5 (m là tham số). Khi đó:
Đường thẳng d2 và d3 cắt nhau tại I(5; 10).
Giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 là \(\left( {\frac{{\rm{4}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}} - {\rm{1}}}}{\rm{;}}\,\,\frac{{\rm{5}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}} - {\rm{1}}}}} \right)\).
Với m \( = \sqrt {\frac{9}{5}} \) thì d1 đi qua điểm I(5; 10).
Có duy nhất một giá trị của m để ba đường thẳng d1; d2 và d3 đồng quy.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng y = x + 5 và y = 3x – 5.
Khi đó: x + 5 = 3x – 5. Suy ra x = 5.
Với x = 5 thì y = 5 + 5 = 10. Do đó, I (5; 10).
b) Sai.
Xét phương trình: m2x + 1 = x + 5
(m2 – 1)x = 4
x = \(\frac{4}{{{\rm{m}}{}^2 - 1}}\).
Do đó, y = \(\frac{{5{{\rm{m}}^2} - 1}}{{{\rm{m}}{}^2 - 1}}\).
Vậy giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 là \(\left( {\frac{{\rm{4}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}} - {\rm{1}}}}{\rm{;}}\,\,\frac{{{\rm{5}}{{\rm{m}}^2} - 1}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}} - {\rm{1}}}}} \right)\).
c) Đúng.
Thay x = 5, y = 10 vào d1 được: 10 = 5m2 + 1, suy ra m2 \( = \frac{9}{5}.\)
Do đó, m \( = \sqrt {\frac{9}{5}} \) hoặc m = –\(\sqrt {\frac{9}{5}} \).
d) Sai.
Do phần c) ta thấy d1 qua I(5; 10) khi m \( = \sqrt {\frac{9}{5}} \) hoặc m = –\(\sqrt {\frac{9}{5}} \).
Mà d2 và d3 cũng đi qua điểm I(5; 10).
Vậy có tất cả 2 giá trị của m để ba đường thẳng đã cho đồng quy.
Biết rằng ba đường thẳng (d): y = –x + 6; (d’): y = 3x + 2 và (d”): y = x + m đồng quy tại một điểm. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d”) với hai trục Ox và Oy. Khi đó:
Giao điểm của (d) và (d’) là I(1; 5).
Để (d), (d’) và (d”) đồng quy thì m = 4.
M(0; 4).
OM + ON = 8.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng (d): y = –x + 1; (d’): y = 3x + 2.
Khi đó: –x + 6 = 3x + 2. Suy ra x = 1.
Với x = 1 thì y = –1 + 6 = 5. Do đó, I (1; 5).
b) Đúng.
Để ba đường thẳng đã cho đồng quy thì I (1; 5) thuộc đường thẳng (d”): y = x + m.
Suy ra: 5 = 1 + m, suy ra m = 4.
Do đó, (d”): y = x + 4.
c) Sai.
Vì M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d”) với hai trục Ox và Oy nên M(–4; 0); N(0; 4).
d) Đúng.
Suy ra: OM = 4 và ON = 4.
Vậy OM + ON = 4 + 4 = 8.
Cho ba đường thẳng (d): y = nx + 2; (d1): y = –2x + 1; (d2): y = x + 2m đồng quy tại một điểm. Biết rằng đường thẳng (d) đi qua điểm A(4; 1). Tính giá trị của biểu thức n + 8m.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 9
Vì (d) đi qua điểm A(4; 1) nên 4 = n.1 + 2, suy ra n = 2. Do đó, (d): y = 2x + 2.
Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng (d): y = 2x + 2; (d1): y = –2x + 1.
Do đó, 2x + 2 = –2x + 1, suy ra x = \(\frac{{ - 1}}{4}\).
Với x = \(\frac{{ - 1}}{4}\) thì y = 2. \(\frac{{ - 1}}{4}\) + 2 = \(\frac{3}{2}\). Do đó, A\(\left( {\frac{{ - 1}}{4};\;\,\frac{3}{2}} \right)\).
Để 3 đường thẳng đã cho đồng quy tại 1 điểm thì I\(\left( {\frac{{ - 1}}{4};\;\,\frac{3}{2}} \right)\) thuộc đường thẳng (d2): y = x + 2m.
Do đó, \(\frac{3}{2} = \frac{{ - 1}}{4} + 2{\rm{m}}\), suy ra m = \(\frac{7}{8}.\) Vậy n + 8m = 9.
Cho đường thẳng d có phương trình (m – 2)x + (3m – 1)y = 6m – 2. Giá trị của tham số m để đường thẳng d vuông góc với đường thẳng y = \(\frac{1}{2}\)x – 5 bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 0
Để đường thẳng d vuông góc với đường thẳng y = \(\frac{1}{2}\)x – 5 thì ta có:
\(\frac{1}{2}\)(m – 2) = −1 hay m = 0.
Cho đường thẳng d có phương trình (m – 2)x + (3m – 1)y = 6m – 2. Giá trị của tham số m để đường thẳng d song song với đường thẳng y = 2x – 3 bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 4
Để song song với đường thẳng y = 2x – 3 thì đường thẳng d có hệ số a = 2.
Ta có: m – 2 = 2 hay m = 4.
Cho đường thẳng d có phương trình (m – 2)x + (3m – 1)y = 6m – 2. Giá trị của tham số m để đường thẳng d song song với trục hoành bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 2
Để đường thẳng song song với trục hoành thì phương trình đường thẳng có hệ số bằng 0.
Ta có: m – 2 = 0 khi m = 2.
Cho ba đường thẳng (d1): y = 2x – 1, (d2): y = x + 3, (d3): y = mx + n đồng quy tại một điểm. Khi đó, giá trị biểu thức 2n + 8m bằng
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 14
Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng (d1): y = 2x – 1, (d2): y = x + 3.
Do đó, 2x – 1= x + 3, suy ra x = 4.
Với x = 4 thì y = 2.4 – 1= 7. Do đó, A(4; 7).
Để ba đường thẳng đã cho đồng quy tại một điểm thì A(4; 7) thuộc đường thẳng (d3): y = mx + n.
Do đó, 7 = 4m + n. Vậy 2n + 8m = 14.
