Bài tập Góc ở tâm và số đo cung bị chắn lớp 9 (có lời giải)
25 câu hỏi
Chọn khẳng định đúng. Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là:
Góc ở tâm.
Góc tạo bởi hai bán kính .
Góc bên ngoài đường tròn.
Góc bên trong đường tròn.
Đáp án đúng là: A
Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được góc ở tâm.
Trong hai cung của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau, cung nào nhỏ hơn thì
Có số đo lớn hơn.
Có số đo nhỏ hơn 90°.
Có số đo lớn hơn 90°.
Có số đo nhỏ hơn.
Đáp án đúng là: D
Trong hai cung của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau, cung nào nhỏ hơn thì có số đo nhỏ hơn.
Chọn câu đúng. Trong hai cung của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
Hai cung bằng nhau nếu chúng đều là cung nhỏ.
Hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo nhỏ hơn 90°.
Hai cung bằng nhau nếu chúng đều là cung lớn.
Hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
Đáp án đúng là: D
Trong hai cung của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau, hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
Sử dụng dữ kiện của bài toán dưới đây để trả lời Bài 4, 5
Cho hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M, biết \(\widehat {AMB} = 50^\circ \).
Tính \(\widehat {AMO}\) và \(\widehat {BOM}\) được
\(\widehat {AMO} = 35^\circ ,\widehat {MOB} = 55^\circ \).
\(\widehat {AMO} = 65^\circ ,\widehat {MOB} = 25^\circ \).
\(\widehat {AMO} = 25^\circ ,\widehat {MOB} = 65^\circ \).
\(\widehat {AMO} = 55^\circ ,\widehat {MOB} = 35^\circ \).
Đáp án đúng là: C
Vì MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên OM là tia phân giác của \(\widehat {AOB}\); MO là tia phân giác của \(\widehat {AMB}\) hay \(\widehat {AMO} = \frac{1}{2}\widehat {AMB} = 25^\circ \).
MÀ tam giác OAM vuông tại A (do MA là tiếp tuyến) nên \(\widehat {AOM} = 90^\circ - \widehat {AMO} = 65^\circ \).
Mà OM là tia phân giác của \(\widehat {AOB}\) nên \(\widehat {MOB} = \widehat {MOA} = 65^\circ \).
Vậy \(\widehat {OMA} = 25^\circ ;\widehat {MOB} = 65^\circ \).
Số đo cung AB nhỏ và số đo cung AB lớn lần lượt là:
130°; 250°.
150°; 250°.
130°; 230°.
150°; 210°.
Đáp án đúng là: C
Xét tứ giác OAMB có \(\widehat {BOA} + \widehat {OBM} + \widehat {OAM} + \widehat {AMB} = 360^\circ \)
Suy ra \(\widehat {BOA} = 360^\circ - \left( {\widehat {OBM} + \widehat {OAM} + \widehat {AMB}} \right) = 360^\circ - \left( {90^\circ + 90^\circ + 50} \right) = 130^\circ \).
Vậy số đo của cung nhỏ AB là 130°, số đo cung lớn AB là: 360° − 130° = 230°.
Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O). Số đo cung BC nhỏ là:
240°.
60°.
180°.
120°.
Đáp án đúng là: D
Vì tam giác ABC đều có tâm O là tâm đường tròn ngoại tiếp nên O cũng là giao ba được phân giác nên BO, CO lần lượt là các đường phân giác \(\widehat {ABC},\widehat {ACB}\).
Ta có: \(\widehat {BCO} = \frac{1}{2}\widehat {ACB} = 30^\circ \); \(\widehat {CBO} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} = 30^\circ \).
Xét tam giác BOC có \(\widehat {BOC} = 180^\circ - \widehat {CBO} - \widehat {BCO} = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ \).
Do đó, số đo cung nhỏ BC là 120°.
Cách 2. Ta có: \(\widehat {BOC} = 2\widehat {BAC} = 120^\circ \) (góc nội tiếp và góc ở tâm).
Do đó số đo cung nhỏ BC là 120°.
Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O). Tính số đo cung AC lớn.
240°.
60°.
360°.
210°.
Đáp án đúng là: A
Vì tam giác ABC đều có tâm O là tâm đường tròn ngoại tiếp nên O cũng là giao ba được phân giác nên AO, CO lần lượt là các đường phân giác \(\widehat {ABC},\widehat {ACB}\).
Ta có: \(\widehat {CAO} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = 30^\circ \); \(\widehat {ACO} = \frac{1}{2}\widehat {ACB} = 30^\circ \).
Xét tam giác AOC có \(\widehat {AOC} = 180^\circ - \widehat {ACO} - \widehat {CAO} = 120^\circ \)
Do đó, số đo cung nhỏ AC là 120°.
Nên số đo cung lớn AC là: 360° − 120° = 240°.
Sử dụng dữ liệu bài toán dưới đây để trả lời Bài 8, 9
Cho đường tròn (O; R), lấy điểm M nằm ngoài (O) sao cho OM = 2R. Từ M kẻ tiếp tuyến MA và MB với (O) (A, B là các tiếp điểm)
Số đo góc \(\widehat {AOM}\) là
30°.
120°.
50°.
60°.
Đáp án đúng là: D
Xét tam giác AOM vuông tại A ta có:
\(\cos AOM = \frac{{AO}}{{OM}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2}\) suy ra \(\widehat {AOM} = 60^\circ \).
Số đo cung AB nhỏ là
240°.
120°.
360°.
210°.
Đáp án đúng là: B
Xét đường tròn (O) có MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M nên OM là tia phân giác của \(\widehat {AOB}\).
Suy ra \(\widehat {AOB} = 2\widehat {AOM} = 2.60^\circ = 120^\circ \) mà \(\widehat {AOB}\) là góc ở tâm chắn cung AB nên số đo cung nhỏ AB là 120°.
Cho đường tròn (O; R), lấy điểm M nằm ngoài (O) sao cho OM = \(R\sqrt 2 .\)Từ M kẻ tiếp tuyến MA và MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Số đo cung lớn AB lớn là:
270°.
90°.
180°.
210°.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\widehat {BMO} = 45^\circ \).
Xét tam giác OBM vuông tại B (do BM là tiếp tuyến của (O) có \(\widehat {BMO} = 45^\circ \) nên
\(\widehat {BOM} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \).
Xét đường tròn (O) có MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M nên OM là tia phân giác của góc \(\widehat {AOB} = 2.\widehat {BOM} = 2.45^\circ = 90^\circ \) mà \(\widehat {AOB}\) là góc ở tâm chắn cung AB.
Do đó, số đo cung nhỏ AB là 90°.
Vậy số đo cung lớn AB là 360° − 90° = 270°.
Cho các hình vẽ:
Khi đó, góc ở tâm của đường tròn trên là
\(\widehat {{\rm{ACD}}}\).
\(\widehat {{\rm{ADC}}}\).
\(\widehat {{\rm{DAC}}}\).
\(\widehat {{\rm{BDC}}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
\(\widehat {{\rm{DAC}}}\) là góc ở tâm của đường tròn trên.
90o.
180o.
360o.
270o.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Số đo của nửa đường tròn bằng 180o.
Số đo của cung nhỏ bằng nửa số đo góc ở tâm chắn cung đó.
Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.
Số đo của cung nhỏ bằng hai lần số đo góc ở tâm chắn cung đó.
Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn thì cung đó nhỏ hơn.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó nên B đúng.
Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn thì cung đó lớn hơn.
sđnhỏ = 80o.
sđnhỏ = 40o.
sđnhỏ = 160o.
sđnhỏ = 60o.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Vì \(\widehat {{\rm{AOB}}}\) là góc ở tâm của đường tròn (O) chắn cung AB nhỏ nên sđ nhỏ =\(\widehat {{\rm{AOB}}} = 80^\circ .\)
sđlớn = 100o.
sđlớn = 260o.
sđlớn = 200o.
sđlớn = 130o.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Vì \(\widehat {{\rm{AOB}}}\) là góc ở tâm của đường tròn (O) chắn cung AB nhỏ nên sđnhỏ = \(\widehat {{\rm{AOB}}} = 100^\circ .\)
Do đó, sđlớn = 360o – sđnhỏ = 260o.
Cho hình vẽ:
Biết rằng sđ . Khi đó:
\(\widehat {{\rm{MAC}}} > 100^\circ .\)
Tam giác MAD đều.
MD > DC.
MC ^ AD.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Vì \(\widehat {{\rm{MAC}}}\) là góc ở tâm của đường tròn (A; AC) chắn cung MDC.
nên \(\widehat {{\rm{MAC}}}\) = sđ . Vậy \(\widehat {{\rm{MAC}}} > 100^\circ .\)
b) Đúng.
Ta có: \(\widehat {{\rm{MAD}}} = \widehat {{\rm{DAC}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{MAC}}} = 60^\circ .\)
Vì 2 điểm M, D thuộc (A; AC) nên MA = AD.
Suy ra, tam giác MAD cân tại A.
Lại có: \(\widehat {{\rm{MAD}}} = 60^\circ \) nên tam giác MAD đều.
c) Sai.
Vì 2 điểm C, D thuộc (A; AC) nên AC = AD.
Suy ra, tam giác CAD cân tại A.
Lai có: \(\widehat {{\rm{CAD}}} = 60^\circ \) nên tam giác CAD đều.
Suy ra: DC = AD.
Vì tam giác MAD đều nên MD = AD.
Vậy MD = DC.
d) Đúng.
Tứ giác MACD có: MD = DC = AC = MA (= AD) nên tứ giác MACD là hình thoi.
Do đó, MC ^ AD.
Cho hình vẽ:
Biết rằng sđ = 2 sđ . Khi đó:
\(\widehat {{\rm{DOB}}} = 2\widehat {{\rm{DOA}}}\).
\(\widehat {{\rm{DOA}}} = 60^\circ \).
Tam giác AOD đều.
DB = 2AD.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Xét nửa đường tròn (O; OA) có:
\(\widehat {{\rm{DOB}}}\) = sđ (góc ở tâm chắn cung DB), \(\widehat {{\rm{DOA}}}\)= sđ (góc ở tâm chắn cung AD).
Mà sđ = 2 sđ nên \(\widehat {{\rm{DOB}}} = 2\widehat {{\rm{DOA}}}\).
b) Đúng.
Ta có: \(\widehat {{\rm{DOB}}} + \widehat {{\rm{DOA}}} = 180^\circ \) nên \(\widehat {{\rm{DOA}}} + 2\widehat {{\rm{DOA}}} = 180^\circ \), suy ra \(\widehat {{\rm{DOA}}} = 60^\circ \).
c) Đúng.
Vì A, D thuộc (O; OA) nên OD = OA.
Suy ra, tam giác AOD cân tại O.
Mà \(\widehat {{\rm{DOA}}} = 60^\circ \) nên tam giác AOD đều.
d) Sai.
Ta có: \(\widehat {{\rm{DOB}}} = 2\widehat {{\rm{DOA}}} = 120^\circ \).
Vì tam giác AOD đều nên \(\widehat {{\rm{DAO}}} = 60^\circ \).
Vì B, D thuộc (O; OA) nên OD = OB.
Suy ra, DBOD cân tại O.
Suy ra: \(\widehat {{\rm{OBD}}} = \widehat {{\rm{ODB}}}\)
Do đó: \(\widehat {{\rm{OBD}}} = \widehat {{\rm{ODB}}} = \frac{{180^\circ - \widehat {{\rm{DOB}}}}}{2} = 30^\circ \).
DABD có: \(\widehat {{\rm{ADB}}} = 180^\circ - \widehat {{\rm{DAO}}} - \widehat {{\rm{DBA}}} = 90^\circ \).
Suy ra, tam giác ABD vuông tại D.
Do đó, DB = DA. tan\(\widehat {{\rm{DAO}}}\) = DA. tan 60o = \(\sqrt 3 \)AD.
Cho hình vẽ:
Biết rằng sđ lớn = 280o.
sđ nhỏ = 80o.
\(\widehat {{\rm{COD}}} = 80^\circ .\)
OE là tia phân giác của góc COD.
CD ≈ 7 m.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Ta có: sđ nhỏ = 360o – sđlớn = 360o – 280o = 80o.
b) Đúng.
Xét (O; OC) có: \(\widehat {{\rm{COD}}}\) = sđ nhỏ = 80o (góc ở tâm chắn cung CD nhỏ).
c) Đúng.
Vì C, D thuộc (O; OC) nên OC = OD.
Do đó, tam giác COD cân tại O.
Suy ra, OE là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác, đường cao của tam giác COD.
Suy ra, OE là tia phân giác của góc COD.
d) Sai.
Vì OE là tia phân giác của góc COD nên \(\widehat {{\rm{COE}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{COD}}} = 40^\circ .\)
Xét tam giác COE vuông tại E có: CE = OC.sin\(\widehat {{\rm{COE}}}\)= 6.sin 40o (m).
Do đó, CD = 2CE = 2.6.sin 40o ≈ 7,7 m.
Trên đường tròn (O) lấy 3 điểm A, B, C sao cho số đo ba cung AB nhỏ, AC nhỏ và BC nhỏ bằng nhau.
sđ nhỏ = 120o.
\(\widehat {{\rm{AOB}}} = \widehat {{\rm{BOC}}} = \widehat {{\rm{COA}}} = 120^\circ .\)
\(\widehat {{\rm{BAC}}} = 60^\circ \).
AB = BC > AC.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Ta có: sđ nhỏ = sđ nhỏ = sđ nhỏ = \(\frac{{360^\circ }}{3} = 120^\circ \).
b) Đúng.
Xét (O; OA): Vì các góc \(\widehat {{\rm{AOB}}};\;\,\widehat {{\rm{BOC}}};\;\,\widehat {{\rm{COA}}}\) là các góc ở tâm lần lượt chắn các cung nhỏ; nhỏ; nhỏ. Do đó, \(\widehat {{\rm{AOB}}} = \widehat {{\rm{BOC}}} = \widehat {{\rm{COA}}}\) = sđnhỏ = 120o.
c) Đúng.
Vì A, B thuộc (O; OA) nên OA = OB.
Do đó, DAOB cân tại O.
Suy ra \(\widehat {{\rm{ABO}}} = \widehat {{\rm{BAO}}}\).
Ta có: \(\widehat {{\rm{ABO}}} = \widehat {{\rm{BAO}}} = \frac{{180^\circ - \widehat {{\rm{BOA}}}}}{2} = 30^\circ .\)
Chứng minh tương tự ta có: \(\widehat {{\rm{ACO}}} = \widehat {{\rm{CAO}}} = 30^\circ .\)
Ta có: \(\widehat {{\rm{BAC}}} = \widehat {{\rm{BAO}}} + \widehat {{\rm{OAC}}} = 60^\circ \).
d) Sai.
Chứng minh tương tự phần b) ta có: \(\widehat {{\rm{ABC}}} = 60^\circ .\)
DABC có: \(\widehat {{\rm{BAC}}} = \widehat {{\rm{ABC}}} = 60^\circ \) nên DABC đều.
Do đó, AB = BC = AC.
Cho đường tròn (O; 4 cm) và dây MN. Kẻ OI vuông góc với MN tại I. Biết rằng MI = 2\(\sqrt 2 \) cm. Khi đó:
MN = 4\(\sqrt 2 \) cm.
Tam giác MON vuông cân tại O.
sđ nhỏ = 45o.
sđ lớn = 6sđ nhỏ.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
Vì M, N thuộc đường tròn (O; 4 cm) nên OM = ON.
Suy ra, DMON cân tại O.
Do đó, OI là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó.
Suy ra MN = 4\(\sqrt 2 \) cm.
b) Đúng.
Vì OM2 + ON2 = MN2 (do \({4^2} + {4^2} = {\left( {4\sqrt 2 } \right)^2}\)) nên tam giác MON vuông tại O.
Theo a), tam giác MNO cân tại O nên tam giác MON vuông cân tại O.
c) Sai.
Vì tam giác MON vuông cân tại O nên \(\widehat {{\rm{MON}}} = 90^\circ \).
Ta có: sđnhỏ = \(\widehat {{\rm{MON}}} = 90^\circ \) (góc ở tâm chắn cung MN nhỏ).
d) Sai.
Ta có: sđlớn = 360o – sđnhỏ = 360o – 90o = 270o.
Vậy sđlớn = 3sđnhỏ.
Cho chiếc đồng hồ như hình vẽ:
Coi mỗi vành đồng hồ là một đường tròn, hỏi số đo của cung DE lớn bằng bao nhiêu độ?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 210
Vì số đo của cung cả đường tròn gấp 2,4 lần số đo cung DE nhỏ và cung cả đường tròn bằng 360o nên sđnhỏ = 360o : 2,4 = 150o.
Do đó, sđlớn = 360o – 150o = 210o.
Cho hình vẽ:
Hỏi số đo cung AE lớn bằng bao nhiêu độ?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 220
Xét (O; OA) có:
+ Góc AOB là góc ở tâm chắn cung AB nhỏ nên sđnhỏ =\(\widehat {{\rm{AOB}}} = 45^\circ \).
+ Góc EOB là góc ở tâm chắn cung EB nhỏ nên sđnhỏ =\(\widehat {{\rm{EOB}}} = 95^\circ \).
Ta có: sđlớn = 360o – sđnhỏ – sđnhỏ = 220o.
Cho hình vẽ:
Tổng số đo cung BnC và cung AqD bằng bao nhiêu độ?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 215
Xét (O; OA) có:
+ Góc AOB là góc ở tâm chắn cung AmB nên .
+ Góc COD là góc ở tâm chắn cung CpD nhỏ nên .
Ta có:
Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat {{\rm{BAC}}} = 70^\circ \). Vẽ nửa đường tròn tâm O, đường kính BC. Nửa đường tròn này cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. Hỏi số đo cung DE bao nhiêu độ?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 40
Vì DABC cân tại A nên \(\widehat {\rm{B}} = \widehat {\rm{C}} = \frac{{180^\circ - \widehat {\rm{A}}}}{2} = 55^\circ \).
Vì B, D thuộc nửa đường tròn (O; OD) nên OB = OD.
Suy ra, DBOD cân tại O.
Suy ra: \(\widehat {\rm{B}} = \widehat {{\rm{ODB}}}\) = 55o.
Do đó, \(\widehat {{\rm{DOB}}} = 180^\circ - \widehat {\rm{B}} - \widehat {{\rm{ODB}}} = 70^\circ \).
Chứng minh tương tự ta có: \(\widehat {{\rm{EOC}}} = 70^\circ .\)
Ta có: \(\widehat {{\rm{DOE}}} = 180^\circ - \widehat {{\rm{DOB}}} - \widehat {{\rm{EOC}}} = 40^\circ \).
Vì \(\widehat {{\rm{DOE}}}\)là góc ở tâm chắn của nửa đường tròn (O; OD) nên sđ .
Cho đoạn thẳng BC = 6 m. Vẽ nửa đường tròn tâm O, đường kính BC. Trên nửa đường tròn đó lấy hai điểm D và E sao cho số đo ba cung BD, DE, CE bằng nhau. Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng BD và CE. Hỏi độ dài đoạn thẳng AB bằng bao nhiêu m?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 6
Vì số đo ba cung BD, DE, CE bằng nhau nên ta có:
.
Xét (O; OB) có:
+ Góc DOB là góc ở tâm chắn cung BD nên .
+ Góc EOC là góc ở tâm chắn cung EC nhỏ nên .
+ Vì OB = OD nên DBOD cân tại O, \(\widehat {{\rm{DOB}}} = 60^\circ \)nên DBOD đều suy ra \(\widehat {\rm{B}} = 60^\circ \).
Chứng minh tương tự ta có: \(\widehat {\rm{C}} = 60^\circ \).
Tam giác ABC có: \(\widehat {\rm{B}} = \widehat {\rm{C}} = 60^\circ \) nên tam giác ABC đều. Vậy AB = BC = 6 m.
