Bài tập Hình trụ lớp 9 (có lời giải)

+ Hình b) và hình d) là hình trụ

+ Vật thể e) là vật thể có dạng hình trụ

Bước 1: Cắt hai miếng bìa có dạng hình tròn với bán kính \[r = 5\left( {cm} \right)\] (hình 1).

Bước 2: Cắt một tấm bìa hình chữ nhật \[ABCD\] có cạnh \[h = 8\left( {cm} \right)\] và cạnh \[2\pi .r = 2\pi .5 \approx 31,4\left( {cm} \right)\] (hình 2).

Giả sử ban đầu khối trụ có chiều cao \({h_1}\) và bán kính \({r_1}\). Khi đó, khối trụ có thể tích là \({V_1} = \pi r_1^2{h_1}\).

Sau khi tăng chiều cao của khối trụ lên \(4\) lần, bán kính của nó giảm \(2\) lần thì khối trụ có chiều cao \(4{h_1}\) và bán kính \(\frac{1}{2}{r_1}\). Khi đó, khối trụ mới có thể tích là \[{V_2} = \pi {\left( {\frac{1}{2}{r_1}} \right)^2}.4{h_1} = \pi {r_1}{h_1} = {V_1}\].

Vậy thể tích của khối trụ mới không hay đổi so với khối trụ ban đầu

Hình trụ có bán kính đáy bằng nửa chiều cao suy ra: \(h = 2r\)

Hình trụ có diện tích toàn phần là \(4\pi \) suy ra:

\[\begin{array}{l}{S_{tp}} = 2\pi r\left( {h + r} \right)\\4\pi  = 2\pi .r\left( {2r + r} \right)\\4\pi  = 6\pi .{r^2}\\{r^2} = \frac{2}{3}\\ \Rightarrow r = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\left( {dm} \right)\end{array}\]

Nên \(r = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\left( {dm} \right),\,\,l = h = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\left( {dm} \right)\)

Thể tích hình trụ: \(V = \pi {r^2}.h = \frac{{4\pi \sqrt 6 }}{9}\left( {d{m^2}} \right)\)

Quay hình chữ nhật \(ABCD\) quanh trục \(HK\) ta được hình trụ có đường cao là \(h = AB = a\), bán kính đường tròn đáy là \(R = BK = \frac{1}{2}BC = a\).

a) Vậy diện tích toàn phần của hình trụ là: \({S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 4\pi {a^2}\) (đvdt)

b) Thể tích khối tròn xoay \(\left( T \right)\) là: \(V = \pi {a^2}.a\)\( = \pi {a^3}\)(đvtt)

Vì thùng nước hình trụ có chiều cao h = 1m và bán kính đáy r = 1: 2 = 0,5 m nên:

\[V = \pi {r^2}h = 3,24.{\left( {0,5} \right)^2}.1 = 0,785{m^3}\]

Vì \[V = 0,785{m^3} < 1{m^3}\] nên thùng nước không đựng được 1 m³ nước.

Vì bể hình trụ có chiều cao h = 2,5 m và diện tích đáy S_đáy = 4,8 m nên thể tích của bể là:

 $V=S_{đáy}.h=4,8.2,5=12m^3=12000\left(lit\right)$

Vậy vòi nước chảy sau 12.000: 4.800 = 2,5 giờ thì đầy bể.

Vì lọ thuốc hình trụ có chiều cao h = 10cm và bán kính đáy R = 5cm nên diện tích xung quanh của lọ thuộc là:

Vậy diện tích phần giấy cần dùng là của lọ thuốc là 314cm². 

Vì ống đong hình trụ có \[h = 5r\] nên:

\[\begin{array}{l}V = \pi {r^2}.h\\40\pi  = \pi {r^2}.5r\\{r^3} = 8\\ \Rightarrow r = 2\end{array}\]

\[ \Rightarrow h = 5.2 = 10cm\]

Vậy chiều cao của ống đong là 10cm.

Ở cách 1, thùng hình trụ có chiều cao \[h = 50\,{\rm{cm}}\], chu vi đáy \({C_1} = 240\,{\rm{cm}}\) nên bán kính đáy \({R_1} = \frac{{{C_1}}}{{2\pi }} = \frac{{120}}{\pi }\,\,{\rm{cm}}\). Do đó thể tích của thùng là \({V_1} = \pi R_1^2h\).

Ở cách 2, hai thùng đều có có chiều cao \[h = 50\,{\rm{cm}}\], chu vi đáy \({C_2} = 120\,{\rm{cm}}\) nên bán kính đáy \({R_1} = \frac{{{C_2}}}{{2\pi }} = \frac{{60}}{\pi }\,\,{\rm{cm}}\). Do đó tổng thể tích của hai thùng là \({V_2} = 2\pi R_2^2h\).

Vậy \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\pi R_1^2h}}{{2\pi R_2^2h}} = \frac{1}{2}.{\left( {\frac{{{R_1}}}{{{R_2}}}} \right)^2} = \frac{1}{2}.{\left( {\frac{{\frac{{120}}{\pi }}}{{\frac{{60}}{\pi }}}} \right)^2} = 2\).

Ta có:

\(V = {V_1} + {V_2}\)

\[h\pi {R^2} = h\pi {r_1}^2 + h\pi {r_2}^2\].

\[ \Rightarrow R = \sqrt {{r_1}^2 + {r_2}^2}  \approx 1,72\,m\].

Thể tích của hai khối trụ làm đầu tạ \(\left( {{T_1}} \right)\): \[{V_1} = 2\pi {r_1}^2{h_1} = 2\pi {\left( {4{r_2}} \right)^2}\frac{1}{2}{h_2} = 16\pi {r_2}^2{h_2} = 16.30 = 480\,\left( {c{m^3}} \right)\].

Tổng thể tích của chiếc tạ tay: \[V = {V_1} + {V_2} = 480\, + 30 = 510\,\left( {c{m^3}} \right)\].

Khối lượng của chiếc tạ: \(m = D.V = 7,7.510 = 3927\left( g \right) = 3,927\left( {kg} \right)\).

Miếng pho mát là một phần của hình trụ

Thể tích hình trụ là \({V_1} = \pi {.10^2}.8 = 800\pi \,(c{m^3})\)

Thể tích của mẫu pho mát là \(V = \frac{{15}}{{360}}.{V_1} = \frac{{15}}{{360}}.800\pi  \approx 104,7\,\,(c{m^3})\)

Khối lượng của mẫu pho mát là \(m = V.D = 104,7.3 \approx 314,1\,\left( g \right)\)

Thể tích của vật thể là

\(V = {V_{hhcn}} + \frac{1}{2}{V_{tru}} = 14.20.10 + \pi {.7^2}.20 \approx 5878,8\,(c{m^3}) \approx 5,9\,(l)\)

Vậy vật thể chứa tối đa 5,9 lít nước