Bài tập Liên hệ giữa cung và dây có đáp án
11 câu hỏi
Cho ∆ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn (O). Chứng minh rằng
a) AB⏜=BC⏜
b) AB⏜<BC⏜
Trong đường tròn (O):
Xét ∆ABC vuông cân tại A, ta có ngay:
- AB = AC (hai cạnh bên của tam giác cân) => AB⏜=BC⏜
- AB < BC (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền) => AB⏜<BC⏜
a) Vẽ đường tròn tâm (O), bán kính R = 2 cm. Nêu cách vẽ cung AB⏜ có số đo bằng 600. Hỏi dây AB dài bao nhiêu xen – ti – mét?
b) Làm thế nào để chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như hình dưới
b)
Vậy các điểm A, B, C, D, E, F chia đường tròn thành 6 cung bằng nhau.
Cho đường tròn (O), dây AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB. Vẽ dây MC cắt dây AB tại D. Vẽ đường vuông góc với AB tại D, cắt OC ở K. Chứng minh rằng là tam giác cân.
Vì M là điểm chính giữa của cung AB nên
Suy ra 
<=> ∆KCD là tam giác cân
Chứng minh rằng hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
Xét hai dây song song AB và CD, kẻ bán kính ON⊥AB, khi đó vì:
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH của tam giác cắt đường tròn ở D. Vẽ đường kính AE.
a) Chứng minh rằng BECD là hình thang cân.
b) Gọi M là điểm chính giữa của cung DE, OM cắt BC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của BC.
c) Tính bán kính của đường tròn biết BC = 24cm, IM = 8cm.
Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Kẻ các đường kính AC của đường tròn (O) và đường kính AD của đường tròn (O’). Gọi E là giao điểm thứ hai của AC với đường tròn (O’)
a) So sánh các cung nhỏ BC⏜, BD⏜.
b) Chứng minh rằng B là điểm chính giữa của cung EBD⏜ (tức là điểm B chia cung EBD⏜ thành hai cung bằng nhau BE⏜= BD⏜)
Tứ giác ABCD có B⏜=D⏜=900. Biết AB < AD, chứng minh rằng BC > CD.
Suy ra ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC.
Ta có
Hai đường tròn (O) và (O’) cùng bán kính cắt nhau tại M và N.
a) Chứng minh rằng hai cung nhỏ MN⏜ của hai đường tròn bằng nhau.
b) Vẽ các đường kính MA của đường tròn (O) và đường kính MB của đường tròn (O’). Chứng minh rằng NA⏜=NB⏜
c) Vẽ đường kính NOC. Tia BM cắt đường tròn (O) tại D. Chứng minh rằng các cung nhỏ MN⏜, AC⏜, CD⏜ bằng nhau.
a) Vì MN là dây cung chung của hai đường tròn bằng nhau nên hai cung nhỏ của hai đường tròn bằng nhau.
b) Ta có AM⏜=MB⏜, vì hai đường tròn bằng nhau
c) Tứ giác ACMN là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên
Mặt khác, ta có A, N, B thẳng hàng và AN = BN
Suy ra ON là đường trung bình của ∆ABD, do đó
Cho ∆ABC. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm D sao cho AD = AC. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp ∆DBC. Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc với OH, OK với BC và BD (H∈BC, K∈BD)
a) Chứng minh rằng OH > OK
b) So sánh hai cung nhỏ BD⏜, BC⏜
a) Xét ∆OBD và ∆OBC cân tại đỉnh O có các đường cao kẻ từ đỉnh theo thứ tự là OK và OH nên chúng đồng thời là các trung tuyến.
Trên dây cung AB⏜ của đường tròn (O) lấy hai điểm C và D sao cho AC = CD = DB. Các bán kính qua C và D cắt cung nhỏ AB lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng AE⏜=BF⏜<EF⏜
a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.
b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.
a) Giả sử đường kính CD của đường tròn (O) có C là điểm chính giữa của cung AB.
Nghĩa là AC = CB. Suy ra O1^=O2^
Gọi I là giao điểm của CD và AB, ta có:
OI vừa là tia phân giác vừa là trung tuyến của tam giác OAB
Vậy I là trung điểm của AB
Mệnh đề đảo không đúng, ta cần bổ sung thêm “Đường kính đi qua trung điểm một dây không đi qua tâm của đường tròn thì nó vuông góc với dây đó”.
b) Đường kính CD đi qua C là điểm chính giữa cung AB nên AC = CB
Suy ra AOC^=COB^ => OC là tia phân giác của góc AOB^
Vì tam giác OAB cân tại O nên đường phân giác đồng thời là đường cao
Vậy ta có OC⊥AB⇒CD⊥AB
