Bài tập Liên hệ giữa đường kính và dây của đường tròn lớp 9 (có lời giải)
25 câu hỏi
Cho đường tròn (O) đường kính AB và dây CD không đi qua tâm. Khẳng định nào sau đây là đúng?
AB > CD.
AB = CD.
AB < CD.
>
AB ≤ CD.
Đáp án đúng là: A
Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính nên AB > CD.
“Trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây có độ dài….”. Cụm từ thích hợp điền vào chỗ trông là:
Nhỏ nhất.
Lớn nhất.
Bằng 10 cm.
Bằng tổng hai dây bất kì.
Đáp án đúng là: B
Trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây có độ dài lớn nhất.
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
AB = OA + OB = 2R.
Đoạn thẳng nối hai điểm tùy ý của một đường tròn gọi là một dây cung của đường tròn.
Mỗi dây đi qua tâm là một đường kính của đường tròn.
Khi dây AB không là đường kính của đường tròn tâm (O; R) thì AB ≤ 2R.
Khi dây AB là đường kính của đường tròn tâm O bán kính R, ta có:
Đáp án đúng là: C
Dựa vào khái niệm dây và đường kính, mối quan hệ giữa dây và đường kính có đáp án A, B, D, là đúng.
Khi dây AB không là đường kính của đường tròn (O; R) thì AB < 2R.
>
Xét dây AB tùy ý không đi qua tâm của đường tròn (O; R). Khi đó:
AB < R.
>
AB = R.
AB ≤ 2R.
AB < 2R.
>
Đáp án đúng là: D
Dây AB tùy ý không đi qua tâm nên AB < 2R.
>
Cho đường tròn (O) có hai dây AB, CD không đi qua tâm. Biết rằng khoảng cách từ tâm đến hai dây là bằng nhau. Kết luận nào sau đây là đúng?
AB > CD.
AB = CD.
AB < CD.
>
AB ∕∕ CD.
Đáp án đúng là: C
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác EAO và GDO ta có:
AE = \(\sqrt {A{O^2} - O{E^2}} = DG = \sqrt {O{D^2} - O{G^2}} \).
Từ đây, suy ra AB = CD = 2AE = 2DG.
Lưu ý: Trong một đường tròn hay dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Cho đường tròn (O) có hai dây AB, CD không đi qua tâm. Biết rằng khoảng cách từ tâm đến dây AB lớn hơn khoảng cách từ tâm đến dây CD. Kết luận nào sau đây là đúng?
AB > CD.
AB = CD.
AB < CD.
>
AB ∕∕ CD.
Đáp án đúng là: C
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông AOE, ta có:
AE = \(\sqrt {A{O^2} - O{E^2}} \).
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông DOG, ta có:
\(DG = \sqrt {O{D^2} - O{G^2}} \).
Và OE > OG; OA = OC từ đó suy ra AE < GD.
Do đó, AB < CD.
Lưu ý để giải toán: Trong một đường tròn, dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
>>
Cho đường tròn đường kính MN. Với P là một điểm bất kì (khác M và N) nằm trên đường tròn. Khi đó
MP + NP < MN.
>
MP – NP ≥ MN.
MN < MP + NP ≤ 2MN.
>
MN < MP + NP < 2MN.
>
Đáp án đúng là: D
Xét tam giác MNP, có: MN < MP + NP (bất đẳng thức tam giác).
>
Cho đường tròn (O) có bán kính R = 5 cm. Khoảng cách từ tâm đến dây AB là 3 cm. Tính độ dài dây AB.
AB = 6 cm.
AB = 8 cm.
AB = 10 cm.
AB = 12 cm.
Đáp án đúng là: B
Kẻ OH vuông với AB tại H, do đó OH = 3 cm.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác OAH, ta có:
AH2 + OH2 = OA2
AH2 = OA2 – OH2
Suy ra AH = \(\sqrt {O{A^2} - O{H^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\) cm.
Tam giác OAB có OA = OB = R nên tam giác OAB cân tại O.
Mà OH vuông với AB tại H nên H là trung điểm của AB.
Do đó, AB = 2AH = 8 cm.
Cho đường tròn (O) có bán kính R = 6,5 cm. Khoảng cách từ tâm đến dây AB là 2,5 cm. Tính độ dài dây AB.
AB = 6 cm.
AB = 8 cm.
AB = 10 cm.
AB = 12 cm.
Đáp án đúng là: D
Kẻ OH vuông với AB tại H, do đó OH = 2,5 cm.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác OAH, ta có:
AH2 + OH2 = OA2
AH2 = OA2 – OH2
Suy ra AH = \(\sqrt {O{A^2} - O{H^2}} = \sqrt {6,{5^2} - 2,{5^2}} = 6\) cm.
Tam giác OAB có OA = OB = R nên tam giác OAB cân tại O.
Mà OH vuông với AB tại H nên H là trung điểm của AB.
Do đó, AB = 2AH = 12 cm.
Cho đườn tròn (O; R) có hai dây AB, CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I. Giả sử IA = 2 cm, IB = 4 cm. Tổng khoảng cách từ tâm O đến dây AB và CD là
4 cm.
1 cm.
3 cm.
2 cm.
Đáp án đúng là: D
Xét đường tròn (O).
Kẻ OE ⊥ AB tại E suy ra E là trung điểm của AB, kẻ OF ⊥ CD tại F.
Vì dây AB = CD nên OE = OF (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm).
Xét tứ giác OEIF có \(\widehat E = \widehat F = \widehat I = 90^\circ \) nên OEIF là hình chữ nhật và OE = OF nên OEIF là hình vuông.
Suy ra OE = OF = EI.
Mà AB = IA + IB = 6 cm nên EB = 3 cm.
Suy ra IE = EB – IB = 1 cm nên OE = OF = 1 cm.
Vậy tổng khoảng cách từ tâm đến hai dây AB, CD là 2 cm.
Đường thẳng nối hai điểm tùy ý của một đường tròn được gọi là dây của đường tròn.
Đoạn thẳng nối hai điểm tùy ý của một đường tròn được gọi là dây của đường tròn.
Dây đi qua tâm của đường tròn được gọi là bán kính của đường tròn.
Đường tròn có duy nhất một đường kính.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Khẳng định đúng là: Đoạn thẳng nối hai điểm tùy ý của một đường tròn được gọi là dây của đường tròn.
C sai vì dây đi qua tâm của đường tròn được gọi là đường kính của đường tròn.
D sai vì đường tròn có vô số đường kính.
P, Q đều nằm trên đường tròn (O).
P nằm trên đường tròn (O) và Q nằm trong đường tròn (O).
P nằm trên đường tròn (O) và Q nằm ngoài đường tròn (O).
P nằm ngoài đường tròn (O) và Q nằm ngoài đường tròn (O).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
PQ là một dây của đường tròn (O) nếu P, Q đều nằm trên đường tròn (O).
Cho hình vẽ:
Khi đó:
GD < CB.
GD = EF.
GD = CB = EF.
GD = CB > EF.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Trong đường tròn trên:
+ Hai dây GD và CB cùng đi qua tâm A nên GD = CB.
+ Dây EF không đi qua tâm A nên GD = CB > EF.
Cho hình vẽ:
Khi đó:
CB = 2AD.
EF = 2AD.
EF = CB.
EF = 2AC.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Đường tròn tâm A có:
+ Dây CB đi qua tâm A nên CB là đường kính, AD là bán kính nên CB = 2AD.
+ Dây EF không đi qua tâm A nên EF < CB, suy ra EF < 2AD, EF < 2AC.
Cho đường tròn (O; 5 cm). Gọi EF là một dây của đường tròn đó và không đi qua tâm O. Khi đó, độ dài dây EF không thể bằng.
2 cm.
4 cm.
6 cm.
10 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Đường kính của đường tròn (O; 5 cm) là: 2.5 = 10 (cm).
Vì EF là dây của đường tròn (O; 5 cm) và không đi qua tâm O nên EF < 10 cm.
Do đó, độ dài dây EF không thể bằng 10 cm.
Cho tứ giác ABCD có AC ^ AB tại A, BD ^ CD tại D. Gọi O là trung điểm của BC và E là điểm đối xứng của A qua O. Khi đó:
Điểm A thuộc đường tròn (O; BC).
4 điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (O; OB).
5 điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.
AD < AE.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai.
Vì AC ^ AB tại A nên DABC vuông tại A.
Mà AO là đường trung tuyến của tam giác đó nên OA = OB = OC.
Vậy điểm A thuộc đường tròn đường O đường kính BC.
b) Đúng.
Vì BD ^ CD tại D nên DDBC vuông tại D.
Mà DO là đường trung tuyến của tam giác đó nên OD = OB = OC.
Vậy điểm D thuộc đường tròn đường (O; OB).
Theo a) ta có: OA = OB = OC nên điểm A thuộc đường tròn đường (O; OB).
Vậy 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (O; OB).
c) Đúng.
Vì E là điểm đối xứng của A qua O nên EO = AO.
Mà OA = OB nên EO = OB.
Suy ra điểm E thuộc đường tròn đường (O; OB).
Theo b) ta có: 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (O; OB).
Vậy 5 điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.
d) Đúng.
Xét (O; OB) có AE là dây đi qua tâm O nên AE là đường kính, AD là dây không đi qua tâm O nên AD < AE.
Cho (O; 6 cm) và điểm A bất kì thuộc đường tròn đó. Đường thẳng OA cắt đường tròn (O; 6 cm) tại B (B khác A). Lấy điểm D thuộc đường tròn (khác A và B), khi đó:
AB là đường kính của (O; 6 cm).
DB < AB.
AD + BD > 12 cm.
AD + BD = 24 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Xét (O; 6 cm): AB là dây đi qua tâm O nên AB là đường kính của (O; 6 cm).
b) Đúng.
Vì AB là đường kính của (O; 6 cm), DB là dây không đi qua tâm O của (O; 6 cm) nên DB < AB.
c) Đúng.
Xét DADB có: AD + DB > AB (bất đẳng thức tam giác) hay AD + BD > 12 cm.
d) Sai.
Vì AB là đường kính của (O; 6 cm), AD là dây không đi qua tâm O của (O; 6 cm) nên AD < AB hay AD < 12 cm.
Theo b) ta có: DB < AB nên DB < 12 cm. Do đó, AD + BD < 24 cm.
\(\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{CDA}}} = 90^\circ \).
Điểm B thuộc đường tròn đường kính AC.
Bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
AC < BD.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Tứ giác ABCD có: \(\widehat {{\rm{ABC}}} + \widehat {{\rm{BCD}}} + \widehat {{\rm{CDA}}} + \widehat {{\rm{DAB}}} = 360^\circ \).
Suy ra: \(\widehat {{\rm{ABC}}} + \widehat {{\rm{ADC}}} = 180^\circ \) suy ra \(\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{CDA}}} = 90^\circ \).
b) Đúng.
Vì \(\widehat {{\rm{ABC}}} = 90^\circ \) nên tam giác ABC vuông tại B, mà BO là đường trung tuyến của tam giác đó nên OB = OA = OC.
Do đó, điểm B thuộc đường tròn đường kính AC.
c) Đúng.
Vì \(\widehat {{\rm{ADC}}} = 90^\circ \) nên tam giác ADC vuông tại D, mà DO là đường trung tuyến của tam giác đó nên OD = OA = OC.
Do đó, điểm D thuộc đường tròn đường kính AC.
Theo b) ta có: điểm B thuộc đường tròn đường kính AC.
Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính AC.
d) Sai.
Vì BD là dây không đi qua tâm O của đường tròn đường kính AC nên AC > BD.
Cho tam giác ABC. Gọi O là trung điểm của BC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên AC, K là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Khi đó:
Điểm H thuộc đường tròn (O; CO).
OH = OK.
4 điểm B, C, H, K thuộc một đường tròn.
HK = BC.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Vì H là hình chiếu vuông góc của B trên AC nên BH ^ AC tại H.
Do đó, tam giác BHC vuông tại H.
Mà HO là đường trung tuyến của tam giác đó nên OH = OB = OC.
Suy ra điểm H thuộc đường tròn (O; CO).
b) Đúng.
Vì K là hình chiếu vuông góc của C trên AB nên CK ^ AB tại K.
Do đó, tam giác BKC vuông tại K.
Mà KO là đường trung tuyến của tam giác đó nên OK = OB = OC.
Mà OH = OB = OC (cmt). Vậy OK = OH.
c) Đúng.
Vì OH = OB = OC = OK nên 4 điểm B, C, H, K thuộc đường tròn (O; OC).
d) Sai.
Xét đường tròn (O; OC) có BC là đường kính, KH là dây không đi qua tâm O nên ta có: HK < BC.
Cho đường tròn (O; 5 cm) và ba dây AB, AC, AD (không có dây nào đi qua tâm). Kẻ BN vuông góc với AD tại N, kẻ BM vuông góc với AC tại M. Gọi I là trung điểm của AB, khi đó:
AB < 10 cm.
Điểm M thuộc đường tròn (I; AI).
4 điểm M, N, B, A cùng thuộc một đường tròn.
MN > 10 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng d) Sai.
a) Đúng.
Vì AB là dây không đi qua tâm O của đường tròn (O; 5 cm) nên AB < 10 cm.
b) Đúng.
Vì BM ^ AC tại M nên tam giác ABM vuông tại M.
Mà MI là đường trung tuyến của tam giác đó nên MI = IA = IB.
Suy ra, điểm M thuộc đường tròn (I; AI).
c) Đúng.
Vì BN ^ AD tại N nên tam giác ABN vuông tại N.
Mà NI là đường trung tuyến của tam giác đó nên NI = IA = IB.
Suy ra, điểm N thuộc đường tròn (I; AI).
Theo b) ta có điểm M thuộc đường tròn (I; AI).
Vậy 4 điểm M, N, B, A cùng thuộc một đường tròn.
d) Sai.
Xét đường tròn (I; AI) có AB là đường kính.
MN là dây không đi qua tâm O nên MN < AB.
Theo a) AB < 10 cm nên MN < 10 cm.
Cho hình vẽ:
Khi đó, KH < …(m). Tìm số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 4
Gọi O là trung điểm của BC.
Vì ∆BKC vuông tại K có KO là đường trung tuyến nên KO = OB = OC \( = \frac{1}{2}\)BC.
Vì ∆BHC vuông tại H có HO là đường trung tuyến nên HO = OB = OC \( = \frac{1}{2}\)BC.
Do đó, OH = OK = OB = OC\( = \frac{1}{2}\)BC nên 4 điểm B, C, H, K cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
Lại có, KH là dây không đi qua tâm O của đường tròn đường kính BC nên KH < 4 m. Vậy số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên là 4.
Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Biết rằng EH = 4 cm và \(\widehat {{\rm{EAH}}} = 30^\circ \), khi đó ED = a (cm). Tìm giá trị nguyên lớn nhất của a thỏa mãn bài toán.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 7
Vì CE là đường cao của DABC nên EC ^ AB tại E.
Do đó, DAEH vuông tại E.
Suy ra EH = AH. sin\(\widehat {{\rm{EAH}}}\), suy ra AH = \(\frac{{{\rm{EH}}}}{{\sin \widehat {{\rm{EAH}}}}} = \frac{4}{{\sin 30^\circ }} = 8\) (cm).
Gọi G là trung điểm của AH.
Vì DAEH vuông tại E có EG là đường trung tuyến nên GA = GH = GE = \(\frac{1}{2}\)AH.
Vì BD là đường cao của DABC nên BD ^ AC tại D.
Do đó, DADH vuông tại D.
Mà DG là đường trung tuyến của tam giác đó GD = GH = GA.
Suy ra: GD = GA = GH = GE.
Suy ra 4 điểm G, E, A, H thuộc đường tròn đường kính AH.
Mà ED là dây không đi qua tâm O, suy ra ED < AH hay ED < 8 cm.
Mà a là số nguyên lớn nhất nên a = 7.
Cho đường tròn (O) và dây AB không đi qua tâm của đường tròn (O). Biết rằng AB = 16 cm và khoảng cách từ tâm O đến AB bằng 6 cm, hỏi đường kính của đường tròn (O; OB) bằng bao nhiêu cm?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 20
Gọi H là trung điểm của AB, suy ra HB = 8 cm.
Vì A, B thuộc đường tròn (O) nên OA = OB. Suy ra tam giác AOB cân tại O.
Do đó OH là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác AOB.
Suy ra, OH ^ AB tại H. Suy ra, OH là khoảng cách từ tâm O đến AB nên OH = 6 cm.
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác OHB vuông tại H có:
OB2 = OH2 + HB2 = 62 + 82 = 100 nên OB = 10 cm.
Vậy đường kính của đường tròn (O; OB) bằng 20 cm.
Cho hình vẽ:
Khi đó, BD < … m. Số nguyên nhỏ nhất điền vào “…” là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 4
Vì \(\widehat {{\rm{EDB}}} = \widehat {{\rm{DBC}}}\), mà hai góc này ở vị trí so le trong nên DE // CB.
Suy ra \(\widehat {{\rm{DEC}}} = \widehat {{\rm{ECB}}} = 30^\circ \) (hai góc so le trong).
Ta có: \(\widehat {{\rm{AEB}}} = 180^\circ - \widehat {{\rm{DEC}}} - \widehat {{\rm{CEB}}} = 60^\circ .\)
Vì EA = AB nên tam giác ABE cân tại A, mà \(\widehat {{\rm{AEB}}} = 60^\circ \) nên tam giác ABE đều.
Do đó, EB = EA = DE = 2 m.
Do đó, 3 điểm D, B, A thuộc đường tròn tâm E, đường kính DA = 4 m.
Vì DB là dây không đi qua tâm E của đường tròn đường kính DA = 4 m nên BD < 4 m.
Vậy số nguyên nhỏ nhất điền vào “…” là 4.
Cho đường tròn (O; 6 cm). Vẽ hai dây AB và CD vuông góc với nhau. Khi diện tích tứ giác ACBD lớn nhất thì độ dài dây AB bằng bao nhiêu cm?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 12
Vì AB, CD là các dây của đường tròn (O; 6 cm) nên AB ≤ 12 cm, CD ≤ 12 cm.
Ta có: SACBD = SDCEA + SDCEB + SDBED + SDDEA
\( = \frac{1}{2}{\rm{CE}} \cdot {\rm{AE}} + \frac{1}{2}{\rm{CE}} \cdot {\rm{EB}} + \frac{1}{2}{\rm{AE}} \cdot {\rm{ED}} + \frac{1}{2}{\rm{BE}} \cdot {\rm{ED}}\)
\( = \frac{1}{2}{\rm{AB}} \cdot {\rm{CD}} \le \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 = 72\) (cm2).
Dấu “=” xảy ra khi AB = CD = 12 cm.
Vậy diện tích tứ giác ACBD lớn nhất bằng 144 cm2 khi AB = CD = 12 cm.
