Bài tập Hình học không gian trong đề thi Đại học 2017 có lời giải (P21)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH=$a\sqrt{3}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng $\frac{3R}{2}$. Mặt phẳng ($\alpha$) song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng $\frac{R}{2}$. Diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng  là:

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau và OA=a, OB=2a, Oc=3a. Thể tích của khối tứ diện OABC bằng:

Cắt một hình trụ bằng một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông cạnh 2a. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh AB=a, AD=a$\sqrt{3}$. Cạnh bên SA=a$\sqrt{2}$ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA=a$\sqrt{5}$, mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC bằng:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB=a và AA'=$\sqrt{2}a$. Góc giữa hai đường thẳng AB’ và BC’ bằng

Một chiếc cốc hình trụ có đường kính đáy 6 cm, chiều cao 15 cm chứa đầy nước. Nghiêng cốc cho nước chảy từ từ ra ngoài đến khi mép nước ngang với đường kính của đáy cốc. Khi đó diện tích của bề mặt nước trong cốc bằng

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a, góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng ${60}^0$ . Diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác ABC bằng

Cho hàm số S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tang của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (SBC) bằng

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh 2a, gọi M là trung điểm của BB' và P thuộc cạnh  sao cho $DP=\frac{1}{4}DD\text{'}$. Mặt phẳng (AMP) cắt CC' tại N. Thể tích khối đa diện AMNPBCD bằng

Tính diện tích toàn phần của hình lập phương có độ dài đường chéo bằng $\sqrt{12}$.

Khi quay một hình chữ nhật và các điểm trong của nó quanh trục là một đường trung bình của hình chữ nhật đó, ta nhận được hình gì?

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng 2a. Gọi K là trung điểm của DD'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và A'D'.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và CD. Cho biết MN tạo với mặt đáy một góc bằng ${30}^0$. Tính thể tích khối chóp S.ABCD .

Cho mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và đường thẳng $∆$ không vuông góc với $\left(\alpha \right)$. Gọi $\overrightarrow{u_{∆}}, \overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của $△$ và vectơ pháp tuyến của $\left(\alpha \right)$. Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của ${△}^{\text{'}}$ là hình chiếu của $△$ trên $\left(\alpha \right)$ ?

Cho hình chóp tam giác đều có góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ${45}^0$. Tính sin góc giữa mặt bên và mặt đáy.

Cho hình nón có bán kính đáy bằng 6, chiều cao bằng 8. Biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với tất cả các đường sịnh của hình nón, đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của hình nón. Tính bán kính mặt cầu đó.

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D', gọi M và N lần lượt là tâm của các hình vuông ABCD và A'B'C'D'. Mặt phẳng (A'MN) chia khối lập phương thành hai phần có thể tích là $V_1$ và $V_2$. Tính tỷ số $\frac{V_2}{V_1}$.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, hình chiếu của S lên mặt đáy trùng với điểm H thỏa mãn $\overrightarrow{BH}=\frac{2}{5}\overrightarrow{BD}$. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh AB và AD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SC biết $SH=2a\sqrt{13}$.

Cho khối trụ có chiều cao h=16 và hai đáy là hình tròn tâm O, O' với bán kính R=12. Gọi I là trung điểm của OO' và AB là một dây cung của đường tròn (O) sao cho $AB=12\sqrt{3}$. Tính diện tích thiết diện của khối trụ với mặt phẳng (IAB).

Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA=a. Đáy ABC thỏa mãn $AB=a\sqrt{3}$ (tham khảo hình vẽ). Tìm số đo góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC)

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất các cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ). Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và B'C. 

Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA=a. Đáy ABC nội tiếp trong đường tròn tâm I có bán kính bằng 2a (tham khảo hình vẽ). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC

Tính thể tích của khối trụ đã cho

Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng 2a và chu vi đáy bằng $2\mathrm{\pi a}$. Tính diện tích xung quanh S của hình nón

Hai chiếc ly đựng chất lỏng giống hệt nhau, mỗi chiếc có phần chứa chất lỏng là một khối nón có chiều cao 2 dm (mô tả như hình vẽ). Ban đầu chiếc ly thứ nhất chứa đầy chất lỏng, chiếc ly thứ hai để rỗng. Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ nhất sang ly thứ hai sao cho độ cao của cột chất lỏng trong ly thứ nhất còn 1dm. Tính chiều cao h của cột chất lỏng trong ly thứ hai sau khi chuyển (độ cao của cột chất lỏng tính từ đỉnh của khối nón đến mặt chất lỏng - lượng chất lỏng coi như không hao hụt khi chuyển. Tính gần đúng h với sai số không quá 0,01dm)

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Một đường thẳng d đi qua đỉnh D¢ và tâm I của mặt bên BCC'B'. Hai điểm M, N thay đổi lần lượt thuộc các mặt phẳng (BCC'B') và (ABCD) sao cho trung điểm K của MN thuộc đường thẳng d (tham khảo hình vẽ). Giá trị bé nhất của độ dài đoạn thẳng MN là

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích là V. Gọi M  là điểm tùy ý trên cạnh AA'. Thể tích của khối đa diện M.BCC'B' tính theo V  là

Cho hai khối nón $N_1,N_2$. Chiều cao khối nón $\left(N_2\right)$ bằng hai lần chiều cao khối nón $\left(N_1\right)$ và đường sinh khối nón bằng hai lần đường sinh khối nón $\left(N_1\right)$. Gọi V₁, V₂ lần lượt là thể tích hai khối nón $\left(N_1\right), \left(N_2\right)$. Tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$ bằng

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A_1{B}_1{C}_1$ có cạnh đáy bằng 2, độ dài đường chéo của các mặt bên bằng $\sqrt{5}$. Số đo góc giữa hai mặt phẳng $\left(A_{1}BC\right)$ và $\left(ABC\right)$ là

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB là

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A_1{B}_1{C}_1$ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB= 4, BC=6; chiều cao của lăng trụ bằng 10. Gọi K, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh $B{B}_1, A_1{B}_1, BC$. Thể tích của khối tứ diện $C_{1}KMN$ là

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3, BC = 4, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 4. Gọi AM, AN  lần lượt là chiều cao các tam giác SAB và SAC. Thể tích khối tứ diện AMNC là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA=2, SB=6, SC=9. Độ dài cạnh SD là

Ba quả bóng dạng hình cầu có bán kính bằng 1 đôi một tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với mặt phẳng (P). Mặt cầu (S) bán kính bằng 2 tiếp xúc với ba quả bóng trên. Gọi M là điểm bất kì trên (S), MH là khoảng cách từ M  đến mặt phẳng (P). Giá trị lớn nhất của MH là

Cho tứ diện ABCD biết AB=BC=CA=4, AD=5, CD=6, BD=7. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng

Cho tứ diện đều ABCD có mặt cầu nội tiếp là $\left(S_1\right)$ và mặt cầu ngoại tiếp là $\left(S_2\right)$. Một hình lập phương ngoại tiếp $\left(S_2\right)$ và nội tiếp trong mặt cầu $\left(S_2\right)$. Gọi $r_1, r_2, r_3$ lần lượt là bán kính các mặt cầu $\left(S_1\right), \left(S_2\right), \left(S_3\right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng a. Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác cân có góc ở đáy bằng ${45}^0$. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình nón.