Bài tập Hình học không gian cơ bản, nâng cao có lời giải (P8)
30 câu hỏi
Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
Hai đường thẳng cắt nhau.
Ba điểm phân biệt
Bốn điểm phân biệt
Một điểm và một đường thẳng.
Đáp án đúng là: A
B sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa 3 điểm thẳng hàng đã cho.
D sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ta chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.
C sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm không đồng phẳng thì không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.
Kim tự tháp Kê-ốp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 147m, cạnh đáy dài 230m. Thế tích của nó là:
7776300
3888150
2592100
2592100
Đáp án D
Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G . Mệnh đề nào sau đây là sai?
GA⇀ + GB⇀ + GC⇀ + GD⇀ = 0
OG⇀ = 14(OA⇀ + OB⇀ + OC⇀ + OD⇀)
AG⇀ = 14(AB⇀ + AC⇀ + AD⇀)
AG⇀ = 23(AB⇀ + AC⇀ + AD⇀)
Đáp án A
G là trọng tâm tứ diện ABCD
Cho hình đa diện đều loại {4;3} cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
S = 6a2
S = 4a2
S = 8a2
S = 10a2
Đáp án A
Đa diện đều loại {4;3} là đa diện mà mỗi mặt có 4 cạnh mỗi đỉnh có 3 mặt nó là khối lập phương nên có 6 mặt là các hình vuông cạnh a . Vậy hình lập phương có tổng diện tích tất cả các mặt là
Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông có cạnh đáy bằng 3a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp biết tam giác SAB vuông.
9a3
9a332
9a32
9a33
Đáp án C
Gọi H là trung điểm của AB khi đó SHAB
Do (SAB)(ABCD) => SH(ABCD)
Do SAB vuông cân tại S nên
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông cạnh a. Các mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy một góc . Thể tích của khối chóp đã cho bằng:
a365
a363
a364
a369
Đáp án C
Ta có ngay 
a
Từ một mảnh giấy hình vuông cạnh a , người ta gấp thành hình lăng trụ theo hai cách sau:
Cách 1. Gấp thành 4 phần đều nhau rồi dựng lên thành một hình lăng trụ tứ giác đều có thể tích là (Hình 1).
Cách 2. Gấp thành 3 phần đều nhau rồi dựng lên thành một hình lăng trụ tam giác đều có thể tích là (Hình 2).
Tính tỉ số k =
k =
k =
k =
k =
Đáp án B
Gọi cạnh hình vuông là a .
Khi đó 
Suy ra 
Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AC , BC ; P là trọng tâm tam giác BCD . Mặt phẳng (MNP) cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là:
a2112
a224
a2114
a234
Đáp án D
Trong tam giác BCD có: P là trọng tâm, N là trung điểm BC . Suy ra N , P , D thẳng hàng.
Vậy thiết diện là tam giác MND .
Xét tam giác MND , ta có 
Do đó tam giác MND cân tại D .
Gọi H là trung điểm MN suy ra DH MN
Diện tích tam giác 
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng a. Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên:
a310
2a33
a25
a52
Đáp án A
Gọi M là trung điểm AB ,dựng OKSM
Một người xây nhà xưởng hình hộp chữ nhật có diện tích mặt sàn là 1152 và chiều cao cố định. Người đó xây các bức tường xung quanh và bên trong để ngăn nhà xưởng thành ba phòng hình chữ nhật có kích thước như nhau (không kể trần nhà). Vậy cần phải xây các phòng theo kích thước nào để tiết kiệm chi phí nhất (bỏ qua độ dày các bức tường).
16m x 24m
8m x 48m
12m x 32m
24m x 32m
Đáp án D
Đặt x, y, h lần lượt là chiều dài, chiều rộng và chiều cao mỗi phòng.
Theo giả thiết, ta có x.3y = 1152
Để tiết kiệm chi phí nhất khi diện tích toàn phần nhỏ nhất.
Ta có 
Vì h không đổi nên nhỏ nhất khi 
(với x > 0) nhỏ nhất.
Khảo sát 
với x > 0 ta được f(x) nhỏ nhất khi x = 24 => y = 16
Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là . Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?
Cạnh đáy bằng 4 và cạnh bên bằng cm
Cạnh đáy bằng và cạnh bên bằng 1 cm
Cạnh đáy bằng và cạnh bên bằng 3 cm
Cạnh đáy bằng 2 và cạnh bên bằng 2cm
Đáp án A
HD Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là ABC.A'B'C' có độ dài AB = x, AA' = h
Khi đó 
và 
Theo giả thiết 
Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của khối lăng trụ ABC.A'B'C' là nhỏ nhất.
Gọi là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ ABC.A'B'C',ta có
Khảo sát 
ta được f(x) nhỏ nhất khi x =
Với x = => h = 2 cm
Cho hình chóp tam giác S.ABC có thể tích bằng 8. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Tính thể tích khối chóp S.MNP
3
6
2
4
Đáp án C
Do 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao AH vuông góc với (ABCD). Gọi là góc giữa BD và (SAD). Tính sin
sin =
sin =
sin =
sin =
Đáp án A
Gọi N là trung điểm AD suy ra HN // BD.
Góc giữa BD và (SAD) bằng góc giữa HN và (SAD).
Ta có AD⊥SH, AD⊥AB suy ra AD⊥ (SAB) . Trong mặt phẳng (SAB) kẻ HK⊥SA nên ta suy ra AD⊥HK và HK⊥ (SAD) . vậy góc giữa HN và (SAD) là góc HNK.
Gọi cạnh của hình vuông là a
Ta tính được HN = . Xét tam giác vuông SHA vuông tại H ta có
Xét tam giác vuông HNK vuông tại K ta có 
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (A’B’D’) và (BC’D)
33
3
32
23
Đáp án D
Ta chứng minh (AB’D’)//(BC’D)
Khi đó d((AB’D’), (BC’D))=d(C,(BC’D))
Ta chứng minh (BC’D)⊥(ACC’). Rồi từ C kẻ CH ⊥ OC’suy ra CH ⊥(BC’D)
Ta có 
Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ biết AC' = a
V = a3
V = a34
V = 36a34
V = 33a3
Đáp án A
Giả sử cạnh của hình lập phương là a. Khi đó AB' = x . Xét tam giác vuông AB’C’ vuông tại B’ ta có 
.
Do đó 
Hỏi khối đa diện đều loại {4;3} có bao nhiêu mặt?
4
7
8
6
Đáp án D
Là hình lập phương nên có 6 mặt
Lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 4 và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ đó
83
63
43
23
Đáp án A
Gọi M là trung điểm của Bc suy ra A’M⊥BC. Gọi x là chiều cao của hình lăng trụ.
=
Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Biết góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
a334
4a33
2a33
a332
Đáp án C
Gọi M là trung điểm của BC suy ra 
Lại có 
Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD và AA’. Tính tỉ số thể tích k của khối chóp A.MNP và khối hộp đã cho
k = 112
k = 148
k = 18
k = 124
Đáp án D
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD), Tính tan của góc giữa hai ămtj phẳng (SBD) và (ABCD)
15
25
5
52
Đáp án C
Kẻ AH ⊥BD
Khi đó 
Mà 
nên góc giữa (SBD) và (ABCD) là SHA=α.
Suy ra 
Do đó 
Vật thể nào trong các vật thể sau không phải khối đa diện?
Đáp án C
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
Góc giữa hai đường thẳng B’D’ và AA’ bằng
Góc giữa hai đường thẳng AC và B’D’ bằng
Góc giữa hai đường thẳng AD và B’C bằng
Góc giữa hai đường thẳng BD và A’C’ bằng
Đáp án A
Tính độ dài cạnh bên l của khối lăng trụ đứng có thể tích V và diện tích đáy bằng S
l = VS
l = V2S
l = VS
l = 3VS
Đáp án C
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng SC tạo với đáy một góc Khi đó, thể tích của khối chóp S.ABCD bằng
a3173
a3173
a3179
a3176
Đáp án A
Gọi H là trung điểm của AB, tam giác SAB cân tại S do đó SH⊥AB mà (SAB)⊥ (ABCD) nên SH⊥ (ABCD). Góc giữa SC và đáy là SCH =600.
Tam giác BHC vuông tại B nên
Tam giác SHC vuông tại H nên SH = SC.tanSCH 
Do vậy 
Hình đa diện nào sau đây không có mặt phẳng đối xứng
Hình lăng trụ lục giác đều
Hình lăng trụ tam giác
Hình chóp tứ giác đều
Hình lập phương
Đáp án A
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a. Gọi M là trung điểm của AB. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SM và BC
d = a32
d = a23
d = a33
d = a2
Đáp án B
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác vuông tại A, BC = 2a, . Gọi M là trung điểm của BC. Biết SA = SB = SM = . Tìm khoảng cách d từ S đến mặt phẳng (ABC)
d = 3a
d = a
d = 2a
d = 4a
Đáp án C
Ta có M là trung điểm của BC nên
Suy ra tam giác ABM là tam giác đều. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S xuốn (ABM).
Suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM
Khi đó 
Một công ty muốn thiết kế một loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật, có đáy là hình vuông, sao cho thể tích khối hộp được tạo thành là 8 và diện tích toàn phần là nhỏ nhất. Tìm độ dài cạnh đáy vủa mỗi hộp được thiết kế
223 dm
2 dm
4 dm
22 dm
Đáp án B
Ta có
Ta tìm điều kiện của a đê diện tích toàn phần nhỏ nhất. xét hàm số ta được a=2
Cho tứ diện ABCD có AB = CD = , AC = BD = , AD = BC = . Tính thể tích tứ diện đã cho
526
5266
4
2
Đáp án D
Áp dụng công thức sau
Với a,b,c là độ dài từng cặp cạnh đối.
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai:
Khối tứ diện là khối đa diện lồi
Khối hộp là khối đa diện lồi
Lắp ghép hai khối hộp sẽ được một khối đa diện lồi
Khối lăng trụ tứ giác là khối đa diện lồi
Đáp án C
