Bài tập Hình nón lớp 9 (có lời giải)

a) Khi quay tam giác \[R = HC = 2\] xung quanh trục \(\Delta AHC\), ta thu được hình nón có bán kính đáy \(r = AC = a\), chiều cao \(h = AB = a\sqrt 3 \)và đường sinh là cạnh huyền \(l = BC\).

Xét tam giác \( = 2\sqrt 3 \) vuông tại \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}.AH\), theo pythagore, ta có:

\[\begin{array}{l}B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} = 2{a^2}\\ \Rightarrow BC = 2a \Rightarrow l = 2a\end{array}\]

Đường sinh của hình nón \[2a\] (đvđd)

b) Thể tích hình nón là: \[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi .{a^2}.a\sqrt 3  = \frac{{{a^3}\sqrt 3 \pi }}{3}\] (đvtt)

Khi quay tam giác \[R = HC = 2\] xung quanh trục \(AC\), ta thu được hình nón có bán kính đáy \(r = AB = a\), chiều cao \(h = AC\)và đường sinh là cạnh huyền \(l = BC\).

Xét tam giác \( = 2\sqrt 3 \) vuông tại \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}.AH\), ta có \(\frac{8}{{117}}\).

Vậy thể tích hình nón là : \(\frac{4}{{21}}\).

Quay tam giác \[AA'C\] một vòng quanh trục \(AA'\) tạo thành hình nón có chiều cao \(AA' = a\), bán kính đáy \[r = AC = a\sqrt 2 \], đường sinh \(l = A'C = \sqrt {AA{'^2} + A{C^2}}  = a\sqrt 3 \).

Diện tích toàn phần của hình nón: \(S = \pi r\left( {r + l} \right) = \pi a\sqrt 2 \left( {a\sqrt 2  + a\sqrt 3 } \right) = \pi \left( {\sqrt 6  + 2} \right){a^2}\).

Khi tam giác \(BMC\) quanh quanh trục \(AB\)thì thể tích hình nón tạo thành là hiệu của thể tích hình nón có đường cao \(AB\), đường sinh \(BC\) và hình nón có đường cao \(AB\), đường sinh \(BM\).

Nên \(V = \frac{1}{3}AB.\pi .A{C^2} - \frac{1}{3}AB.\pi .A{M^2} = \frac{1}{4}AB.\pi .A{C^2} = 96\pi \).

Ta có công thức tính thể tích hình nón có chiều cao \(h\) và bán kính \(r\) là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\)

+ Khi quay tam giác \(ABC\) quanh cạnh \(AB\) thì:

\(h = AB = 6cm\) và \(r = AC = 8cm\) thì \({V_1} = \frac{1}{3}\pi {.8^2}.6 = 128\pi \)

+ Khi quay tam giác \(ABC\) quanh cạnh \(AC\) thì:

\(h = AC = 8cm\) và \(r = AB = 6cm\) thì \({V_2} = \frac{1}{3}\pi {.6^2}.8 = 96\pi \)

Vậy: \[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{4}{3}\]

Vậy diện tích lá dùng để làm nón là 110%.1318,8=1450,68 cm²

Vì chiếc nón hình nón có đường sinh l = 30cm và bán kính đáy R = 40: 2 = 20cm nên diện tích xung quanh của chiếc nón là:

S_xq = pRl = p. 20. 30 = 600p (cm²)

diện tích là cần dùng cho một chiếc nón là: 2. 600p = 1200p cm².

Vậy diện tích là cần dùng làm 5000 chiếc nón là: 500. 1200p = 600000p cm².

Bán kính đáy \(R = 5:2 = 2,5\,cm\)

Thể tích chiếc phểu là \(V = \frac{1}{3}.\pi .2,{5^2}.4 \approx 26,2\,(c{m^3})\)

Bán kính đáy hình nón là \[R = 46:2 = 23\,cm\]

Đường sinh của hình nón là \(l = \sqrt {{{23}^2} + {{20}^2}}  \approx 30,5\,cm\)

Diện tích xung quanh của chiếc nón là \({S_{xq}} = \pi .23.30,5 \approx 2203,8\,(c{m^2})\)

Lời giải

Bán kính đáy hình nón là \[R = 46:2 = 23\,cm\]

Đường sinh của hình nón là \(l = \sqrt {{{23}^2} + {{20}^2}}  \approx 30,5\,cm\)

Diện tích xung quanh của chiếc nón là \({S_{xq}} = \pi .23.30,5 \approx 2203,8\,(c{m^2})\)

Bán kính đáy hình nón là \[R = 46:2 = 23\,cm\]

Đường sinh của hình nón là \(l = \sqrt {{{23}^2} + {{20}^2}}  \approx 30,5\,cm\)

Diện tích xung quanh của chiếc nón là \({S_{xq}} = \pi .23.30,5 \approx 2203,8\,(c{m^2})\)

Bán kính của mái nón lớn nhất là \(R = 45:2 = 22,5\,m\)

Thể tích là \(V = \frac{1}{3}.\pi .22,{5^2}.24 \approx 12723,5\,\left( {{m^3}} \right)\)

Đổi 160cm=1,6m

Bán kính đáy hình nón là \(R = \sqrt {\frac{{3V}}{{\pi h}}}  = \sqrt {\frac{{3.1,256}}{{\pi .1,6}}}  \approx 0,9\,(m)\)

Đường sinh của hình nón là \(l = \sqrt {0,{9^2} + 1,{6^2}}  \approx 1,84\,\left( m \right)\)

Diện tích vải để may một chiếc lều là \(S = \pi .0,9.1,84 \approx 5,2\,\,\left( {{m^2}} \right)\)

Bán kính mặt đáy là \(R = 3:2 = 1,5m\)

Diện tích chiếu sáng trên nền nhà là \(S = \pi .1,{5^2} = 5,65\,\left( {{m^2}} \right)\)

Theo giả thiết mỗi chiếc nón lá là một hình nón có bán kính đáy\(R = \frac{{50}}{2} = 25\,\left( {cm} \right) = 0,25\,\left( m \right)\) và đường cao \(h = 30\,\left( {cm} \right) = 0,3\,\left( m \right)\).

Gọi \(l\) là chiều cao của hình nón\( \Rightarrow l = \sqrt {{R^2} + {h^2}}  = \frac{{\sqrt {61} }}{{20}}\,\,\left( m \right)\).

Diện tích xung quanh của 1 chiếc nón lá là \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .0,25.\frac{{\sqrt {61} }}{{20}} = \frac{{\pi \sqrt {61} }}{{80}}\,\,\left( {{m^2}} \right)\)

Tổng diện tích xung quanh của 1000 chiếc nón là \(S = 1000.\frac{{\pi \sqrt {61} }}{{80}} = \frac{{25\pi \sqrt {61} }}{2}\,\,\left( {{m^2}} \right)\)

Do đó khối lượng lá cần dùng là \(\frac{S}{{6,13}} \approx 50,03\,\left( {kg} \right)\).

Coi khối lập phương có cạnh \[1\]. Thể tích khối lập phường là \[V = 1\].

Từ giả thiết ta suy ra khối nón có chiều cao \[h = 1\], bán kính đáy \[r = \frac{1}{2}\].

Thể tích lượng nước trào ra ngoài là thể tích \[{V_1}\] của khối nón.

Ta có: \[{V_1} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi .\frac{1}{4}.1 = \frac{\pi }{{12}}\].

Thể tích lượng nước còn lại trong thùng là: \[{V_2} = V - {V_1} = 1 - \frac{\pi }{{12}} = \frac{{12 - \pi }}{{12}}\].

Do đó: \[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{\pi }{{12 - \pi }}\].

Gọi a là bán kính đáy hình nón;

\({V_1},{V_2}\) lần lượt là thể tích của hình nón trên lúc chứa đầy nước và khi chiều cao của nước bằng 1 dm;

h, \({V_3}\) lần lượt là chiều cao của nước, thể tích của hình nón dưới khi chiều cao của nước trong hình nón trên bằng 1 dm;

R, r lần lượt là bán kính của hình nón trên của nước, bán kính của hình nón dưới của nước khi chiều cao của nước trong hình nón trên bằng 1 dm.

Ta có: \(\frac{R}{a} = \frac{1}{2} \Rightarrow R = \frac{a}{2}\).

Thể tích nước của hình nón trên khi chiều cao bằng 1 là \({V_2} = {\textstyle{1 \over 3}}.1.\pi {\left( {{\textstyle{1 \over 2}}a} \right)^2} = \frac{{\pi {a^2}}}{{12}}.\)

Mặt khác: \(\frac{r}{a} = \frac{h}{2} \Rightarrow r = \frac{{ah}}{2}.\)

Do đó thể tích nước hình nón dưới \({V_3} = {\textstyle{1 \over 3}}.h.\pi {\left( {{\textstyle{h \over 2}}a} \right)^2} = \frac{{\pi {a^2}{h^3}}}{{12}}.\)

Thể tích nước của hình nón trên khi đầy nước \[{V_1} = {\textstyle{1 \over 3}}.2.\pi {a^2}.\]

Lại có: \({V_3} = {V_1} - {V_2} \Rightarrow \)\(\frac{{\pi {a^2}{h^3}}}{{12}} = \)\[{\textstyle{1 \over 3}}.2.\pi {a^2} - \]\(\frac{{\pi {a^2}}}{{12}}\)\( \Leftrightarrow 1 + {h^3} = 8 \Leftrightarrow h = \sqrt[3]{7}.\)

Gọi \(R\) là bán kính đáy của cái phểu ta có \(\frac{R}{2}\) là bán kính của đáy chứa cột nước

Ta có thể tích phần nón không chứa nước là \(V = \frac{1}{3}\pi {\left( R \right)^2}.20 - \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{R}{2}} \right)^2}.10 = \frac{{35}}{6}\pi {R^2}\).

Khi lật ngược phểu Gọi \(h\) chiều cao của cột nước trong phểu.phần thể tích phần nón không chứa nước là \[V = \frac{1}{3}\pi \left( {20 - h} \right){\left( {\frac{{R\left( {20 - h} \right)}}{{20}}} \right)^2} = \frac{1}{{1200}}\pi {\left( {20 - h} \right)^3}{R^2}\].

\[\frac{1}{{1200}}\pi {\left( {20 - h} \right)^3}{R^2} = \frac{{35}}{6}\pi {R^2} \Rightarrow {\left( {20 - h} \right)^3} = 7000 \Rightarrow h \approx 0,87\]